Mersenne-Zahl

Eine Mersenne-Zahl ist eine Zahl der Form ${\displaystyle 2^{n}-1}$. Im Speziellen bezeichnet man mit ${\displaystyle M_{n}=2^{n}-1}$ die ${\displaystyle n}$-te Mersenne-Zahl. Die ersten sieben Mersenne-Zahlen ${\displaystyle M_{n}}$ sind

${\displaystyle 1,3,7,15,31,63,127}$ (Folge A000225 in OEIS).

Poststempel mit der 23. Mersenne-Primzahl, die 1963 an der UIUC von Donald B. Gillies gefunden wurde

Die Primzahlen unter den Mersenne-Zahlen werden Mersenne-Primzahlen genannt. Die ersten acht Mersenne-Primzahlen ${\displaystyle M_{p}}$ sind

${\displaystyle 3,7,31,127,8191,131071,524287,2147483647}$ (Folge A000668 in OEIS)

für die Exponenten ${\displaystyle p=2,3,5,7,13,17,19,31}$ (Folge A000043 in OEIS).

Bei der Darstellung im Dualsystem zeigen sich Mersennezahlen als Einserkolonnen, d. h. Zahlen, die ausschließlich aus Einsen bestehen. Die ${\displaystyle n}$-te Mersennezahl ist im Dualsystem eine Zahl mit ${\displaystyle n}$ Einsen (Beispiel: ${\displaystyle M_{3}=7=111_{2}}$). Mersenne-Zahlen zählen im Binären zu den Zahlenpalindromen, Mersenne-Primzahlen dementsprechend zu den Primzahlpalindromen.

Mersenne-Vermutungstabelle: p ≤ 263

P: Mp ist Mersenne-Zahl —: Mp ist die Composite-Mersenne-Zahl Cyan zeigt richtig Rosa zeigt falsch
p	2	3	5	7	11	13	17	19
Mp	P	P	P	P	—	P	P	P
p	23	29	31	37	41	43	47	53
Mp	—	—	P	—	—	—	—	—
p	59	61	67	71	73	79	83	89
Mp	—	P	—	—	—	—	—	P
p	97	101	103	107	109	113	127	131
Mp	—	—	—	P	—	—	P	—
p	137	139	149	151	157	163	167	173
Mp	—	—	—	—	—	—	—	—
p	179	181	191	193	197	199	211	223
Mp	—	—	—	—	—	—	—	—
p	227	229	233	239	241	251	257	263
Mp	—	—	—	—	—	—	—	—

Ihren Namen haben diese Primzahlen von dem französischen Mönch und Priester Marin Mersenne (1588–1648), der im Vorwort seiner Cogitata Physico-Mathematica[1] behauptete, dass für ${\displaystyle p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127}$ und ${\displaystyle 257}$ die Zahl ${\displaystyle M_{p}}$ eine Primzahl sei.

Er irrte sich jedoch bei den Zahlen ${\displaystyle M_{67}}$ und ${\displaystyle M_{257}}$ und übersah die Mersenne-Primzahlen ${\displaystyle M_{61}}$, ${\displaystyle M_{89}}$ und ${\displaystyle M_{107}}$. Dass ${\displaystyle M_{67}}$ keine Primzahl ist, hat Édouard Lucas 1876 gezeigt, aber erst im Jahre 1903 konnte der Mathematiker Frank Nelson Cole die Primfaktoren dieser Zahl benennen. Um den Nachweis zu führen, dass ${\displaystyle M_{257}}$ keine Primzahl ist, wurde 1932 eine frühe Rechenmaschine verwendet. Bei der Zahl ${\displaystyle M_{67}}$ handelt es sich möglicherweise um einen Lesefehler seitens Mersenne aus seiner Korrespondenz mit Bernard Frénicle de Bessy und Pierre de Fermat, wobei er ${\displaystyle p=61}$ mit ${\displaystyle p=67}$ verwechselte.

Mersenne-Zahlen kommen a​uch beim Mersenne-Twister vor, e​inem Pseudozufallszahlengenerator.

Geschichte

Mersenne-Zahlen wurden zuerst in der Antike im Zusammenhang mit vollkommenen Zahlen untersucht. Eine natürliche Zahl wird vollkommen genannt, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist (Beispiel: ${\displaystyle 6=1+2+3}$). Schon Euklid hatte gezeigt, dass die Zahl ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ vollkommen ist, wenn ${\displaystyle 2^{n}-1}$ eine Primzahl ist (${\displaystyle n=2}$ liefert die Zahl ${\displaystyle 6}$). 2000 Jahre später wurde von Euler die Umkehrung für gerade vollkommene Zahlen gezeigt: jede gerade vollkommene Zahl ist von der Form ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$, wobei ${\displaystyle 2^{n}-1}$ eine Primzahl ist.

Ungerade vollkommene Zahlen s​ind bisher n​icht gefunden worden, allerdings konnte i​hre Existenz b​is heute w​eder bewiesen n​och widerlegt werden.

Die ersten vier vollkommenen Zahlen ${\displaystyle 6,28,496}$ und ${\displaystyle 8128}$ waren schon in der Antike bekannt. Die Suche nach weiteren vollkommenen Zahlen motivierte die Suche nach weiteren Mersenne-Primzahlen. Die wichtigste dabei zu beachtende Eigenschaft ist die folgende:

Ist ${\displaystyle n}$ eine zusammengesetzte Zahl, so ist auch ${\displaystyle M_{n}}$ eine zusammengesetzte Zahl. Dass ${\displaystyle 2^{a\cdot b}-1}$ von ${\displaystyle 2^{a}-1}$ und von ${\displaystyle 2^{b}-1}$ ohne Rest geteilt wird, kann mit Hilfe einer Polynomdivision gezeigt werden, falls ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ natürliche Zahlen ohne die Null sind.

Daraus folgt unmittelbar, dass der Exponent ${\displaystyle p}$ einer Mersenne-Primzahl ${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$ selbst eine Primzahl ist. Durch diese Eigenschaft wird die Suche nach Mersenne-Primzahlen erleichtert, da nur noch Mersenne-Zahlen mit Primzahlexponent betrachtet werden müssen.

Der Umkehrschluss, dass ${\displaystyle M_{p}}$ prim ist, wenn ${\displaystyle {p}}$ prim ist, ist jedoch falsch, da beispielsweise ${\displaystyle M_{11}'=2047=23\cdot 89}$ keine Primzahl ist.

Mersenne-Primzahlen s​ind selten: bislang (Dezember 2018) s​ind erst 51 d​avon gefunden worden. Da e​s einen besonders effizienten Primzahltest für s​ie gibt, s​ind die größten bekannten Primzahlen Mersenne-Primzahlen.

Jahr	Ereignis
bis 1536	Man glaubt, dass für alle Primzahlen p gilt, 2^p–1 sei prim.
1536	Der deutsche Rechenmeister Ulrich Rieger (lat. Hudalrichus Regius) veröffentlicht in seinem Rechenbuch Utriusque Arithmetices epitome[2] als erster die fünfte vollkommene Zahl 2^12·(2^13–1) = 4096 · 8191 = 33550336 in gedruckter Form. Nachdem die Zahlen 511 und 2047 in seiner tabellarischen Übersicht nicht vorkommen, darf man annehmen, dass er 2^11–1 = 2047 = 23 · 89 als zusammengesetzt erkannt hat, obgleich er dies nicht extra erwähnt.
1555	Johann Scheubel veröffentlicht in seiner deutschen Übersetzung der Bücher VII-IX von Euklids Elementen die nächsten beiden vollkommenen Zahlen 2^16·(2^17–1) = 65536 · 131071 = 8589869056 und 2^18·(2^19–1) = 262144 · 524287 = 137438691328.[3] Die zweiten Faktoren sind die Mersenneschen Primzahlen M17 und M19. Allerdings hat er sowohl 2^11–1 = 2047 = 23 · 89, als auch 2^15–1 = 32767 = 7 · 31 · 151 nicht als zusammengesetzt erkannt, dafür aber 2^21–1 = 2097151 = 7^2 · 127 · 337. (Die Zerlegungen gibt er allerdings an dieser Stelle nicht an.) Er erhält in seinem Werk also fälschlicherweise neun, anstatt der korrekten sieben vollkommenen Zahlen.
1603	Pietro Cataldi (1548–1626) zeigt, dass 2^p–1 prim ist für p = 17, 19 und vermutet dies korrekt für p = 31. Fälschlicherweise glaubt er es auch für p = 23, 29 und 37.
1640	Fermat widerlegt Cataldi für p = 23 und p = 37: 2^23–1 = 47 · 178481 und 2^37–1 = 223 · 616318177 sind keine Primzahlen.
1644	Mersenne behauptet, 2^p–1 sei prim für p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257, jedoch nicht prim für alle anderen natürlichen Zahlen kleiner als 257 (Vorwort zu seinem Werk Cogitata Physico-Mathematica). Wir wissen heute, dass diese Behauptung jedoch falsch ist, denn 2^p–1 ist prim sowohl für p = 61 (Perwuschin, 1883) als auch für p = 89 (Powers, 1911) und p = 107 (Powers und Fauquembergue, 1914), zudem ist 2^67–1 zusammengesetzt (Lucas, 1876; Cole 1903).
1738	Euler widerlegt Cataldi für p = 29: 2^29-1 = 233 · 1103 · 2089.
1750	Euler bestätigt, dass Cataldi für p = 31 richtig lag: 2^31–1 ist prim.
1870	Édouard Lucas (1842–1891) formuliert die theoretischen Grundlagen für den Lucas-Lehmer-Test.
1876	Lucas bestätigt Mersenne: 2^127–1 ist prim und widerspricht: 2^67-1 ist nicht prim, Faktoren bleiben unbekannt.
1883	Iwan Michejowitsch Pervuschin (1827–1900), ein russischer Mathematiker und orthodoxer Priester aus Perm/Russland, zeigt, dass 2^61–1 prim ist (Widerspruch zu Mersenne).
1903	Frank Nelson Cole benennt die Primfaktoren von 2^67-1 = 193707721 · 761838257287.
1911	Ralph Ernest Powers widerspricht Mersenne für p = 89: 2^p–1 ist prim.[4]
1914	Powers widerspricht Mersenne auch für p = 107: 2^p–1 ist prim. Fast gleichzeitig kommt auch E. Fauquembergue zu dieser Aussage.[5]
1930	Derrick Henry Lehmer (1905–1991) formuliert den Lucas-Lehmer Test.
1932	Lehmer zeigt: M(149) und M(257) sind nicht prim,[6] er rechnet dazu ein Jahr lang täglich zwei Stunden an einem Tischrechner.[7]
1934	Powers zeigt: M(241) ist nicht prim.[8]
1944	Horace S. Uhler zeigt: M(157) und M(167) sind nicht prim.[9]
1945	Uhler zeigt: M(229) ist nicht prim.[10]
1947	Uhler zeigt: M(199) ist nicht prim.[11]
1947	Der Bereich von 1 bis 257 ist nun vollständig überprüft. Man kennt jetzt die Mersenne-Primzahlen M(p) für p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 und 127.[12]
1951	Beginn des Einsatzes von Computern. Die Länge der größten bekannten Primzahl steigt bis 1952 von 39 Stellen auf 687 Dezimalstellen.
1963	Donald Gillies entdeckt M(11.213) mit 3.376 Stellen.[13]
1996	Joel Armengaud und George Woltman entdecken mit GIMPS M(1.398.269) mit 420.921 Stellen.
1999	Mit M(6.972.593), die 2.098.960 Stellen hat, kennt man am 1. Juni erstmals eine Primzahl mit mehr als 1 Million Stellen.
2004	Am 15. Mai wird nachgewiesen, dass M(24.036.583), eine Zahl mit 7.235.733 Stellen, prim ist.
2005	Am 18. Februar wird vom GIMPS-Projekt die 42. Mersenne-Primzahl entdeckt: M(25.964.951) hat 7.816.230 Stellen. Ebenfalls v​om GIMPS-Projekt w​ird am 15. Dezember d​ie 43. Mersenne-Primzahl entdeckt: M(30.402.457) h​at 9.152.052 Stellen.
2006	Am 4. September vermeldet das GIMPS-Projekt die Entdeckung der 44. Mersenne-Primzahl M(32.582.657) mit 9.808.358 Stellen.
2008	Am 16. September werden vom GIMPS-Projekt die 45. und die 46. bekannte Mersenne-Primzahl veröffentlicht: M(37.156.667) (entdeckt am 6. September) mit 11.185.272 Stellen und M(43.112.609) (entdeckt am 23. August) mit 12.978.189 Stellen.
2009	Die 47. bekannte Mersenne-Primzahl M(42.643.801) wird vom GIMPS-Projekt am 12. April entdeckt und am 12. Juni veröffentlicht.
2013	Die 48. bekannte Mersenne-Primzahl M(57.885.161) wird vom GIMPS-Projekt am 25. Januar entdeckt.
2016	Die 49. bekannte Mersenne-Primzahl M(74.207.281) wird vom GIMPS-Projekt am 7. Januar entdeckt.[14]
2017	Die 50. bekannte Mersenne-Primzahl M(77.232.917) wird vom GIMPS-Projekt am 26. Dezember entdeckt.[15]
2018	Die 51. bekannte Mersenne-Primzahl M(82.589.933) wird vom GIMPS-Projekt am 7. Dezember entdeckt.[16]

Teilbarkeitseigenschaften der Mersenne-Zahlen

Im Lauf ihrer langen Geschichte sind viele Ergebnisse über Mersenne-Zahlen gefunden worden. Außer der schon erwähnten grundlegenden Teilbarkeitseigenschaft (teilt ${\displaystyle r}$ die Zahl ${\displaystyle n}$, so ist ${\displaystyle M_{r}}$ Teiler von ${\displaystyle M_{n}}$) gibt es z. B. folgende Ergebnisse:

• Ist ${\displaystyle n}$ eine gerade Zahl und ${\displaystyle n+1}$ prim, so ist ${\displaystyle n+1}$ ein Teiler von ${\displaystyle M_{n}}$, z. B. ${\displaystyle M_{10}=1023=3\cdot 11\cdot 31,M_{12}=4095=3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 13}$.

• Ist ${\displaystyle n}$ eine ungerade Primzahl und ${\displaystyle q}$ ein Primfaktor von M_n, so gilt ${\displaystyle q\equiv 1\ mod\ 2n}$ und ${\displaystyle q\equiv \pm 1\ mod\ 8}$. Beispiel: ${\displaystyle M_{11}=2047=23\cdot 89}$ und ${\displaystyle 23=2\cdot 11+1;89=4\cdot 2\cdot 11+1}$.

• Wenn ${\displaystyle p}$ eine Primzahl mit ${\displaystyle p\equiv 3\ mod\ 4}$ ist, dann gilt die folgende Äquivalenz: ${\displaystyle 2p+1}$ teilt die Mersenne-Zahl ${\displaystyle M_{p}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle 2p+1}$ prim ist. Beispiel: ${\displaystyle 11}$ ist prim und lässt einen Rest von ${\displaystyle 3}$ bei Division durch ${\displaystyle 4}$. Da ${\displaystyle 23}$ (als Ergebnis von ${\displaystyle 2\cdot 11+1}$) prim ist, folgt: ${\displaystyle 23}$ teilt die Mersenne-Zahl ${\displaystyle M_{11}=2047}$. Diese Aussage wurde von Leonhard Euler formuliert, aber erst später von Joseph-Louis Lagrange bewiesen (siehe auch Sophie-Germain-Primzahl).

• Ist ${\displaystyle M_{p}>3}$ eine Primzahl, dann ist ${\displaystyle M_{p}+2}$ keine Primzahl (nämlich durch ${\displaystyle 3}$ teilbar). Mersenne-Primzahlen eignen sich also nicht als die kleinere Primzahl eines Primzahlzwillings.

• Ist ${\displaystyle n=2^{m}}$ mit ${\displaystyle m>0}$, so ist ${\displaystyle M_{n}}$ das Produkt der Fermat-Zahlen ${\displaystyle F_{0}}$ bis ${\displaystyle F_{m-1}}$. Beispiel: ${\displaystyle M_{16}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot F_{2}\cdot F_{3}=3\cdot 5\cdot 17\cdot 257}$.

Die Suche nach Mersenne-Primzahlen

Für die Erzielung von Primzahl-Rekorden eignen sich Mersenne-Primzahlen in mehrfacher Hinsicht besonders gut, weil (a) zusammengesetzte Exponenten unberücksichtigt bleiben können, weil diese keine Primzahlen generieren, und deshalb eine Liste der Kandidaten für den Exponent ${\displaystyle p}$ leicht mit Primzahlgeneratoren erstellt werden kann, (b) aus dieser Liste wie oben beschrieben die Sophie-Germain-Primzahlen mit ${\displaystyle p\equiv 3\ mod\ 4}$ ausgesondert werden können (wie z. B. p = 11 → Teiler 23), (c) durch den funktionalen Zusammenhang die Größenordnung der Primzahl exponentiell – nämlich zur Basis zwei – mit dem Argument ${\displaystyle p}$ anwächst, man also schnell sehr große Zahlen erhält, (d) mit dem nachfolgend beschriebenen Lucas-Lehmer-Test ein einfacher und effektiver Primzahltest zur Verfügung steht.

Der Lucas-Lehmer-Test

→ Hauptartikel: Lucas-Lehmer-Test

Dieser Test i​st ein speziell a​uf Mersenne-Zahlen zugeschnittener Primzahltest, d​er auf Arbeiten v​on Édouard Lucas a​us der Zeit 1870–1876 beruht u​nd im Jahr 1930 v​on Derrick Henry Lehmer ergänzt wurde.

Er funktioniert w​ie folgt:

Sei ${\displaystyle p}$ ungerade und prim. Die Folge ${\displaystyle S(k)}$ sei definiert durch ${\displaystyle S(1)=4,S(k+1)=S(k)^{2}-2}$.

Dann gilt: ${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$ ist genau dann eine Primzahl, wenn ${\displaystyle S(p-1)}$ durch ${\displaystyle M_{p}}$ teilbar ist.

GIMPS: Die große Internet-Mersenne-Primzahl-Suche

→ Hauptartikel: Great Internet Mersenne Prime Search

Im Dezember 2018 w​aren 51 Mersenne-Primzahlen bekannt. Mit Computerhilfe w​ird nach weiteren Mersenne-Primzahlen gesucht. Da e​s sich u​m sehr große Zahlen handelt, s​ind die Berechnungen aufwendig: Die 51. Mersenne-Primzahl h​at mehr a​ls 24 Millionen Ziffern[17] i​m Dezimalsystem. Da derart große Zahlen n​icht in klassischen Integer-Variablen gespeichert werden können, werden Felder a​us mehreren Variablen gebildet u​nd miteinander verrechnet. Dies führt z​u langen Programmlaufzeiten.

GIMPS (engl.: Great Internet Mersenne Prime Search) versucht, weltweit möglichst viele Computer a​n den Berechnungen z​u beteiligen. Die dafür nötige Software (Prime95) w​urde von George Woltman u​nd Scott Kurowski erstellt u​nd ist für mehrere Computer-Plattformen (Windows, Linux …) verfügbar.

Liste aller bekannten Mersenne-Primzahlen

Graph der Anzahl von Ziffern bei den größten bekannten Mersenne-Primzahlen im Verhältnis zum Jahr, ab 1950, der jüngsten Ära elektronischer Rechenmaschinen. Beachte: Die vertikale Skala ist eine zweifach logarithmische Skala des Wertes der Mersenne-Primzahl.

Nr.	p	Anzahl der Ziffern von M(p)	Jahr[18]	Entdecker[18]
1	2	1	–	–
2	3	1	–	–
3	5	2	–	–
4	7	3	–	–
5	13	4	1456	–
6	17	6	1555	Johann Scheubel
7	19	6	1555	Johann Scheubel
8	31	10	1772	Leonhard Euler
9	61	19	1883	Iwan Perwuschin
10	89	27	1911	Ralph E. Powers
11	107	33	1914	Powers
12	127	39	1876	Édouard Lucas
13	521	157	1952	Raphael M. Robinson
14	607	183	1952	Robinson
15	1279	386	1952	Robinson
16	2203	664	1952	Robinson
17	2281	687	1952	Robinson
18	3217	969	1957	Hans Riesel
19	4253	1281	1961	Alexander Hurwitz
20	4423	1332	1961	Hurwitz
21	9689	2917	1963	Donald B. Gillies
22	9941	2993	1963	Gillies
23	11.213	3376	1963	Gillies
24	19.937	6002	1971	Bryant Tuckerman
25	21.701	6533	1978	Landon Curt Noll, Laura Nickel
26	23.209	6987	1979	Noll
27	44.497	13.395	1979	David Slowinski, Harry L. Nelson
28	86.243	25.962	1982	Slowinski
29	110.503	33.265	1988	Walter Colquitt, Luther Welsh Jr.
30	132.049	39.751	1983	Slowinski
31	216.091	65.050	1985	Slowinski
32	756.839	227.832	1992	Slowinski, Paul Gage
33	859.433	258.716	1994	Slowinski, Paul Gage
34	1.257.787	378.632	1996	Slowinski, Paul Gage
35	1.398.269	420.921	1996	GIMPS / Joel Armengaud
36	2.976.221	895.932	1997	GIMPS / Gordon Spence
37	3.021.377	909.526	1998	GIMPS / Roland Clarkson
38	6.972.593	2.098.960	1999	GIMPS / Nayan Hajratwala
39	13.466.917	4.053.946	2001	GIMPS / Michael Cameron
40	20.996.011	6.320.430	2003	GIMPS / Michael Shafer
41	24.036.583	7.235.733	2004	GIMPS / Josh Findley
42	25.964.951	7.816.230	2005	GIMPS / Martin Nowak
43	30.402.457	9.152.052	2005	GIMPS / Curtis Cooper, Steven Boone
44	32.582.657	9.808.358	2006	GIMPS / Curtis Cooper, Steven Boone
45	37.156.667	11.185.272	2008	GIMPS / Hans-Michael Elvenich
46	42.643.801	12.837.064	2009	GIMPS / Odd M. Strindmo
47	43.112.609	12.978.189	2008	GIMPS / Edson Smith
48	57.885.161	17.425.170	2013	GIMPS / Curtis Cooper
49?	74.207.281	22.338.618	2016	GIMPS / Curtis Cooper[14]
50?	77.232.917	23.249.425	2017	GIMPS / Jonathan Pace[15]
51?	82.589.933	24.862.048	2018	GIMPS / Patrick Laroche[16]

Mit Stand 6. Oktober 2021 i​st nicht ausgeschlossen, d​ass es zwischen p = 57.885.161 u​nd p = 82.589.933 n​och weitere, bisher unentdeckte Mersenne-Primzahlen gibt; deshalb i​st die Nummerierung a​b Nr. 49 n​och ungewiss (und m​it einem „?“ versehen).

Offene Fragen

Wie s​o oft i​n der Zahlentheorie g​ibt es a​uch zu Mersenne-Zahlen ungelöste Probleme, d​ie sehr einfach z​u formulieren sind:

• Gibt es unendlich viele Mersenne-Primzahlen? Man vermutet aufgrund von plausiblen Heuristiken, dass es etwa ${\displaystyle c\cdot \ln(x)}$ viele Mersenne-Primzahlen ${\displaystyle M_{p}}$ gibt mit ${\displaystyle p<x}$ (für eine positive Konstante ${\displaystyle c}$). Sollte das zutreffen, so gäbe es tatsächlich unendlich viele Mersenne-Primzahlen.

• Genauer, ist die Vermutung, die H. W. Lenstra und C. Pomerance unabhängig voneinander aufstellten, richtig, dass es asymptotisch ${\displaystyle e^{\gamma }\log _{2}(\log _{2}(x))+O(1)}$ viele Mersenne-Primzahlen gibt, die kleiner oder gleich ${\displaystyle x}$ sind?[19]
• Umgekehrt: gibt es unendlich viele Mersenne-Zahlen ${\displaystyle M_{p}}$ mit ${\displaystyle p}$ prim, die keine Primzahlen sind? Auch hier vermutet man als Antwort ja. Dies würde zum Beispiel aus der Vermutung, dass es unendlich viele Sophie-Germain-Primzahlen gibt, die kongruent 3 modulo 4 sind, folgen.
• Sind alle Mersenne-Zahlen ${\displaystyle M_{p}}$ mit ${\displaystyle p}$ prim quadratfrei, d. h. kommt in der Primfaktorzerlegung der Zahl jeder Primfaktor genau einmal vor? Man konnte bisher noch nicht einmal beweisen, dass dies für unendlich viele Mersenne-Zahlen gilt.
• Gilt die „neue Mersenne-Vermutung“? Die Folge von Mersenne-Primzahlen, die Mersenne angab, lässt vermuten, dass er meinte, dass eine Mersenne-Zahl ${\displaystyle M_{p}}$ mit ${\displaystyle p}$ prim genau dann prim ist, wenn ${\displaystyle p=2^{k}\pm 1}$ oder ${\displaystyle p=4^{k}\pm 3}$. Da diese Aussage nicht gilt, stellten P. Bateman, J. Selfridge und S. Wagstaff die neue Mersenne-Vermutung auf.

  Diese besagt, dass aus zwei der folgenden drei Aussagen bereits die dritte folgt:

  1. ${\displaystyle n=2^{k}\pm 1}$ oder ${\displaystyle n=4^{k}\pm 3}$,
  2. ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ist eine (Mersenne) Primzahl,
  3. ${\displaystyle (2^{n}+1)/3}$ ist eine Primzahl (man nennt sie Wagstaff-Primzahl).

• Sind alle Glieder der Folge ${\displaystyle C(0)=2,C(k+1)=2^{C(k)}-1}$ Primzahlen? Die stärkere Vermutung, dass alle Zahlen ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ Primzahlen sind, für die ${\displaystyle M_{p}}$ eine Primzahl ist, konnte 1957 durch Raphael Robinson widerlegt werden. (z. B. ist ${\displaystyle M_{M_{13}}=M_{8191}}$ nicht prim) Diese letzteren Zahlen nennt man doppelte Mersenne-Zahlen (OEIS, A077585). Bisher sind doppelte Mersenne-Primzahlen nur für ${\displaystyle p=2,3,5,7}$ bekannt (OEIS, A077586); für ${\displaystyle p=13,17,19}$ und ${\displaystyle 31}$ wurden kleine Faktoren gefunden.[20] Ob es weitere oder sogar unendlich viele doppelte Mersenne-Primzahlen gibt, bleibt unbekannt.

Literatur

• Paulo Ribenboim: The new book of prime number records. 3rd edition. Springer, New York NY u. a. 1996, ISBN 0-387-94457-5 (Deutsch: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Auf den neuesten Stand gebracht von Wilfrid Keller. 2. vollständig überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2011, ISBN 978-3-642-18078-1 (Springer-Lehrbuch)).
• Wie eine neue Mersenne Primzahl entdeckt wurde. In: taz, 11. März 2005; dpa-Hintergrundbericht

Weblinks

• Prime Mersenne Numbers – History, Theorems and Lists (englisch)
• Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) und Aktueller Stand von GIMPS
• Steffen Haugks deutscher GIMPS-Blog in UK
• Mersenne Primzahlen Bibliografie mit Links auf die Original-Veröffentlichungen (englisch)
• Eric W. Weisstein: Mersenne-Primzahlen. In: MathWorld (englisch).
• mprint5 – schnelle Berechnung der Mersenne-Primzahlen durch den Finnen Mikko Tommila
• Wiki über Mersenne-Primzahlen und deren Suche (englisch)

Einzelnachweise

1. Marin Mersenne: Cogitata Physico-Mathematica. In quibus tam naturae quàm artis effectus admirandi certissimis demonstrationibus explicantur. Paris: Bertier, 1644, Praefatio generalis, Nr. XIX.
2. Hudalrichus Regius: Vtrivsque Arithmetices epitome ex uarijs authoribus concinnata. Straßburg: Bartholomäus Grüninger, 1536, S. VIIIv-IXv, Kap. 6 (De perfecto [Über die vollkommenen Zahlen]).
3. Johann Scheubel: Das sibend, acht vnd neunt buch, des hochberümbten Mathematici Euclidis Megarensis, in welchen der operationen vnnd regulen aller gemainer rechnung, vrsach grund vnd fundament, angezaigt wirt, zu gefallen allen den, so die kunst der Rechnung liebhaben […] auß dem latein ins teütsch gebracht, vnnd mit gemainen exemplen also illustrirt vnnd an tag geben, das sy ein yeder gemainer Rechner leichtlich verstehn, vnnd ime nutz machen kan. Valentin Ottmar, Augsburg 1555, S. CCXXXI-CXXXIIII (Euklid IX, 36), hier S. CCXXXIII.
4. Ralph Ernest Powers: The Tenth Perfect Number. In: American Mathematical Monthly, 18, 1911, Nr. 11, S. 195–197.
5. Ralph Ernest Powers: A Mersenne prime. (PDF; 89 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society, 20, 1914, S. 531. Ralph Ernest Powers: Certain composite Mersenne’s numbers. In: Proceedings of the London Mathematical Society, 15, 1916, Nr. 2, S. xxii; E. Fauquembergue: Nombres de Mersenne. In: Sphinx-Œdipe, 9, 1914, S. 103–105; 15, 1920, S. 17–18. Chris K. Caldwell: M₁₀₇: Fauquembergue or Powers?
6. Derrick Henry Lehmer: Note on Mersenne Numbers. (PDF; 145 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society, 38, 1932, S. 383–384.
7. pentagon.kappamuepsilon.org (Memento des Originals vom 22. Oktober 2015 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis. (PDF)
8. Ralph Ernest Powers: Note on a Mersenne Number. (PDF; 69 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society, 40, 1934, S. 883.
9. Horace S. Uhler: A New Result Concerning a Mersenne Number. In: Mathematical Tables and other Aids to Computation 1 (1944), S. 333, 404. Vgl. Charles B. Barker: Proof that the Mersenne Number M167 is Composite. (PDF; 70 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society, 51, 1945, S. 389. H. S. Uhler: Note on the Mersenne Numbers M157 and M167. (PDF; 107 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society, 52, 1946, S. 178.
10. Horace S. Uhler: A New Result Concerning a Mersenne Number. In: Mathematical Tables and other Aids to Computation 2 (1945), S. 94.
11. Horace S. Uhler: On Mersenne’s Number M199 and Lucas’s Sequences. (PDF; 212 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society, 53, 1947, S. 163–164.
12. Horace S. Uhler: On All of Mersenne’s Numbers Particularly M₁₉₃. (PDF; 200 kB) In: Proceedings of the National Academy of Sciences, 34, 1948, S. 102–103. Horace S. Uhler: On Mersenne’s Number M227 and Cognate Data. (PDF; 320 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society, 54, 1948, Nr. 4, S. 378–380. Raymond Clare Archibald: Mersenne Numbers. In: Mathematical Tables and other Aids to Computation, 3, 1949, S. 398.
13. Donald B. Gillies: Three New Mersenne Primes and a Statistical Theory. In: Mathematics of Computation, 18, 1964, S. 93–97. Bryant Tuckerman: Corrections. In: Mathematics of Computation, 31, 1977, S. 1051.
14. Andreas Stiller: Neue größte bekannte Primzahl mit über 22 Millionen Stellen gefunden. In: heise online. Abgerufen am 20. Januar 2016.
15. GIMPS: Discovery of the 50th known Mersenne Prime. Abgerufen am 3. Januar 2018.
16. Mersenne Prime Discovery - 2^82589933-1 is Prime! 21. Dezember 2018, abgerufen am 22. Dezember 2018.
17. 23,2 Millionen Stellen: Elektroingenieur entdeckt Rekordprimzahl
18. List of known Mersenne prime numbers - PrimeNet. Abgerufen am 28. Dezember 2018.
19. C. Pomerance: Recent developments in primality testing. In: Math. Intelligencer, 3:3, 1980/81, S. 97–105.
20. Eric W. Weisstein: Double Mersenne Number. MathWorld (englisch)