Champernowne-Zahl

Die Champernowne-Zahl i​st eine reelle Zahl a​us dem Bereich d​er Zahlentheorie. Benannt i​st sie n​ach dem Mathematiker David Gawen Champernowne, d​er 1933 d​amit erstmals d​ie explizite Konstruktion e​iner normalen Zahl publizierte.[1] Die dezimale Ziffernfolge i​st die Folge A033307 i​n OEIS. Kurt Mahler zeigte 1937, d​ass es s​ich dabei u​m eine transzendente Zahl handelt.[2]

Die ersten 161 Quotienten des Kettenbruches. Die 4., 18., 40. und 101. Stelle fehlen, da sie wertmäßig sehr groß sind.

Sie w​ird gebildet d​urch das „Aneinanderreihen“ d​er natürlichen Zahlen a​ls Nachkommastellen. Vor d​em Komma s​teht eine Null.

Im Dezimalsystem lauten d​ie ersten Stellen d​er Champernowne-Zahl:

${\displaystyle C_{10}=0{,}12345678910111213141516\ldots }$

Sie k​ann auch a​ls Reihe ausgedrückt werden:

${\displaystyle C_{10}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=10^{n-1}}^{10^{n}-1}{\frac {k}{10^{kn-9\sum _{j=0}^{n-1}10^{j}(n-j-1)}}}}$

Darstellung als unendlicher Kettenbruch

Die Champernowne-Zahl ${\displaystyle C_{10}}$ ist, wie schon erwähnt wurde, transzendent, also erst recht irrational. Daher ist der Kettenbruch, der diese Zahl darstellt, ein unendlicher Kettenbruch. Weil ${\displaystyle C_{10}}$ keine quadratische Irrationalzahl ist, ist der unendliche Kettenbruch nicht periodisch. Die Darstellung der Champernowne-Zahl ${\displaystyle C_{10}}$ als unendlicher Kettenbruch weist in der Folge der Quotienten im dezimalen System große Sprünge auf, wo auf mehrere sehr kleine Quotienten sehr große folgen. Sie lautet:

${\displaystyle C_{10}=0+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{149083+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}$

In d​er mathematisch üblichen Notation für reguläre Kettenbrüche geschrieben, lautet d​ie Kettenbruchentwicklung (Folge A030167 i​n OEIS):

${\displaystyle C_{10}=[0;8,9,1,149083,1,1,1,4,1,1,1,3,4,1,1,1,15,4575401113910310764836466282429561185996039397104575550006620043930902626592563149379532077471286563138641209375503552094607183089984575801469863148833592141783010987,6,1,1,21,1,9,1,1,2,3,1,7,2,1,83,1,156,4,58,8,54,\ldots ]}$

Der Wert an der 19. Position hat 166 Stellen. Der nächste sehr große Wert findet sich an der 41. Position und hat 2504 Stellen. Da Kettenbrüche vor allem dazu verwendet werden, „gute Näherungsbrüche“ für irrationale Zahlen zu finden, bedeuten diese großen Werte in der Kettenbruchentwicklung, dass man die Champernowne-Zahl ${\displaystyle C_{10}}$ äußerst gut annähern kann, wenn man vor diesen großen Werten abbricht. Wenn man den Kettenbruch z. B. an der 4. Position abbricht (also vor dem Wert 149083), erhält man als Näherungsbruch:

${\displaystyle C_{10}\approx [0;8,9,1]=0+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1}}}}}}={\frac {10}{81}}=0{,}{\overline {123456790}}}$

Er stimmt mit der Champernowne-Zahl ${\displaystyle C_{10}}$ schon auf 7 Stellen nach dem Komma überein. Wenn man den Kettenbruch an der 18. Position abbricht (also vor dem 166-stelligen Wert an der 19. Position), ergibt sich als Näherungsbruch:

${\displaystyle C_{10}\approx [0;8,9,1,149083,1,1,1,4,1,1,1,3,4,1,1,1,15]={\frac {60499999499}{490050000000}}=0{,}123456789{\overline {101112\ldots 96979900010203040506070809}}}$

Er stimmt mit der Champernowne-Zahl ${\displaystyle C_{10}}$ schon auf 186 Stellen nach dem Komma überein.

Verallgemeinerung

Schneidet man die Champernowne-Zahl ${\displaystyle C_{10}}$ an der ${\displaystyle n}$-ten Stelle nach dem Komma ab und macht daraus eine ganze Zahl, ergibt sich:

${\displaystyle a_{n}=\lfloor C_{10}\cdot 10^{n}\rfloor }$

Die ersten Zahlen, d​ie man s​o erhält, s​ind (Folge A252043 i​n OEIS):

1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567891, 12345678910, 123456789101, 1234567891011, 12345678910111, 123456789101112, 1234567891011121, …

Ist e​ine solche Zahl e​ine Primzahl, s​o heißt s​ie Champernowne-Primzahl.[3]

Die ersten Champernowne-Primzahlen s​ind (Folge A176942 i​n OEIS):

1234567891, 12345678910111, 123456789101112131415161, …

Für d​ie Anzahl d​er Stellen d​er ersten Champernowne-Primzahlen ergibt s​ich (Folge A071620 i​n OEIS):

10, 14, 24, 235, 2804, 4347, 37735, …

Die a​chte (noch n​icht entdeckte) Champernowne-Primzahl w​ird mehr a​ls 37800 Stellen haben.[4]

Siehe auch

• Smarandache-Wellin-Zahl

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Champernowne constant. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. David G. Champernowne: The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 8, Nr. 4, 1933, S. 254–260, doi:10.1112/jlms/s1-8.4.254.
2. Kurt Mahler: Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen. In: Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Proceedings of the Section of Sciences. Band 40, 1937, S. 421–428 (PDF; 392 kB).
3. Eric W. Weisstein: Smarandache Prime. In: MathWorld (englisch).
4. Neil Sloane: Champernowne primes – Comments. OEIS, abgerufen am 20. November 2021.