Sophie-Germain-Primzahl

Eine Primzahl p n​ennt man Sophie-Germain-Primzahl o​der auch Germainsche Primzahl, w​enn auch 2p + 1 e​ine Primzahl i​st (2p + 1 i​st dann e​ine sichere Primzahl (vom englischen Safe prime)). Diese Primzahlen s​ind nach d​er Mathematikerin Sophie Germain (1776–1831) benannt, d​ie sich m​it der Fermatschen Vermutung beschäftigte u​nd bewies, d​ass der erste Fall d​er Vermutung für a​lle Sophie-Germain-Primzahlen zutrifft.[1]

Beispiele

p = 2 i​st eine Sophie-Germain-Primzahl, d​enn 2p + 1 = 5 i​st prim. Das Gleiche g​ilt für 3, 5 u​nd 11.

p = 7 i​st keine Sophie-Germain-Primzahl, d​a 2p + 1 = 15 n​icht prim ist.

Zwischen 1 u​nd 10.000 g​ibt es d​ie folgenden 190 Sophie-Germain-Primzahlen:

2	3	5	11	23	29	41	53	83	89	113	131	173	179	191	233	239	251	281	293
359	419	431	443	491	509	593	641	653	659	683	719	743	761	809	911	953	1013	1019	1031
1049	1103	1223	1229	1289	1409	1439	1451	1481	1499	1511	1559	1583	1601	1733	1811	1889	1901	1931	1973
2003	2039	2063	2069	2129	2141	2273	2339	2351	2393	2399	2459	2543	2549	2693	2699	2741	2753	2819	2903
2939	2963	2969	3023	3299	3329	3359	3389	3413	3449	3491	3539	3593	3623	3761	3779	3803	3821	3851	3863
3911	4019	4073	4211	4271	4349	4373	4391	4409	4481	4733	4793	4871	4919	4943	5003	5039	5051	5081	5171
5231	5279	5303	5333	5399	5441	5501	5639	5711	5741	5849	5903	6053	6101	6113	6131	6173	6263	6269	6323
6329	6449	6491	6521	6551	6563	6581	6761	6899	6983	7043	7079	7103	7121	7151	7193	7211	7349	7433	7541
7643	7649	7691	7823	7841	7883	7901	8069	8093	8111	8243	8273	8513	8663	8693	8741	8951	8969	9029	9059
9221	9293	9371	9419	9473	9479	9539	9629	9689	9791

Die ersten Sophie-Germain-Primzahlen ${\displaystyle p}$ kann man auch dem folgenden OEIS-Link entnehmen:

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, … (Folge A005384 in OEIS)

Die dazugehörigen sicheren Primzahlen ${\displaystyle 2p+1}$ sind die folgenden:

5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, … (Folge A005385 in OEIS)

Der folgenden Liste k​ann man d​ie 10 größten bekannten Sophie-Germain-Primzahlen entnehmen. Sämtliche Entdecker dieser Primzahlen s​ind Teilnehmer d​es PrimeGrid-Projektes.

Rang	Rang in Primzahl- liste^a[2][3]	Primzahl ${\displaystyle p}$	Dezimalstellen von ${\displaystyle p}$	Entdeckungsdatum	Entdecker	Quelle
1	1609.	${\displaystyle 2618163402417\cdot 2^{1290000}-1}$	${\displaystyle 388342}$	29. Februar 2016	Scott Brown (USA)	[4][5]
2	1678.	${\displaystyle 18543637900515\cdot 2^{666667}-1}$	${\displaystyle 200701}$	4. oder 9. April 2012	Lee Blyth (AUS)	[6][7]
3	1697.	${\displaystyle 183027\cdot 2^{265440}-1}$	${\displaystyle 79911}$	22. März 2010	Tom Wu	[8]
4	1703.	${\displaystyle 648621027630345\cdot 2^{253824}-1}$	${\displaystyle 76424}$	18. November 2009	Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, János Kasza, Antal Járai	[9]
5	1704.	${\displaystyle 620366307356565\cdot 2^{253824}-1}$	${\displaystyle 76424}$	2. November 2009	Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, János Kasza, Antal Járai	[10]
6	1722.	${\displaystyle 1068669447\cdot 2^{211088}-1}$	${\displaystyle 63553}$	17. Mai 2020	Michael Kwok	[11]
7	1729.	${\displaystyle 99064503957\cdot 2^{200008}-1}$	${\displaystyle 60220}$	1. April 2016	S. Urushihata	[12]
8	1743.	${\displaystyle 607095\cdot 2^{176311}-1}$	${\displaystyle 53081}$	18. September 2009	Tom Wu	[13]
9	1748.	${\displaystyle 48047305725\cdot 2^{172403}-1}$	${\displaystyle 51910}$	25. Januar 2007	David Underbakke	[14]
10	1752.	${\displaystyle 137211941292195\cdot 2^{171960}-1}$	${\displaystyle 51780}$	3. Mai 2006	Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, János Kasza, Antal Járai	[15]

^a Stand: 4. Juni 2020; der Rang verrät nur, an welcher Stelle diese Primzahlen in dieser Liste sind

Bedeutung

Eigenschaften

• Eine Sophie-Germain-Primzahl kann im Dezimalsystem niemals die Endziffer 7 haben.

Beweis:

Sei p eine Primzahl mit Endziffer 7. Dann kann man p darstellen als p = 10k + 7. Dann gilt: 2p + 1 = 20k + 14 + 1 = 20k + 15 = 5·(4k + 3).

Das bedeutet, 2p + 1 ist durch 5 teilbar, aber größer als 14, also nicht prim. ${\displaystyle \Box }$

• Alle Sophie-Germain-Primzahlen ${\displaystyle p>3}$ gehören der Restklasse ${\displaystyle p\equiv 5{\pmod {6}}}$ an, haben also die Form ${\displaystyle p=6n+5}$ mit ganzzahligem ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Beweis:

Alle Zahlen der Restklassen r ≡ 0 (mod 6), r ≡ 2 (mod 6) und r ≡ 4 (mod 6) sind gerade und demnach durch 2 teilbar.

Alle Zahlen der Restklassen r ≡ 0 (mod 6) und r ≡ 3 (mod 6) sind durch 3 teilbar.

Zwar existieren Primzahlen in der Restklasse r ≡ 1 (mod 6), jedoch ergibt 2·(6n+1)+1 = 12n+3 = 3·(4n+1) – und 3·(4n+1) ist durch 3 teilbar.

Als einzige Sechser-Restklasse für die Sophie-Germain-Primzahlen bleibt die Restklasse r ≡ 5 (mod 6) übrig. Nur in diesem Fall hat die zu einer Sophie-Germain-Primzahl gehörende sichere Primzahl die Form 2·(6n+5)+1 = 12n+11 ≡ 5 (mod 6) und kann prim sein. ${\displaystyle \Box }$

Zusammenhang mit den Mersenne-Zahlen

Die folgende Eigenschaft w​urde von Leonhard Euler u​nd Joseph-Louis Lagrange bewiesen:

Ist p > 3 eine Sophie-Germain-Primzahl mit p ≡ 3 (mod 4), dann ist 2p+1 ein Teiler der p-ten Mersenne-Zahl M(p).

Beispiel:

p = 11 ist eine Sophie-Germain-Primzahl, denn 2p+1 = 23 ist prim. Weiter ist 11 ≡ 3 (mod 4), denn 11 dividiert durch 4 ergibt als Rest 3.

Die 11. Mersenne-Zahl M(11) = 2¹¹-1 = 2047 ist also nicht prim, sondern durch 2p+1 = 23 teilbar; konkret ist M(11) = 23 · 89.

Häufigkeit von Sophie-Germain-Primzahlen

1922 veröffentlichten Godfrey Harold Hardy u​nd John Edensor Littlewood i​hre Vermutung bzgl. d​er Häufigkeit v​on Sophie-Germain-Primzahlen:

Die Anzahl a​ller Sophie-Germain-Primzahlen unterhalb e​iner Grenze N beträgt ungefähr

${\displaystyle {2C_{2}\int \limits _{2}^{N}{\cfrac {1}{\ln(x)\ln(2x+1)}}\;\mathrm {d} x\approx {\cfrac {2C_{2}N}{\ln ^{2}(N)}}}}$

mit C₂ = 0,6601618158 (siehe Primzahlzwillingskonstante). Diese Formel kann man mit den bekannten Sophie-Germain-Primzahlen recht gut bestätigen. Für N = 10⁴ liefert die Vorhersage 156 Sophie-Germain-Primzahlen, was einen Fehler von 18 % zur exakten Anzahl von 190 bedeutet. Für N = 10⁷ liefert die Vorhersage 50822, was bereits nur noch 9 % vom exakten Wert 56032 entfernt ist. Eine numerische Approximation des Integrals liefert noch bessere Ergebnisse, etwa 195 für N = 10⁴ (Fehler nur noch 2,6 %) und 56128 für N = 10⁷ (Fehler fast vernachlässigbar bei 0,17 %).

Die Dichte d​er Sophie-Germain-Primzahlen fällt i​n der Größenordnung u​m ln(N)-mal stärker a​ls die d​er Primzahlen selbst. Sie findet Anwendung für e​ine genauere Laufzeitabschätzung für d​en AKS-Primzahltest, d​er die Primeigenschaft i​n polynomialer Zeit feststellen kann.

Cunningham-Kette

Bei e​iner Cunningham-Kette d​er ersten Art handelt e​s sich, m​it Ausnahme d​er letzten Zahl, u​m eine Folge v​on Sophie-Germain-Primzahlen. Ein Beispiel für e​ine solche Kette i​st die Folge: 2, 5, 11, 23, 47.

Offene Fragen

Man vermutet, d​ass es unendlich v​iele Sophie-Germain-Primzahlen gibt, a​ber ein Beweis dafür w​urde bis h​eute nicht gefunden.

Einzelnachweise

1. Man unterscheidet mögliche Lösungen der Fermatschen Gleichung in zwei Fälle: der erste Fall bedeutet, dass der Exponent p kein Teiler von a·b·c ist.
2. Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Sophie Germain (p). Prime Pages, abgerufen am 4. Juni 2020.
3. Liste der größten bekannten Primzahlen (englisch). Abgerufen am 4. Juni 2020.
4. 2618163402417·2^1290000 - 1 auf primegrid.com (PDF)
5. 2618163402417·2^1290000 - 1 auf Prime Pages
6. 18543637900515·2⁶⁶⁶⁶⁶⁷ - 1 auf primegrid.com (PDF)
7. 18543637900515·2⁶⁶⁶⁶⁶⁷ - 1 auf Prime Pages
8. 183027·2²⁶⁵⁴⁴⁰ - 1 auf Prime Pages
9. 648621027630345·2²⁵³⁸²⁴ - 1 auf Prime Pages
10. 620366307356565·2²⁵³⁸²⁴ - 1 auf Prime Pages
11. 1068669447·2²¹¹⁰⁸⁸ - 1 auf Prime Pages
12. 99064503957·2²⁰⁰⁰⁰⁸ - 1 auf Prime Pages
13. 607095·2¹⁷⁶³¹¹ - 1 auf Prime Pages
14. 48047305725·2¹⁷²⁴⁰³ - 1 auf Prime Pages
15. 137211941292195·2¹⁷¹⁹⁶⁰ - 1 auf Prime Pages

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Sophie Germain Prime. In: MathWorld (englisch).
• Sophie Germain Prime. In: PlanetMath. (englisch)
• Die größten bekannten Sophie-Germain-Primzahlen (englisch)