Primzahltupel

Als Primzahltupel auch prime k-Tupel – werden in der Mathematik, genauer gesagt in der Zahlentheorie, nah beieinander gelegene Primzahlen genannt. Damit wird das Konzept der Primzahlzwillinge auf Tupel beliebig vieler Primzahlen verallgemeinert. Es gelten die Bedingungen, dass nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl im Tupel vorkommen dürfen und dass die Differenz zwischen der kleinsten und der größten Primzahl im Primzahltupel der kleinste mögliche Wert (ohne die erste Bedingung zu verletzen) sein muss.[1]

Tupel aus Primzahlen, die nicht allen Bedingungen genügen, werden nicht Primzahltupel oder prime -Tupel genannt. Diese haben aber unter Umständen andere Bezeichnungen, so nennt man beispielsweise Tupel von zwei Primzahlen der Form Primzahlencousins (engl. cousin primes)[2] und Tupel von zwei Primzahlen der Form werden auch sexy Primzahlen (engl. sexy primes)[3] genannt.

Definition

Ist für die Primzahltupel mit Elementen die Menge aller möglichen Konstellationen (die selbst wieder -Tupel sind) dieser Tupel bekannt, so gelten die folgenden Bedingungen:

  1. Jedes Element des Primzahltupels muss prim sein:
  2. Es dürfen nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl im Tupel vorkommen. Anders formuliert, muss es bezüglich jeder Primzahl mindestens eine Restklasse geben, in welche keine Primzahl des Tupels fällt. Formal:

    Lies: Für alle primen Module kleiner-gleich existiert ein Rest kleiner als , der zu allen Primzahlen im Primzahltupel nicht kongruent ist bezüglich des Moduls .
    Die Aussagen "[…] zu allen […] nicht […]" und "[…] zu keiner […]" sind äquivalent, siehe Quantor.
  3. Die Differenz zwischen dem kleinsten und dem größten Element des Tupels muss gleich sein wie der -spezifische Minimalwert (der der kleinste Wert ist, der die Bedingung 2. nicht verletzt):
  4. Die Differenzen der Elemente zum ersten Element müssen gleich sein wie die Werte einer (aber derselben für alle Elemente) Konstellation:

    Wobei für das -te Element aus dem -Tupel steht.

Für vorgegebene, korrekte Konstellationen ist sowohl die Bedingung 2. als auch 3. hinfällig. Analog gilt das umgekehrte: Aus 2. und 3. erschließen sich sämtliche korrekte Konstellationen .

Für prime 2-Tupel (also ) – die auch als Primzahlzwillinge bekannt sind –, sind und wohlbekannt. Diese lauten:

Die vier oben genannten Bedingungen lauten nun für prime 2-Tupel :

Durch die Bedingung 2 wird für jedes eine endliche Anzahl an primen -Tupeln ausgeschlossen. Im Falle wird die Konstellation bzw. das Primzahltupel ausgeschlossen. Diese ausgeschlossene Konstellation hat eine maximale Differenz von und da alle prime -Tupel dieselbe maximale Differenz haben müssen, so gäbe es ohne die zweite Bedingung lediglich ein einziges primes 2-Tupel. Der Grund liegt darin, dass – wenn alle Restklassen bezüglich des Moduls vorkommen – alle größeren Tupel nach einer Konstellation , welche durch Bedingung 2 ausgeschlossen worden wäre, genau ein Vielfaches vom Modul enthalten. Im Falle von kann man sagen, dass alle primen 2-Tupel nach dieser Konstellation in der Form für darstellbar sind. Hier wird recht offensichtlich deutlich, dass für alle entweder oder größer als und teilbar durch ist (wodurch die Bedingung 1 verletzt wird).

Sonderfälle

Für die kleinsten -Werte haben sich spezielle Bezeichnungen etabliert. Die Konstellationen, sowie die kleinsten und die größten bekannten zugehörigen Primzahltupel werden weiter unten im Abschnitt Konstellationen aufgelistet.

Primzahlzwilling

Ein Primzahlzwilling i​st ein Paar a​us zwei Primzahlen, d​eren Abstand 2 ist. Die kleinsten Primzahlzwillinge s​ind (3, 5), (5, 7) u​nd (11, 13).

Primzahldrilling

Primzahldrillinge sind Elemente primer 3-Tupel, es gilt also . 3-Tupel werden auch Tripel genannt, womit Primzahldrillinge auch prime Tripel oder Primzahl-Tripel genannt werden können. Alle primen Tripel enthalten ebenfalls ein Paar Primzahlzwillinge. Bei Primzahldrillingen der Form bilden die beiden ersten, bei jenen der Form die beiden letzten Primzahlen das erwähnte Paar Primzahlzwillinge. Die Konstellation ist nach der zweiten Bedingung der Definition inkorrekt bezüglich des Moduls .

Die v​ier Primzahlen zweier Primzahl-Tripel m​it zwei gemeinsamen Primzahlen bilden e​in Primzahl-Quadrupel, s​ind Primzahlvierlinge.

Wenn e​ine Primzahl Teil v​on drei unterschiedlichen Primzahl-Tripeln ist, s​o sind fünf Primzahlen beteiligt u​nd bilden e​in Primzahl-Quintupel.

Ob e​s unendlich v​iele Primzahldrillinge gibt, i​st unbekannt. Es w​ird jedoch vermutet, d​ass unendlich v​iele existieren. Im Jahre 2013 gelang e​s James Maynard u​nd Terence Tao z​u zeigen, d​ass es unendlich v​iele Dreiergruppen v​on Primzahlen gibt, d​eren Differenz höchstens 400.000 ist.[4] Ihr Beweis verwendet Ergebnisse a​us der Arbeit Zhang Yitangs z​u Primzahlzwillingen. Um d​ie Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahldrillinge z​u beweisen, müsste d​iese Obergrenze a​uf sechs reduziert werden.

Am 24. April 2019 wurde von Peter Kaiser das bisher größte Primzahl-Triplett mit Dezimalstellen gefunden. Es lautet mit .[5][6]

Es folgt eine Liste der Primzahldrillinge bis (erzeugt mit Matheass 9.0):

p (p+2) (p+4) (p+6)
5711
71113
111317
131719
171923
374143
414347
677173
97101103
101103107
103107109
107109113
191193197
193197199
223227229
227229233
p (p+2) (p+4) (p+6)
277281283
307311313
311313317
347349353
457461463
461463467
613617619
641643647
821823827
823827829
853857859
857859863
877881883
881883887
108710911093
109110931097
p (p+2) (p+4) (p+6)
127712791283
129713011303
130113031307
142314271429
142714291433
144714511453
148114831487
148314871489
148714891493
160716091613
166316671669
169316971699
178317871789
186718711873
187118731877
187318771879
p (p+2) (p+4) (p+6)
199319971999
199719992003
208120832087
208320872089
213721412143
223722392243
226722692273
237723812383
265726592663
268326872689
268726892693
270727112713
279728012803
316331673169
325132533257
325332573259
p (p+2) (p+4) (p+6)
345734613463
346134633467
346334673469
352735293533
367136733677
384738513853
391739193923
400140034007
412741294133
415341574159
451345174519
451745194523
463746394643
478347874789
478747894793
493149334937
p (p+2) (p+4) (p+6)
496749694973
522752315233
523152335237
541354175419
543754415443
547754795483
550155035507
564756515653
565156535657
565356575659
573757415743
619761996203
654765516553
682368276829
682768296833
720772117213
p (p+2) (p+4) (p+6)
775377577759
787378777879
787778797883
808780898093
823182338237
828782918293
829182938297
853785398543
862386278629
886188638867
900790119013
927792819283
933793419343
943194339437
943394379439
946194639467

Primzahlvierling

Primzahlvierlinge sind Elemente primer 4-Tupel, es gilt also . 4-Tupel werden auch Quadrupel genannt, was die Bezeichnungen prime Quadrupel oder Primzahl-Quadrupel legitimiert. Für Primzahl-Quadrupel existiert nur eine korrekte Konstellation. Mit der einzigen Ausnahme lässt sich jedes Primzahl-Quadrupel sowohl in der Form als auch in der Form schreiben. Die Zahl in der Mitte () ist daher immer durch teilbar und die Summe der Primzahlen des Quadrupels ist immer durch teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer mit und .

Alle primen Quadrupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von zueinander.

Alle primen Quadrupel enthalten z​wei sich überlappende Primzahl-Tripel n​ach unterschiedlichen Konstellationen.

Ob e​s unendlich v​iele Primzahlvierlinge gibt, i​st unbekannt. Es w​ird jedoch vermutet, d​ass unendlich v​iele existieren. Im Jahre 2013 gelang e​s James Maynard u​nd Terence Tao z​u zeigen, d​ass es unendlich v​iele Vierergruppen v​on Primzahlen gibt, d​eren Differenz höchstens 25 Millionen ist.[4] Ihr Beweis verwendet Ergebnisse a​us der Arbeit Zhang Yitangs z​u Primzahlzwillingen. Um d​ie Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahlvierlinge z​u beweisen, müsste d​iese Obergrenze a​uf 8 reduziert werden.

Gemäß der Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der Primzahlvierlinge kleiner als asymptotisch durch die Formel

(Folge A061642 i​n OEIS) gegeben.

Der bisher größte bekannte Primzahlvierling hat Dezimalstellen, wurde am 27. Februar 2019 von Peter Kaiser gefunden und ist gegeben durch mit .[5][6]

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlvierlinge bis :

p (p+2) (p+6) (p+8)
n (15n-4) (15n-2) (15n+2) (15n+4)
-571113
111131719
7101103107109
13191193197199
55821823827829
991481148314871489
1251871187318771879
1392081208320872089
2173251325332573259
2313461346334673469
3775651565356575659
6299431943394379439
86713001130031300713009
104315641156431564715649
104915731157331573715739
107116061160631606716069
p (p+2) (p+6) (p+8)
n (15n-4) (15n-2) (15n+2) (15n+4)
120318041180431804718049
126118911189131891718919
129519421194231942719429
140121011210132101721019
148522271222732227722279
168725301253032530725309
211531721317233172731729
232334841348433484734849
291943781437834378743789
342351341513435134751349
368955331553335533755339
419962981629836298762989
448167211672136721767219
463369491694936949769499
481572221722237222772229
515177261772637726777269
p (p+2) (p+6) (p+8)
n (15n-4) (15n-2) (15n+2) (15n+4)
531379691796937969779699
540381041810438104781049
551582721827238272782729
592188811888138881788819
652397841978439784797849
660999131991339913799139
6741101111101113101117101119
7323109841109843109847109849
7769116531116533116537116539
7953119291119293119297119299
8147122201122203122207122209
9031135461135463135467135469
9611144161144163144167144169
10485157271157273157277157279
11047165701165703165707165709
11123166841166843166847166849

Die ersten Zahlen dieser Primzahlvierlinge lauten (Folge A007530 in OEIS)

Primzahlfünfling

Primzahlfünflinge sind Elemente primer 5-Tupel, es gilt also . 5-Tupel werden auch Quintupel genannt, worauf hin Tupel von Primzahlfünflingen auch prime Quintupel oder Primzahl-Quintupel genannt werden. Für Primzahlfünflinge existieren zwei Konstellationen. Es lässt sich jeder Primzahlfünfling entweder in der Form oder in der Form schreiben.

Die Zahlen enden im Dezimalsystem (bis auf das erste Quintupel ) immer mit und oder und .

Alle primen Quintupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von zueinander.

Alle primen Quintupel enthalten d​rei sich überlappende Primzahl-Tripel.

Alle primen Quintupel enthalten e​in primes-Quadrupel.

Ob e​s unendlich v​iele Primzahlfünflinge gibt, i​st unbekannt. Es w​ird jedoch vermutet, d​ass unendlich v​iele existieren. Selbst w​enn man beweisen könnte, d​ass es unendlich v​iele Primzahlzwillinge gibt, i​st noch n​icht bewiesen, d​ass es unendlich v​iele Primzahlfünflinge gibt. Ebenso reicht e​s nicht aus, w​enn man beweisen könnte, d​ass es unendlich v​iele Primzahldrillinge gibt.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlfünflinge bis :

p (p+2) (p+4) (p+6) (p+8) (p+10) (p+12)
57111317
711131719
1113171923
97101103107109
101103107109113
14811483148714891493
18671871187318771879
34573461346334673469
56475651565356575659
1572715731157331573715739
1605716061160631606716069
1606116063160671606916073
1941719421194231942719429
p (p+2) (p+4) (p+6) (p+8) (p+10) (p+12)
1942119423194271942919433
2101121013210172101921023
2227122273222772227922283
4377743781437834378743789
4378143783437874378943793
5533155333553375533955343
7968779691796937969779699
8880788811888138881788819
101107101111101113101117101119
144161144163144167144169144173
165701165703165707165709165713
166841166843166847166849166853
195731195733195737195739195743

Die ersten Zahlen der Primzahlfünflinge der Form lauten (Folge A022006 in OEIS)

Die ersten Zahlen der Primzahlfünflinge der Form lauten (Folge A022007 in OEIS)

Primzahlsechsling

Primzahlsechslinge sind Elemente primer 6-Tupel, es gilt also . 6-Tupel werden auch Sextupel genannt, worauf hin Tupel von Primzahlsechslingen auch prime Sextupel oder Primzahl-Sextupel genannt werden. Für Primzahlsechslinge existiert nur eine korrekte Konstellation. Es lässt sich jeder Primzahlsechsling sowohl in der Form als auch in der Form schreiben. Die Zahl in der Mitte ist daher immer durch teilbar und die Summe der Primzahlen des Sextupels ist immer durch teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer mit und .

Alle primen Sextupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von zueinander.

Alle primen Sextupel enthalten v​ier Primzahl-Tripel m​it je z​wei unterschiedlichen Konstellationen.

Alle primen Sextupel enthalten e​in Primzahl-Quadrupel i​n der Mitte.

Alle primen Sextupel enthalten z​wei Primzahl-Quintupel n​ach unterschiedlichen Konstellationen.

Ob e​s unendlich v​iele Primzahlsechslinge gibt, i​st unbekannt. Es w​ird jedoch vermutet, d​ass unendlich v​iele existieren.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlsechslinge bis :

p (p+4) (p+6) (p+10) (p+12) (p+16)
n (15n-8) (15n-4) (15n-2) (15n+2) (15n+4) (15n+8)
171113171923
797101103107109113
1071160571606116063160671606916073
1295194171942119423194271942919433
2919437774378143783437874378943793
72751109125710912611091263109126710912691091273
107723161583716158411615843161584716158491615853
130291195435719543611954363195436719543691954373
188181282270728227112822713282271728227192822723
189329283992728399312839933283993728399392839943

Die ersten Zahlen dieser Primzahlsechslinge lauten (Folge A022008 in OEIS)

Primzahlsiebenling

Primzahlsiebenlinge sind Elemente primer 7-Tupel, es gilt also . 7-Tupel werden auch Septupel genannt, was für Tupel zusammengehöriger Primzahlsiebenlinge auch die Bezeichnungen prime Septupel oder Primzahl-Septupel rechtfertigt. Es lässt sich jeder Primzahsiebenling in einer der zwei folgenden Konstellationen schreiben:

Alle primen Septupel enthalten d​rei Paare v​on Primzahlzwillingen.

Alle primen Septupel enthalten d​rei Primzahl-Tripel.

Die primen Septupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quadrupel zu Beginn.

Die primen Septupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quadrupel am Ende.

Die primen Septupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form zu Beginn.

Die primen Septupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form am Ende.

Alle primen Septupel enthalten k​ein Primzahl-Sextupel.

Ob e​s unendlich v​iele Primzahlsiebenlinge gibt, i​st unbekannt. Es w​ird jedoch vermutet, d​ass unendlich v​iele existieren.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlsiebenlinge bis :

p (p+2) (p+6) (p+8) (p+12) (p+14) (p+18) (p+20)
11131719232931
5639564156475651565356575659
88799888018880788811888138881788819
165701165703165707165709165713165719165721
284729284731284737284741284743284747284749
626609626611626617626621626623626627626629
855719855721855727855731855733855737855739
1068701106870310687071068709106871310687191068721
1146779114678111467871146791114679311467971146799
6560999656100165610076561011656101365610176561019
7540439754044175404477540451754045375404577540459
8573429857343185734378573441857344385734478573449

Die ersten Zahlen dieser Primzahlsiebenlinge der 1. Konstellation lauten (Folge A022009 in OEIS)

Die ersten Zahlen dieser Primzahlsiebenlinge der 2. Konstellation lauten (Folge A022010 in OEIS)

Primzahlachtling

Primzahlachtlinge sind Elemente primer 8-Tupel, es gilt also . 8-Tupel werden auch Oktupel genannt, was für Tupel zusammengehöriger Primzahlachtlinge auch die Bezeichnungen prime Oktupel oder Primzahl-Oktupel rechtfertigt. Es lässt sich jeder Primzahlachtling in einer der drei folgenden Konstellationen schreiben:

Alle primen Oktupel enthalten d​rei Paare v​on Primzahlzwillingen.

Alle primen Oktupel enthalten d​rei Primzahl-Tripel.

Die primen Oktupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quadrupel zu Beginn.

Die primen Oktupel der Konstellation enthalten kein Primzahl-Quadrupel.

Die primen Oktupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quadrupel am Ende.

Die primen Oktupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form zu Beginn.

Die primen Oktupel der Konstellation enthalten kein Primzahl-Quintupel.

Die primen Oktupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form am Ende.

Alle primen Oktupel enthalten k​ein Primzahl-Sextupel.

Die primen Oktupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Septupel der Form zu Beginn.

Die primen Oktupel der Konstellation enthalten kein Primzahl-Septupel.

Die primen Oktupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Septupel der Form am Ende.

Ob e​s unendlich v​iele Primzahlachtlinge gibt, i​st unbekannt. Es w​ird jedoch vermutet, d​ass unendlich v​iele existieren.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlachtlinge bis :

p (p+2) (p+6) (p+8) (p+12) (p+14) (p+18) (p+20) (p+24) (p+26)
1113171923293137
1719232931374143
12771279128312891291129713011303
8879388799888018880788811888138881788819
113147113149113153113159113161113167113171113173
284723284729284731284737284741284743284747284749
855713855719855721855727855731855733855737855739
11467731146779114678111467871146791114679311467971146799
25806472580649258065325806592580661258066725806712580673
65609936560999656100165610076561011656101365610176561019
1576009115760093157600971576009915760103157601091576011115760117
2073787720737879207378832073788920737891207378972073790120737903
2565844125658443256584472565844925658453256584592565846125658467
5820838758208389582083935820839958208401582084075820841158208413
6915653369156539691565416915654769156551691565536915655769156559
7337353773373539733735437337354973373551733735577337356173373563
7426625374266259742662617426626774266271742662737426627774266279
7617052776170529761705337617053976170541761705477617055176170553
9362599193625993936259979362599993626003936260099362601193626017

Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 1. Konstellation lauten (Folge A022011 in OEIS)

Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 2. Konstellation lauten (Folge A022012 in OEIS)

Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 3. Konstellation lauten (Folge A022013 in OEIS)

Konstellationen

Im Folgenden steht für die Primfakultät, also für das Produkt aller Primzahlen . Formal:

Bei den Primzahlachtlingen (also bei ) hat eine der drei aktuellen Rekordzahlen (der Startwert des Primzahltupels) einen sehr großen 104-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen sei er schon hier erwähnt:

v=54598824190010361875282469578684418459657573362461324471660422883073099662240278837985413217294784653805

Bei den Primzahlneunlingen (also bei ) habei alle vier aktuellen Rekordzahlen (die Startwerte der Primzahltupel) einen sehr großen 109-, 98-, 105- bzw. 99-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen seien sie schon hier erwähnt:

w=3662943827507055653453285926700023101620402654194921037456914703634367453333223968004841750810165461896894501
x1=14315614956030418747867488895208199566750873528908316976274174208238191434937011407287479676495550
x2=290901656335108169864195656135043662615199446375386143995339722400236057821426952579658098504166333411889
x3=387833514641724600357029749119397331285062620621983133723181869572568059514167753188325960698719230

Bei den Primzahlzehnlingen (also bei ) haben beide aktuellen Rekordzahlen (der Startwert des Primzahltupels) einen sehr großen 105- bzw. 98-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen seien sie schon hier erwähnt:

y1=290901656335108169864195656135043662615199446375386143995339722400236057821426952579658098504166333411889
y2=14315614956030418747867488895208199566750873528908316976274174208238191434937011407287479676495550

Bei den Primzahlelf- und Primzahlzwölflingen (also bei und ) hat die aktuelle Rekordzahl (der Startwert des Primzahltupels) einen sehr großen 92-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen sei er schon hier erwähnt:

z=13243795731372733191902494675154142263612189966992593522251560981597803197621024152571147501
Konstellation [7]Kleinstes Primzahltupel[8]Größtes bekanntes Primzahltupel
(Stand: 21. Dezember 2021)[6]
Stellen
22(0, 2)(3, 5) 2996863034895 · 21290000 − 1 + d 388342
36(0, 2, 6)
(0, 4, 6)
(5, 7, 11)
(7, 11, 13)
4111286921397 · 266420 − 1 + d
6521953289619 · 255555 − 5 + d
020008
016737
48(0, 2, 6, 8)(5, 7, 11, 13) 667674063382677 · 233608 − 1 + d 010132
512(0, 2, 6, 8, 12)
(0, 4, 6, 10, 12)
(5, 7, 11, 13, 17)
(7, 11, 13, 17, 19)
126831252923413 · 4657# : 273 + 1 + d
566761969187 · 4733#: 2 − 8 + d
002002
002034
616(0, 4, 6, 10, 12, 16)(7, 11, 13, 17, 19, 23) 23700 + 33888977692820810260792517451 + d 001114
720(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20)
(0, 2, 8, 12, 14, 18, 20)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31)
(5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659)
113225039190926127209 · 2339# : 57057 + 1 + d
4733578067069 · 940# + 626609 + d
001002
000402
826(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26)
(0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37)
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43)
(88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)
6879356578124627875380298699944709053335 · 677# + 980125031081081 + d
29995576270632 · 550# + 1277 + d
v · 509# + 226374233346623 + d
000324
000236
000316
930(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30)
(0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43)
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47)
(88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)
w · 463# + 2325810733931801 + d
x1 · 449# + 226554621544607 + d
x2 · 401# + 380284918609483 + d
x3 · 467# + 226193845148629 + d
000302
000282
000269
000294
1032(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 32)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43)
(9853497737, …)
y1 · 401# + 380284918609481 + d
y2 · 449# + 226554621544607 + d
000269
000282
1136(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 36)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47)
(1418575498573, …)
z + 49376500222690335 * 229# + d
446098440707057 · 151# + 177321217 + 6 + d
000108
000075
1242(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42)
(0, 6, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 40, 42)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53)
(1418575498567, …)
z + 27407861785763183 * 229# + d
613176722801194 · 151# + 177321217 + d
000108
000075
1348(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48)
(0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48)
(0, 2, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 36, 46, 48)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48)
(0, 6, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 48) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59)
(7697168877290909, …)
(10527733922579, …)
(1707898733581273, …)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61)
(186460616596321, …)
9985637467 · 139# + 3629868888791261 + d
381955327397348 · 80# + 18393209 + d
4135997219394611 · 110# + 117092849 + d
1044+2004740564798426955633 + d
14815550 · 107# + 4385574275277313 + d
381955327397348 · 80# + 18393211 + d
000066
000046
000061
000045
000050
000046
1450(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50)
(0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 50) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61)
(79287805466244209, …)
14815550 · 107# + 4385574275277311 + d
381955327397348 · 80# + 18393209 + d
000050
000046
1556(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50, 56)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56)
(0, 6, 8, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 38, 44, 48, 50, 54, 56)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67)
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73)
(1158722981124148367, …)
(14094050870111867483, …)
107173714602413868775303366934621 + d
10004646546202610858599716515809907 + d
33554294028531569 · 61# + 57800747 + d
100000008317726120972779285703 + d
000033
000035
000040
000030
1660(0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60)
(47710850533373130107, …)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73)
322255 · 73# + 1354238543317302647 + d
94 · 79# + 1341680294611244014363 + d
000035
000033
1766(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 62, 66)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66)
(0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66)
(0, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 32, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 60, 62, 66) 
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79)
(734975534793324512717947, …)
(1620784518619319025971, …)
100845391935878564991556707107 + d
11413975438568556104209245223 + d
5867208169546174917450987997 + d
3684 · 73# + 880858118723497737821 + d
000030
000029
000028
000033
1870(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70)
(0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66, 70)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83)
(2845372542509911868266807, …)
183837276562811649018077773 + d
5867208169546174917450987997 + d
000027
000028
1976(0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70, 76)
(0, 4, 6, 10, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 42, 46, 52, 60, 64, 66, 70, 72, 76)
(0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76) 
(622803914376064301858782434517, …)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89)
(37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113)
(630134041802574490482213901, …)
622803914376064301858782434517 + d
13 + d
248283957683772055928836513597 + d
2406179998282157386567481191 + d
000030
000002
000030
000028
2080(0, 2, 6, 8, 12, 20, 26, 30, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 62, 66, 68, 72, 78, 80)
(0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80) 
(14374153072440029138813893241, …)
(29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109)
1135540756371356698957890225821 + d
1236637204227022808686214288579 + d
000031
000031
2184(0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80, 84)
(0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76, 82, 84) 
(29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113)
(622803914376064301858782434517, …)
248283957683772055928836513589 + d
622803914376064301858782434517 + d
000030
000030

Es existiert für jedes beliebig hohe mindestens eine dazugehörige Konstellation. Solche lassen sich mit Computerhilfe mit einem simplen Brute-Force-Algorithmus finden.[9] Das Finden von Primzahltupeln zu vorgegebenen Konstellationen ist insbesondere für höhere mit großem Rechenaufwand verbunden.

Anzahl

Der trivial zu beweisende Satz von Euklid sagt aus, dass unendlich viele Primzahlen existieren. Die sehr ähnlich erscheinende Fragestellung, ob es unendlich viele Primzahlenzwillinge, -drillinge etc. gibt, konnte jedoch bis heute noch nicht geklärt werden. Bislang konnte lediglich bewiesen werden, dass unendlich viele Primzahlen mit einem Abstand zueinander von maximal existieren.[10]

Laut der unbewiesenen ersten Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der primen -Tupel bis zu einer Grenze asymptotisch zu einer in der Vermutung aufgestellten Formel.

Zusammenfassung

Um d​ie Unterschiede d​er verschiedensten Primzahltupel n​och einmal z​u verdeutlichen, s​ei hier n​och einmal e​ine Zusammenfassung d​er gebräuchlichen Namen angeführt:

(p, p+2)Primzahlzwilling
(p, p+4)Primzahlencousin
(p, p+6)Sexy Primzahlzwilling
(p, p+2, p+6) und (p, p+4, p+6)Primzahldrilling
(p, p+6, p+12)Sexy Primzahldrilling
(p, p+2, p+6, p+8)Primzahlvierling
(p, p+6, p+12, p+18)Sexy Primzahlvierling
(p, p+2, p+6, p+8, p+12) und (p, p+4, p+6, p+10, p+12)Primzahlfünfling
(p, p+6, p+12, p+18, p+24)Sexy Primzahlfünfling

Literatur

Einzelnachweise

  1. Eric W. Weisstein: Prime Constellation. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
  2. Eric W. Weisstein: Cousin Primes. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
  3. Eric W. Weisstein: Sexy Primes. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
  4. Bounded gaps between primes. Polymath1Wiki; abgerufen am 13. Juni 2014.
  5. Yates, Caldwell: The Largest Known Primes. primes.utm.edu
  6. Prime k-tuplets. ; abgerufen am 21. Dezember 2021.
  7. Patterns. forbes.googlepages.com; abgerufen am 11. Juni 2014.
  8. Smallest Prime k-tuplets.
  9. T. J. Engelsma: k-tuple permissible patterns Resultate über sehr große Konstellationen
  10. Bounded gaps between primes. PolyMath, abgerufen am 29. Januar 2021.
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