Kubische Primzahl

In d​er Zahlentheorie i​st eine kubische Primzahl d​er 1. Art (vom englischen cuban prime) e​ine Primzahl, d​ie folgende Form hat:[1]

${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}}$ mit ganzzahligen ${\displaystyle x=y+1}$ und ${\displaystyle y>0}$.

Diese Art v​on kubischen Primzahlen wurden erstmals i​m Jahr 1912 v​on Allan Joseph Champneys Cunningham i​m Artikel On quasi-Mersennian numbers erforscht.[2]

Eine kubische Primzahl d​er 2. Art h​at die folgende Form:[1]

${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}}$ mit ganzzahligen ${\displaystyle x=y+2}$ und ${\displaystyle y>0}$.

Diese Art v​on kubischen Primzahlen wurden ebenfalls erstmals v​on A. J. C. Cunningham i​m Jahr 1923 i​m Artikel Binomial Factorisations erforscht.

Der englische Name cuban prime k​ommt von Kubikzahl, n​icht von Kuba.

Eigenschaften

• Jede kubische Primzahl der 1. Art kann man in folgende Formen umwandeln:

• ${\displaystyle p=(y+1)^{3}-y^{3}}$
• ${\displaystyle p=3y^{2}+3y+1}$
• ${\displaystyle p=3x^{2}-3x+1}$

Beweis der 1. Form:

Eine kubische Primzahl der 1. Art hat die Form ${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}}$ mit ${\displaystyle x=y+1}$. Somit gilt:

${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}={\frac {(y+1)^{3}-y^{3}}{(y+1)-y}}={\frac {(y+1)^{3}-y^{3}}{1}}=(y+1)^{3}-y^{3}}$. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der 2. Form:

Eine kubische Primzahl der 1. Art hat, wie oben gezeigt wurde, die Form ${\displaystyle p=(y+1)^{3}-y^{3}}$. Somit gilt:

${\displaystyle p=(y+1)^{3}-y^{3}=y^{3}+3y^{2}+3y+1-y^{3}=3y^{2}+3y+1}$. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der 3. Form:

Eine kubische Primzahl der 1. Art hat, wie oben gezeigt wurde, die Form ${\displaystyle p=3y^{2}+3y+1}$ mit ${\displaystyle x=y+1}$ (also mit ${\displaystyle y=x-1}$). Somit gilt:

${\displaystyle p=3y^{2}+3y+1=3(x-1)^{2}+3(x-1)+1=3x^{2}-6x+3+3x-3+1=3x^{2}-3x+1}$. ${\displaystyle \Box }$

• Jede kubische Primzahl der 1. Art ist eine zentrierte Sechseckszahl.

Beweis:

Eine kubische Primzahl der 1. Art hat, wie oben gezeigt wurde, die Form ${\displaystyle p=3x^{2}-3x+1}$. Zentrierte Sechseckzahlen haben die Form ${\displaystyle 3n^{2}-3n+1}$. ${\displaystyle \Box }$

• Jede kubische Primzahl der 2. Art kann man in folgende Formen umwandeln:

• ${\displaystyle p={\frac {(y+2)^{3}-y^{3}}{2}}}$
• ${\displaystyle p=3y^{2}+6y+4}$
• ${\displaystyle p=3x^{2}-6x+4}$
• ${\displaystyle p=3n^{2}+1}$ mit ${\displaystyle n=y+1}$, ${\displaystyle n>1}$

Beweis der 1. Form:

Eine kubische Primzahl der 2. Art hat die Form ${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}}$ mit ${\displaystyle x=y+2}$. Somit gilt:

${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}={\frac {(y+2)^{3}-y^{3}}{(y+2)-y}}={\frac {(y+2)^{3}-y^{3}}{2}}}$. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der 2. Form:

Eine kubische Primzahl der 2. Art hat, wie oben gezeigt wurde, die Form ${\displaystyle p={\frac {(y+2)^{3}-y^{3}}{2}}}$. Somit gilt:

${\displaystyle p={\frac {(y+2)^{3}-y^{3}}{2}}={\frac {y^{3}+6y^{2}+12y+8-y^{3}}{2}}={\frac {6y^{2}+12y+8}{2}}=3y^{2}+6y+4}$. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der 3. Form:

Eine kubische Primzahl der 2. Art hat, wie oben gezeigt wurde, die Form ${\displaystyle p=3y^{2}+6y+4}$ mit ${\displaystyle x=y+2}$ (also mit ${\displaystyle y=x-2}$). Somit gilt:

${\displaystyle p=3y^{2}+6y+4=3(x-2)^{2}+6(x-2)+4=3x^{2}-12x+12+6x-12+4=3x^{2}-6x+4}$. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der 4. Form:

Eine kubische Primzahl der 2. Art hat, wie oben gezeigt wurde, die Form ${\displaystyle p=3y^{2}+6y+4}$. Substituiert man ${\displaystyle y:=n-1}$, so erhält man:

${\displaystyle p=3y^{2}+6y+4=3(n-1)^{2}+6(n-1)+4=3n^{2}-6n+3+6n-6+4=3n^{2}+1}$. ${\displaystyle \Box }$

Beispiele

• Die Primzahl ${\displaystyle p=61}$ kann man darstellen als ${\displaystyle p={\frac {5^{3}-4^{3}}{5-4}}={\frac {125-64}{1}}=61}$ und ist somit eine kubische Primzahl der 1. Art.
• Die kleinsten kubischen Primzahlen der 1. Art lauten:

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227, … (Folge A002407 in OEIS)

• Stellt man die kubischen Primzahlen der 1. Art in der Form ${\displaystyle p=3x^{2}-3x+1}$ dar, so sind die ersten ${\displaystyle x}$ die folgenden:

2, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 33, 35, 38, 39, 42, 43, 46, 49, 50, 53, 56, 59, 63, 64, 67, 68, 75, 81, 82, 87, 89, 91, 92, 94, 96, 106, 109, 120, 124, 126, 129, 130, 137, 141, 143, 148, 154, 157, 158, 159, 165, 166, 171, 172, … (Folge A002504 in OEIS)

Beispiel:

Entnimmt man dieser Liste an der 30. Stelle die Zahl ${\displaystyle 63}$, so erhält man ${\displaystyle p=3\cdot 63^{2}-3\cdot 63+1=11719}$, und tatsächlich ist ${\displaystyle p=11719}$ die 30. kubische Primzahl der 1. Art, wie man der vorherigen Liste entnehmen kann.

• Die Anzahl der kubischen Primzahlen der 1. Art, welche kleiner als ${\displaystyle 10^{n}}$ sind, kann man der folgenden Liste für ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ablesen:

0, 1, 4, 11, 28, 64, 173, 438, 1200, 3325, 9289, 26494, 76483, 221530, 645685, 1895983, 5593440, 16578830, 49347768, 147402214, 441641536, 1326941536, 3996900895, 12066234206, 36501753353, … (Folge A113478 in OEIS)

Beispiel:

Der obigen Liste kann man an der 5. Stelle die Zahl ${\displaystyle 28}$ entnehmen. Das heißt, dass ${\displaystyle 28}$ kubische Primzahlen der 1. Art kleiner als ${\displaystyle 10^{4}=10000}$ sind.

• Die momentan größte bekannte kubische Primzahl der 1. Art ist die folgende:[3]

${\displaystyle p={\frac {(100000845^{4096}+1)^{3}-(100000845^{4096})^{3}}{100000845^{4096}[phone]^{4096}}}=(100000845^{4096}+1)^{3}-(100000845^{4096})^{3}=3\cdot 100000845^{8192}+3\cdot 100000845^{4096}+1}$

Sie hat ${\displaystyle 65537}$ Stellen und wurde am 7. Januar 2006 von Jens Kruse Andersen entdeckt.

• Die kleinsten kubischen Primzahlen der 2. Art lauten:

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313, 73009, 76801, 84673, 106033, 108301, 112909, 115249, 129793, 139969, … (Folge A002648 in OEIS)

Verallgemeinerung

Eine verallgemeinerte kubische Primzahl h​at die folgende Form:

${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}}$ mit ganzzahligen ${\displaystyle x>y>0}$

Eigenschaften

• Jede verallgemeinerte kubische Primzahl kann man in folgende Formen umwandeln:

• ${\displaystyle p=x^{2}+xy+y^{2}}$ mit ganzzahligen ${\displaystyle x>y>0}$
• ${\displaystyle p=6k+1}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle k>0}$

Mit anderen Worten:

${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {6}}}$

Beweis der 1. Form:

Wegen der Formel ${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2})}$ (siehe hier) gilt:

Man kann ${\displaystyle p}$ umformen in ${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}=x^{2}+xy+y^{2}}$. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der 2. Form:[4]

Sei ${\displaystyle p=x^{2}+xy+y^{2}\equiv z{\pmod {6}}}$ mit ${\displaystyle x\equiv m{\pmod {6}}}$ und ${\displaystyle y\equiv n{\pmod {6}}}$. Dann ist ${\displaystyle p\equiv m^{2}+mn+n^{2}\equiv z{\pmod {6}}}$. Rechnet man alle Varianten für ${\displaystyle m=0,1,\ldots 5}$ und ${\displaystyle n=0,1,\ldots 5}$ durch, erhält man die vier Restklassen ${\displaystyle p\equiv z\equiv 0,1,3,4{\pmod {6}}}$. Somit kann ${\displaystyle p}$ die Darstellungen ${\displaystyle 6k,6k+1,6k+3}$ oder ${\displaystyle 6k+4}$ annehmen. Die Darstellungen ${\displaystyle 6k}$ und ${\displaystyle 6k+4}$ sind immer zusammengesetzt und die Darstellung ${\displaystyle 6k+3}$ ist ebenfalls bis auf ${\displaystyle p=3}$ zusammengesetzt. Somit bleibt nur noch die Darstellung ${\displaystyle p=6k+1}$ übrig. ${\displaystyle \Box }$

Beispiele

• Die kleinsten verallgemeinerten kubischen Primzahlen der Form ${\displaystyle p=x^{2}+xy+y^{2}}$ lauten:

3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397, 409, 421, 433, 439, 457, 463, 487, 499, 523, 541, 547, 571, 577, 601, 607, 613, … (Folge A007645 in OEIS)

Die Primzahl ${\displaystyle p=3}$ gehört aber genau genommen nicht zu obiger Definition von verallgemeinerten kubischen Primzahlen, weil man ${\displaystyle p=3}$ nur mit ${\displaystyle x=y=1}$ erhalten kann und somit die ursprüngliche Voraussetzung ${\displaystyle x>y}$ nicht erfüllt ist. Für alle anderen Zahlen mit ${\displaystyle 0<x=y\not =1}$ wäre ${\displaystyle p=x^{2}+xy+y^{2}=3x^{2}}$ und somit keine Primzahl.

Einzelnachweise

1. Cuban prime. In: PlanetMath. (englisch)
2. Allan J. C. Cunningham: On quasi-Mersennian numbers. Messenger of Mathematics 41, 1912, S. 144, abgerufen am 7. Juli 2018 (englisch).
3. 3 • 100000845⁸¹⁹² + 3 • 100000845⁴⁰⁹⁶ + 1 auf Prime Pages
4. Umesh P. Nair: Elementary results on the binary quadratic form a^2+ab+b^2, Theorem 10. S. 4, abgerufen am 7. Juli 2018.

Weblinks

• Cuban prime. In: PlanetMath. (englisch)
• Eric W. Weisstein: Cuban Prime. In: MathWorld (englisch).
• Chris K. Caldwell: Cuban Prime. Prime Pages, abgerufen am 7. Juli 2018 (englisch).

Quellen

• A. J. C. Cunningham: On Quasi-Mersennian Numbers. In: Messenger of Mathematics. Band 41. England 1912, S. 119–146.
• A. J. C. Cunningham: Binomial Factorisations. London 1923.