Fermat-Zahl

Eine Fermat-Zahl, benannt n​ach dem französischen Mathematiker Pierre d​e Fermat, i​st eine Zahl d​er Form

${\displaystyle F_{n}=2^{\;\!2^{n}}+1}$

mit einer ganzen Zahl ${\displaystyle n\geq 0}$. Die ersten lauten 3, 5 und 17.

Im August 1640 vermutete Fermat fälschlicherweise, d​ass alle Zahlen dieser Form (die später n​ach ihm benannt wurden) Primzahlen seien.[1] Dies w​urde jedoch 1732 v​on Leonhard Euler widerlegt, d​er zeigte, d​ass schon d​ie sechste Fermatzahl F₅ d​urch 641 teilbar ist. Man k​ennt außer d​en ersten fünf (3, 5, 17, 257, 65537) derzeit k​eine weitere Fermat-Zahl, d​ie gleichzeitig Primzahl ist, u​nd vermutet, d​ass es außer diesen fünf Zahlen a​uch keine weitere gibt.

Fermat-Zahlen

Die ersten Fermat-Zahlen lauten ${\displaystyle F_{0}=3,\,F_{1}=5,\,F_{2}=17,\,F_{3}=257}$ und ${\displaystyle F_{4}=65537}$.[2]

Eine etwas längere Liste bis ${\displaystyle F_{14}}$ findet man in der folgenden aufklappbaren Box.

Liste der ersten 15 Fermat-Zahlen

n	Dezimal- stellen von Fn	Fn
00	1	3
01	1	5
02	2	17
03	3	257
04	5	65.537
05	10	4.294.967.297
06	20	18.446.744.073.709.551.617
07	39	340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457
08	78	115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937
09	155	13.407.807.929.942.597.099.574.024.998.205.846.127.479.365.820.592.393.377.723.561.443.721.764.030.073.546.976.801.874.298.166.903.427.690.031.858.186.486.050.853.753.882.811.946.569.946.433.649.006.084.097
10	309	179.769.313.486.231.590.772.930.519.078.902.473.361.797.697.894.230.657.273.430.081.157.732.675.805.500.963.132.708.477.322.407.536.021.120.113.879.871.393.357.658.789.768.814.416.622.492.847.430.639.474.124.377.767.893.424.865.485.276.302.219.601.246.094.119.453.082.952.085.005.768.838.150.682.342.462.881.473.913.110.540.827.237.163.350.510.684.586.298.239.947.245.938.479.716.304.835.356.329.624.224.137.217
11	617	32.317.006.071.311.007.300.714.876.688.669.951.960.444.102.669.715.484.032.130.345.427.524.655.138.867.890.893.197.201.411.522.913.463.688.717.960.921.898.019.494.119.559.150.490.921.095.088.152.386.448.283.120.630.877.367.300.996.091.750.197.750.389.652.106.796.057.638.384.067.568.276.792.218.642.619.756.161.838.094.338.476.170.470.581.645.852.036.305.042.887.575.891.541.065.808.607.552.399.123.930.385.521.914.333.389.668.342.420.684.974.786.564.569.494.856.176.035.326.322.058.077.805.659.331.026.192.708.460.314.150.258.592.864.177.116.725.943.603.718.461.857.357.598.351.152.301.645.904.403.697.613.233.287.231.227.125.684.710.820.209.725.157.101.726.931.323.469.678.542.580.656.697.935.045.997.268.352.998.638.215.525.166.389.437.335.543.602.135.433.229.604.645.318.478.604.952.148.193.555.853.611.059.596.230.657
12	1234	1.044.388.881.413.152.506.691.752.710.716.624.382.579.964.249.047.383.780.384.233.483.283.953.907.971.557.456.848.826.811.934.997.558.340.890.106.714.439.262.837.987.573.438.185.793.607.263.236.087.851.365.277.945.956.976.543.709.998.340.361.590.134.383.718.314.428.070.011.855.946.226.376.318.839.397.712.745.672.334.684.344.586.617.496.807.908.705.803.704.071.284.048.740.118.609.114.467.977.783.598.029.006.686.938.976.881.787.785.946.905.630.190.260.940.599.579.453.432.823.469.303.026.696.443.059.025.015.972.399.867.714.215.541.693.835.559.885.291.486.318.237.914.434.496.734.087.811.872.639.496.475.100.189.041.349.008.417.061.675.093.668.333.850.551.032.972.088.269.550.769.983.616.369.411.933.015.213.796.825.837.188.091.833.656.751.221.318.492.846.368.125.550.225.998.300.412.344.784.862.595.674.492.194.617.023.806.505.913.245.610.825.731.835.380.087.608.622.102.834.270.197.698.202.313.169.017.678.006.675.195.485.079.921.636.419.370.285.375.124.784.014.907.159.135.459.982.790.513.399.611.551.794.271.106.831.134.090.584.272.884.279.791.554.849.782.954.323.534.517.065.223.269.061.394.905.987.693.002.122.963.395.687.782.878.948.440.616.007.412.945.674.919.823.050.571.642.377.154.816.321.380.631.045.902.916.136.926.708.342.856.440.730.447.899.971.901.781.465.763.473.223.850.267.253.059.899.795.996.090.799.469.201.774.624.817.718.449.867.455.659.250.178.329.070.473.119.433.165.550.807.568.221.846.571.746.373.296.884.912.819.520.317.457.002.440.926.616.910.874.148.385.078.411.929.804.522.981.857.338.977.648.103.126.085.903.001.302.413.467.189.726.673.216.491.511.131.602.920.781.738.033.436.090.243.804.708.340.403.154.190.337
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14	4933	1.189.731.495.357.231.765.085.759.326.628.007.130.763.444.687.096.510.237.472.674.821.233.261.358.180.483.686.904.488.595.472.612.039.915.115.437.484.839.309.258.897.667.381.308.687.426.274.524.698.341.565.006.080.871.634.366.004.897.522.143.251.619.531.446.845.952.345.709.482.135.847.036.647.464.830.984.784.714.280.967.845.614.138.476.044.338.404.886.122.905.286.855.313.236.158.695.999.885.790.106.357.018.120.815.363.320.780.964.323.712.757.164.290.613.406.875.202.417.365.323.950.267.880.089.067.517.372.270.610.835.647.545.755.780.793.431.622.213.451.903.817.859.630.690.311.343.850.657.539.360.649.645.193.283.178.291.767.658.965.405.285.113.556.134.369.793.281.725.888.015.908.414.675.289.832.538.063.419.234.888.599.898.980.623.114.025.121.674.472.051.872.439.321.323.198.402.942.705.341.366.951.274.739.014.593.816.898.288.994.445.173.400.364.617.928.377.138.074.411.345.791.848.573.595.077.170.437.644.191.743.889.644.885.377.684.738.322.240.608.239.079.061.399.475.675.334.739.784.016.491.742.621.485.229.014.847.672.335.977.897.158.397.334.226.349.734.811.441.653.077.758.250.988.926.030.894.789.604.676.153.104.257.260.141.806.823.027.588.003.441.951.455.327.701.598.071.281.589.597.169.413.965.608.439.504.983.171.255.062.282.026.626.200.048.042.149.808.200.002.060.993.433.681.237.623.857.880.627.479.727.072.877.482.838.438.705.048.034.164.633.337.013.385.405.998.040.701.908.662.387.301.605.018.188.262.573.723.766.279.240.798.931.717.708.807.901.740.265.407.930.976.419.648.877.869.604.017.517.691.938.687.988.088.008.944.251.258.826.969.688.364.194.133.945.780.157.844.364.946.052.713.655.454.906.327.187.428.531.895.100.278.695.119.323.496.808.703.630.436.193.927.592.692.344.820.812.834.297.364.478.686.862.064.169.042.458.555.136.532.055.050.508.189.891.866.846.863.799.917.647.547.291.371.573.500.701.015.197.559.097.453.040.033.031.520.683.518.216.494.195.636.696.077.748.110.598.284.901.343.611.469.214.274.121.810.495.077.979.275.556.645.164.983.850.062.051.066.517.084.647.369.464.036.640.569.339.464.837.172.183.352.956.873.912.042.640.003.611.618.789.278.195.710.052.094.562.761.306.703.551.840.330.110.645.101.995.435.167.626.688.669.627.763.820.604.342.480.357.906.415.354.212.732.946.756.073.006.907.088.870.496.125.050.068.156.659.252.761.297.664.065.498.347.492.661.798.824.062.312.210.409.274.584.565.587.264.846.417.650.160.123.175.874.034.726.261.957.289.081.466.197.651.553.830.744.424.709.698.634.753.627.770.356.227.126.145.052.549.125.229.448.040.149.114.795.681.359.875.968.512.808.575.244.271.871.455.454.084.894.986.155.020.794.806.980.939.215.658.055.319.165.641.681.105.966.454.159.951.476.908.583.129.721.503.298.816.585.142.073.061.480.888.021.769.818.338.417.129.396.878.371.459.575.846.052.583.142.928.447.249.703.698.548.125.295.775.920.936.450.022.651.427.249.949.580.708.203.966.082.847.550.921.891.152.133.321.048.011.973.883.636.577.825.533.325.988.852.156.325.439.335.021.315.312.134.081.390.451.021.255.363.707.903.495.916.963.125.924.201.167.877.190.108.935.255.914.539.488.216.897.117.943.269.373.608.639.074.472.792.751.116.715.127.106.396.425.081.353.553.137.213.552.890.539.802.602.978.645.319.795.100.976.432.939.091.924.660.228.878.912.900.654.210.118.287.298.298.707.382.159.717.184.569.540.515.403.029.173.307.292.454.391.789.568.674.219.640.761.451.173.600.617.752.186.991.913.366.837.033.887.201.582.071.625.868.247.133.104.513.315.097.274.713.442.728.340.606.642.890.406.496.636.104.443.217.752.811.227.470.029.162.858.093.727.701.049.646.499.540.220.983.981.932.786.613.204.254.226.464.243.689.610.107.429.923.197.638.681.545.837.561.773.535.568.984.536.053.627.234.424.277.105.760.924.864.023.781.629.665.526.314.910.906.960.488.073.475.217.005.121.136.311.870.439.925.762.508.666.032.566.213.750.416.695.719.919.674.223.210.606.724.721.373.471.234.021.613.540.712.188.239.909.701.971.943.944.347.480.314.217.903.886.317.767.779.921.539.892.177.334.344.368.907.550.318.800.833.546.852.344.370.327.089.284.147.501.640.589.448.482.001.254.237.386.680.074.457.341.910.933.774.891.959.681.016.516.069.106.149.905.572.425.810.895.586.938.833.067.490.204.900.368.624.166.301.968.553.005.687.040.285.095.450.484.840.073.528.643.826.570.403.767.157.286.512.380.255.109.954.518.857.013.476.588.189.300.004.138.849.715.883.139.866.071.547.574.816.476.727.635.116.435.462.804.401.112.711.392.529.180.570.794.193.422.686.818.353.212.799.068.972.247.697.191.474.268.157.912.195.973.794.192.807.298.886.952.361.100.880.264.258.801.320.928.040.011.928.153.970.801.130.741.339.550.003.299.015.924.978.259.936.974.358.726.286.143.980.520.112.454.369.271.114.083.747.919.007.803.406.596.321.353.417.004.068.869.443.405.472.140.675.963.640.997.405.009.225.803.505.672.726.465.095.506.267.339.268.892.424.364.561.897.661.906.898.424.186.770.491.035.344.080.399.248.327.097.911.712.881.140.170.384.182.058.601.614.758.284.200.750.183.500.329.358.499.691.864.066.590.539.660.709.069.537.381.601.887.679.046.657.759.654.588.001.937.117.771.344.698.326.428.792.622.894.338.016.112.445.533.539.447.087.462.049.763.409.147.542.099.248.815.521.395.929.388.007.711.172.017.894.897.793.706.604.273.480.985.161.028.815.458.787.911.160.979.113.422.433.557.549.170.905.442.026.397.275.695.283.207.305.331.845.419.990.749.347.810.524.006.194.197.200.591.652.147.867.193.696.254.337.864.981.603.833.146.354.201.700.628.817.947.177.518.115.217.674.352.016.511.172.347.727.727.075.220.056.177.748.218.928.597.158.346.744.541.337.107.358.427.757.919.660.562.583.883.823.262.178.961.691.787.226.118.865.632.764.934.288.772.405.859.754.877.759.869.235.530.653.929.937.901.193.611.669.007.472.354.746.360.764.601.872.442.031.379.944.139.824.366.828.698.790.212.922.996.174.192.728.625.891.720.057.612.509.349.100.482.545.964.152.046.477.925.114.446.500.732.164.109.099.345.259.799.455.690.095.576.788.686.397.487.061.948.854.749.024.863.607.921.857.834.205.793.797.188.834.779.656.273.479.112.388.585.706.424.836.379.072.355.410.286.787.018.527.401.653.934.219.888.361.061.949.671.961.055.068.686.961.468.019.035.629.749.424.086.587.195.041.004.404.915.266.476.272.761.070.511.568.387.063.401.264.136.517.237.211.409.916.458.796.347.624.949.215.904.533.937.210.937.520.465.798.300.175.408.017.538.862.312.719.042.361.037.129.338.896.586.028.150.046.596.078.872.444.365.564.480.545.689.033.575.955.702.988.396.719.744.528.212.984.142.578.483.954.005.084.264.327.730.840.985.420.021.409.069.485.412.320.805.268.520.094.146.798.876.110.414.583.170.390.473.982.488.899.228.091.818.213.934.288.295.679.717.369.943.152.460.447.027.290.669.964.066.817

Wegen ${\displaystyle F_{n+1}\approx F_{n}^{2}}$ hat die Fermatzahl ${\displaystyle F_{n+1}}$ doppelt so viele oder um eine weniger als doppelt so viele Stellen wie ihr Vorgänger ${\displaystyle F_{n}}$.

Fermatsche Primzahlen

Die Idee hinter Fermatschen Primzahlen ist der Satz, dass ${\displaystyle 2^{k}+1}$ nur für ${\displaystyle k=2^{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq 0}$ prim sein kann:

${\displaystyle 2^{k}+1\in \mathbb {P} \ \Rightarrow \ \exists n\in \mathbb {N} _{0}\colon k=2^{n}}$

Beweis des Satzes:

Beweis d​urch Widerspruch: Man führt d​ie Annahme, d​ass das z​u Beweisende falsch sei, z​u einem Widerspruch.

Annahme: ${\displaystyle 2^{k}+1}$ ist prim und die Hochzahl ${\displaystyle k}$ hat einen ungeraden Teiler ${\displaystyle c>1}$.

Dann gilt

${\displaystyle 2^{k}+1=2^{{\frac {k}{c}}\cdot c}+1=(2^{\frac {k}{c}})^{c}+1^{c}}$

mit einer ganzen Zahl ${\displaystyle k/c}$. Nach Annahme ist ${\displaystyle c}$ ungerade, also ist diese Summe bekanntlich durch die Summe ${\displaystyle 2^{\frac {k}{c}}+1}$ der beiden Basen teilbar:

${\displaystyle 2^{k}+1=(2^{\frac {k}{c}})^{c}+1^{c}=(2^{\frac {k}{c}}+1)\cdot \sum _{j=0}^{c-1}(-1)^{j}\cdot (2^{\frac {k}{c}})^{j}}$

Weil die Zahl ${\displaystyle 2^{k}+1}$ prim ist, muss ihr Teiler ${\displaystyle 2^{\frac {k}{c}}+1}$ gleich 1 oder gleich ${\displaystyle 2^{k}+1}$ sein. Aber in Widerspruch dazu ist ${\displaystyle 2^{\frac {k}{c}}+1}$ (wegen ${\displaystyle 2^{\frac {k}{c}}>0}$) größer als 1 und (wegen ${\displaystyle k/c<k}$) kleiner als ${\displaystyle 2^{k}+1}$. Die Annahme, dass ${\displaystyle 2^{k}+1}$ prim ist und ${\displaystyle k}$ einen ungeraden Teiler ${\displaystyle c>1}$ hat, muss daher fallengelassen werden: ${\displaystyle 2^{k}+1}$ kann nur prim sein, wenn ${\displaystyle k}$ eine Zweierpotenz ${\displaystyle 2^{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq 0}$ ist, was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

Die Umkehrung dieses Satzes, dass also jede Fermat-Zahl ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ prim sei, ist falsch. ${\displaystyle F_{0}}$ bis ${\displaystyle F_{4}}$ sind sogar die einzigen bisher bekannten Fermatschen Primzahlen:

Schon Fermat zeigte, d​ass diese ersten fünf Fermat-Zahlen Primzahlen sind, u​nd vermutete 1640, d​ass dies a​uf alle Fermat-Zahlen zutreffe. Diese Vermutung w​urde aber s​chon 1732 v​on Leonhard Euler einfach widerlegt, i​ndem er m​it 641 e​inen echten Teiler v​on F₅ = 4.294.967.297 fand.[3]

Man vermutet inzwischen, d​ass außer d​en ersten fünf k​eine weiteren Fermatschen Primzahlen existieren. Diese Vermutung beruht a​uf statistischen Abschätzungen: Der Primzahlsatz besagt, d​ass die Anzahl d​er Primzahlen, d​ie nicht größer a​ls x sind, näherungsweise gleich x / ln x ist. Die Primzahldichte o​der Wahrscheinlichkeit dafür, d​ass F_n a​ls ungerade Zahl e​ine Primzahl ist, beträgt d​aher näherungsweise 2 / ln F_n ≈ 3/2ⁿ. Die Wahrscheinlichkeit, d​ass die Fermatzahl F_n o​der eine d​er folgenden Fermatzahlen e​ine Primzahl ist, ergibt s​ich durch Summation d​er geometrische Reihe ungefähr z​u 6/2ⁿ.

Für verbliebene w​eder teilweise n​och vollständig faktorisierte Fermat-Zahlen i​st diese Wahrscheinlichkeit m​it etwa 6 · 10⁻¹⁰ mittlerweile a​ber sehr k​lein geworden.

Faktorisierungsergebnisse von Fermat-Zahlen

Die Zahlen F₀ b​is F₄ sind, w​ie schon Fermat erkannt hat, Primzahlen:

n	Fermat-Primzahl Fn
00	3
01	5
02	17
03	257
04	65537

Die Zahlen F₅ b​is F₁₁ s​ind entgegen d​er Vermutung Fermats zusammengesetzt. Sie s​ind bereits vollständig faktorisiert:[4]

Liste der zusammengesetzten und vollständig faktorisierten Fermat-Zahlen

n	Entdecker der Faktoren	Primfaktorenzerlegung von Fn
05	Leonhard Euler (1732)	4.294.967.297 (10 Stellen)  = 641 (3 Stellen)  × 6.700.417 (7 Stellen)
06	Clausen (1855), Landry & Le Lasseur (1880)	18.446.744.073.709.551.617 (20 Stellen)  = 274.177 (6 Stellen)  × 67.280.421.310.721 (14 Stellen)
07	Morrison & Brillhart (1970)[5]	340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457 (39 Stellen)  = 59.649.589.127.497.217 (17 Stellen)  × 5.704.689.200.685.129.054.721 (22 Stellen)
08	Brent & Pollard (1980)	115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937 (78 Stellen)  = 1.238.926.361.552.897 (16 Stellen)  × 93.461.639.715.357.977.769.163.558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321 (62 Stellen)
09	Western (1903), Lenstra & Manasse (1990)	13.407.807.929.942.597.099.574.024.998.205.846.127.479.365.820.592.393.377.723.561.443.721.764.030.073.546.976.801.874.298.166.903.427.690.031. 858.186.486.050.853.753.882.811.946.569.946.433.649.006.084.097 (155 Stellen)  = 2.424.833 (7 Stellen)  × 7.455.602.825.647.884.208.337.395.736.200.454.918.783.366.342.657 (49 Stellen)  × 741.640.062.627.530.801.524.787.141.901.937.474.059.940.781.097.519.023.905.821.316.144.415.759.504.705.008.092.818.711.693.940.737 (99 Stellen)
10	Selfridge (1953), Brillhart (1962), Brent (1995)	179.769.313.486.231.590.772.930 … 304.835.356.329.624.224.137.217 (309 Stellen)  = 45.592.577 (8 Stellen)  × 6.487.031.809 (10 Stellen)  × 4.659.775.785.220.018.543.264.560.743.076.778.192.897 (40 Stellen)  × 130.439.874.405.488.189.727.484 … 806.217.820.753.127.014.424.577 (252 Stellen)
11	Cunningham (1899), Brent & Morain (1988)	32.317.006.071.311.007.300.714.8 … 193.555.853.611.059.596.230.657 (617 Stellen)  = 319.489 (6 Stellen)  × 974.849 (6 Stellen)  × 167.988.556.341.760.475.137 (21 Stellen)  × 3.560.841.906.445.833.920.513 (22 Stellen)  × 173.462.447.179.147.555.430.258 … 491.382.441.723.306.598.834.177 (564 Stellen)

Ab F₁₂ i​st keine Fermat-Zahl m​ehr vollständig faktorisiert. Die ersten d​rei lauten:

Liste der ersten drei der nur teilweise faktorisierten Fermat-Zahlen

n	Entdecker der Faktoren	Primfaktorenzerlegung von Fn
12	Lucas & Pervushin (1877), Western (1903), Hallyburton & Brillhart (1974), Baillie (1986), Vang, Zimmermann & Kruppa (2010)	1.044.388.881.413.152.506.691.752.710.716 … 340.403.154.190.337 (1234 Stellen)  = 114.689 (6 Stellen)  × 26.017.793 (8 Stellen)  × 63.766.529 (8 Stellen)  × 190.274.191.361 (12 Stellen)  × 1.256.132.134.125.569 (16 Stellen)  ×  568.630.647.535.356.955.169.033.410.940.867.804.839.360.742.060.818.433 (54 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (1133 Stellen)
13	Hallyburton & Brillhart (1974), Crandall (1991), Brent (1995)	1.090.748.135.619.415.929.462.984.244.733 … 665.475.715.792.897 (2467 Stellen)  =  2.710.954.639.361 (13 Stellen)  ×  2.663.848.877.152.141.313 (19 Stellen)  ×  3.603.109.844.542.291.969 (19 Stellen)  ×  319.546.020.820.551.643.220.672.513 (27 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (2391 Stellen)
14	Rajala & Woltman (2010)	1.189.731.495.357.231.765.085.759.326.628 … 290.669.964.066.817 (4933 Stellen)  =  116.928.085.873.074.369.829.035.993.834.596.371.340.386.703.423.373.313 (54 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (4880 Stellen)

Von F₁₂ b​is F₃₂ u​nd von einigen größeren Fermat-Zahlen i​st bekannt, d​ass sie zusammengesetzt sind – hauptsächlich, w​eil ein o​der mehrere Faktoren gefunden wurden. Von z​wei Fermat-Zahlen (F₂₀ u​nd F₂₄) k​ennt man z​war keinen Faktor, h​at aber a​uf andere Art gezeigt, d​ass sie zusammengesetzt sind.[6][7]

Für F₁₄ w​urde am 3. Februar 2010 e​in Faktor veröffentlicht,[8] für F₂₂ a​m 25. März 2010.[9]

Die kleinste Fermat-Zahl, v​on der bislang n​icht bekannt ist, o​b sie p​rim oder zusammengesetzt ist, i​st F₃₃. Diese Zahl h​at 2.585.827.973 Stellen. Insgesamt weiß m​an von d​en ersten 50 Fermat-Zahlen n​ur von 10 nicht, o​b sie zusammengesetzt s​ind oder nicht.[10]

F_18.233.954 i​st die größte Fermat-Zahl, v​on der e​in Faktor bekannt ist, nämlich d​ie Primzahl 7 · 2^18.233.956 + 1. Dieser Faktor w​urde am 5. Oktober 2020 v​on Ryan Propper m​it Computer-Programmen v​on Geoffrey Reynolds, Jean Penné u​nd Jim Fougeron entdeckt u​nd hat 5.488.969 Stellen. Die Fermat-Zahl F_18.233.954 selbst h​at allerdings m​ehr als 10^5.488.966 Stellen.[11]

Versuch einer anschaulichen Erklärung der Größe der Fermat-Zahl F_18.233.954

Es g​ibt keine sinnvolle Methode, s​ich die Menge a​n Papier, d​ie man benötigt s​ie aufzuschreiben – o​der gar d​ie Zahl selber – vorzustellen: Selbst m​it den hypothetisch kleinsten Teilchen aufgeschrieben, i​st das Universum spätestens m​it F₆₁₅ vollgeschrieben u​nd für j​eden weiteren Schritt b​is F_18233954 würde s​ich der Platz z​um Aufschreiben jeweils verdoppeln. Nur h​at man m​it F₆₁₅ j​a quasi d​amit noch n​icht mal richtig angefangen! Ein wissenschaftlicher Taschenrechner würde e​ine etwa 27 Kilometer l​ange Zeile o​der alternativ e​ine 27 Meter m​al 10 Meter große Tafel allein für d​as Anschreiben d​er Anzahl d​er Stellen, a​lso von 10^5488966, a​ls Dezimalzahl benötigen.

Insgesamt weiß m​an von 316 Fermat-Zahlen, d​ass sie zusammengesetzt sind. 360 Primfaktoren s​ind bisher bekannt (Stand: 26. November 2021).[4][12]

Der folgenden Tabelle k​ann man entnehmen, i​n welchem Intervall w​ie viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen bekannt s​ind (Stand: 26. November 2021):

nachweislich keine Primzahl n bekannt zusammengesetzt Anteil 05 ≤ n ≤ 32 028 100,0 % 033 ≤ n ≤ 100 032 047,1 % 101 ≤ n ≤ 500 062 015,5 % 0501 ≤ n ≤ 1000 022 004,4 % 1001 ≤ n ≤ 5000 050 001,3 % 05001 ≤ n ≤ 10000 027 000,5 % TOTAL 221 002,2 %

nachweislich keine Primzahl n bekannt zusammengesetzt Anteil 10001 ≤ n ≤ 50000 37 0,09250 % 050001 ≤ n ≤ 100000 11 0,02200 % 100001 ≤ n ≤ 500000 26 0,00650 % 0500001 ≤ n ≤ 1000000 06 0,00120 % 1000001 ≤ n ≤ 5000000 12 0,00030 % 05000001 ≤ n ≤ 20000000 03 0,00006 % TOTAL 95 0,00048 %

Die kleinsten 25 Fermat-Primfaktoren s​ind die folgenden:

3, 5, 17, 257, 641, 65.537, 114.689, 274.177, 319.489, 974.849, 2.424.833, 6.700.417, 13.631.489, 26.017.793, 45.592.577, 63.766.529, 167.772.161, 825.753.601, 1.214.251.009, 6.487.031.809, 70.525.124.609, 190.274.191.361, 646.730.219.521, 2.710.954.639.361, 2.748.779.069.441, … (Folge A023394 in OEIS)

Um v​on einer Fermat-Zahl nachzuweisen, d​ass sie zusammengesetzt ist, benutzt m​an in d​er Regel d​en Pépin-Test u​nd den Suyama-Test, d​ie beide besonders a​uf diese Zahlen zugeschnitten u​nd sehr schnell sind.

Die folgenden 16 Primfaktoren v​on Fermat-Zahlen wurden v​or 1950 entdeckt.

Vor 1950 ohne Zuhilfenahme programmgesteuerter Rechenmaschinen entdeckte Primfaktoren von Fermat-Zahlen

Jahr	Entdecker	Fermat- Zahl	Dezimal- stellen von Fn	Faktor	Dezimal- stellen dieses Faktors	Faktor ausgeschrieben
1732	Leonhard Euler	F5 ^(a)	10	5 · 2^7 + 1	3	641
1732	Leonhard Euler	F5 ^(a)	10	52347 · 2^7 + 1	7	6.700.417
1855	Thomas Clausen	F6 ^(a)	20	1071 · 2^8 + 1	6	274.177
1855	Thomas Clausen	F6 ^(a)	20	262814145745 · 2^8 + 1	14	67.280.421.310.721
1877	Ivan M. Pervushin (en)	F12	1.234	7 · 2^14 + 1	6	114.689
1878	Ivan M. Pervushin	F23	2.525.223	5 · 2^25 + 1	9	167.772.161
1886	Paul Peter Heinrich Seelhoff	F36	20.686.623.784	5 · 2^39 + 1	13	2.748.779.069.441
1899	Allan Joseph Champneys Cunningham	F11	617	39 · 2^13 + 1	6	319.489
1899	Allan Joseph Champneys Cunningham	F11	617	119 · 2^13 + 1	6	974.849
1903	Alfred Edward Western	F9	155	37 · 2^16 + 1	7	2.424.833
1903	Alfred Edward Western	F12	1.234	397 · 2^16 + 1	8	26.017.793
1903	Alfred Edward Western	F12	1.234	973 · 2^16 + 1	8	63.766.529
1903	Alfred Edward Western	F18	78.914	13 · 2^20 + 1	8	13.631.489
1903	James Cullen	F38	82.746.495.136	3 · 2^41 + 1	13	6.597.069.766.657
1906	James Caddall Morehead	F73	2.843.147.923.723.958.896.933	5 · 2^75 + 1	24	188.894.659.314.785.808.547.841
1925	Maurice Borissowitsch Kraitchik	F15	9.865	579 · 2^21 + 1	10	1.214.251.009

^(a) Diese Zahlen waren damit vollständig faktorisiert.

Seit 1950 wurden a​lle weiteren Faktoren d​urch Einsatz v​on Computern gefunden.[13]

Mit Zuhilfenahme programmgesteuerter Rechenmaschinen entdeckte Primfaktoren von Fermat-Zahlen

Jahr Teiler 1951 0– 1952 0– 1953 02 1954 0– 1955 0– 1956 14 1957 06 1958 0– 1959 0– 1960 0– TOTAL 22

Jahr Teiler 1961 0– 1962 02 1963 11 1964 0– 1965 0– 1966 0– 1967 0– 1968 0– 1969 0– 1970 02 TOTAL 15

Jahr Teiler 1971 0– 1972 0– 1973 0– 1974 02 1975 0– 1976 02 1977 04 1978 02 1979 13 1980 09 TOTAL 32

Jahr Teiler 1981 03 1982 02 1983 02 1984 07 1985 02 1986 12 1987 05 1988 04 1989 0– 1990 08 TOTAL 45

Jahr Teiler 1991 12 1992 10 1993 10 1994 01 1995 08 1996 07 1997 04 1998 08 1999 09 2000 13 TOTAL 82

Jahr Teiler 2001 22 2002 08 2003 08 2004 02 2005 07 2006 01 2007 04 2008 06 2009 06 2010 07 TOTAL 71

Jahr Teiler 2011 09 2012 16 2013 07 2014 07 2015 06 2016 07 2017 05 2018 07 2019 03 2020 05 TOTAL 72

Jahr Teiler 2021 05 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030 TOTAL 05

Es wurden s​omit bisher 344 Primfaktoren v​on Fermat-Zahlen m​it Computern gefunden (Stand: 26. November 2021).

Eigenschaften

• Für ${\displaystyle n>1}$ hat jeder Teiler von ${\displaystyle F_{n}}$ die Form ${\displaystyle k\cdot 2^{n+2}+1}$ (bewiesen von Euler und Lucas).

Beispiele:

Der Teiler 641 von F₅: 641 = 5 · 2⁷ + 1 = 5 · 128 + 1

Der Teiler 6700417 von F₅: 6700417 = 52347 · 2⁷ + 1 = 52347 · 128 + 1

• Fermat-Zahlen lassen sich auf folgende Arten rekursiv berechnen:

• ${\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1}$  für  ${\displaystyle n\geq 1}$
• ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}\cdot F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-2}}$  für  ${\displaystyle n\geq 2}$
• ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2\cdot (F_{n-2}-1)^{2}}$  für  ${\displaystyle n\geq 2}$
• ${\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+2}$  für  ${\displaystyle n\geq 1}$

Beweis der vier Behauptungen:

Zwei der vier Beweise funktionieren mittels vollständiger Induktion. Man zeigt, dass die Behauptungen für den Anfang gelten (Induktionsanfang), nimmt an, dass die Behauptung für ${\displaystyle n}$ gilt (Induktionsvoraussetzung) und beweist, dass die Behauptung dadurch auch für ${\displaystyle n+1}$ gelten muss (Induktionsschluss).

Beweis der ersten Behauptung: ${\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1}$ für ${\displaystyle n\geq 1}$

Der Beweis funktioniert direkt.

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1=2^{2\cdot 2^{n-1}}+1=(2^{2^{n-1}})^{2}+1=({\color {red}2^{2^{n-1}}+1}-1)^{2}+1=({\color {red}F_{n-1}}-1)^{2}+1}$, was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der zweiten Behauptung: ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}\cdot F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-2}}$ für ${\displaystyle n\geq 2}$

Der Beweis funktioniert mittels vollständiger Induktion.

Induktionsanfang:

${\displaystyle 17=F_{2}=F_{1}+2^{2^{2-1}}\cdot F_{0}=5+2^{2^{1}}\cdot 3=5+2^{2}\cdot 3=5+4\cdot 3=17}$

${\displaystyle 257=F_{3}=F_{2}+2^{2^{3-1}}\cdot F_{0}\cdot F_{1}=17+2^{4}\cdot 3\cdot 5=17+16\cdot 3\cdot 5=17+240=257}$

Induktionsvoraussetzung: ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}\cdot F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-2}}$ bzw. umgeformt ${\displaystyle F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-2}={\frac {F_{n}-F_{n-1}}{2^{2^{n-1}}}}}$

Induktionsschluss: zu zeigen: ${\displaystyle F_{n+1}=F_{n}+2^{2^{n}}\cdot F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}F_{n+1}&=&(F_{n}-1)^{2}+1&{\text{(erste obige Behauptung)}}\\&=&{\color {red}F_{n}}^{2}-2{\color {magenta}F_{n}}+1+1\\&=&({\color {red}F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}})^{2}-2\cdot ({\color {magenta}F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}})+2&{\text{(Induktionsvoraussetzung)}}\\&=&F_{n-1}^{2}+2\cdot 2^{2^{n-1}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}F_{n-1}+(2^{2^{n-1}})^{2}F_{0}^{2}F_{1}^{2}\ldots F_{n-2}^{2}-2F_{n-1}-2\cdot 2^{2^{n-1}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}+2\\&=&(F_{n-1}^{2}-2F_{n-1}+1)+1+2^{2^{n-1}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot (2F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}-2)\\&=&{\color {magenta}(F_{n-1}-1)^{2}+1}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot ({\frac {2}{2^{2^{n-1}}}}F_{n-1}+{\color {red}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}}-{\frac {2}{2^{2^{n-1}}}})\\&=&{\color {magenta}F_{n}}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot ({\frac {2}{2^{2^{n-1}}}}F_{n-1}+{\color {red}{\frac {F_{n}-F_{n-1}}{2^{2^{n-1}}}}}-{\frac {2}{2^{2^{n-1}}}})&{\text{(umgeformte Induktionsvoraussetzung)}}\\&=&F_{n}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot {\frac {2F_{n-1}+F_{n}-F_{n-1}-2}{2^{2^{n-1}}}}\\&=&F_{n}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot {\frac {{\color {red}F_{n-1}}+{\color {magenta}F_{n}}-2}{2^{2^{n-1}}}}\\&=&F_{n}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot {\frac {{\color {red}2^{2^{n-1}}+1}+{\color {magenta}2^{2^{n}}+1}-2}{2^{2^{n-1}}}}&{\text{(Definition von Fermat-Zahlen)}}\\&=&F_{n}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot {\frac {2^{2^{n-1}}+2^{2^{n}}}{2^{2^{n-1}}}}\\&=&F_{n}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot {\frac {2^{2^{n-1}}\cdot (1+2^{2^{n-1}})}{2^{2^{n-1}}}}\\&=&F_{n}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot ({\color {red}2^{2^{n-1}}+1})\\&=&F_{n}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot {\color {red}F_{n-1}}&{\text{(Definition von Fermat-Zahlen)}}\end{array}}}$

Was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der dritten Behauptung: ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2\cdot (F_{n-2}-1)^{2}}$ für ${\displaystyle n\geq 2}$

Der Beweis funktioniert direkt.

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}F_{n}=2^{2^{n}}+1&=&2^{2\cdot 2^{n-1}}+2\cdot 2^{2^{n-1}}+1-2\cdot 2^{2^{n-1}}\\&=&(2^{2^{n-1}})^{2}+2\cdot 2^{2^{n-1}}+1-2\cdot 2^{2\cdot 2^{n-2}}\\&=&({\color {red}2^{2^{n-1}}+1})^{2}-2\cdot (2^{2^{n-2}})^{2}\\&=&{\color {red}F_{n-1}}^{2}-2\cdot (2^{2^{n-2}}+1-1)^{2}\\&=&F_{n-1}^{2}-2\cdot (F_{n-2}-1)^{2}\end{array}}}$

Was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der vierten Behauptung: ${\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+2}$ für ${\displaystyle n\geq 1}$

Der Beweis funktioniert mittels vollständiger Induktion.

Induktionsanfang:

${\displaystyle 5=F_{1}=F_{0}+2=3+2=5}$

${\displaystyle 17=F_{2}=F_{0}\cdot F_{1}+2=3\cdot 5+2=15+2=17}$

Induktionsvoraussetzung: ${\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+2}$

Induktionsschluss: zu zeigen: ${\displaystyle F_{n+1}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n}+2}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}F_{n+1}&=&(F_{n}-1)^{2}+1&{\text{(erste obige Behauptung)}}\\&=&{\color {red}F_{n}}^{2}-2{\color {magenta}F_{n}}+1+1\\&=&({\color {red}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}+2})^{2}-2({\color {magenta}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}+2})+2&{\text{(Induktionsvoraussetzung)}}\\&=&F_{0}^{2}F_{1}^{2}\ldots F_{n-1}^{2}+4F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}+4-2F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}-4+2\\&=&F_{0}^{2}F_{1}^{2}\ldots F_{n-1}^{2}+2F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}+2\\&=&F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}\cdot ({\color {red}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}+2})+2\\&=&F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}\cdot {\color {red}F_{n}}+2&{\text{(Induktionsvoraussetzung)}}\end{array}}}$

Was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

• Es gelten folgende Darstellungen von ${\displaystyle F_{n}}$:

• Jede Fermat-Zahl ${\displaystyle F_{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq 1}$ ist von der Form ${\displaystyle 6m-1}$, wobei ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: ${\displaystyle F_{n}\equiv -1{\pmod {6}}}$)[14]
• Jede Fermat-Zahl ${\displaystyle F_{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq 1}$ ist von der Form ${\displaystyle 4m+1}$, wobei ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: ${\displaystyle F_{n}\equiv 1{\pmod {4}}}$)
• Jede Fermat-Zahl ${\displaystyle F_{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq 1}$ ist von der Form ${\displaystyle 3m+2}$, wobei ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: ${\displaystyle F_{n}\equiv 2{\pmod {3}}}$)
• Jede Fermat-Zahl ${\displaystyle F_{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq 2}$ ist von der Form ${\displaystyle 10m+7}$, wobei ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: ${\displaystyle F_{n}\equiv 7{\pmod {10}}}$)

Anders formuliert: Mit Ausnahme von ${\displaystyle F_{0}=3}$ und ${\displaystyle F_{1}=5}$ endet jede Fermat-Zahl im Dezimalsystem mit der Ziffer 7. Die letzten beiden Ziffern sind 17, 37, 57 oder 97.[15]

Beweis der vier Behauptungen:

Beweis der ersten Behauptung: ${\displaystyle F_{n}\equiv -1{\pmod {6}}}$

Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit einer bekannten richtigen Aussage und beweist das Gewünschte.

Eine weiter oben angegebene Eigenschaft besagt, dass ${\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+2}$ gilt für ${\displaystyle n\geq 1}$. Somit gilt aber, weil ${\displaystyle F_{0}=3}$ ist:

${\displaystyle F_{n}+1=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+3=3\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+3=3\cdot (F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+1)}$.

Der Ausdruck ${\displaystyle F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}}$ ist als Produkt von ungeraden Fermat-Zahlen selber ungerade. Addiert man 1 dazu, erhält man eine gerade Zahl. Also ist ${\displaystyle F_{n}+1}$ ein Produkt aus 3 und einer geraden Zahl und somit durch 6 teilbar. Es gibt also ein ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle F_{n}+1=6m}$. Daher ist ${\displaystyle F_{n}}$ von der Form ${\displaystyle 6m-1}$, was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der zweiten Behauptung: ${\displaystyle F_{n}\equiv 1{\pmod {4}}}$

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1=(2^{2})^{\frac {2^{n}}{2}}+1=4^{2^{n-1}}+1\equiv 1{\pmod {4}}}$, was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der dritten Behauptung: ${\displaystyle F_{n}\equiv 2{\pmod {3}}}$

Der dritte Beweis funktioniert mit vollständiger Induktion:

Induktionsanfang:

${\displaystyle F_{1}=2^{2^{1}}+1=5=3\cdot 1+2\equiv 2{\pmod {3}}}$

${\displaystyle F_{2}=2^{2^{2}}+1=17=3\cdot 5+2\equiv 2{\pmod {3}}}$

Induktionsvoraussetzung: ${\displaystyle F_{n}=3\cdot k+2}$

Induktionsschluss: zu zeigen: ${\displaystyle F_{n+1}=3\cdot m+2}$ für ein ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}F_{n+1}&=&(F_{n}-1)^{2}+1&{\text{(erste Behauptung weiter oben)}}\\&=&{\color {red}F_{n}}^{2}-2{\color {magenta}F_{n}}+1+1\\&=&({\color {red}3k+2})^{2}-2\cdot ({\color {magenta}3k+2})+2&{\text{(Induktionsvoraussetzung)}}\\&=&9k^{2}+12k+4-6k-4+2\\&=&9k^{2}+6k+2\\&=&3\cdot (3k^{2}+2k)+2\\&=&3m+2&{\text{(mit }}m:=3k^{2}+2k{\text{)}}\end{array}}}$

Was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der vierten Behauptung: ${\displaystyle F_{n}\equiv 7{\pmod {10}}}$

Der vierte Beweis funktioniert direkt:

Weiter oben wurde gezeigt, dass ${\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+2}$ für ${\displaystyle n\geq 1}$ gilt. Daraus kann man folgern, dass ${\displaystyle F_{n}\equiv 2{\pmod {F_{k}}}}$ für ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,n-1}$ gilt. Im Speziellen gilt also für ${\displaystyle k=1}$ (also für ${\displaystyle F_{1}=5}$) die Kongruenz ${\displaystyle F_{n}\equiv 2{\pmod {5}}}$ und somit entweder ${\displaystyle F_{n}\equiv 2{\pmod {10}}}$ oder ${\displaystyle F_{n}\equiv 7{\pmod {10}}}$. Weil aber Fermat-Zahlen immer ungerade sind, kann nur die Kongruenz ${\displaystyle F_{n}\equiv 7{\pmod {10}}}$ zutreffen, was zu zeigen war.

Die Aussage, dass die letzten beiden Ziffern 17, 37, 57 oder 97 sind, kann man der Literatur[15] entnehmen. ${\displaystyle \Box }$

• Sei ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ die ${\displaystyle n}$-te Fermat-Zahl. Dann gilt:

• ${\displaystyle F_{n}}$ hat unendlich viele Darstellungen der Form ${\displaystyle F_{n}=x^{2}-2y^{2}}$ mit ${\displaystyle x,y\in \mathbb {N} }$ positiv ganzzahlig, für alle ${\displaystyle n\geq 2}$[16]
• ${\displaystyle F_{n}}$ hat mindestens eine Darstellung der Form ${\displaystyle F_{n}=x^{2}-y^{2}}$ mit ${\displaystyle x,y\in \mathbb {N} }$ positiv ganzzahlig. Ist ${\displaystyle F_{n}}$ zusammengesetzt, gibt es mehrere Möglichkeiten dieser Darstellung.[17]
• ${\displaystyle F_{n}}$ kann niemals als Summe von zwei Primzahlen dargestellt werden, für alle ${\displaystyle n\geq 2:}$[18]

${\displaystyle F_{n}\not =p_{1}+p_{2}}$ für alle ${\displaystyle p_{1},p_{2}\in \mathbb {P} ,n\geq 2}$

• ${\displaystyle F_{n}}$ kann niemals als Differenz von zwei p-ten Potenzen geschrieben werden, wenn ${\displaystyle F_{n}}$ und p ungerade Primzahlen sind:[19]

${\displaystyle F_{n}\not =a^{p}-b^{p}}$ für alle ${\displaystyle p\in \mathbb {P} ,\,p\not =2}$

Beweis der vier Behauptungen:

Beweis der ersten Behauptung: ${\displaystyle F_{n}=x^{2}-2y^{2}}$

Der Beweis funktioniert direkt.

Die Existenz einer solchen Darstellung konnte schon weiter oben mit ${\displaystyle x:=F_{n-1}}$ und ${\displaystyle y:=F_{n-2}-1}$ gezeigt werden: ${\displaystyle F_{n}=x^{2}-2y^{2}=F_{n-1}^{2}-2\cdot (F_{n-2}-1)^{2}}$

Um unendlich viele solche Darstellungen zu erhalten, betrachte man folgende Identität:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(3x+4y)^{2}-2\cdot (2x+3y)^{2}&=&9x^{2}+24xy+16y^{2}-2\cdot (4x^{2}+12xy+9y^{2})\\&=&9x^{2}+24xy+16y^{2}-8x^{2}-24xy-18y^{2}\\&=&x^{2}-2y^{2}\end{array}}}$

Weil ${\displaystyle x,y\in \mathbb {N} }$ ist, gilt ${\displaystyle 3x+4y>x}$ und ${\displaystyle 2x+3y>y}$. Somit kann man aus dem Darstellungspaar ${\displaystyle (x,y)}$ für ${\displaystyle F_{n}}$ ein (größeres) Darstellungspaar ${\displaystyle (3x+4y,2x+3y)}$ für ${\displaystyle F_{n}}$ konstruieren. Aus diesem kann man mit obiger Identität das nächste (größere) Darstellungspaar für ${\displaystyle F_{n}}$ konstruieren und so fort. Man erhält also unendlich viele Darstellungspaare für ${\displaystyle F_{n}}$ und somit auch unendlich viele Darstellungen von ${\displaystyle F_{n}}$ der Form ${\displaystyle F_{n}=x^{2}-2y^{2}}$, was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der zweiten Behauptung: ${\displaystyle F_{n}=x^{2}-y^{2}}$

Der Beweis funktioniert direkt.

Es gilt:

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1=2^{2^{n}}+2^{2^{n}}+1-2^{2^{n}}=2^{2^{n}}+2\cdot 2^{2^{n}-1}+1-2^{2^{n}}=\left(2^{2^{n}-1}+1\right)^{2}-\left(2^{2^{n}-1}\right)^{2}}$

Somit hat man zwei Zahlen ${\displaystyle x:=2^{2^{n}-1}+1}$ und ${\displaystyle y:=2^{2^{n}-1}}$ gefunden, sodass ${\displaystyle F_{n}=x^{2}-y^{2}}$, also die Differenz von zwei Quadratzahlen, ist, was zu zeigen war.

Die Aussage, dass es mehrere solche Darstellungsmöglichkeiten als Differenz von zwei Quadratzahlen gibt, wenn ${\displaystyle F_{n}}$ zusammengesetzt ist, kann man der Literatur[17] entnehmen. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der dritten Behauptung: ${\displaystyle F_{n}\not =p_{1}+p_{2}}$

Der Beweis funktioniert indirekt. Man startet mit einer Behauptung und zeigt, dass sie falsch ist, womit die Behauptung fallengelassen werden muss und das Gegenteil gilt.

Alle Fermat-Zahlen ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ sind als Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl 1 immer ungerade Zahlen. Primzahlen sind, bis auf die erste Primzahl ${\displaystyle p=2}$, immer ungerade. Wenn also die ungerade Zahl ${\displaystyle F_{n}}$ Summe von zwei Primzahlen sein soll, so dürfen nicht beide Primzahlen ungerade sein, weil die Summe zweier ungerader Zahlen eine gerade Zahl ergibt. Eine davon muss gerade sein. Weil es nur eine gerade Primzahl gibt, muss also 2 eine der beiden Summanden sein. Der andere prime Summand ist somit ${\displaystyle F_{n}-2}$ und es gilt trivialerweise ${\displaystyle F_{n}=2+(F_{n}-2)}$. Es gilt aber:

${\displaystyle F_{n}-2=2^{2^{n}}+1-2=2^{2^{n}}-1=(2^{2^{n-1}}-1)\cdot (2^{2^{n-1}}+1)}$

Somit ist aber ${\displaystyle F_{n}-2}$ für ${\displaystyle n\geq 2}$ zusammengesetzt und keine Primzahl, weil sogar der kleinere der beiden Faktoren ${\displaystyle 2^{2^{n-1}}-1\geq 2^{2^{2-1}}-1=2^{2}-1=3}$ ist und somit eine nichttriviale Faktorisierung von ${\displaystyle F_{n}-2}$ existiert. Wir erhalten einen Widerspruch. Die Annahme, dass man eine Fermat-Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellen kann, muss fallengelassen werden, was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der vierten Behauptung: ${\displaystyle F_{n}\not =a^{p}-b^{p}}$

Der Beweis funktioniert indirekt. Man startet mit einer Behauptung und zeigt, dass sie falsch ist, womit die Behauptung fallengelassen werden muss und das Gegenteil gilt.

Angenommen, ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ist eine ungerade Primzahl und ${\displaystyle F_{n}}$ kann dargestellt werden als Differenz von zwei p-ten Potenzen. Es sei also ${\displaystyle F_{n}=a^{p}-b^{p}}$. Dann gilt:

${\displaystyle F_{n}=a^{p}-b^{p}=(a-b)\cdot (a^{p-1}+a^{p-2}b+\ldots +ab^{p-2}+b^{p-1})}$ mit ${\displaystyle a>b}$

Weil ${\displaystyle F_{n}}$ prim ist und somit nicht zwei Teiler haben darf, muss ${\displaystyle a-b=1}$ sein. Wegen des kleinen fermatschen Satzes ist ${\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}}$ und ${\displaystyle b^{p}\equiv b{\pmod {p}}}$ und somit gilt:

${\displaystyle F_{n}=a^{p}-b^{p}\equiv a-b\equiv 1{\pmod {p}}}$

Somit muss ${\displaystyle p}$ ein Teiler von ${\displaystyle F_{n}-1=2^{2^{n}}+1-1=2^{2^{n}}}$ sein, was aber nicht sein kann, weil ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ nur Zweierpotenzen als Teiler hat.

Die Annahme muss also fallengelassen werden, ${\displaystyle F_{n}}$ kann daher nicht dargestellt werden als Differenz von zwei p-ten Potenzen.

Was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

• Sei ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ die ${\displaystyle n}$-te Fermat-Zahl und sei ${\displaystyle D(n)}$ die Anzahl der Stellen von ${\displaystyle F_{n}}$. Dann gilt:[20]

${\displaystyle D(n)=\lfloor \log _{10}\left(2^{2^{n}}+1\right)+1\rfloor \approx \lfloor \log _{10}2^{2^{n}}+1\rfloor =\lfloor 2^{n}\cdot \log _{10}2+1\rfloor }$

wobei mit ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ die Floor-Funktion gemeint ist (also die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ${\displaystyle x}$ ist)

• Sei ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ die ${\displaystyle n}$-te Fermat-Zahl mit ${\displaystyle n\geq 1}$. Dann gilt:

${\displaystyle F_{n}}$ ist eine Primzahl genau dann, wenn gilt: ${\displaystyle 3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}}$

Mit anderen Worten: Für ${\displaystyle n\geq 1}$ gilt:

${\displaystyle F_{n}\in \mathbb {P} \Longleftrightarrow 3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}}$

Dieser Satz nennt sich Pépin-Test.

Beweis der Behauptung:

Der Beweis funktioniert direkt. Man startet m​it dem linken Teil d​er Aussage u​nd zeigt, d​ass daraus d​ie rechte folgert. Danach startet m​an mit d​em rechten Teil d​er Aussage u​nd zeigt, d​ass daraus d​ie linke Seite folgert.

Beweis:

„${\displaystyle \Rightarrow }$“: Sei ${\displaystyle F_{n}\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl mit ${\displaystyle n\geq 1}$. Man muss zeigen, dass ${\displaystyle 3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1\mod F_{n}}$ ist.

Es gilt nach dem Eulerschein Kriterium für das Legendre-Symbol die folgende Kongruenz:

${\displaystyle 3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv \left({\frac {3}{F_{n}}}\right)\mod F_{n}}$

Weil ${\displaystyle F_{n}\equiv 1{\pmod {4}}}$ und ${\displaystyle F_{n}\equiv 2{\pmod {3}}}$ gilt (wurde weiter oben bewiesen), erhält man wegen des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes für das Legendre-Symbol:

${\displaystyle \left({\frac {3}{F_{n}}}\right)=\left({\frac {F_{n}}{3}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\right)=(-1)^{\frac {3^{2}-1}{8}}=-1}$

Somit erhält man:

${\displaystyle 3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv \left({\frac {3}{F_{n}}}\right)=-1\mod F_{n}}$

Damit ist eine Richtung des obigen Satzes gezeigt worden.

„${\displaystyle \Leftarrow }$“: Sei nun ${\displaystyle 3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1\mod F_{n}}$. Man muss zeigen, dass ${\displaystyle F_{n}\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl ist.

Quadriert man diese Kongruenz, erhält man:

${\displaystyle (3^{\frac {F_{n}-1}{2}})^{2}=3^{F_{n}-1}\equiv (-1)^{2}=1\mod F_{n}}$

Nach dem verbesserten Lucas-Test folgt, dass ${\displaystyle F_{n}}$ prim ist (weil ${\displaystyle F_{n}-1=2^{2^{n}}+1-1=2^{2^{n}}}$ nur einen einzigen Primteiler, nämlich ${\displaystyle p=2}$ hat und für diesen Primfaktor ${\displaystyle p=2}$ auch laut Voraussetzung ${\displaystyle 3^{\frac {F_{n}-1}{p}}=3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1\not \equiv 1{\pmod {F_{n}}}}$ gilt).

Damit sind beide Richtungen obiger Aussage bewiesen, sie hat sich somit als richtig herausgestellt. ${\displaystyle \Box }$

• Für ${\displaystyle n\geq 2}$ gilt:[21]

${\displaystyle F_{n}^{\frac {F_{n+1}-1}{2}}\equiv 1{\pmod {F_{n+1}}}}$

• Sei ${\displaystyle n\geq 2}$, ${\displaystyle k\geq 1}$ und ${\displaystyle F_{n+k}}$ prim. Dann gilt:[21]

${\displaystyle F_{n}^{\frac {F_{n+k}-1}{2}}\equiv 1{\pmod {F_{n+k}}}}$

Beweis der ersten Behauptung:

Der Beweis funktioniert direkt. Man startet m​it einer bekannten richtigen Aussage u​nd beweist mittels Umformungen u​nd Modulo-Rechnungen d​as Gewünschte.

Beweis d​er ersten Behauptung:

${\displaystyle F_{n}^{2}=(2^{2^{n}}+1)^{2}={\color {red}2^{2^{n+1}}+1}+2\cdot 2^{2^{n}}={\color {red}F_{n+1}}+2\cdot 2^{2^{n}}\equiv 2\cdot 2^{2^{n}}{\pmod {F_{n+1}}}}$

Somit gilt:

${\displaystyle F_{n}^{2^{2}}\equiv (2\cdot 2^{2^{n}})^{2}=4\cdot 2^{2^{n+1}}=4\cdot (F_{n+1}-1)=4\cdot F_{n+1}-4\equiv -4\equiv -2^{2}{\pmod {F_{n+1}}}}$

Für ${\displaystyle k\geq 3}$ erhält man:

${\displaystyle F_{n}^{2^{k}}=(F_{n}^{2^{2}})^{2^{k-2}}\equiv (-2^{2})^{2^{k-2}}\equiv 2^{2^{k-1}}{\pmod {F_{n+1}}}}$

Setzt man nun ${\displaystyle k=2^{n+1}-1}$ in obiges Ergebnis ein, dann erhält man:

${\displaystyle F_{n}^{2^{2^{n+1}-1}}=F_{n}^{\frac {2^{2^{n+1}}}{2}}=F_{n}^{\frac {{\color {red}2^{2^{n+1}}+1}-1}{2}}=F_{n}^{\frac {{\color {red}F_{n+1}}-1}{2}}\equiv 2^{2^{2^{n+1}-2}}{\pmod {F_{n+1}}}}$

Die Zahl ${\displaystyle 2^{2^{n+1}-2}}$ ist als Potenz von 2 durch jede kleinere Potenz von 2 teilbar, somit für ${\displaystyle n\geq 2}$ auch durch ${\displaystyle 2^{n+1}}$. Es existiert also eine positive ganze Zahl ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle 2^{2^{n+1}-2}=2^{n+1}\cdot 2N}$. Wenn man dies in obiges Ergebnis einsetzt, erhält man:

${\displaystyle F_{n}^{\frac {F_{n+1}-1}{2}}\equiv 2^{2^{2^{n+1}-2}}=(2^{2^{n+1}})^{2N}=({\color {red}2^{2^{n+1}}+1}-1)^{2N}=({\color {red}F_{n+1}}-1)^{2N}\equiv (-1)^{2N}\equiv 1{\pmod {F_{n+1}}}}$

Womit die erste Behauptung bewiesen ist. ${\displaystyle \Box }$

• Sei ${\displaystyle F_{n}}$ eine Primzahl und ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ eine ganze Zahl. Dann gilt für jede prime Fermat-Zahl ${\displaystyle F_{k}}$ mit ${\displaystyle F_{k}\leq F_{n}}$:[22]

${\displaystyle F_{k}}$ teilt ${\displaystyle a^{F_{n}}-a}$

Beweis der Behauptung:

Der Beweis funktioniert direkt. Man startet m​it einer bekannten richtigen Aussage u​nd beweist d​as Gewünschte.

Beweis:

Sei ${\displaystyle F_{k}}$ eine prime Fermat-Zahl mit ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$.

Sei weiters ${\displaystyle F_{k}}$ ein Teiler von ${\displaystyle a}$. Dann ist ${\displaystyle F_{k}}$ auch ein Teiler von ${\displaystyle a^{F_{n}}}$ und somit auch Teiler der Differenz. Also gilt:

${\displaystyle F_{k}}$ teilt ${\displaystyle a^{F_{n}}-a=a\cdot (a^{F_{n}-1}-1)}$

Sei nun ${\displaystyle F_{k}}$ kein Teiler von ${\displaystyle a}$. Dann gilt wegen des kleinen fermatschen Satzes: ${\displaystyle a^{F_{k}-1}\equiv 1{\pmod {F_{k}}}}$ und somit:

${\displaystyle F_{k}}$ teilt ${\displaystyle a^{F_{k}-1}-1}$

Weil aber jede kleine Zweierpotenz jede größere Zweierpotenz teilt, gilt auch:

${\displaystyle F_{k}-1=2^{2^{k}}+1-1=2^{2^{k}}}$ teilt ${\displaystyle 2^{2^{n}}=2^{2^{n}}+1-1=F_{n}-1}$

Weiters gilt bei mehrfacher Anwendung der dritten binomischen Formel:

${\displaystyle a^{F_{k}-1}-1=a^{2^{2^{k}}+1-1}-1=a^{2^{2^{k}}}-1^{2}}$ teilt ${\displaystyle a^{2^{2^{n}}}-1^{2}=a^{2^{2^{n}}+1-1}-1=a^{F_{n}-1}-1}$

Obige Ergebnisse zusammengefasst ergibt:

${\displaystyle F_{k}}$ teilt ${\displaystyle a^{F_{k}-1}-1}$ teilt ${\displaystyle a^{F_{n}-1}-1}$ teilt ${\displaystyle a\cdot (a^{F_{n}-1}-1)=a^{F_{n}}-a}$

Was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

• Sei ${\displaystyle H_{n}:=2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}+1}$. Dann gilt:[23]

${\displaystyle H_{n}=(F_{n-1}^{2}-3F_{n-1}+3)\cdot H_{n-1}}$ für alle ${\displaystyle n\geq 1}$

Beweis der Behauptung:

Der Beweis funktioniert direkt.

Beweis:

Man betrachte die folgende Identität unter Verwendung der dritten binomischen Formel:

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}\left[(x+1)^{2}-3(x+1)+3\right]\cdot (x^{2}+x+1)&=&(x^{2}+2x+1-3x-3+3)\cdot (x^{2}+x+1)&\\&=&(x^{2}-x+1)\cdot (x^{2}+x+1)&\\&=&((x^{2}+1)-x)\cdot ((x^{2}+1)+x)&{\text{(dritte binomische Formel)}}\\&=&(x^{2}+1)^{2}-x^{2}&\\&=&x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}&\\&=&x^{4}+x^{2}+1&\end{array}}}$

Wenn man nun ${\displaystyle x:=2^{2^{n-1}}}$ substituiert, sich ins Gedächtnis zurückruft, dass Fermatzahlen die Form ${\displaystyle F_{n-1}=2^{2^{n-1}}+1}$ haben und dass laut Definition ${\displaystyle H_{n-1}:=2^{2^{n}}+2^{2^{n-1}}+1=(2^{2^{n-1}})^{2}+2^{2^{n-1}}+1}$ ist, erhält man das gewünschte Ergebnis:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}({\color {red}F_{n-1}}^{2}-3{\color {red}F_{n-1}}+3)\cdot {\color {blue}H_{n-1}}&=&\left[({\color {red}2^{2^{n-1}}+1})^{2}-3({\color {red}2^{2^{n-1}}+1})+3\right]\cdot ({\color {blue}({2^{2^{n-1}}})^{2}+2^{2^{n-1}}+1})\\&=&\left[(x+1)^{2}-3(x+1)+3\right]\cdot (x^{2}+x+1)\\&=&x^{4}+x^{2}+1\\&=&(2^{2^{n-1}})^{4}+(2^{2^{n-1}})^{2}+1\\&=&2^{2^{2}\cdot 2^{n-1}}+2^{2\cdot 2^{n-1}}+1\\&=&2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}+1\\&=&H_{n}\end{array}}}$

Was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

• Sei ${\displaystyle n^{n}+1}$ eine Primzahl. Dann gilt:[24][25]

• ${\displaystyle n=F_{m}-1=2^{2^{m}}}$ mit einer positiven ganzen Zahl ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle n^{n}+1=F_{2^{m}+m}}$

Beweis der Behauptung:

Beweis v​on Teil 1 d​urch Widerspruch: Man führt d​ie Annahme, d​ass das z​u Beweisende falsch sei, z​u einem Widerspruch (analog z​um Beweis weiter oben).

Annahme: ${\displaystyle n^{n}+1}$ ist prim und die Hochzahl ${\displaystyle n}$ hat einen ungeraden Teiler ${\displaystyle c>1}$.

Dann gilt

${\displaystyle n^{n}+1=n^{{\frac {n}{c}}\cdot c}+1=(n^{\frac {n}{c}})^{c}+1^{c}}$

mit einer ganzen Zahl ${\displaystyle {\frac {n}{c}}}$. Nach Annahme ist ${\displaystyle c}$ ungerade, also ist diese Summe bekanntlich durch die Summe ${\displaystyle n^{\frac {n}{c}}+1}$ der beiden Basen teilbar:

${\displaystyle n^{n}+1=(n^{\frac {n}{c}})^{c}+1^{c}=(n^{\frac {n}{c}}+1)\cdot \sum _{j=0}^{c-1}(-1)^{j}\cdot (n^{\frac {n}{c}})^{j}}$

Weil die Zahl ${\displaystyle n^{n}+1}$ prim ist, muss ihr Teiler ${\displaystyle n^{\frac {n}{c}}+1}$ gleich 1 oder gleich ${\displaystyle n^{n}+1}$ sein. Aber im Widerspruch dazu ist ${\displaystyle n^{\frac {n}{c}}+1}$ (wegen ${\displaystyle n^{\frac {n}{c}}>0}$) größer als 1 und (wegen ${\displaystyle {\frac {n}{c}}<n}$) kleiner als ${\displaystyle n^{n}+1}$. Die Annahme, dass ${\displaystyle n^{n}+1}$ prim ist und ${\displaystyle n}$ einen ungeraden Teiler ${\displaystyle c>1}$ hat, muss daher fallengelassen werden: ${\displaystyle n^{n}+1}$ kann nur prim sein, wenn ${\displaystyle n}$ eine Zweierpotenz ${\displaystyle 2^{k}}$ mit ${\displaystyle k\geq 0}$ ist.

Es ist also ${\displaystyle n^{n}+1=(2^{k})^{2^{k}}+1=2^{k\cdot 2^{k}}+1}$ und ${\displaystyle n^{n}}$ ist somit eine Zweierpotenz.

Es wurde aber weiter oben gezeigt, dass eine Zahl der Form ${\displaystyle 2^{t}+1}$ nur dann eine Primzahl ist, wenn die Hochzahl (also der Exponent) selbst eine Zweierpotenz ist. Es gibt also ein ${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$, sodass ${\displaystyle k\cdot 2^{k}=2^{t}}$ ist. Somit muss ${\displaystyle k}$ selbst eine Zweierpotenz (also ohne ungerade Teiler) sein, daher gibt es ein ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$, sodass ${\displaystyle k=2^{m}}$ ist. Es ist also ${\displaystyle n=2^{k}=2^{2^{m}}=2^{2^{m}}+1-1=F_{m}-1}$, was als Erstes zu zeigen war.

Weiters gilt also ${\displaystyle n^{n}+1=(2^{k})^{(2^{k})}+1=(2^{2^{m}})^{(2^{2^{m}})}+1=2^{2^{m}\cdot 2^{2^{m}}}+1=2^{2^{m+2^{m}}}+1=2^{2^{2^{m}+m}}+1=F_{2^{m}+m}}$, was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

Beispiele:

Für ${\displaystyle m=0}$ erhält man ${\displaystyle n^{n}+1=F_{2^{0}+0}=F_{1}=5\in \mathbb {P} }$

Für ${\displaystyle m=1}$ erhält man ${\displaystyle n^{n}+1=F_{2^{1}+1}=F_{3}=257\in \mathbb {P} }$

Für ${\displaystyle m=2}$ erhält man ${\displaystyle n^{n}+1=F_{2^{2}+2}=F_{6}=18.446.744.073.709.551.617\not \in \mathbb {P} }$ (eine 20-stellige Zahl)

Für ${\displaystyle m=3}$ erhält man ${\displaystyle n^{n}+1=F_{2^{3}+3}=F_{11}\not \in \mathbb {P} }$ (eine 617-stellige Zahl)

Für ${\displaystyle m=4}$ erhält man ${\displaystyle n^{n}+1=F_{2^{4}+4}=F_{20}\not \in \mathbb {P} }$ (eine 315653-stellige Zahl)

Auch für ${\displaystyle m=5}$ (eine 41373247568-stellige Zahl) und ${\displaystyle m=11}$ (die Anzahl der Stellen dieser Zahl hat 620 Stellen) erhält man keine Primzahlen. Für alle anderen ${\displaystyle m}$ ist noch nicht bekannt, ob es sich um Primzahlen handelt oder nicht.

Könnte man zeigen, dass es keine weiteren Primzahlen der Form ${\displaystyle n^{n}+1}$ gibt, so wäre gleichzeitig auch bewiesen, dass es unendlich viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen gibt.

• Sei ${\displaystyle n^{n^{n}}+1}$ eine Primzahl. Dann gilt:[25]

• ${\displaystyle n=F_{m}-1=2^{2^{m}}}$ mit einer positiven ganzen Zahl ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle n^{n^{n}}+1=F_{2^{2^{m}+m}+m}}$

• Die Menge aller quadratischen Nichtreste einer primen Fermat-Zahl ist gleich der Menge aller ihrer Primitivwurzeln.[26]

• Zwei Fermat-Zahlen sind gleich oder teilerfremd, wie aus der letzten Aussage folgt (Goldbachs Theorem, nach Christian Goldbach, 1730). Daraus lässt sich folgern, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe auch Beweisarchiv).

• Die Summe der Kehrwerte aller Fermat-Zahlen ist eine irrationale Zahl (bewiesen von Solomon W. Golomb im Jahr 1963).[27] Es gilt:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{n}}+1}}\approx 0{,}59606317211782167942379392586279}$ (Folge A051158 in OEIS)

• Keine Fermat-Zahl ist eine perfekte Zahl. Keine Fermat-Zahl ist Teil eines Paares befreundeter Zahlen (bewiesen von Florian Luca im Jahr 2000).[28]

• Die Summe der Kehrwerte aller Primteiler von Fermat-Zahlen ist konvergent (bewiesen von Michal Křížek, Florian Luca und Lawrence Somer im Jahr 2002).[29] Mit anderen Worten:

Sei ${\displaystyle P_{F}\subset \mathbb {P} }$ die Menge aller Primzahlen, die irgendeine Fermat-Zahl ${\displaystyle F_{n}}$ teilen. Dann gilt:

${\displaystyle \sum _{p\in P_{F}}{\frac {1}{p}}}$ ist konvergent.

• Sei ${\displaystyle p(F_{n})}$ der größte Primteiler der Fermat-Zahl ${\displaystyle F_{n}}$. Dann gilt:[30]

${\displaystyle p(F_{n})\geq 2^{n+2}\cdot (4n+9)+1}$

für alle  ${\displaystyle n\geq 4}$ (bewiesen von Aleksander Grytczuk, Florian Luca und Marek Wójtowicz im Jahr 2001).

• Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ist eine starke Pseudoprimzahl zur Basis 2, weil für alle Fermat-Zahlen gilt:[31]

${\displaystyle 2^{2^{r}}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}}$

für mindestens ein ${\displaystyle 0\leq r<2^{n}}$ (im Speziellen für ${\displaystyle r=n}$).

• Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ist eine eulersche Pseudoprimzahl zur Basis 2, weil für alle Fermat-Zahlen gilt:[31]

${\displaystyle 2^{\frac {F_{n}-1}{2}}=2^{2^{n}-1}\equiv \pm 1{\pmod {F_{n}}}}$

• Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ${\displaystyle F_{n}}$ ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2. Das heißt, für alle Fermat-Zahlen gilt:

${\displaystyle 2^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}}$

• Eine prime Fermat-Zahl ${\displaystyle F_{n}}$ ist niemals eine Wieferich-Primzahl.[32] Das heißt, für alle primen Fermat-Zahlen gilt:

${\displaystyle 2^{F_{n}-1}\not \equiv 1{\pmod {F_{n}^{2}}}}$

• Ein Produkt

${\displaystyle F_{a}\cdot F_{b}\cdot \ldots \cdot F_{s}}$

von Fermat-Zahlen mit ${\displaystyle a>b>\ldots >s>1}$ ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2 genau dann, wenn ${\displaystyle 2^{s}>a}$ (bewiesen von Michele Cipolla im Jahr 1904).[33]

• Jede Fermat-Zahl ${\displaystyle F_{n}}$ hat im Binärsystem die Form

${\displaystyle F_{n}=1\;\!000\ldots 000\;\!1}$

mit ${\displaystyle 2^{n}-1}$ Nullen zwischen den beiden Einsen am Anfang und Ende.[34]

Jede Fermat-Zahl ab ${\displaystyle F_{2}}$ hat im Hexadezimalsystem die Form

${\displaystyle F_{n}=1\;\!000\ldots 000\;\!1}$

mit ${\displaystyle 2^{n-2}-1}$ Nullen zwischen den beiden Einsen am Anfang und Ende.

Ungelöste Probleme

• Ist F_n eine zusammengesetzte Zahl für alle n ≥ 5?
• Gibt es unendlich viele zusammengesetzte Fermatsche Zahlen? (Diese Behauptung ist etwas schwächer als die vorherige.)
• Gibt es unendlich viele Fermatsche Primzahlen? (Diese Behauptung steht nicht im Widerspruch zur vorherigen; es könnten beide Behauptungen gelten.)
• Gibt es Fermatsche Zahlen, die nicht quadratfrei sind?

Geometrische Anwendung der Fermatschen Primzahlen

Anzahl der Seiten bekannter konstruierbarer Polygone.
Rot: Seitenzahlen der 31 bekannten regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl (Lesart von oben nach unten: Gleichseitiges Dreieck – regelmäßiges Fünfeck – regelmäßiges Fünfzehneck - … – 4294967295-Eck)
Schwarz: Seitenzahlen der (unendlich vielen) bekannten Polygone mit gerader Seitenzahl

Carl Friedrich Gauß zeigte (in seinem Lehrbuch Disquisitiones Arithmeticae), d​ass es e​inen Zusammenhang zwischen d​er Konstruktion v​on regelmäßigen Polygonen u​nd den Fermatschen Primzahlen gibt:

Ein regelmäßiges Polygon mit n Seiten kann dann und nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn n

• eine Potenz von 2 oder
• eine Potenz von 2 multipliziert mit paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.[35]

Mit anderen Worten:

Ein ${\displaystyle n}$-seitiges regelmäßiges Polygon kann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden${\displaystyle \qquad \Longleftrightarrow }$

${\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdot \dotso \cdot p_{s}}$  mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ und paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{s}}$

Konkret zeigte Gauß d​ie Konstruierbarkeit d​es regelmäßigen Siebzehnecks.

Die nach der obigen Formel konstruierbaren regelmäßigen Polygone lassen sich in zwei Gruppen unterteilen: solche mit ungerader Seitenzahl und solche mit gerader Seitenzahl. Alle Polygone, in denen ${\displaystyle k>0}$ ist, sind offensichtlich solche mit gerader Seitenzahl (durch 2 teilbar). Alle Polygone mit ${\displaystyle k=0}$ sind solche mit ungerader Seitenzahl (ein Produkt von Primzahlen größer als 2 ist immer eine ungerade Zahl). Da nur endlich viele Fermatsche Primzahlen bekannt sind, ist auch die Anzahl der bekannten, mit Zirkel und Lineal konstruierbaren, regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl begrenzt. Unter diesen ist das 4294967295-Eck (${\displaystyle \scriptstyle \prod _{i=1}^{5}p_{i}}$) dasjenige mit der größten Eckenzahl.

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen

Eine Zahl der Form ${\displaystyle b^{2^{n}}+a^{2^{n}}}$ mit zwei teilerfremden natürlichen Zahlen a > 0 und b > 0 heißt verallgemeinerte Fermatsche Zahl. Ist eine solche Zahl prim, dann heißt sie verallgemeinerte Fermatsche Primzahl.

Insgesamt s​ind schon über 11719 Faktoren v​on verallgemeinerten zusammengesetzten Fermat-Zahlen bekannt (Stand: 13. August 2018).[36][37] Davon wurden alleine über 5100 v​on Anders Björn u​nd Hans Riesel v​or 1998 entdeckt.

Ist a = 1, s​o werden d​ie so erhaltenen verallgemeinerten Fermatschen Zahlen üblicherweise mit

${\displaystyle F_{n}(b)=b^{2^{n}}+1}$

bezeichnet. Die Zahl b n​ennt man Basis.

Ist a = 1 u​nd b = 2, s​o handelt e​s sich u​m die s​chon weiter o​ben erwähnten Fermat-Zahlen

${\displaystyle F_{n}(2)=F_{n}=2^{2^{n}}+1}$.

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form ${\displaystyle F_{n}(b,a)={\frac {b^{2^{n}}+a^{2^{n}}}{\operatorname {ggT} (b+a,2)}}}$. Die beiden Basen ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle a}$ müssen, damit ${\displaystyle F_{n}(b,a)}$ prim sein kann, teilerfremd sein. Außerdem ist es auch notwendig, dass man ${\displaystyle F_{n}(b,a)}$ durch den größten gemeinsamen Teiler ${\displaystyle {\operatorname {ggT} (b+a,2)}}$ dividiert, da die Zahl ${\displaystyle b^{2^{n}}+a^{2^{n}}}$ bei ungeradem ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle a}$ immer eine gerade Zahl wäre und somit niemals eine Primzahl sein könnte. Weiters kann man ohne Einschränkung annehmen, dass ${\displaystyle a<b}$ sein muss, da man bei ${\displaystyle F_{n}(b,a)}$ das ${\displaystyle a}$ bedenkenlos mit ${\displaystyle b}$ vertauschen kann und somit zum Beispiel ${\displaystyle F_{n}(5,9)=F_{n}(9,5)}$ ist. Der Fall ${\displaystyle a=b}$ führt niemals zu Primzahlen, da dann ${\displaystyle F_{n}(b,a)=F_{n}(b,b)={\frac {b^{2^{n}}+b^{2^{n}}}{\operatorname {ggT} (b+b,2)}}={\frac {2b^{2^{n}}}{2}}=b^{2^{n}}}$ wäre und sicher nicht prim ist (es wären in diesem Fall auch die beiden Basen ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle b}$ nicht wie vorausgesetzt teilerfremd).

Liste der verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form ${\displaystyle F_{n}(b,a)={\frac {b^{2^{n}}+a^{2^{n}}}{\operatorname {ggT} (b+a,2)}}}$ mit konstantem ${\displaystyle b\leq 16}$ und ${\displaystyle a<b}$

b a ${\displaystyle F_{n}(b,a)}$ ${\displaystyle n}$, für die ${\displaystyle F_{n}(b,a)}$ prim ist 2 1 ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1^{2^{n}}}$ 0, 1, 2, 3, 4, … 3 1 ${\displaystyle {\frac {3^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}}$ 0, 1, 2, 4, 5, 6, … 3 2 ${\displaystyle 3^{2^{n}}+2^{2^{n}}}$ 0, 1, 2, … 4 1 ${\displaystyle 4^{2^{n}}+1^{2^{n}}}$ 0, 1, 2, 3, … 4 3 ${\displaystyle 4^{2^{n}}+3^{2^{n}}}$ 0, 2, 4, … 5 1 ${\displaystyle {\frac {5^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}}$ 0, 1, 2 … 5 2 ${\displaystyle 5^{2^{n}}+2^{2^{n}}}$ 0, 1, 2, … 5 3 ${\displaystyle {\frac {5^{2^{n}}+3^{2^{n}}}{2}}}$ 1, 2, 3, … 5 4 ${\displaystyle 5^{2^{n}}+4^{2^{n}}}$ 1, 2, … 6 1 ${\displaystyle 6^{2^{n}}+1^{2^{n}}}$ 0, 1, 2, … 6 5 ${\displaystyle 6^{2^{n}}+5^{2^{n}}}$ 0, 1, 3, 4, … 7 1 ${\displaystyle {\frac {7^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}}$ 2, … 7 2 ${\displaystyle 7^{2^{n}}+2^{2^{n}}}$ 1, 2, … 7 3 ${\displaystyle {\frac {7^{2^{n}}+3^{2^{n}}}{2}}}$ 0, 1, 8, … 7 4 ${\displaystyle 7^{2^{n}}+4^{2^{n}}}$ 0, 2, … 7 5 ${\displaystyle {\frac {7^{2^{n}}+5^{2^{n}}}{2}}}$ 1, 4, … 7 6 ${\displaystyle 7^{2^{n}}+6^{2^{n}}}$ 0, 2, 4, … 8 1 ${\displaystyle 8^{2^{n}}+1^{2^{n}}}$ es gibt keine Primzahlen dieser Form 8 3 ${\displaystyle 8^{2^{n}}+3^{2^{n}}}$ 0, 1, 2, … 8 5 ${\displaystyle 8^{2^{n}}+5^{2^{n}}}$ 0, 1, 2, …

b a ${\displaystyle F_{n}(b,a)}$ ${\displaystyle n}$, für die ${\displaystyle F_{n}(b,a)}$ prim ist 8 7 ${\displaystyle 8^{2^{n}}+7^{2^{n}}}$ 1, 4, … 9 1 ${\displaystyle {\frac {9^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}}$ 0, 1, 3, 4, 5, … 9 2 ${\displaystyle 9^{2^{n}}+2^{2^{n}}}$ 0, 2, … 9 4 ${\displaystyle 9^{2^{n}}+4^{2^{n}}}$ 0, 1, … 9 5 ${\displaystyle {\frac {9^{2^{n}}+5^{2^{n}}}{2}}}$ 0, 1, 2, … 9 7 ${\displaystyle {\frac {9^{2^{n}}+7^{2^{n}}}{2}}}$ 2, … 9 8 ${\displaystyle 9^{2^{n}}+8^{2^{n}}}$ 0, 2, 5, … 10 1 ${\displaystyle 10^{2^{n}}+1^{2^{n}}}$ 0, 1, … 10 3 ${\displaystyle 10^{2^{n}}+3^{2^{n}}}$ 0, 1, 3, … 10 7 ${\displaystyle 10^{2^{n}}+7^{2^{n}}}$ 0, 1, 2, … 10 9 ${\displaystyle 10^{2^{n}}+9^{2^{n}}}$ 0, 1, 2, … 11 1 ${\displaystyle {\frac {11^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}}$ 1, 2, … 11 2 ${\displaystyle 11^{2^{n}}+2^{2^{n}}}$ 0, 2, … 11 3 ${\displaystyle {\frac {11^{2^{n}}+3^{2^{n}}}{2}}}$ 0, 3, … 11 4 ${\displaystyle 11^{2^{n}}+4^{2^{n}}}$ 1, 2, … 11 5 ${\displaystyle {\frac {11^{2^{n}}+5^{2^{n}}}{2}}}$ 1, … 11 6 ${\displaystyle 11^{2^{n}}+6^{2^{n}}}$ 0, 1, 2, … 11 7 ${\displaystyle {\frac {11^{2^{n}}+7^{2^{n}}}{2}}}$ 2, 4, 5, … 11 8 ${\displaystyle 11^{2^{n}}+8^{2^{n}}}$ 0, 6, … 11 9 ${\displaystyle {\frac {11^{2^{n}}+9^{2^{n}}}{2}}}$ 1, 2, …

b a ${\displaystyle F_{n}(b,a)}$ ${\displaystyle n}$, für die ${\displaystyle F_{n}(b,a)}$ prim ist 11 10 ${\displaystyle 11^{2^{n}}+10^{2^{n}}}$ 5, … 12 1 ${\displaystyle 12^{2^{n}}+1^{2^{n}}}$ 0, … 12 5 ${\displaystyle 12^{2^{n}}+5^{2^{n}}}$ 0, 4, … 12 7 ${\displaystyle 12^{2^{n}}+7^{2^{n}}}$ 0, 1, 3, … 12 11 ${\displaystyle 12^{2^{n}}+11^{2^{n}}}$ 0, … 13 1 ${\displaystyle {\frac {13^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}}$ 0, 2, 3, … 13 2 ${\displaystyle 13^{2^{n}}+2^{2^{n}}}$ 1, 3, 9, … 13 3 ${\displaystyle {\frac {13^{2^{n}}+3^{2^{n}}}{2}}}$ 1, 2, … 13 4 ${\displaystyle 13^{2^{n}}+4^{2^{n}}}$ 0, 2, … 13 5 ${\displaystyle {\frac {13^{2^{n}}+5^{2^{n}}}{2}}}$ 1, 2, 4, … 13 6 ${\displaystyle 13^{2^{n}}+6^{2^{n}}}$ 0, 6, … 13 7 ${\displaystyle {\frac {13^{2^{n}}+7^{2^{n}}}{2}}}$ 1, … 13 8 ${\displaystyle 13^{2^{n}}+8^{2^{n}}}$ 1, 3, 4, … 13 9 ${\displaystyle {\frac {13^{2^{n}}+9^{2^{n}}}{2}}}$ 0, 3, … 13 10 ${\displaystyle 13^{2^{n}}+10^{2^{n}}}$ 0, 1, 2, 4, … 13 11 ${\displaystyle {\frac {13^{2^{n}}+11^{2^{n}}}{2}}}$ 2, … 13 12 ${\displaystyle 13^{2^{n}}+12^{2^{n}}}$ 1, 2, 5, … 14 1 ${\displaystyle 14^{2^{n}}+1^{2^{n}}}$ 1, … 14 3 ${\displaystyle 14^{2^{n}}+3^{2^{n}}}$ 0, 3, … 14 5 ${\displaystyle 14^{2^{n}}+5^{2^{n}}}$ 0, 2, 4, 8, …

b a ${\displaystyle F_{n}(b,a)}$ ${\displaystyle n}$, für die ${\displaystyle F_{n}(b,a)}$ prim ist 14 9 ${\displaystyle 14^{2^{n}}+9^{2^{n}}}$ 0, 1, 8, … 14 11 ${\displaystyle 14^{2^{n}}+11^{2^{n}}}$ 1, … 14 13 ${\displaystyle 14^{2^{n}}+13^{2^{n}}}$ 2, … 15 1 ${\displaystyle {\frac {15^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}}$ 1, … 15 2 ${\displaystyle 15^{2^{n}}+2^{2^{n}}}$ 0, 1, … 15 4 ${\displaystyle 15^{2^{n}}+4^{2^{n}}}$ 0, 1, … 15 7 ${\displaystyle {\frac {15^{2^{n}}+7^{2^{n}}}{2}}}$ 0, 1, 2, … 15 8 ${\displaystyle 15^{2^{n}}+8^{2^{n}}}$ 0, 2, 3, … 15 11 ${\displaystyle {\frac {15^{2^{n}}+11^{2^{n}}}{2}}}$ 0, 1, 2, … 15 13 ${\displaystyle {\frac {15^{2^{n}}+13^{2^{n}}}{2}}}$ 1, 4, … 15 14 ${\displaystyle 15^{2^{n}}+14^{2^{n}}}$ 0, 1, 2, 4, … 16 1 ${\displaystyle 16^{2^{n}}+1^{2^{n}}}$ 0, 1, 2, … 16 3 ${\displaystyle 16^{2^{n}}+3^{2^{n}}}$ 0, 2, 8, … 16 5 ${\displaystyle 16^{2^{n}}+5^{2^{n}}}$ 1, 2, … 16 7 ${\displaystyle 16^{2^{n}}+7^{2^{n}}}$ 0, 6, … 16 9 ${\displaystyle 16^{2^{n}}+9^{2^{n}}}$ 1, 3, … 16 11 ${\displaystyle 16^{2^{n}}+11^{2^{n}}}$ 2, 4, … 16 13 ${\displaystyle 16^{2^{n}}+13^{2^{n}}}$ 0, 3, … 16 15 ${\displaystyle 16^{2^{n}}+15^{2^{n}}}$ 0, …

Fast alle verallgemeinerten Fermatschen Zahlen sind wahrscheinlich zusammengesetzt. Bewiesen ist diese Aussage aber nicht, denn schon für ${\displaystyle b=2}$ und ${\displaystyle a=1}$ (das sind die ursprünglichen Fermat-Zahlen) wurde weiter oben im Kapitel Ungelöste Probleme erwähnt, dass man noch nicht weiß, ob ab ${\displaystyle n\geq 5}$ alle weiteren ${\displaystyle F_{n}}$ zusammengesetzt sind oder nicht. Ähnlich verhält es sich mit anderen Basen und Hochzahlen. Und obwohl schon über 11000 Faktoren von verallgemeinerten Fermatschen Zahlen bekannt sind (siehe weiter oben), ist es schwierig, solche Faktoren zu finden, zumal ${\displaystyle F_{n}(b,a)}$ sehr schnell sehr groß wird. Zum Teil weiß man zwar, dass diese Zahlen zusammengesetzt sein müssen, aber Primteiler kennt man von den wenigsten. Bekannt ist, dass solche Primteiler die Form ${\displaystyle k\cdot 2^{m}+1}$ haben müssen. Es folgt eine Auflistung von Primfaktoren kleinerer verallgemeinerter Fermatschen Zahlen inklusive zweier etwas höherer Zahlenbeispiele, anhand derer man erkennen kann, wie schnell die Zahlen sehr hoch werden.

Liste von ausgewählten Primfaktoren von verallgemeinerten Fermatschen Zahlen der Form ${\displaystyle F_{n}(b,a)={\frac {b^{2^{n}}+a^{2^{n}}}{\operatorname {ggT} (b+a,2)}}}$

verallgemeinerte zusammengesetzte Fermatsche Zahl					Primteiler
b	a	n	${\displaystyle F_{n}(b,a)}$	Dezimalschreibweise	k	m	Primteiler ${\displaystyle k\cdot 2^{m}+1}$	Dezimalschreibweise
2	1	5	${\displaystyle 2^{2^{5}}+1^{2^{5}}}$	4.294.967.297 (=${\displaystyle F_{5}}$)	5	7	${\displaystyle 5\cdot 2^{7}+1}$	641
					52347	7	${\displaystyle 52347\cdot 2^{7}+1}$	6.700.417
2	1	6	${\displaystyle 2^{2^{6}}+1^{2^{6}}}$	18.446.744.073.709.551.617 (=${\displaystyle F_{6}}$)	1071	8	${\displaystyle 1071\cdot 2^{8}+1}$	274.177
					262814145745	8	${\displaystyle 262814145745\cdot 2^{8}+1}$	67.280.421.310.721
3	1	3	${\displaystyle {\frac {3^{2^{3}}+1^{2^{3}}}{2}}}$	3.281	1	4	${\displaystyle 1\cdot 2^{4}+1}$	17
					3	6	${\displaystyle 3\cdot 2^{6}+1}$	193
3	2	3	${\displaystyle 3^{2^{3}}+2^{2^{3}}}$	6.817	1	4	${\displaystyle 1\cdot 2^{4}+1}$	17
					25	4	${\displaystyle 25\cdot 2^{4}+1}$	401
3	2	4	${\displaystyle 3^{2^{4}}+2^{2^{4}}}$	43.112.257	95	5	${\displaystyle 95\cdot 2^{5}+1}$	3.041
					443	5	${\displaystyle 443\cdot 2^{5}+1}$	14.177
3	2	5	${\displaystyle 3^{2^{5}}+2^{2^{5}}}$	1.853.024.483.819.137	9	7	${\displaystyle 9\cdot 2^{7}+1}$	1.153
					3138931869	9	${\displaystyle 3138931869\cdot 2^{9}+1}$	1.607.133.116.929
3	2	6	${\displaystyle 3^{2^{6}}+2^{2^{6}}}$	3.433.683.820.310.959.228.731.558.640.897	3	8	${\displaystyle 3\cdot 2^{8}+1}$	769
					952341149	7	${\displaystyle 952341149\cdot 2^{7}+1}$	121.899.667.073
					286168266760535	7	${\displaystyle 286168266760535\cdot 2^{7}+1}$	36.629.538.145.348.481
4	1	4	${\displaystyle 4^{2^{4}}+1^{2^{4}}}$	4.294.967.297	5	7	${\displaystyle 5\cdot 2^{7}+1}$	641
					52347	7	${\displaystyle 52347\cdot 2^{7}+1}$	6.700.417
4	1	5	${\displaystyle 4^{2^{5}}+1^{2^{5}}}$	18.446.744.073.709.551.617	1071	8	${\displaystyle 1071\cdot 2^{8}+1}$	274.177
					262814145745	8	${\displaystyle 262814145745\cdot 2^{7}+1}$	67.280.421.310.721
4	1	6	${\displaystyle 4^{2^{6}}+1^{2^{6}}}$	340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457	116503103764643	9	${\displaystyle 116503103764643\cdot 2^{9}+1}$	59.649.589.127.497.217
					11141971095088142685	9	${\displaystyle 11141971095088142685\cdot 2^{9}+1}$	5.704.689.200.685.129.054.721
4	3	1	${\displaystyle 4^{2^{1}}+3^{2^{1}}}$	25	1	2	${\displaystyle 1\cdot 2^{2}+1}$	5
					1	2	${\displaystyle 1\cdot 2^{2}+1}$	5
4	3	3	${\displaystyle 4^{2^{3}}+3^{2^{3}}}$	72.097	1	4	${\displaystyle 1\cdot 2^{4}+1}$	17
					265	4	${\displaystyle 265\cdot 2^{4}+1}$	4.241
4	3	5	${\displaystyle 4^{2^{5}}+3^{2^{5}}}$	18.448.597.093.898.403.457	187	6	${\displaystyle 187\cdot 2^{6}+1}$	11.969
					24083827353343	6	${\displaystyle 24083827353343\cdot 2^{6}+1}$	1.541.364.950.613.953
4	3	6	${\displaystyle 4^{2^{6}}+3^{2^{6}}}$	340.282.370.354.622.283.755.887.092.089.617.300.737	1317	8	${\displaystyle 1317\cdot 2^{8}+1}$	337.153
					492813355211781926870528348211	11	${\displaystyle 492813355211781926870528348211\cdot 2^{11}+1}$	1.009.281.751.473.729.386.230.842.057.136.129
5	1	3	${\displaystyle {\frac {5^{2^{3}}+1^{2^{3}}}{2}}}$	195.313	1	4	${\displaystyle 1\cdot 2^{4}+1}$	17
					359	5	${\displaystyle 359\cdot 2^{5}+1}$	11.489
5	1	4	${\displaystyle {\frac {5^{2^{4}}+1^{2^{4}}}{2}}}$	76.293.945.313	81	5	${\displaystyle 81\cdot 2^{5}+1}$	2.593
					459735	6	${\displaystyle 459735\cdot 2^{6}+1}$	29.423.041
5	1	5	${\displaystyle {\frac {5^{2^{5}}+1^{2^{5}}}{2}}}$	11.641.532.182.693.481.445.313	5	7	${\displaystyle 5\cdot 2^{7}+1}$	641
					1172953	6	${\displaystyle 1172953\cdot 2^{6}+1}$	75.068.993
					945042975	8	${\displaystyle 945042975\cdot 2^{8}+1}$	241.931.001.601
5	1	6	${\displaystyle {\frac {5^{2^{6}}+1^{2^{6}}}{2}}}$	271.050.543.121.376.108.501.863.200.217.485.427.856.445.313 (Zahl hat 45 (also abgerundet etwa ${\displaystyle 10^{1}}$) Stellen)	3	8	${\displaystyle 3\cdot 2^{8}+1}$	769
					28644528117	7	${\displaystyle 28644528117\cdot 2^{7}+1}$	3.666.499.598.977
					187759681216101058498487625	9	${\displaystyle 187759681216101058498487625\cdot 2^{9}+1}$	96.132.956.782.643.741.951.225.664.001
…	…	…	…	…	…	…	…	…
					…	…	…	…
12	11	37	${\displaystyle 12^{2^{37}}+11^{2^{37}}}$	Zahl hat 148.321.541.064 (also etwa ${\displaystyle 10^{11}}$) Stellen	1776222707793	38	${\displaystyle 1776222707793\cdot 2^{38}+1}$	488.244.380.184.543.957.614.593
					und noch ein Faktor, von dem man nicht weiß, ob er zusammengesetzt ist oder nicht
…	…	…	…	…	…	…	…	…
					…	…	…	…
12	11	7033640	${\displaystyle 12^{2^{7033640}}+11^{2^{7033640}}}$	Zahl hat etwa ${\displaystyle 10^{2117337}}$ Stellen	3	7033641	${\displaystyle 3\cdot 2^{7033641}+1}$	Primteiler hat 2117338 Stellen
					und noch ein Faktor, von dem man nicht weiß, ob er zusammengesetzt ist oder nicht

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen der Form F_n(b)

Ist b e​ine gerade Zahl, s​o kann F_n(b) sowohl zusammengesetzt a​ls auch p​rim sein.

Beispiel 1:

b = 8, n = 3 ergibt die zusammengesetzte Zahl

${\displaystyle F_{3}(8)=8^{2^{3}}+1=8^{8}+1=16.777.217=97\cdot 257\cdot 673}$.

Beispiel 2:

b = 6, n = 2 ergibt die Primzahl

${\displaystyle F_{2}(6)=6^{2^{2}}+1=6^{4}+1=1297}$.

Beispiel 3:

b = 30, n = 5 ergibt die 48-stellige Primzahl

${\displaystyle F_{5}(30)=30^{2^{5}}+1=30^{32}+1=185.302.018.885.184.100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.001}$

und ist gleichzeitig die kleinste verallgemeinerte Fermatsche Primzahl mit ${\displaystyle n>4}$.

Ist b e​ine ungerade Zahl, s​o ist F_n(b) a​ls Summe e​iner Potenz e​iner ungeraden Zahl (die selbst wieder ungerade ist) u​nd 1 i​mmer eine gerade Zahl, s​omit durch 2 teilbar u​nd deshalb für b > 1 k​eine Primzahl, sondern zusammengesetzt. In diesem Fall w​ird häufig d​ie Zahl

${\displaystyle {\frac {F_{n}(b)}{2}}={\frac {b^{2^{n}}+1}{2}}}$

auf i​hre Primalität untersucht. Diese Zahlen werden a​uch halbe verallgemeinerte Fermatsche Zahlen genannt.

Beispiel 4:

b = 3, n = 2 ergibt die gerade und somit zusammengesetzte Zahl

${\displaystyle F_{2}(3)=3^{2^{2}}+1=3^{4}+1=81+1=82=2\cdot 41}$.

Es ist aber

${\displaystyle {\frac {F_{2}(3)}{2}}={\frac {3^{2^{2}}+1}{2}}={\frac {82}{2}}=41}$

eine Primzahl.

Beispiel 5:

b = 5, n = 3 ergibt die gerade und somit zusammengesetzte Zahl

${\displaystyle F_{3}(5)=5^{2^{3}}+1=5^{8}+1=390625+1=390626=2\cdot 17\cdot 11489.}$

Es ist aber

${\displaystyle {\frac {F_{3}(5)}{2}}={\frac {5^{2^{3}}+1}{2}}={\frac {390626}{2}}=195313=17\cdot 11489}$

eine zusammengesetzte Zahl.

Liste der Primzahlen der Form F_n(b)

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen der Form ${\displaystyle F_{n}(b)=b^{2^{n}}+1}$ (für gerade ${\displaystyle b}$) bzw. der Form ${\displaystyle {\frac {F_{n}(b)}{2}}={\frac {b^{2^{n}}+1}{2}}}$ (für ungerade ${\displaystyle b}$) sind in den meisten Fällen zusammengesetzt. Weil diese Zahlen sehr schnell sehr groß werden, sind nicht besonders viele Primzahlen dieser Art bekannt. Es folgt eine Auflistung von Primzahlen der Form ${\displaystyle F_{n}(b)}$ mit konstantem ${\displaystyle b\leq 60}$:

Liste der verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form ${\displaystyle F_{n}(b)=b^{2^{n}}+1}$ bzw. der Form ${\displaystyle {\frac {F_{n}(b)}{2}}={\frac {b^{2^{n}}+1}{2}}}$ mit konstantem ${\displaystyle b\leq 60}$

b ${\displaystyle F_{n}(b)}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {F_{n}(b)}{2}}}$ ${\displaystyle n}$, für die ${\displaystyle F_{n}(b)}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {F_{n}(b)}{2}}}$ prim ist 0 ${\displaystyle 0^{2^{n}}+1=1}$ es gibt keine Primzahlen dieser Form 1 ${\displaystyle {\frac {1^{2^{n}}+1}{2}}=1}$ es gibt keine Primzahlen dieser Form 2 ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ 0, 1, 2, 3, 4, … 3 ${\displaystyle {\frac {3^{2^{n}}+1}{2}}}$ 0, 1, 2, 4, 5, 6, … 4 ${\displaystyle 4^{2^{n}}+1}$ 0, 1, 2, 3, … 5 ${\displaystyle {\frac {5^{2^{n}}+1}{2}}}$ 0, 1, 2, … 6 ${\displaystyle 6^{2^{n}}+1}$ 0, 1, 2, … 7 ${\displaystyle {\frac {7^{2^{n}}+1}{2}}}$ 2, … 8 ${\displaystyle 8^{2^{n}}+1}$ es gibt keine Primzahlen dieser Form 9 ${\displaystyle {\frac {9^{2^{n}}+1}{2}}}$ 0, 1, 3, 4, 5, … 10 ${\displaystyle 10^{2^{n}}+1}$ 0, 1, … 11 ${\displaystyle {\frac {11^{2^{n}}+1}{2}}}$ 1, 2, … 12 ${\displaystyle 12^{2^{n}}+1}$ 0, … 13 ${\displaystyle {\frac {13^{2^{n}}+1}{2}}}$ 0, 2, 3, … 14 ${\displaystyle 14^{2^{n}}+1}$ 1, … 15 ${\displaystyle {\frac {15^{2^{n}}+1}{2}}}$ 1, …

b ${\displaystyle F_{n}(b)}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {F_{n}(b)}{2}}}$ ${\displaystyle n}$, für die ${\displaystyle F_{n}(b)}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {F_{n}(b)}{2}}}$ prim ist 16 ${\displaystyle 16^{2^{n}}+1}$ 0, 1, 2, … 17 ${\displaystyle {\frac {17^{2^{n}}+1}{2}}}$ 2, … 18 ${\displaystyle 18^{2^{n}}+1}$ 0, … 19 ${\displaystyle {\frac {19^{2^{n}}+1}{2}}}$ 1, … 20 ${\displaystyle 20^{2^{n}}+1}$ 1, 2, … 21 ${\displaystyle {\frac {21^{2^{n}}+1}{2}}}$ 0, 2, 5, … 22 ${\displaystyle 22^{2^{n}}+1}$ 0, … 23 ${\displaystyle {\frac {23^{2^{n}}+1}{2}}}$ 2, … 24 ${\displaystyle 24^{2^{n}}+1}$ 1, 2, … 25 ${\displaystyle {\frac {25^{2^{n}}+1}{2}}}$ 0, 1, … 26 ${\displaystyle 26^{2^{n}}+1}$ 1, … 27 ${\displaystyle {\frac {27^{2^{n}}+1}{2}}}$ es gibt keine Primzahlen dieser Form 28 ${\displaystyle 28^{2^{n}}+1}$ 0, 2, … 29 ${\displaystyle {\frac {29^{2^{n}}+1}{2}}}$ 1, 2, 4, … 30 ${\displaystyle 30^{2^{n}}+1}$ 0, 5, …

b ${\displaystyle F_{n}(b)}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {F_{n}(b)}{2}}}$ ${\displaystyle n}$, für die ${\displaystyle F_{n}(b)}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {F_{n}(b)}{2}}}$ prim ist 31 ${\displaystyle {\frac {31^{2^{n}}+1}{2}}}$ noch keine bekannt 32 ${\displaystyle 32^{2^{n}}+1}$ es gibt keine Primzahlen dieser Form 33 ${\displaystyle {\frac {33^{2^{n}}+1}{2}}}$ 0, 3, … 34 ${\displaystyle 34^{2^{n}}+1}$ 2, … 35 ${\displaystyle {\frac {35^{2^{n}}+1}{2}}}$ 1, 2, 6, … 36 ${\displaystyle 36^{2^{n}}+1}$ 0, 1, … 37 ${\displaystyle {\frac {37^{2^{n}}+1}{2}}}$ 0, … 38 ${\displaystyle 38^{2^{n}}+1}$ noch keine bekannt 39 ${\displaystyle {\frac {39^{2^{n}}+1}{2}}}$ 1, 2, … 40 ${\displaystyle 40^{2^{n}}+1}$ 0, 1, … 41 ${\displaystyle {\frac {41^{2^{n}}+1}{2}}}$ 4, … 42 ${\displaystyle 42^{2^{n}}+1}$ 0, … 43 ${\displaystyle {\frac {43^{2^{n}}+1}{2}}}$ 3, … 44 ${\displaystyle 44^{2^{n}}+1}$ 4, … 45 ${\displaystyle {\frac {45^{2^{n}}+1}{2}}}$ 0, 1, …

b ${\displaystyle F_{n}(b)}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {F_{n}(b)}{2}}}$ ${\displaystyle n}$, für die ${\displaystyle F_{n}(b)}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {F_{n}(b)}{2}}}$ prim ist 46 ${\displaystyle {\frac {46^{2^{n}}+1}{2}}}$ 0, 2, 9, … 47 ${\displaystyle 47^{2^{n}}+1}$ 3, … 48 ${\displaystyle {\frac {48^{2^{n}}+1}{2}}}$ 2, … 49 ${\displaystyle 49^{2^{n}}+1}$ 1, … 50 ${\displaystyle {\frac {50^{2^{n}}+1}{2}}}$ noch keine bekannt 51 ${\displaystyle 51^{2^{n}}+1}$ 1, 3, 6, … 52 ${\displaystyle {\frac {52^{2^{n}}+1}{2}}}$ 0, … 53 ${\displaystyle 53^{2^{n}}+1}$ 3, … 54 ${\displaystyle {\frac {54^{2^{n}}+1}{2}}}$ 1, 2, 5, … 55 ${\displaystyle 55^{2^{n}}+1}$ noch keine bekannt 56 ${\displaystyle {\frac {56^{2^{n}}+1}{2}}}$ 1, 2, … 57 ${\displaystyle 57^{2^{n}}+1}$ 0, 2, … 58 ${\displaystyle {\frac {58^{2^{n}}+1}{2}}}$ 0, … 59 ${\displaystyle 59^{2^{n}}+1}$ 1, … 60 ${\displaystyle {\frac {60^{2^{n}}+1}{2}}}$ 0, …

Die kleinsten ${\displaystyle n}$ (ab ${\displaystyle b=2}$), für die ${\displaystyle F_{n}(b)}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {F_{n}(b)}{2}}}$ erstmals eine Primzahl ergibt, kann man der obigen Tabelle entnehmen, was für alle ${\displaystyle b\leq 1500}$ die folgende Liste ergibt (der Wert −1 bedeutet „nicht existent“ bzw. „noch keine bekannt“):

0, 0, 0, 0, 0, 2, −1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 1, −1, 0, 1, 0, −1, −1, 0, 2, 1, 0, 0, −1, 1, 0, 4, 0, 3, 4, 0, 0, 3, 2, 1, −1, 1, 0, 3, 1, −1, 1, 0, 0, 1, 0, … (Folge A253242 in OEIS)

Mehr Informationen für gerade ${\displaystyle b}$ bis zur Basis ${\displaystyle b=1000}$ findet man im Internet.[38]

Nun folgt eine Auflistung von Primzahlen der Form ${\displaystyle F_{n}(b)}$ mit konstantem ${\displaystyle n}$:

Liste der verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form ${\displaystyle F_{n}(b)=b^{2^{n}}+1}$ mit konstantem ${\displaystyle n}$

n	Fn(b)	b, für die Fn(b) prim ist	OEIS-Folge
0	${\displaystyle b+1}$	1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, … (alle Primzahlen minus 1)	(Folge A006093 in OEIS)
1	${\displaystyle b^{2}+1}$	1, 2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, 40, 54, 56, 66, 74, 84, 90, 94, 110, 116, 120, 124, 126, 130, 134, 146, 150, 156, 160, 170, 176, 180, 184, 204, 206, 210, 224, 230, 236, 240, 250, 256, 260, 264, 270, 280, 284, 300, 306, 314, 326, 340, 350, 384, 386, 396, …	(Folge A005574 in OEIS)
2	${\displaystyle b^{4}+1}$	1, 2, 4, 6, 16, 20, 24, 28, 34, 46, 48, 54, 56, 74, 80, 82, 88, 90, 106, 118, 132, 140, 142, 154, 160, 164, 174, 180, 194, 198, 204, 210, 220, 228, 238, 242, 248, 254, 266, 272, 276, 278, 288, 296, 312, 320, 328, 334, 340, 352, 364, 374, 414, 430, 436, 442, 466, …	(Folge A000068 in OEIS)
3	${\displaystyle b^{8}+1}$	1, 2, 4, 118, 132, 140, 152, 208, 240, 242, 288, 290, 306, 378, 392, 426, 434, 442, 508, 510, 540, 542, 562, 596, 610, 664, 680, 682, 732, 782, 800, 808, 866, 876, 884, 892, 916, 918, 934, 956, 990, 1022, 1028, 1054, 1106, 1120, 1174, 1224, 1232, 1256, 1284, …	(Folge A006314 in OEIS)
4	${\displaystyle b^{16}+1}$	1, 2, 44, 74, 76, 94, 156, 158, 176, 188, 198, 248, 288, 306, 318, 330, 348, 370, 382, 396, 452, 456, 470, 474, 476, 478, 560, 568, 598, 642, 686, 688, 690, 736, 774, 776, 778, 790, 830, 832, 834, 846, 900, 916, 946, 956, 972, 982, 984, 1018, 1044, 1078, …	(Folge A006313 in OEIS)
5	${\displaystyle b^{32}+1}$	1, 30, 54, 96, 112, 114, 132, 156, 332, 342, 360, 376, 428, 430, 432, 448, 562, 588, 726, 738, 804, 850, 884, 1068, 1142, 1198, 1306, 1540, 1568, 1596, 1678, 1714, 1754, 1812, 1818, 1878, 1906, 1960, 1962, 2046, 2098, 2118, 2142, 2330, 2418, 2434, 2654, 2668, …	(Folge A006315 in OEIS)
6	${\displaystyle b^{64}+1}$	1, 102, 162, 274, 300, 412, 562, 592, 728, 1084, 1094, 1108, 1120, 1200, 1558, 1566, 1630, 1804, 1876, 2094, 2162, 2164, 2238, 2336, 2388, 2420, 2494, 2524, 2614, 2784, 3024, 3104, 3140, 3164, 3254, 3278, 3628, 3694, 3738, 3750, 4000, 4030, 4058, 4166, …	(Folge A006316 in OEIS)
7	${\displaystyle b^{128}+1}$	1, 120, 190, 234, 506, 532, 548, 960, 1738, 1786, 2884, 3000, 3420, 3476, 3658, 4258, 5788, 6080, 6562, 6750, 7692, 8296, 9108, 9356, 9582, 9706, 10238, 10994, 11338, 11432, 11466, 11554, 11778, 12704, 12766, 13082, 13478, 13700, …	(Folge A056994 in OEIS)
8	${\displaystyle b^{256}+1}$	1, 278, 614, 892, 898, 1348, 1494, 1574, 1938, 2116, 2122, 2278, 2762, 3434, 4094, 4204, 4728, 5712, 5744, 6066, 6508, 6930, 7022, 7332, 8524, 8644, 8762, 8808, 9024, 9142, 9412, 10892, 12206, 13220, 13222, 13246, 13370, 13738, 14114, 14930, …	(Folge A056995 in OEIS)
9	${\displaystyle b^{512}+1}$	1, 46, 1036, 1318, 1342, 2472, 2926, 3154, 3878, 4386, 4464, 4474, 4482, 4616, 4688, 5374, 5698, 5716, 5770, 6268, 6386, 6682, 7388, 7992, 8678, 8792, 9448, 9452, 9972, 10086, 10448, 10926, 11468, 12754, 13198, 13776, 14734, 16826, 16914, 18334, …	(Folge A057465 in OEIS)
10	${\displaystyle b^{1024}+1}$	1, 824, 1476, 1632, 2462, 2484, 2520, 3064, 3402, 3820, 4026, 6640, 7026, 7158, 9070, 12202, 12548, 12994, 13042, 15358, 17646, 17670, 18336, 19564, 20624, 22500, 24126, 26132, 26188, 26240, 29074, 29658, 30778, 31126, 32244, 33044, 34016, …	(Folge A057002 in OEIS)
11	${\displaystyle b^{2048}+1}$	1, 150, 2558, 4650, 4772, 11272, 13236, 15048, 23302, 26946, 29504, 31614, 33308, 35054, 36702, 37062, 39020, 39056, 43738, 44174, 45654, 46502, 47348, 49190, 49204, 49544, 54514, 57210, 59770, 61184, 66894, 68194, 70574, 72446, 82642, …	(Folge A088361 in OEIS)
12	${\displaystyle b^{4096}+1}$	1, 1534, 7316, 17582, 18224, 28234, 34954, 41336, 48824, 51558, 51914, 57394, 61686, 62060, 89762, 96632, 98242, 100540, 101578, 109696, 110540, 114690, 125440, 125442, 127596, 138068, 144362, 154908, 157310, 161822, 161900, 166224, …	(Folge A088362 in OEIS)
13	${\displaystyle b^{8192}+1}$	1, 30406, 71852, 85654, 111850, 126308, 134492, 144642, 147942, 150152, 165894, 176206, 180924, 201170, 212724, 222764, 225174, 241600, 241860, 248744, 268032, 270674, 302368, 316970, 326260, 347962, 350830, 397468, 410938, 416010, 441238, 443718, 458520, 462678, 463012, 475158, 481750, …, 352666770, …	(Folge A226528 in OEIS)
14	${\displaystyle b^{16384}+1}$	1, 67234, 101830, 114024, 133858, 162192, 165306, 210714, 216968, 229310, 232798, 422666, 426690, 449732, 462470, 468144, 498904, 506664, 509622, 528614, 572934, 581424, 638980, 641762, 656210, 698480, 704930, 730352, 795810, 840796, 908086, 975248, 976914, 990908, 1007874, 1037748, 1039970, 1067896, 1082054, 1097352, 1102754, 1132526, 1162996, 1171010, 1177808, 1181388, …, 10841645805132531666786792405311319418846637043199917731311876, …	(Folge A226529 in OEIS)
15	${\displaystyle b^{32768}+1}$	1, 70906, 167176, 204462, 249830, 321164, 330716, 332554, 429370, 499310, 524552, 553602, 743788, 825324, 831648, 855124, 999236, 1041870, 1074542, 1096382, 1113768, 1161054, 1167528, 1169486, 1171824, 1210354, 1217284, 1277444, 1519380, 1755378, 1909372, 1922592, 1986700, 2034902, 2147196, 2167350, …, 3292665455999520712131951642528, …[39]	(Folge A226530 in OEIS)
16	${\displaystyle b^{65536}+1}$	1, 48594, 108368, 141146, 189590, 255694, 291726, 292550, 357868, 440846, 544118, 549868, 671600, 843832, 857678, 1024390, 1057476, 1087540, 1266062, 1361846, 1374038, 1478036, 1483076, 1540550, 1828502, 1874512, 1927034, 1966374, 2019300, 2041898, 2056292, 2162068, 2177038, 2187182, 2251082, 2313394, …, 1814570322984178, …[40]	(Folge A251597 in OEIS)
17	${\displaystyle b^{131072}+1}$	1, 62722, 130816, 228188, 386892, 572186, 689186, 909548, 1063730, 1176694, 1361244, 1372930, 1560730, 1660830, 1717162, 1722230, 1766192, 1955556, 2194180, 2280466, 2639850, 3450080, 3615210, 3814944, 4085818, 4329134, 4893072, 4974408, 5326454, 5400728, 5471814, 5586416, 5734100, 5877582, 6391936, 6403134, 6705932, 7379442, 7832704, 7858180, 7926326, 8150484, 8704114, 8770526, 9240606, 9419976, 9785844, 9907326, 10037266, 10368632, 10453790, 10765720, 10921162, 10962066, 10994460, 11036888, 11195602, 11267296, 11292782, 11778792, 11876066, 12343130, 12357518, 12512992, 12661786, 12687374, 12851074, 12961862, 12978952, 13083418, 13433028, 13613070, 13800346, 14020004, 14217182, 14613898, 14790404, 15091270, 15147290, 15237960, 15342502, 15567144, 15667716, 15731520, 16329572, 16741226, 16985784, 17025822, 17052490, 17119936, 17138628, 17141888, 17643330, 17814792, 17958952, 18298534, 18309468, 18501600, 18509226, 18608780, 18813106, 18968126, 19216648, 19464034, 20185276, 20227142, 20234282, 20674450, 20968936, 21517658, 21582550, 21757066, 21869554, 21917442, 22007146, 22705306, 22718284, 22808110, 22901508, 22980158, 23011666, 23045178, 23363426, 42654182, 43163894, 43165206, 44049878, 44085096, 44330870, 44438760, 44919410, 45315256, 45570624, 46077492, 46371508, 46385310, 46413358, 46730280, 46736070, 46776558, 47090246, 47179704, 48273828, 48370248, 48643706, 49038514, 49090656, 49225986, 49243622, 49331672, 49397682, 49530004, 49817700, 50055102, 50110436, 50217306, 50495632, 50844724, 50963598, 51269192, 51567684, 51570250, 51580416, 51872628, 51954384, 52043532, 52412612, 52712138, 53078434, 53161266, 53659976, 54032538, 54161106, 54206254, 54212352, 54334044, 54361742, 54548788, 55015050, 55184170, 55268442, 55579418, 55645700, 56307420, 56383242, 56459558, 56584816, 56735576, 56917336, 57438404, 57594734, 57694224, 57704312, 58247118, 58447642, 58447816, 58523466, 58589880, 59161754, 59210784, 59305348, 59362002, 59405420, 59515830, 59692546, 59720358, 60133106, 60455792, 60540024, 60642326, 61030988, 61267078, 61837354, 62146946, 62276102, 63112418, 63165756, 63168480, 63823568, 64024604, 64476916, 64506894, 64568930, 64791668, 64911056, 65200798, 65305572, 65569854, 65791182, 66131722, 66272848, 66901180, 66982940, 67371416, 67725850, 67894288, 68275006, 68372810, 68536972, 68811158, 68918852, 68924112, 68999820, 69534788, 69565722, 69622572, 69689592, 69742382, 69915032, 70022042, 70050828, 70421038, 70658696, 70893680, 70934282, 70948704, 70960658, 71450224, 71679108, 71732900, 72070092, 72602370, 73099962, 73132228, 73160610, 73404316, 73690464, 73839292, 74325990, 74363146, 74381296, 74396818, 74817490, 74833516, 75521414, 75647276, 75861530, 76018874, 76026988, 76416048, 77281404, 77469882, 77918854, 77924964, 78089172, 78240016, 78439440, 78714954, 78851276, 78880690, 78910032, 79201682, 79383608, 79428414, 79485098, 79789806, 79801426, 79912550, 80146408, 80284312, 81096098, 81444036, 81477176, 81976506, 82003030, 82008736, 83003850, 83328182, 83364886, 84149050, 84384358, 84445014, 84679936, 84715930, 84723284, 84757790, 84765338, 84817722, 84924212, 85115888, 86060696, 86295564, 86347638, 86413544, 86829162, 87039658, 87116452, 87192538, 87268788, 87352356, 87370574, 87454694, 87547832, 87920992, 88068088, 271643232, 314187728, 399866798, …[41]	(Folge A253854 in OEIS)
18	${\displaystyle b^{262144}+1}$	1, 24518, 40734, 145310, 361658, 525094, 676754, 773620, 1415198, 1488256, 1615588, 1828858, 2042774, 2514168, 2611294, 2676404, 3060772, 3547726, 3596074, 3673932, 3853792, 3933508, 4246258, 4489246, 5152128, 5205422, 5828034, 6287774, 6291332, 8521794, 8883864, 9125820, 9450844, 9750938, 9812766, 10578478, 10627360, 10793312, 10829576, 10979776, 11081688, 12189878, 12304152, 12529818, 12582496, 12959788, 13039868, …[42]	(Folge A244150 in OEIS)
19	${\displaystyle b^{524288}+1}$	1, 75898, 341112, 356926, 475856, 1880370, 2061748, 2312092, 2733014, 2788032, 2877652, 2985036, 3214654, 3638450, …[43]	(Folge A243959 in OEIS)
20	${\displaystyle b^{1048576}+1}$	1, 919444, 1059094, …[44]	(Folge A321323 in OEIS)

Stand: 19. März 2021

Die kleinsten ${\displaystyle b}$ (mit ${\displaystyle b\geq 2}$), für die ${\displaystyle F_{n}(b)}$ erstmals eine Primzahl ergibt, kann man der obigen Tabelle entnehmen, was die folgende Liste ergibt:

2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, … (Folge A056993 in OEIS)

Die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen

Der folgenden Liste kann man die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen entnehmen. Sämtliche Entdecker dieser Primzahlen sind Teilnehmer des PrimeGrid-Projektes. In der zweiten Spalte steht, die wievieltgrößte bekannte Primzahl diese Fermatsche Primzahl im Moment ist.

Die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen

Rang	wievieltgrößte bekannte Primzahl^a[45][46][47]	Primzahl	Fn(b)	Dezimalstellen von Fn(b)	Entdeckungsdatum	Entdecker	Quelle
1	14.	${\displaystyle 1059094^{1048576}+1}$	${\displaystyle F_{20}(1059094)}$	6.317.602	31. Oktober 2018	Rob Gahan (IRL)	[48]
2	15.	${\displaystyle 919444^{1048576}+1}$	${\displaystyle F_{20}(919444)}$	6.253.210	29. August 2017	Sylvanus A. Zimmerman (USA)	[49]
3	46.	${\displaystyle 3638450^{524288}+1}$	${\displaystyle F_{19}(3638450)}$	3.439.810	31. Mai 2020	Wolfgang Schwieger	[50]
4	48.	${\displaystyle 9\cdot 2^{11366286}+1=(3\cdot 2^{5683143})^{2^{1}}+1}$	${\displaystyle F_{1}(3\cdot 2^{5683143})}$	3.421.594	26. März 2020	Ryan Propper	[51]
5	49.	${\displaystyle 3214654^{524288}+1}$	${\displaystyle F_{19}(3214654)}$	3.411.613	24. Dezember 2019	Alen Kecic (DEU)	[52]
6	51.	${\displaystyle 2985036^{524288}+1}$	${\displaystyle F_{19}(2985036)}$	3.394.739	18. September 2019	Peter Harvey (USA)	[53]
7	52.	${\displaystyle 2877652^{524288}+1}$	${\displaystyle F_{19}(2877652)}$	3.386.397	29. Juni 2019	Roman Vogt (DEU)	[54]
8	53.	${\displaystyle 2788032^{524288}+1}$	${\displaystyle F_{19}(2788032)}$	3.379.193	17. April 2019	Ed Goforth (NA)	[55]
9	54.	${\displaystyle 2733014^{524288}+1}$	${\displaystyle F_{19}(2733014)}$	3.374.655	18. März 2019	Yair Givoni (ISR)	[56]
10	57.	${\displaystyle 2312092^{524288}+1}$	${\displaystyle F_{19}(2312092)}$	3.336.572	4. August 2018	Rob Gahan (IRL)	[57]

^a Stand: 19. März 2021

Die meisten d​er oben genannten Ergebnisse konnten natürlich n​ur mit Hilfe v​on Computern gefunden werden.

Siehe auch

• Mersenne-Primzahl
• Prothsche Primzahl
• 257-Eck
• 4294967295-Eck

Literatur

• Solomon W. Golomb: On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities. In: Canad. J. Math., Vol. 15, 1963, S. 475–478.
• Florian Luca: The Anti-Social Fermat Number. In: American Mathematical Monthly, Vol. 107, Nr. 2, Februar 2000, S. 171–173.
• Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: On the Convergence of Series of Reciprocals of Primes Related to the Fermat Numbers. In: Journal of Number Theory, Vol. 97, Nr. 1 (Nov. 2002), S. 95–112.
• Aleksander Grytczuk, Florian Luca, Marek Wójtowicz: Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers. In: Southeast Asian Bulletin of Mathematics, Vol. 25, Nr. 1 (Juli 2001), S. 111–115.
• Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry. In: Canad. J. Math., S. 132–138.
• Fredrick Kennard: Unsolved Problems in Mathematics. S. 56.

Weblinks

• Distributed Search for Fermat Number Divisors.
• Eric W. Weisstein: Fermat Number. In: MathWorld (englisch).
• Factors of generalized Fermat numbers found by Björn & Riesel.
• Factors of generalized Fermat numbers found after Björn & Riesel.

Einzelnachweise

1. W. Narkiewicz: The Development of Prime Number Theory – From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer-Verlag, 2000, S. 24 (google.at).
2. Folge A000215 in OEIS.
3. Leonhard Euler: Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus. (PDF; 399 kB). [E26]. In: Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 6 (1732/33), St. Petersburg 1738, S. 103–107, hier S. 104. Nachdruck in Opera Omnia, Band 1/2, S. 1–5. Englische Übersetzung von Ian Bruce: Observations concerning a certain theorem of Fermat and other considerations regarding prime numbers. (PDF; 100 kB) bzw. von David Zhao: Oberservations on a certain theorem of Fermat and on others regarding prime numbers. (PDF; 101 kB).
4. Faktorisierungsstatus aller Fermatzahlen. Stand: 29. Juli 2018 (englisch).
5. Siehe Algorithmus nach Morrison und Brillhart.
6. Jeff Young, Duncan A. Buell: The Twentieth Fermat Number is Composite. In: Mathematics of Computation. Vol. 50, Nr. 181, Januar 1988, S. 261–263 (ams.org [PDF; abgerufen am 14. August 2016]).
7. Richard E. Crandall, Ernst W. Mayer, Jason S. Papadopoulos: The Twenty-Fourth Fermat Number is Composite. In: Mathematics of Computation. Band 72, Nr. 243, 6. Dezember 2002, S. 1555–1572 (ams.org [PDF; abgerufen am 14. August 2016]).
8. GIMPS’ second Fermat factor! MersenneForum.org
9. F22 factored! MersenneForum.org
10. When and how Fermat numbers F_m were proven composite (on the occasion of a remarkable discovery)
11. 7· 2^18233956 + 1 auf den Primepages.
12. Luigi Morelli: Distributed Search for Fermat Number Divisors – NEWS. Abgerufen am 19. Dezember 2016.
13. Luigi Morelli: Distributed Search for Fermat Number Divisors - HISTORY. Abgerufen am 25. Januar 2017.
14. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Theorem 3.12. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 31 (google.at).
15. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, vor Remark 3.7. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 29 (google.at).
16. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Proposition 3.4. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 28 (google.at).
17. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Remark 3.13. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 31 (google.at).
18. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Proposition 3.8. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 29 (google.at).
19. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Theorem 3.14. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 31 (google.at).
20. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Remark 3.7. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 29 (google.at).
21. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Theorem 3.9. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 29 (google.at).
22. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Theorem 3.11. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 30–31 (google.at).
23. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Proposition 3.5. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 28 (google.at).
24. Jeppe Stig Nielsen: S(n) = n^n+1. Abgerufen am 9. August 2016.
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