Primorial-Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine Primorial-Primzahl (vom englischen Primorial prime) eine Primzahl ${\displaystyle p}$ der Form ${\displaystyle p=p_{n}\#\pm 1}$, wobei ${\displaystyle p_{n}\#}$ die Primfakultät (oder Primorial) von ${\displaystyle p_{n}}$ ist (also das Produkt der ersten ${\displaystyle n}$ Primzahlen).

Primzahlen der Form ${\displaystyle p=p_{n}\#-1}$ werden auch Kummer-Primzahlen genannt.[1] Primzahlen der Form ${\displaystyle p=p_{n}\#+1}$ werden auch Euklidische Primzahlen genannt.[1]

Beispiele

• Sei ${\displaystyle p:=p_{7}\#-1}$. Es ist ${\displaystyle p_{7}=17}$, somit ist ${\displaystyle p_{7}\#=17\#}$ das Produkt der ersten 7 Primzahlen, also aller Primzahlen bis inklusive ${\displaystyle n=17}$. Man erhält ${\displaystyle p_{7}\#=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{7}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17=510510}$. Somit ist ${\displaystyle p=p_{7}\#-1=510510-1=510509=61\cdot 8369\not \in \mathbb {P} }$ keine Primzahl und somit auch keine Primorial-Primzahl.
• Sei ${\displaystyle p:=p_{5}\#+1}$. Es ist ${\displaystyle p_{5}=11}$, somit ist ${\displaystyle p_{5}\#=11\#}$ das Produkt der ersten 5 Primzahlen, also aller Primzahlen bis inklusive ${\displaystyle n=11}$. Man erhält ${\displaystyle p_{5}\#=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{5}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310}$. Somit ist ${\displaystyle p=p_{5}\#+1=2310+1=2311\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl und somit auch eine Primorial-Primzahl.
• Sei ${\displaystyle p:=p_{1}\#-1}$. Es ist ${\displaystyle p_{1}=2}$, somit ist ${\displaystyle p_{1}\#=2\#}$ das „Produkt der ersten Primzahl“, also ${\displaystyle p_{1}\#=2\#=2}$. Somit ist ${\displaystyle p=p_{1}\#-1=2-1=1\not \in \mathbb {P} }$ keine Primzahl und somit auch keine Primorial-Primzahl.
• Sei ${\displaystyle p:=p_{0}\#+1}$. Es ist ${\displaystyle p_{0}\#=1}$ das leere Produkt. Somit ist ${\displaystyle p=p_{0}\#+1=1+1=2\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl und somit auch eine Primorial-Primzahl.
• Für folgende ${\displaystyle n}$ erhält man Primorial-Primzahlen der Form ${\displaystyle p=p_{n}\#-1}$:

2, 3, 5, 6, 13, 24, 66, 68, 167, 287, 310, 352, 564, 590, 620, 849, 1552, 1849, 67132, 85586, … (Folge A057704 in OEIS)

Diese Zahlen kann man auch in der Form ${\displaystyle p\#-1}$ schreiben mit folgenden ${\displaystyle p}$:

3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033, 15877, 843301, 1098133, … (Folge A006794 in OEIS)

Beispiel:

An der achten Stelle der obigen beiden Listen steht ${\displaystyle 68}$ bzw. ${\displaystyle 337}$. Dies bedeutet, dass die 68. Primzahl ${\displaystyle p_{68}=337}$ ist und ${\displaystyle p=p_{68}\#-1=337\#-1\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl ist.

• Für folgende ${\displaystyle n}$ erhält man Primorial-Primzahlen der Form ${\displaystyle p=p_{n}\#+1}$:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 11, 75, 171, 172, 384, 457, 616, 643, 1391, 1613, 2122, 2647, 2673, 4413, 13494, 31260, 33237, … (Folge A014545 in OEIS)

Diese Zahlen kann man auch in der Form ${\displaystyle p\#+1}$ schreiben mit folgenden ${\displaystyle p}$:

(1), 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, 42209, 145823, 366439, 392113, … (Folge A005234 in OEIS)

Beispiel:

An der achten Stelle der obigen beiden Listen steht ${\displaystyle 75}$ bzw. ${\displaystyle 379}$. Dies bedeutet, dass die 75. Primzahl ${\displaystyle p_{75}=379}$ ist und ${\displaystyle p=p_{75}\#-1=379\#-1\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl ist.

• Die folgende Liste gibt die kleinsten Primorial-Primzahlen der Form ${\displaystyle p=p_{n}\#\pm 1}$ an:

2, 3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309, … (Folge A228486 in OEIS)

• Die größte bekannte Primorial-Primzahl der Form ${\displaystyle p=p_{n}\#+1}$ ist die folgende (Stand: 12. Januar 2022):[2][3]

${\displaystyle p=p_{33237}\#+1=392113\#+1}$

Sie wurde am 20. September 2001 von Daniel Heuer entdeckt und hat 169.966 Stellen.

• Die größte bekannte Primorial-Primzahl der Form ${\displaystyle p=p_{n}\#-1}$ ist die folgende (Stand: 12. Januar 2022):[3][4][5]

${\displaystyle p=p_{234725}\#-1=3267113\#-1}$

Sie wurde am 27. September 2021 von James Winskill aus Neuseeland im Zuge des PrimeGrid-Projektes entdeckt und hat 1.418.398 Stellen.

Ungelöste Probleme

• Existieren unendlich viele Primorial-Primzahlen der Form ${\displaystyle p=p_{n}\#-1}$?
• Existieren unendlich viele Primorial-Primzahlen der Form ${\displaystyle p=p_{n}\#+1}$?

Zusammenhang mit dem Satz von Euklid

Der griechische Mathematiker Euklid bewies u​m 300 v. Chr., d​ass es unendlich v​iele Primzahlen g​ibt (siehe Satz v​on Euklid). Der Beweis i​st ein Beweis d​urch Widerspruch, e​s wird e​ine Annahme getätigt, welche s​ich im Laufe d​es Beweises a​ls falsch erweist. Die Annahme m​uss fallengelassen werden u​nd das Gegenteil d​er Annahme m​uss stimmen:

Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$. Man multipliziere alle diese Primzahlen miteinander und erhält die Zahl ${\displaystyle m=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{n}}$. Dann darf die darauffolgende Zahl ${\displaystyle m+1}$ keine Primteiler haben, die schon ${\displaystyle m}$ hatte, denn keine Zahl ${\displaystyle p}$ kann sowohl eine Zahl ${\displaystyle m}$ als auch deren Nachfolger ${\displaystyle m+1}$ teilen, außer der Zahl ${\displaystyle n=1}$, welche aber keine Primzahl ist (und in der Mathematik auch Einheit genannt wird). Da aber ${\displaystyle m}$ laut Voraussetzung das Produkt aller existierenden Primzahlen ist und ${\displaystyle m+1}$ keinen dieser Primteiler hat, muss ${\displaystyle m+1}$ selber eine (neue, bisher noch nicht gekannte) Primzahl sein, was aber im Widerspruch zur Voraussetzung ist, dass ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$ die einzigen existierenden Primzahlen sind. Die Annahme muss fallengelassen werden, es gilt somit das Gegenteil der Annahme, es gibt also unendlich viele Primzahlen. ${\displaystyle \Box }$

Man könnte nun nach dem Studium dieses Beweises fälschlicherweise annehmen, dass man mit dem Verfahren, die ersten Primzahlen zu multiplizieren, immer neue Primzahlen bekommt.[6] Dem ist nicht so. Schon den obigen Beispielen kann man entnehmen, dass man nur für ${\displaystyle n\in \{0,1,2,3,4,5,11,75,\ldots \}}$ (Primorial-)Primzahlen der Form ${\displaystyle p=p_{n}\#+1}$ erhält. Für ${\displaystyle n\in \{6,7,8,9,10,12,13,\ldots ,74,76,77,\ldots \}}$ aber nicht, wie man an folgendem Beispiel erkennen kann:

Sei ${\displaystyle n:=6}$ und ${\displaystyle m:=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{6}}$ das Produkt der ersten sechs Primzahlen. Dann ist also ${\displaystyle m=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13=30030}$. Addiert man nun ${\displaystyle 1}$ dazu erhält man ${\displaystyle m+1=30031}$. Tatsächlich ist diese Zahl weder durch ${\displaystyle 2}$ noch durch ${\displaystyle 3,5,7,11}$ oder ${\displaystyle 13}$ teilbar. Es gilt aber: ${\displaystyle 30031=59\cdot 509}$ und somit ist ${\displaystyle m+1=30031}$ keine Primzahl. In den seltensten Fällen ergibt sich auf diese Art und Weise eine Primzahl, wie man ebenfalls obigen Beispielen entnehmen kann.

Siehe auch

• Euklidische Zahl
• Fakultätsprimzahl
• Primorial

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Primorial Prime. In: MathWorld (englisch).
• Chris K. Caldwell: primorial prime. Prime Pages, abgerufen am 12. Februar 2020 (englisch).
• Harvey Dubner: Factorial and primorial primes. Journal of Recreational Mathematics 19 (3), 1987, abgerufen am 12. Februar 2020.
• PrimeFan: table of the first 100 primorials. 2013, abgerufen am 12. Februar 2020.

Einzelnachweise

1. Comments zu OEIS A228486
2. 392113# + 1 auf Prime Pages
3. Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Primorial. Prime Pages, abgerufen am 12. Februar 2020.
4. 3267113# - 1 auf Prime Pages
5. 3267113# - 1 auf primegrid.com (PDF)
6. Michael Hardy, Catherine Woodgold: Prime Simplicity. The Mathematical Intelligencer 31 (4), 18. September 2009, abgerufen am 12. Februar 2020.