Ramanujan-Primzahl

Ramanujan-Primzahlen sind Primzahlen, die einer Ungleichung nach S. Ramanujan genügen, die aus seiner Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulats folgte, das Ramanujan dabei neu bewies.[1] Das Bertrandsche Postulat besagt, dass für alle Zahlen ${\displaystyle x\geq 1}$ zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle 2x}$ mindestens eine Primzahl liegt. Ramanujan-Primzahlen ${\displaystyle R_{n}}$ sind als kleinste Zahlen definiert, so dass für alle ${\displaystyle x\geq R_{n}}$ zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$ mindestens ${\displaystyle n}$ Primzahlen liegen. Dass es diese für jedes ${\displaystyle n}$ gibt, bewies Ramanujan. Der Name Ramanujan-Primzahl wurde 2005 von Jonathan Sondow eingeführt.

Sei ${\displaystyle x\mapsto \pi (x)}$ die Primzahlfunktion, das heißt, ${\displaystyle \pi (x)}$ ist die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als ${\displaystyle x}$ sind. Dann ist die ${\displaystyle n}$‑te Ramanujan-Primzahl die kleinste Zahl ${\displaystyle R_{n}}$, für die gilt:

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geq n}$ für alle ${\displaystyle x\geq R_{n}}$

Mit anderen Worten: Sie sind die kleinsten Zahlen ${\displaystyle R_{n}}$, sodass für alle ${\displaystyle x\geq R_{n}}$ zwischen ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$ und ${\displaystyle x}$ mindestens ${\displaystyle n}$ Primzahlen liegen. Weil die Funktion ${\displaystyle x\mapsto \pi (x)-\pi ({\tfrac {x}{2}})}$ nur an einer primen Stelle ${\displaystyle x}$ wachsen kann, muss ${\displaystyle R_{n}}$ eine Primzahl sein und es gilt:

${\displaystyle \pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right)=n}$

Die ersten Ramanujan-Primzahlen sind:

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, … (Folge A104272 i​n OEIS)

Das Bertrandsche Postulat ist gerade der Fall ${\displaystyle n=1}$ (mit ${\displaystyle R_{1}=2}$).

Ramanujan bewies d​ie Existenz dieser Primzahlen, i​ndem er d​ie Ungleichung

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)>{\frac {1}{\log x}}\left({\frac {x}{6}}-3{\sqrt {x}}\right)}$

für ${\displaystyle x>300}$ ableitete. Die rechte Seite wächst monoton gegen Unendlich für ${\displaystyle x\to \infty }$.

Eigenschaften

Es gilt für jedes ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle 2n\,\ln(2n)<R_{n}<4n\,\ln(4n)}$,

wobei ${\displaystyle \ln }$ den natürlichen Logarithmus bezeichnet, sowie

${\displaystyle p_{2n}<R_{n}<p_{3n}}$ für ${\displaystyle n\geq 2}$,

wobei ${\displaystyle p_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te Primzahl ist.

Asymptotisch gilt

${\displaystyle R_{n}\sim p_{2n}}$ für ${\displaystyle n\to \infty ,}$

woraus m​it dem Primzahlsatz folgt:

${\displaystyle R_{n}\sim 2n\,\ln(2n)}$

Die obigen Resultate stammen von Jonathan Sondow[2] bis auf die Ungleichung ${\displaystyle R_{n}<p_{3n}}$, die Sondow vermutete und die Shanta Laishram bewies.

Beispiel

Die ersten Primzahlen lauten:[3]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, … (Folge A000040 in OEIS)

Wir betrachten die beiden folgenden Eigenschaften (dabei ist ${\displaystyle \pi (x)}$ die Anzahl der Primzahlen ${\displaystyle \leq x}$ und ${\displaystyle R_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te Ramanujan-Primzahl):

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geq n}$ für alle ${\displaystyle x\geq R_{n}}$

${\displaystyle \pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right)=n}$

und untersuchen nun diese für die ersten ${\displaystyle x\in \mathbb {N} ,x\leq 228}$:

Veranschaulichung der Ramanujan-Primzahlen ${\displaystyle R_{n}}$

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \pi (x)}$	${\displaystyle {\frac {x}{2}}}$	${\displaystyle \pi \left({\frac {x}{2}}\right)}$	${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)}$	Anmerkungen	${\displaystyle n}$	${\displaystyle R_{n}}$	${\displaystyle \pi (R_{n})}$	${\displaystyle {\frac {R_{n}}{2}}}$	${\displaystyle \pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right)}$	${\displaystyle \pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right){\stackrel {!}{=}}n}$
1	0	0,5	0	0		0	--	--	--	--	--
2	1	1	0	1	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 1}$	1	2	1	1	0	1
3	2	1,5	0	2		1	2	1	1	0	1
4	2	2	1	1		1	2	1	1	0	1
5	3	2,5	1	2		1	2	1	1	0	1
6	3	3	2	1		1	2	1	1	0	1
7	4	3,5	2	2		1	2	1	1	0	1
8	4	4	2	2		1	2	1	1	0	1
9	4	4,5	2	2		1	2	1	1	0	1
10	4	5	3	1	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 1}$	1	2	1	1	0	1
11	5	5,5	3	2	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 2}$	2	11	5	5,5	3	2
12	5	6	3	2		2	11	5	5,5	3	2
13	6	6,5	3	3		2	11	5	5,5	3	2
14	6	7	4	2		2	11	5	5,5	3	2
15	6	7,5	4	2		2	11	5	5,5	3	2
16	6	8	4	2	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 2}$	2	11	5	5,5	3	2
17	7	8,5	4	3	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 3}$	3	17	7	8,5	4	3
18	7	9	4	3		3	17	7	8,5	4	3
19	8	9,5	4	4		3	17	7	8,5	4	3
20	8	10	4	4		3	17	7	8,5	4	3
21	8	10,5	4	4		3	17	7	8,5	4	3
22	8	11	5	3		3	17	7	8,5	4	3
23	9	11,5	5	4		3	17	7	8,5	4	3
24	9	12	5	4		3	17	7	8,5	4	3
25	9	12,5	5	4		3	17	7	8,5	4	3
26	9	13	6	3		3	17	7	8,5	4	3
27	9	13,5	6	3		3	17	7	8,5	4	3
28	9	14	6	3	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 3}$	3	17	7	8,5	4	3
29	10	14,5	6	4	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 4}$	4	29	10	14,5	6	4
30	10	15	6	4		4	29	10	14,5	6	4
31	11	15,5	6	5		4	29	10	14,5	6	4
32	11	16	6	5		4	29	10	14,5	6	4
33	11	16,5	6	5		4	29	10	14,5	6	4
34	11	17	7	4		4	29	10	14,5	6	4
35	11	17,5	7	4		4	29	10	14,5	6	4
36	11	18	7	4		4	29	10	14,5	6	4
37	12	18,5	7	5		4	29	10	14,5	6	4
38	12	19	8	4		4	29	10	14,5	6	4
39	12	19,5	8	4		4	29	10	14,5	6	4
40	12	20	8	4	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 4}$	4	29	10	14,5	6	4
41	13	20,5	8	5	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 5}$	5	41	13	20,5	8	5
42	13	21	8	5		5	41	13	20,5	8	5
43	14	21,5	8	6		5	41	13	20,5	8	5
44	14	22	8	6		5	41	13	20,5	8	5
45	14	22,5	8	6		5	41	13	20,5	8	5
46	14	23	9	5	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 5}$	5	41	13	20,5	8	5
47	15	23,5	9	6	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 6}$	6	47	15	23,5	9	6
48	15	24	9	6		6	47	15	23,5	9	6
49	15	24,5	9	6		6	47	15	23,5	9	6
50	15	25	9	6		6	47	15	23,5	9	6
51	15	25,5	9	6		6	47	15	23,5	9	6
52	15	26	9	6		6	47	15	23,5	9	6
53	16	26,5	9	7		6	47	15	23,5	9	6
54	16	27	9	7		6	47	15	23,5	9	6
55	16	27,5	9	7		6	47	15	23,5	9	6
56	16	28	9	7		6	47	15	23,5	9	6
57	16	28,5	9	7		6	47	15	23,5	9	6
58	16	29	10	6	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 6}$	6	47	15	23,5	9	6
59	17	29,5	10	7	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 7}$	7	59	17	29,5	10	7
60	17	30	10	7		7	59	17	29,5	10	7
61	18	30,5	10	8		7	59	17	29,5	10	7
62	18	31	11	7		7	59	17	29,5	10	7
63	18	31,5	11	7		7	59	17	29,5	10	7
64	18	32	11	7		7	59	17	29,5	10	7
65	18	32,5	11	7		7	59	17	29,5	10	7
66	18	33	11	7	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 7}$	7	59	17	29,5	10	7
67	19	33,5	11	8	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 8}$	8	67	19	33,5	11	8
68	19	34	11	8		8	67	19	33,5	11	8
69	19	34,5	11	8		8	67	19	33,5	11	8
70	19	35	11	8	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 8}$	8	67	19	33,5	11	8
71	20	35,5	11	9	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 9}$	9	71	20	35,5	11	9
72	20	36	11	9		9	71	20	35,5	11	9
73	21	36,5	11	10		9	71	20	35,5	11	9
74	21	37	12	9		9	71	20	35,5	11	9
75	21	37,5	12	9		9	71	20	35,5	11	9
76	21	38	12	9		9	71	20	35,5	11	9
77	21	38,5	12	9		9	71	20	35,5	11	9
78	21	39	12	9		9	71	20	35,5	11	9
79	22	39,5	12	10		9	71	20	35,5	11	9
80	22	40	12	10		9	71	20	35,5	11	9
81	22	40,5	12	10		9	71	20	35,5	11	9
82	22	41	13	9		9	71	20	35,5	11	9
83	23	41,5	13	10		9	71	20	35,5	11	9
84	23	42	13	10		9	71	20	35,5	11	9
85	23	42,5	13	10		9	71	20	35,5	11	9
86	23	43	14	9		9	71	20	35,5	11	9
87	23	43,5	14	9		9	71	20	35,5	11	9
88	23	44	14	9		9	71	20	35,5	11	9
89	24	44,5	14	10		9	71	20	35,5	11	9
90	24	45	14	10		9	71	20	35,5	11	9
91	24	45,5	14	10		9	71	20	35,5	11	9
92	24	46	14	10		9	71	20	35,5	11	9
93	24	46,5	14	10		9	71	20	35,5	11	9
94	24	47	15	9		9	71	20	35,5	11	9
95	24	47,5	15	9		9	71	20	35,5	11	9
96	24	48	15	9	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 9}$	9	71	20	35,5	11	9
97	25	48,5	15	10	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 10}$	10	97	25	48,5	15	10
98	25	49	15	10		10	97	25	48,5	15	10
99	25	49,5	15	10		10	97	25	48,5	15	10
100	25	50	15	10	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 10}$	10	97	25	48,5	15	10
101	26	50,5	15	11	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 11}$	11	101	26	50,5	15	11
102	26	51	15	11		11	101	26	50,5	15	11
103	27	51,5	15	12		11	101	26	50,5	15	11
104	27	52	15	12		11	101	26	50,5	15	11
105	27	52,5	15	12		11	101	26	50,5	15	11
106	27	53	16	11	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 11}$	11	101	26	50,5	15	11
107	28	53,5	16	12	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 12}$	12	107	28	53,5	16	12
108	28	54	16	12		12	107	28	53,5	16	12
109	29	54,5	16	13		12	107	28	53,5	16	12
110	29	55	16	13		12	107	28	53,5	16	12
111	29	55,5	16	13		12	107	28	53,5	16	12
112	29	56	16	13		12	107	28	53,5	16	12
113	30	56,5	16	14		12	107	28	53,5	16	12
114	30	57	16	14		12	107	28	53,5	16	12
115	30	57,5	16	14		12	107	28	53,5	16	12
116	30	58	16	14		12	107	28	53,5	16	12
117	30	58,5	16	14		12	107	28	53,5	16	12
118	30	59	17	13		12	107	28	53,5	16	12
119	30	59,5	17	13		12	107	28	53,5	16	12
120	30	60	17	13		12	107	28	53,5	16	12
121	30	60,5	17	13		12	107	28	53,5	16	12
122	30	61	18	12		12	107	28	53,5	16	12
123	30	61,5	18	12		12	107	28	53,5	16	12
124	30	62	18	12		12	107	28	53,5	16	12
125	30	62,5	18	12		12	107	28	53,5	16	12
126	30	63	18	12	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 12}$	12	107	28	53,5	16	12
127	31	63,5	18	13	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 13}$	13	127	31	63,5	18	13
128	31	64	18	13		13	127	31	63,5	18	13
129	31	64,5	18	13		13	127	31	63,5	18	13
130	31	65	18	13		13	127	31	63,5	18	13
131	32	65,5	18	14		13	127	31	63,5	18	13
132	32	66	18	14		13	127	31	63,5	18	13
133	32	66,5	18	14		13	127	31	63,5	18	13
134	32	67	19	13		13	127	31	63,5	18	13
135	32	67,5	19	13		13	127	31	63,5	18	13
136	32	68	19	13		13	127	31	63,5	18	13
137	33	68,5	19	14		13	127	31	63,5	18	13
138	33	69	19	14		13	127	31	63,5	18	13
139	34	69,5	19	15		13	127	31	63,5	18	13
140	34	70	19	15		13	127	31	63,5	18	13
141	34	70,5	19	15		13	127	31	63,5	18	13
142	34	71	20	14		13	127	31	63,5	18	13
143	34	71,5	20	14		13	127	31	63,5	18	13
144	34	72	20	14		13	127	31	63,5	18	13
145	34	72,5	20	14		13	127	31	63,5	18	13
146	34	73	21	13		13	127	31	63,5	18	13
147	34	73,5	21	13		13	127	31	63,5	18	13
148	34	74	21	13	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 13}$	13	127	31	63,5	18	13
149	35	74,5	21	14	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 14}$	14	149	35	74,5	21	14
150	35	75	21	14	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 14}$	14	149	35	74,5	21	14
151	36	75,5	21	15	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 15}$	15	151	36	75,5	21	15
152	36	76	21	15		15	151	36	75,5	21	15
153	36	76,5	21	15		15	151	36	75,5	21	15
154	36	77	21	15		15	151	36	75,5	21	15
155	36	77,5	21	15		15	151	36	75,5	21	15
156	36	78	21	15		15	151	36	75,5	21	15
157	37	78,5	21	16		15	151	36	75,5	21	15
158	37	79	22	15		15	151	36	75,5	21	15
159	37	79,5	22	15		15	151	36	75,5	21	15
160	37	80	22	15		15	151	36	75,5	21	15
161	37	80,5	22	15		15	151	36	75,5	21	15
162	37	81	22	15		15	151	36	75,5	21	15
163	38	81,5	22	16		15	151	36	75,5	21	15
164	38	82	22	16		15	151	36	75,5	21	15
165	38	82,5	22	16		15	151	36	75,5	21	15
166	38	83	23	15	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 15}$	15	151	36	75,5	21	15
167	39	83,5	23	16	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 16}$	16	167	39	83,5	23	16
168	39	84	23	16		16	167	39	83,5	23	16
169	39	84,5	23	16		16	167	39	83,5	23	16
170	39	85	23	16		16	167	39	83,5	23	16
171	39	85,5	23	16		16	167	39	83,5	23	16
172	39	86	23	16		16	167	39	83,5	23	16
173	40	86,5	23	17		16	167	39	83,5	23	16
174	40	87	23	17		16	167	39	83,5	23	16
175	40	87,5	23	17		16	167	39	83,5	23	16
176	40	88	23	17		16	167	39	83,5	23	16
177	40	88,5	23	17		16	167	39	83,5	23	16
178	40	89	24	16	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 16}$	16	167	39	83,5	23	16
179	41	89,5	24	17	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 17}$	17	179	41	89,5	24	17
180	41	90	24	17	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 17}$	17	179	41	89,5	24	17
181	42	90,5	24	18	ab hier ist immer ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 18}$	18	181	42	90,5	24	18
182	42	91	24	18		18	181	42	90,5	24	18
183	42	91,5	24	18		18	181	42	90,5	24	18
184	42	92	24	18		18	181	42	90,5	24	18
185	42	92,5	24	18		18	181	42	90,5	24	18
186	42	93	24	18		18	181	42	90,5	24	18
187	42	93,5	24	18		18	181	42	90,5	24	18
188	42	94	24	18		18	181	42	90,5	24	18
189	42	94,5	24	18		18	181	42	90,5	24	18
190	42	95	24	18		18	181	42	90,5	24	18
191	43	95,5	24	19		18	181	42	90,5	24	18
192	43	96	24	19		18	181	42	90,5	24	18
193	44	96,5	24	20		18	181	42	90,5	24	18
194	44	97	25	19		18	181	42	90,5	24	18
195	44	97,5	25	19		18	181	42	90,5	24	18
196	44	98	25	19		18	181	42	90,5	24	18
197	45	98,5	25	20		18	181	42	90,5	24	18
198	45	99	25	20		18	181	42	90,5	24	18
199	46	99,5	25	21		18	181	42	90,5	24	18
200	46	100	25	21		18	181	42	90,5	24	18
201	46	100,5	25	21		18	181	42	90,5	24	18
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207	46	103,5	27	19		18	181	42	90,5	24	18
208	46	104	27	19		18	181	42	90,5	24	18
209	46	104,5	27	19		18	181	42	90,5	24	18
210	46	105	27	19		18	181	42	90,5	24	18
211	47	105,5	27	20		18	181	42	90,5	24	18
212	47	106	27	20		18	181	42	90,5	24	18
213	47	106,5	27	20		18	181	42	90,5	24	18
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226	48	113	30	18	das letzte Mal ist ${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 18}$	18	181	42	90,5	24	18
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Weblinks

• J. Sondow: Ramanujan Prime. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Ramanujan: A proof of Bertrand’s postulate. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 11 (1919), 181–182.
2. J. Sondow: Ramanujan primes and Bertrand’s postulate. In: American Mathematical Monthly. Band 116, 2009, S. 630–635, Arxiv, pdf.
3. The first 1000 and 10000 primes