Quartische Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine quartische Primzahl (vom englischen quartan prime) eine Primzahl der Form mit ganzzahligen und .

Beispiele

  • Die Zahl ist die einzige gerade quartische Primzahl.
  • Die Zahl ist eine quartische Primzahl.
  • Die kleinsten quartischen Primzahlen lauten:
2, 17, 97, 257, 337, 641, 881, 1297, 2417, 2657, 3697, 4177, 4721, 6577, 10657, 12401, 14657, 14897, 15937, 16561, 28817, 38561, 39041, 49297, 54721, 65537, 65617, 66161, 66977, 80177, 83537, 83777, 89041, 105601, 107377, 119617, 121937, … (Folge A002645 in OEIS)

Sie hat Stellen und wurde am 29. August 2017 von Sylvanus A. Zimmerman (USA) entdeckt.[1][2]

Eigenschaften

  • Sei mit eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:[3]
mit
Mit anderen Worten:
  • Sei mit eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:
Wenn ungerade ist, muss gerade sein oder umgekehrt.
Beweis:
Angenommen, sowohl als auch sind gerade. Dann wäre auch und gerade und somit wäre auch als Summe von zwei geraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen kann dies aber nicht sein.
Angenommen, sowohl als auch sind ungerade. Dann wäre auch und ungerade und somit wäre als Summe von zwei ungeraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen kann dies aber nicht sein.
Somit bleibt nur übrig, dass entweder oder ungerade und die jeweils andere gerade ist.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. 9194441048576 + 1 auf Prime Pages
  2. 9194441048576 + 1 auf primegrid.com (PDF)
  3. A. J. C. Cunningham: High quartan factorisations and primes. Messenger of Mathematics 36, 1907, S. 145–174, abgerufen am 7. Juli 2018 (englisch).

Quellen

Neil Sloane: A Handbook o​f Integer Sequences. Academic Press, Inc., New York 1973, ISBN 1-4832-4665-5, S. 205.

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