Quartische Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine quartische Primzahl (vom englischen quartan prime) eine Primzahl der Form ${\displaystyle p=x^{4}+y^{4}}$ mit ganzzahligen ${\displaystyle x>0}$ und ${\displaystyle y>0}$.

Beispiele

• Die Zahl ${\displaystyle 2=1+1=1^{4}+1^{4}}$ ist die einzige gerade quartische Primzahl.
• Die Zahl ${\displaystyle 97=16+81=2^{4}+3^{4}}$ ist eine quartische Primzahl.
• Die kleinsten quartischen Primzahlen lauten:

2, 17, 97, 257, 337, 641, 881, 1297, 2417, 2657, 3697, 4177, 4721, 6577, 10657, 12401, 14657, 14897, 15937, 16561, 28817, 38561, 39041, 49297, 54721, 65537, 65617, 66161, 66977, 80177, 83537, 83777, 89041, 105601, 107377, 119617, 121937, … (Folge A002645 in OEIS)

• Die momentan größte bekannte quartische Primzahl (Stand: 17. Juni 2018) ist gleichzeitig die größte bekannte verallgemeinerte Fermatsche Primzahl, nämlich

${\displaystyle p=919444^{1048576}+1=(919444^{262144})^{4}+1^{4}}$

Sie hat ${\displaystyle 6.253.210}$ Stellen und wurde am 29. August 2017 von Sylvanus A. Zimmerman (USA) entdeckt.[1][2]

Eigenschaften

• Sei ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ mit ${\displaystyle p>2}$ eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:[3]

${\displaystyle p=16n+1}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Mit anderen Worten:

${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {16}}}$

• Sei ${\displaystyle p=x^{4}+y^{4}\in \mathbb {P} }$ mit ${\displaystyle p>2}$ eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:

Wenn ${\displaystyle x}$ ungerade ist, muss ${\displaystyle y}$ gerade sein oder umgekehrt.

Beweis:

Angenommen, sowohl ${\displaystyle x}$ als auch ${\displaystyle y}$ sind gerade. Dann wäre auch ${\displaystyle x^{4}}$ und ${\displaystyle y^{4}}$ gerade und somit wäre auch ${\displaystyle p=x^{4}+y^{4}}$ als Summe von zwei geraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen ${\displaystyle p>2}$ kann dies aber nicht sein.

Angenommen, sowohl ${\displaystyle x}$ als auch ${\displaystyle y}$ sind ungerade. Dann wäre auch ${\displaystyle x^{4}}$ und ${\displaystyle y^{4}}$ ungerade und somit wäre ${\displaystyle p=x^{4}+y^{4}}$ als Summe von zwei ungeraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen ${\displaystyle p>2}$ kann dies aber nicht sein.

Somit bleibt nur übrig, dass entweder ${\displaystyle x}$ oder ${\displaystyle y}$ ungerade und die jeweils andere gerade ist. ${\displaystyle \Box }$

Siehe auch

• Biquadrat

Einzelnachweise

1. 919444^1048576 + 1 auf Prime Pages
2. 919444^1048576 + 1 auf primegrid.com (PDF)
3. A. J. C. Cunningham: High quartan factorisations and primes. Messenger of Mathematics 36, 1907, S. 145–174, abgerufen am 7. Juli 2018 (englisch).

Weblinks

• Neil Sloane: A Handbook of Integer Sequences. Abgerufen am 27. Mai 2018 (englisch).

Quellen

Neil Sloane: A Handbook o​f Integer Sequences. Academic Press, Inc., New York 1973, ISBN 1-4832-4665-5, S. 205.