Primzahlencousin

In d​er Mathematik bezeichnet m​an Primzahlen, d​eren Differenz 4 beträgt a​ls Primzahlencousins.[1] Zum Beispiel s​ind die Zahlen 13 u​nd 17 Primzahlencousins, w​eil die e​ine Zahl u​m 4 kleiner i​st als d​ie andere (bzw. d​ie andere u​m 4 größer i​st als d​ie eine).

Primzahlencousins haben die Form . Es folgt eine Liste der Primzahlencousins bis (erzeugt mit Matheass 9.0):

p (p+4)
37
711
1317
1923
3741
4347
6771
7983
97101
103107
p (p+4)
109113
127131
163167
193197
223227
229233
277281
307311
313317
349353
p (p+4)
379383
397401
439443
457461
463467
487491
499503
613617
643647
673677
p (p+4)
739743
757761
769773
823827
853857
859863
877881
883887
907911
937941
p (p+4)
967971
10091013
10871091
10931097
12131217
12791283
12971301
13031307
14231427
14291433
p (p+4)
14471451
14831487
14891493
15491553
15671571
15791583
15971601
16091613
16631667
16931697
p (p+4)
17831787
18671871
18731877
19931997
19992003
20832087
21372141
22032207
22392243
22692273
p (p+4)
22932297
23472351
23772381
23892393
24372441
24732477
25392543
26172621
26592663
26832687
p (p+4)
26892693
27072711
27492753
27972801
28332837
28572861
29532957
30193023
30373041
30793083
p (p+4)
31633167
31873191
32173221
32533257
33193323
33433347
34573461
34633467
35293533
36133617
p (p+4)
36733677
36973701
37933797
38473851
38773881
39073911
39193923
39433947
(Folge A023200 in OEIS) und (Folge A046132 in OEIS)

Eigenschaften

Die einzige Primzahl, die zu zwei Paaren von Primzahlencousins gehört, ist 7. Eine der Zahlen oder ist immer durch 3 teilbar, also ist der einzige Fall, bei dem das Tripel aus drei Primzahlen besteht.

Im Mai 2009 entdeckte Ken Davis die beiden momentan größten Primzahlencousins mit 11594 Stellen.[2] Von den Primzahlencousins lautet die erste Primzahl

Dabei ist eine Primfakultät, d. h. das Produkt aller Primzahlen .

Die größten bekannten Primzahlencousins könnten die beiden folgenden sein:

Sie haben je 29629 Stellen und wurden im November 2012 von Michael Angel, Paul Jobling und Dirk Augustin entdeckt. Die zweite dieser beiden Zahlen, , ist mittlerweile als Primzahl verifiziert,[3] allerdings gibt es momentan keinen bekannten Primzahltest, der einfach bestimmen könnte, ob die erste Zahl, , prim ist. ist eine PRP-Zahl (probable prime), also sehr wahrscheinlich eine Primzahl, weil sie Bedingungen erfüllt, die alle Primzahlen besitzen, die aber die meisten zusammengesetzten Zahlen nicht erfüllen.

Es f​olgt aus d​er ersten Hardy-Littlewood-Vermutung, d​ass Primzahlencousins dieselbe asymptotische Dichte h​aben wie Primzahlzwillinge. Eine Analogie z​ur Brunschen Konstante für Primzahlzwillinge k​ann auch für Primzahlencousins definiert werden. Sie heißt Brunsche Konstante für Primzahlencousins u​nd ist d​as Ergebnis d​er konvergenten Summe[4][5]

Dabei w​ird das e​rste Primzahlencousin-Paar (3, 7) weggelassen.

Wenn man alle Primzahlencousins bis einsetzt, so hat Marek Wolf im Jahr 1996 gezeigt, dass gilt:[6]

(Folge A194098 in OEIS)

Diese Konstante darf nicht mit der Brunschen Konstante für Primzahlvierlinge verwechselt werden, die ebenfalls mit bezeichnet wird, aber einen anderen Wert ergibt.

Zusammenfassung

Um d​ie Unterschiede d​er verschiedensten Primzahltupel n​och einmal z​u verdeutlichen, s​ei hier n​och einmal e​ine Zusammenfassung d​er gebräuchlichen Namen angeführt:

(p, p+2)Primzahlzwilling
(p, p+4)Primzahlencousin
(p, p+6)Sexy Primzahlzwilling
(p, p+2, p+6) und (p, p+4, p+6)Primzahldrilling
(p, p+6, p+12)Sexy Primzahldrilling
(p, p+2, p+6, p+8)Primzahlvierling
(p, p+6, p+12, p+18)Sexy Primzahlvierling
(p, p+2, p+6, p+8, p+12) und (p, p+4, p+6, p+10, p+12) Primzahlfünfling
(p, p+6, p+12, p+18, p+24)Sexy Primzahlfünfling

Literatur

  • David Wells: Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons, 2011, ISBN 1-118-04571-8, S. 33.
  • Benjamin Fine, Gerhard Rosenberger: Number theory: an introduction via the distribution of primes. Birkhäuser, 2007, ISBN 0-8176-4472-5, S. 206.

Einzelnachweise

  1. Wolfram MathWorld, Cousin Primes. Abgerufen am 1. Dezember 2015.
  2. 11594 digit cousin prime pair. Abgerufen am 1. Dezember 2015.
  3. Prime pages, . Abgerufen am 1. Dezember 2015.
  4. B.Segal: Generalisation du théorème de Brun. Hrsg.: C. R. Acad. Sc. URSS. Christine Steyrer, 1930, ISBN 978-3-902662-18-7, S. 501–507 (russisch).
  5. Zentralblatt MATH Zentralblatt MATH 57.1363.06. Abgerufen am 1. Dezember 2015.
  6. Marek Wolf, On the Twin and Cousin Primes (PostScript file).
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