Elitäre Primzahl

In der Zahlentheorie wird eine Primzahl ${\displaystyle p}$ elitär genannt, wenn nur endlich viele Fermat-Zahlen ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ quadratische Reste modulo ${\displaystyle p}$ sind.

Ihren Namen verdanken s​ie dem österreichischen Mathematiker Alexander Aigner, d​er sie 1986 beschrieb u​nd als erster untersuchte.[1] Aigner nannte d​iese Primzahlen elitär, d​a sie n​ur sehr selten auftauchen; e​r selbst f​and lediglich 14 solche Primzahlen, d​ie kleiner a​ls 35.000.000 sind.

Da Fermat-Zahlen die Beziehung ${\displaystyle F_{n+1}=(F_{n}-1)^{2}+1}$ erfüllen, wird die Kongruenzfolge (${\displaystyle F_{n}}$ mod ${\displaystyle p}$) ab einem bestimmten Index ${\displaystyle s}$ periodisch, d. h., es existiert eine minimale natürliche Zahl ${\displaystyle L}$ derart, dass ${\displaystyle F_{s+k+L}\equiv F_{s+k}}$ (mod ${\displaystyle p}$) für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle k}$ gilt. Die Terme ${\displaystyle F_{s},F_{s+1},\ldots ,F_{s+L-1}}$ werden als Fermat-Reste von ${\displaystyle p}$ bezeichnet. Demnach ist eine Primzahl ${\displaystyle p}$ genau dann elitär, wenn alle Fermat-Reste quadratische Nichtreste modulo ${\displaystyle p}$ sind.

Die ersten elitären Primzahlen sind: 3, 5, 7, 41, 15.361, 23.041, 26.881, 61.441, 87.041, 163.841, ... (Folge A102742 i​n OEIS)

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele elitäre Primzahlen gibt. Es konnte jedoch nachgewiesen werden, dass die Anzahl ${\displaystyle C(x)}$ aller elitärer Primzahlen ${\displaystyle \leq x}$ die Abschätzung ${\displaystyle C(x)=O\left({\tfrac {x}{\ln ^{2}(x)}}\right)}$ erfüllt.[2]

Einzelnachweise

1. A. Aigner: Über Primzahlen, nach denen (fast) alle Fermatzahlen quadratische Nichtreste sind. In: Monatshefte Mathematik. 101, 1986, S. 85–93.
2. Krizek et al.: On the convergence of series of reciprocals of prims related to the Fermat numbers. In: Journal of Number Theory. 97, 2002, S. 95–112.

Weblinks

• Alain Chaumont, Tom Müller: All Elite Primes Up to 250 Billion. In: Journal of Integer Sequences. Band 9, Nr. 06.3.8, 2006 (cs.uwaterloo.ca [PDF]).