Zusammengesetzte Zahl

Eine zusammengesetzte Zahl i​st eine natürliche Zahl, d​eren Primfaktorzerlegung a​us mindestens z​wei Faktoren besteht. Sie s​ind damit d​as Gegenstück z​u den Primzahlen. Ebenso w​ie allgemeiner Primelemente i​n Ringen, w​ie z. B. d​en ganzen o​der den gaußschen Zahlen untersucht werden, können a​uch dort zusammengesetzte Zahlen betrachtet werden.

Natürliche Zahlen von 0 bis 100; die zusammengesetzten Zahlen sind grün markiert

Definition

Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Dann existiert ein (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutiges Produkt aus Primzahlen, so dass ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}{p_{i}}}$ mit Primzahlen ${\displaystyle {p_{1}},\ldots ,{p_{k}}}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, wobei einzelne Primzahlen auch mehrmals auftauchen können (${\displaystyle p_{i}=p_{j}}$ mit ${\displaystyle i\neq j}$). Die Zahl ${\displaystyle n}$ ist genau dann zusammengesetzt, wenn ${\displaystyle k>1}$.

Eigenschaften

• Mit Ausnahme der Zahlen null und eins ist jede natürliche Zahl entweder eine Primzahl oder zusammengesetzt.
• Jede positive gerade Zahl außer der zwei ist zusammengesetzt.
• Zusammengesetzte Zahlen können auch als Fastprimzahlen mindestens zweiter Ordnung bezeichnet werden.
• Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt. Während man die 0 aus diesen Betrachtungen völlig ausklammert, ordnet man der 1 das leere Produkt zu.
• Die Folge der zusammengesetzten Zahlen beginnt mit: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25... (Folge A002808 in OEIS)

Sätze

• Fundamentalsatz der Arithmetik
• Für jede zusammengesetzte Zahl ${\displaystyle n>5}$ gilt: ${\displaystyle (n-1)!\equiv 0{\pmod {n}}}$, siehe auch Satz von Wilson

Siehe auch

• hochzusammengesetzte Zahl

Weblinks

• Zusammengesetzte Zahlen und ihre Teilbarkeit