Divergenz eines Vektorfeldes

Die Divergenz e​ines Vektorfeldes i​st ein Skalarfeld, d​as an j​edem Punkt angibt, w​ie sehr d​ie Vektoren i​n einer kleinen Umgebung d​es Punktes auseinanderstreben (lateinisch divergere). Interpretiert m​an das Vektorfeld a​ls Strömungsfeld e​iner Größe, für d​ie die Kontinuitätsgleichung gilt, d​ann ist d​ie Divergenz d​ie Quelldichte. Senken h​aben negative Divergenz. Ist d​ie Divergenz überall gleich null, s​o bezeichnet m​an das Feld a​ls quellenfrei.

Die Divergenz ergibt s​ich aus d​em Vektorfeld d​urch Anwendung e​ines Differentialoperators. Verwandte Differentialoperatoren liefern d​ie Rotation e​ines Vektorfeldes u​nd den Gradienten e​ines Skalarfeldes. Das mathematische Gebiet i​st die Vektoranalysis.

In der Physik wird die Divergenz zum Beispiel bei der Formulierung der Maxwell-Gleichungen oder der verschiedenen Kontinuitätsgleichungen verwendet. Im Ricci-Kalkül wird die mit Hilfe der kovarianten Ableitung gebildete Größe ${\displaystyle \nabla _{k}T^{ik}}$ manchmal etwas ungenau als Divergenz eines Tensors ${\displaystyle T^{ik}}$ bezeichnet (für diese Größe gilt auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten zum Beispiel nicht der Gaußsche Integralsatz).

Beispiel aus der Physik

Man betrachtet z​um Beispiel e​ine ruhige Wasseroberfläche, a​uf die e​in dünner Strahl Öl trifft. Die Bewegung d​es Öls a​uf der Oberfläche k​ann durch e​in zweidimensionales (zeitabhängiges) Vektorfeld beschrieben werden: An j​edem Punkt i​st zu j​edem beliebigen Zeitpunkt d​ie Fließgeschwindigkeit d​es Öls i​n Form e​ines Vektors gegeben. Die Stelle, a​n der d​er Strahl a​uf die Wasseroberfläche trifft, i​st eine „Ölquelle“, d​a von d​ort Öl wegfließt, o​hne dass e​s einen Zufluss a​uf der Oberfläche g​eben würde. Die Divergenz a​n dieser Stelle i​st positiv. Im Gegensatz d​azu bezeichnet m​an eine Stelle, a​n der d​as Öl beispielsweise a​m Rand a​us dem Wasserbecken abfließt, a​ls Senke. Die Divergenz a​n dieser Stelle i​st negativ.

Definition

Sei ${\displaystyle {\vec {F}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},(x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto (F^{1},\dots ,F^{n})}$ ein differenzierbares Vektorfeld. Dann ist die Divergenz von ${\displaystyle {\vec {F}}}$ definiert als

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {F}}:=\nabla \cdot {\vec {F}}=({\tfrac {\partial }{\partial x_{1}}},\dotsc ,{\tfrac {\partial }{\partial x_{n}}})\cdot \left(F^{1},\dotsc ,F^{n}\right)={\tfrac {\partial }{\partial x_{1}}}F^{1}+\dotsb +{\tfrac {\partial }{\partial x_{n}}}F^{n}}$

Die Divergenz ist das Skalarprodukt des Nabla-Operators ${\displaystyle \nabla }$ mit dem Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {F}}}$.

Bei d​er Divergenz handelt e​s sich u​m einen Operator a​uf einem Vektorfeld, d​er in e​inem skalaren Feld resultiert:

${\displaystyle \operatorname {div} [\cdot ]\ \colon C^{1}\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}\right)\to C^{0}\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} \right)}$

Für den Fall eines dreidimensionalen Vektorfeldes ${\displaystyle {\vec {F}}(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ist die Divergenz in kartesischen Koordinaten definiert als

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {div} \colon &C^{1}\left(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{3}\right)&\to &C^{0}\left(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} \right)\\&{\vec {F}}=\left(F^{1},F^{2},F^{3}\right)&\mapsto &{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}F^{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}F^{2}+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}F^{3}\end{matrix}}}$.

Bei der Schreibweise ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}}$ ist es wichtig, den Multiplikationspunkt zwischen ${\displaystyle \nabla }$ und dem Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {F}}}$ zu schreiben, da der ${\displaystyle \nabla }$-Operator sonst als Gradient der Vektorkomponenten (geschrieben ${\displaystyle \nabla {\vec {F}}}$ ) zu verstehen wäre.

Die Divergenz als „Quellendichte“

Interpretiert man ein Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {F}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ als Strömungsfeld, so beschreibt dessen totales Differenzial ${\displaystyle DF\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ein Beschleunigungsfeld. Ist in einem Punkt ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ die Beschleunigungsmatrix ${\displaystyle DF(x_{0})}$ diagonalisierbar, so beschreibt jeder Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{i}(x_{0})}$ die Beschleunigung in Richtung des zugehörigen Eigenvektors ${\displaystyle u_{i}(x_{0})}$. Jeder positive Eigenwert beschreibt also die Intensität einer gerichteten Quelle und jeder negative Eigenwert die gerichtete Intensität einer Senke. Addiert man diese Eigenwerte, so erhält man die resultierende Intensität einer Quelle bzw. Senke. Da die Summe der Eigenwerte ${\displaystyle \lambda _{i}(x_{0})}$ gerade die Spur der Beschleunigungsmatrix ${\displaystyle DF(x_{0})}$ ist, wird die Quellenintensität durch

${\displaystyle \operatorname {Spur} (DF)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}F^{i}=\operatorname {div} \,{\vec {F}}}$

gemessen.

Die Divergenz k​ann in diesem Sinne a​ls „Quellendichte“ interpretiert werden.

Koordinatenfreie Darstellung

Für d​ie Interpretation d​er Divergenz a​ls „Quellendichte“ i​st die folgende koordinatenfreie Definition i​n der Form e​iner Volumenableitung wichtig (hier für d​en Fall n=3)

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}=\lim _{|\Delta V|\to 0}\left({\frac {1}{|\Delta V|}}\oint _{\partial (\Delta V)}{\vec {F}}\;\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S\right)\,.}$

Dabei ist ${\displaystyle \Delta V}$ ein beliebiges Volumen, zum Beispiel eine Kugel oder ein Parallelepiped; ${\displaystyle |\Delta V|}$ ist sein Inhalt. Es wird über den Rand ${\displaystyle \partial (\Delta V)}$ dieses Volumenelements integriert, ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ist die nach außen gerichtete Normale und ${\displaystyle \mathrm {d} S}$ das zugehörige Flächenelement. Man findet hierzu auch die Schreibweise mit ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}:={\vec {n}}\cdot \mathrm {d} S}$.

Für n > 3 k​ann diese Aussage leicht verallgemeinert werden, i​ndem man n-dimensionale Volumina u​nd ihre (n-1)-dimensionalen Randflächen betrachtet. Bei Spezialisierung a​uf infinitesimale Würfel o​der Quader erhält m​an die bekannte Darstellung i​n kartesischen Koordinaten

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{i}}}\,.}$

In orthogonalen krummlinigen Koordinaten, zum Beispiel Kugelkoordinaten oder elliptischen Koordinaten, (also für ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(u_{1},\dots ,u_{n})\cdot \mathrm {d} u_{i}\,{\hat {e}}_{i}(u_{1},\dots ,u_{n})\,}$, mit ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{k}=\delta _{i,k}\,}$), wobei ${\displaystyle \textstyle {\vec {F}}=\sum _{i=1}^{n}\,F_{i}(u_{1},\dots ,u_{n})\,{\hat {e}}_{i}}$ ist, wobei also nicht die ${\displaystyle \mathrm {d} u_{i}}$, sondern die ${\displaystyle a_{i}\cdot \mathrm {d} u_{i}}$ die physikalische Dimension einer „Länge“ haben, gilt dagegen etwas allgemeiner

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}=(a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n})^{-1}\,\left\{{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}[(a_{2}\cdot a_{3}\cdot \ldots \cdot a_{n-1}\cdot a_{n})\,F_{1}]+\dots \right\},}$

wobei die Punkte am Ende weitere Terme beinhalten, die durch fortgesetzte zyklische Permutationen, erzeugt nach dem Schema ${\displaystyle 1\to 2,2\to 3,\dots ,(n-1)\to n,n\to 1}$ usw., aus dem angeschriebenen folgen.

Herleitung der kartesischen Darstellung

Zur Herleitung der kartesischen Darstellung der Divergenz aus der koordinatenfreien Darstellung betrachte man einen infinitesimalen Würfel ${\displaystyle [x_{1},x_{1}+\Delta x_{1}],\ldots ,[x_{n},x_{n}+\Delta x_{n}]}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{|\Delta V|}}\int \limits _{\partial (\Delta V)}{\vec {F}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S&={\frac {1}{\Delta x_{1}\Delta x_{2}\ldots \Delta x_{n}}}\left[\int \limits _{x_{2}}^{x_{2}+\Delta x_{2}}\ldots \int \limits _{x_{n}}^{x_{n}+\Delta x_{n}}\left({\vec {F}}(x_{1}+\Delta x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})-{\vec {F}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\right)\cdot {\hat {e}}_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\ldots \mathrm {d} x_{n}\right]+\ldots \\&+{\frac {1}{\Delta x_{1}\Delta x_{2}\ldots \Delta x_{n}}}\left[\int \limits _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x_{1}}\ldots \int \limits _{x_{n-1}}^{x_{n-1}+\Delta x_{n-1}}\left({\vec {F}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n}+\Delta x_{n})-{\vec {F}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})\right)\cdot {\hat {e}}_{n}\,\mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n-1}\right]\end{aligned}}}$

Nun wendet man den Mittelwertsatz der Integralrechnung an, wobei die gestrichenen Größen ${\displaystyle x'_{i}}$ aus dem Intervall ${\displaystyle [x_{i},x_{i}+\Delta x_{i}]}$ sind.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{|\Delta V|}}\int \limits _{\partial (\Delta V)}{\vec {F}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S&={\frac {\left({\vec {F}}(x_{1}+\Delta x_{1},x'_{2},\ldots ,x'_{n})-{\vec {F}}(x_{1},x'_{2},\ldots ,x'_{n})\right)\cdot {\hat {e}}_{1}}{\Delta x_{1}}}\underbrace {\left[{\frac {1}{\Delta x_{2}}}\int \limits _{x_{2}}^{x_{2}+\Delta x_{2}}\mathrm {d} x_{2}\right.} _{=1}\ldots \underbrace {\left.{\frac {1}{\Delta x_{n}}}\int \limits _{x_{n}}^{x_{n}+\Delta x_{n}}\mathrm {d} x_{n}\right]} _{=1}+\ldots \\&+{\frac {\left({\vec {F}}(x'_{1},\ldots ,x'_{n-1},x_{n}+\Delta x_{n})-{\vec {F}}(x'_{1},\ldots ,x'_{n-1},x_{n})\right)\cdot {\hat {e}}_{n}}{\Delta x_{n}}}\left[{\frac {1}{\Delta x_{1}}}\int \limits _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x_{1}}\mathrm {d} x_{1}\ldots {\frac {1}{\Delta x_{n-1}}}\int \limits _{x_{n-1}}^{x_{n-1}+\Delta x_{n-1}}\mathrm {d} x_{n-1}\right]\end{aligned}}}$

Somit bleibt n​ur die Summe d​er Differenzenquotienten übrig

${\displaystyle {\frac {1}{|\Delta V|}}\int \limits _{\partial (\Delta V)}{\vec {F}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S={\frac {F_{1}(x_{1}+\Delta x_{1},x'_{2},\ldots ,x'_{n})-F_{1}(x_{1},x'_{2},\ldots ,x'_{n})}{\Delta x_{1}}}+\ldots +{\frac {F_{n}(x'_{1},\ldots ,x'_{n-1},x_{n}+\Delta x_{n})-F_{n}(x'_{1},\ldots ,x'_{n-1},x_{n})}{\Delta x_{n}}}}$,

die im Grenzübergang ${\displaystyle \Delta x_{i}\to 0}$ zu partiellen Ableitungen werden:

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})+\ldots +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x{}_{n})}$

Kovariantes Verhalten bei Drehungen und Verschiebungen

Der Divergenz-Operator kommutiert mit räumlichen Drehungen und Verschiebungen eines Vektorfeldes, d. h. die Reihenfolge dieser Operationen macht keinen Unterschied.

Begründung: Wenn das Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {F}}}$ im Raum gedreht oder (parallel)verschoben wird, braucht man in der oben gegebenen koordinatenunabhängigen Darstellung nur die Flächen- und Volumenelemente in derselben Weise zu drehen, um wieder auf denselben skalaren Ausdruck zu kommen. Das Skalarfeld ${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}}$ dreht und verschiebt sich also in gleicher Weise wie das Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {F}}}$.

Ein „Zerlegungs-Theorem“

Für n=3-dimensionale Vektorfelder ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}$, die im ganzen Raum mindestens zweimal stetig differenzierbar sind und im Unendlichen hinreichend rasch gegen null gehen, gilt, dass sie in einen wirbelfreien Teil ${\displaystyle {\vec {E}}}$ und einen quellenfreien Teil ${\displaystyle {\vec {B}}}$ zerfallen, ${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {E}}+{\vec {B}}}$. Für den wirbelfreien Teil gilt, dass er durch seine Quellendichte wie folgt dargestellt werden kann:

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=-\nabla \Phi ({\vec {r}})}$, mit

${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\,\mathrm {d} ^{(3)}r'\,\,{\frac {\mathrm {div} \,{\vec {E}}({\vec {r}}')}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}}$.

Für den quellenfreien Teil, ${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}})}$, gilt analoges, wenn man das skalare Potential ${\displaystyle \Phi }$ durch ein sog. Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ersetzt und zugleich die Ausdrücke ${\displaystyle -\nabla \,\Phi }$ bzw. ${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {E}}}$ (=Quellendichte von ${\displaystyle {\vec {E}}}$) durch die Operationen ${\displaystyle \nabla \times \,{\vec {A}}}$ bzw. ${\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}}$ (=Wirbeldichte von ${\displaystyle {\vec {B}}}$) substituiert.

Dieses Verfahren i​st Bestandteil d​es Helmholtz-Theorems.

Eigenschaften

Im n-dimensionalen Raum

Sei ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ eine Konstante, ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Teilmenge, ${\displaystyle u\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ ein skalares Feld und ${\displaystyle {\vec {F}},{\vec {G}}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ zwei Vektorfelder. Dann gelten folgende Regeln:

• Die Divergenz ist linear, das heißt, es gilt

${\displaystyle \operatorname {div} \,(c\cdot {\vec {F}})=c\cdot \operatorname {div} \,{\vec {F}}}$ und

${\displaystyle \operatorname {div} \,({\vec {F}}+{\vec {G}})=\operatorname {div} \,{\vec {F}}+\operatorname {div} \,{\vec {G}}.}$

• Für die Divergenz gilt die Produktregel

${\displaystyle \operatorname {div} (u{\vec {F}})=\operatorname {grad} (u)\cdot {\vec {F}}+u\operatorname {div} {\vec {F}}}$

• Die Divergenz des Vektorfeldes ${\displaystyle {\vec {F}}}$ entspricht in beliebigen Koordinaten der Spur der kovarianten Ableitung ${\displaystyle \nabla {\vec {F}}}$ von ${\displaystyle {\vec {F}}}$, das heißt, es gilt
  ${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}=\operatorname {Spur} (\nabla {\vec {F}})}$.
  Diese Darstellung ist koordinateninvariant, da die Spur einer linearen Abbildung invariant gegenüber einem Basiswechsel ist.

Im dreidimensionalen Raum

Ist ${\displaystyle n=3}$, so gibt es auch eine Produktregel für das Kreuzprodukt ${\displaystyle \times }$, diese lautet

${\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {F}}\times {\vec {G}})={\vec {G}}\cdot \operatorname {rot} \,{\vec {F}}-{\vec {F}}\cdot \operatorname {rot} \,{\vec {G}}\,,}$

wobei mit ${\displaystyle \operatorname {rot} }$ die Rotation gemeint ist. Wegen ${\displaystyle \operatorname {rot(grad} (f))=0}$ für alle differenzierbaren ${\displaystyle f}$ folgt daraus

${\displaystyle \operatorname {div(grad} f_{1}\times \operatorname {grad} f_{2})=0}$

für beliebige differenzierbare ${\displaystyle f_{1},\,f_{2}}$.

Beispiele

In kartesischen Koordinaten findet m​an unmittelbar

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {r}}=\operatorname {div} \left({\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right)=3}$

Für das Coulomb-Feld findet man, wenn in der ersten Produktregel ${\displaystyle u\!\,=1/r^{3}}$,   ${\displaystyle \operatorname {grad} \,u=-3{\hat {e}}_{r}/r^{4}}$ und ${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {r}}}$ gesetzt wird

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\frac {{\hat {e}}_{r}}{r^{2}}}=\operatorname {div} \,{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}=-{\frac {3{\hat {e}}_{r}}{r^{4}}}\cdot {\vec {r}}+{\frac {3}{r^{3}}}=0\qquad r=|{\vec {r}}|\neq 0,\quad {\vec {r}}=r{\hat {e}}_{r}\,.}$

Mit d​er Formel für d​ie Divergenz i​n Kugelkoordinaten i​st dieses Ergebnis ebenfalls z​u erhalten.

Nach dem Korollar sind Felder ${\displaystyle {\vec {f}}}$ des folgenden Typs quellenfrei:

${\displaystyle {\vec {f}}={\frac {{\vec {c}}\times {\vec {r}}}{r^{3}}}\quad {\vec {c}}={\text{const}}\,,\quad {\vec {f}}={\vec {r}}\times \operatorname {grad} \,Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

Gaußscher Integralsatz

→ Hauptartikel: Gaußscher Integralsatz

Aussage

Eine wichtige Rolle spielt die Divergenz in der Aussage des Gaußschen Integralsatzes. Er besagt, dass der Durchfluss durch eine geschlossene Oberfläche gleich dem Integral über die Divergenz des Vektorfeldes im Inneren dieses Volumens ist, und erlaubt damit die Umwandlung eines Volumenintegrals in ein Oberflächenintegral:

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\operatorname {div} {\vec {F}}\;\mathrm {d} V=\iint \limits _{\partial V}{\vec {F}}\;\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S\,,}$

wobei ${\displaystyle {\vec {n}}}$ der Normalenvektor der Oberfläche ${\displaystyle \partial V}$ ist. Anschaulich beschreibt er damit für den Fall einer Strömung den Zusammenhang zwischen dem Durchfluss durch diese Fläche und den Strömungsquellen und -senken innerhalb des zugehörigen Volumens.

Punktförmige Quelle

Setzt man im Gaußschen Integralsatz das coulombartige Feld ${\displaystyle {\vec {F}}_{C}={\hat {e}}_{r}/r^{2}}$ ein und wählt man als Integrationsfläche ${\displaystyle \partial V}$ eine Kugelfläche mit Radius ${\displaystyle r\!\,}$ um den Ursprung, so ist ${\displaystyle {\vec {n}}={\hat {e}}_{r}}$ und der Integrand wird konstant gleich ${\displaystyle 1/\!\,r^{2}}$. Weil die Oberfläche der Kugel ${\displaystyle 4\pi \!\,r^{2}}$ ist, folgt

${\displaystyle \iint \limits _{\partial K}{\vec {F}}_{C}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S={\frac {1}{r^{2}}}\iint \limits _{\partial K}\mathrm {d} S=4\pi }$

Somit liefert der Integralsatz eine Information über ${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}_{C}}$, die im Gegensatz zu den Ableitungsausdrücken (Produktregel oder Kugelkoordinaten) auch den Punkt ${\displaystyle {\vec {r}}=0}$ einschließt: Das Volumenintegral von ${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}_{C}}$ ist ${\displaystyle 4\pi }$. Dies lässt sich mit dem Ergebnis der Ableitungsrechnung zu einer Distributionsgleichung zusammenfassen:

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\frac {{\hat {e}}_{r}}{r^{2}}}=4\pi \delta ({\vec {r}})}$

Zylinder- und Kugelkoordinaten

In Zylinderkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes ${\displaystyle {\vec {F}}(\rho ,\varphi ,z)}$:

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho F_{\rho })+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}$

In Kugelkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes ${\displaystyle {\vec {F}}(r,\theta ,\varphi )}$:

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}F_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(F_{\theta }\sin \theta )+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}}$

Letztere Formel kann ohne Differentiation von Basisvektoren hergeleitet werden: Man führt eine Testfunktion ${\displaystyle g}$ ein und schreibt ein Volumenintegral einmal in kartesischen und einmal in Kugelkoordinaten. Mit bekannten Ausdrücken für Gradient und Volumenelement ergibt das nach Ausmultiplizieren der Basisvektoren

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\vec {F}}\cdot \operatorname {grad} \,g\,\mathrm {d} V&=\int \left(F_{x}{\frac {\partial g}{\partial x}}+F_{y}{\frac {\partial g}{\partial y}}+F_{z}{\frac {\partial g}{\partial z}}\right)\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\&=\int \left(F_{r}{\frac {\partial g}{\partial r}}+{\frac {F_{\theta }}{r}}\,{\frac {\partial g}{\partial \theta }}+{\frac {F_{\varphi }}{r\sin \theta }}\,{\frac {\partial g}{\partial \varphi }}\right)r^{2}\mathrm {d} r\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \end{aligned}}}$

Die Ableitungen von ${\displaystyle g}$ werden partiell integriert, wobei Randterme verschwinden. Auf der rechten Seite muss das Volumenelement mitdifferenziert und danach in zwei Termen wiederhergestellt werden (Erweitern). Das ergibt

${\displaystyle \int g\,\left(\operatorname {div} \,{\vec {F}}\right)_{\mathrm {kartesisch} }\mathrm {d} V=\int g\,\left(\operatorname {div} \,{\vec {F}}\right)_{\mathrm {Kugelkoordinaten} }\mathrm {d} V}$

Aus d​er Gleichheit d​er Integrale für a​lle Testfunktionen folgt, d​ass die Ausdrücke für d​ie Divergenz gleich sind.

Inverse

Nach d​em Poincaré-Lemma existiert z​u jedem Skalarfeld e​in Vektorfeld, dessen Divergenz e​s ist. Dieses Vektorfeld i​st nicht eindeutig bestimmt, d​enn es k​ann ein örtlich konstanter Vektor hinzuaddiert werden, o​hne die Divergenz u​nd damit d​as Skalarfeld z​u verändern.

Unter gewissen Voraussetzungen existiert ein Rechts- oder Linksinverses der Divergenz. So gibt es für ein offenes und beschränktes Gebiet ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ mit lipschitzstetigem Rand einen Operator ${\displaystyle B\colon W^{m,p}(\Omega )\rightarrow W^{m,p}(\Omega )}$, so dass für jedes ${\displaystyle f\in W^{m,p}(\Omega )}$ mit ${\displaystyle \textstyle \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \lambda =0}$

${\displaystyle \operatorname {div} (Bf)=f}$

gilt, wobei ${\displaystyle W^{m,p}(\Omega )}$ den entsprechenden Sobolew-Raum für ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle 1<p<\infty }$ bezeichnet. ${\displaystyle B}$ heißt Bogowskii-Operator.[L 1]

Divergenz auf riemannschen Mannigfaltigkeiten

Im Abschnitt Eigenschaften w​urde bereits gesagt, d​ass die Divergenz m​it Hilfe d​er Spur d​er Jacobimatrix ausgedrückt werden k​ann und d​ass diese Darstellung koordinateninvariant ist. Aus diesem Grund verwendet m​an diese Eigenschaft, u​m die Divergenz a​uf riemannschen Mannigfaltigkeiten z​u definieren. Mit Hilfe dieser Definition k​ann man z​um Beispiel d​en Laplace-Operator a​uf riemannschen Mannigfaltigkeiten koordinatenfrei definieren. Dieser heißt d​ann Laplace-Beltrami-Operator.

Definition

Sei ${\displaystyle M}$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle F\in \Gamma (TM)}$ ein ${\displaystyle C^{k}}$-Vektorfeld mit ${\displaystyle k\geq 1}$. Dann ist die Divergenz durch

${\displaystyle \operatorname {div} (F):=\operatorname {Spur} (\xi \mapsto \nabla _{\xi }F)}$

definiert. Dabei ist ${\displaystyle \xi \in \Gamma (TM)}$ ein Vektorfeld und der Operator ${\displaystyle \nabla }$ ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der den Nabla-Operator verallgemeinert. Wertet man ${\displaystyle \nabla _{\xi }F}$ an ${\displaystyle p\in M}$ aus, so ist ${\displaystyle \xi |_{p}\mapsto \nabla _{\xi |_{p}}F|_{p}\in \operatorname {End} (T_{p}M)}$ und man kann für alle ${\displaystyle p}$ die aus der linearen Algebra bekannte Spur bilden.[L 2]

Transportsatz und geometrische Interpretation

Für den Fluss ${\displaystyle \varphi \colon U\subseteq \mathbb {R} \times M\to M,\;(t,x)\mapsto \varphi _{t}(x)}$ eines Vektorfeldes ${\displaystyle F}$ gilt der Transportsatz[L 3]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\varphi _{t}(\Omega )}\varrho (t,x)\mathrm {d} \lambda (x)=\int _{\varphi _{t}(\Omega )}(\partial _{t}\varrho (t,x)+\operatorname {div} (\varrho (t,x)F(x)))\mathrm {d} \lambda (x).}$

Dabei ist ${\displaystyle \lambda }$ das Riemann-Lebesguesche Volumenmaß auf der Mannigfaltigkeit, ${\displaystyle \Omega }$ eine relativ-kompakte messbare Teilmenge und ${\displaystyle \varrho }$ eine glatte Funktion. Interpretiert man ${\displaystyle \varrho }$ als Dichte einer Erhaltungsgröße, dann folgt daraus die Kontinuitätsgleichung. Für ${\displaystyle \varrho =1}$ erhält man

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\lambda (\varphi _{t}(\Omega ))=\int _{\varphi _{t}(\Omega )}\operatorname {div} F(x)d\lambda (x).}$

Die Divergenz i​st also d​ie Dichte d​er Volumenänderungsrate bezüglich d​es Flusses. Die Divergenz i​n einem Punkt g​ibt an, w​ie schnell s​ich der Inhalt e​ines infinitesimalen Volumenelements i​n diesem Punkt ändert, w​enn es s​ich mit d​em Fluss bewegt. Als Folgerung ergibt sich, d​ass ein Vektorfeld g​enau dann divergenzfrei ist, w​enn der erzeugte Fluss volumenerhaltend ist.

Divergenz von Tensoren zweiter Stufe

In d​en Ingenieurwissenschaften w​ird die Divergenz a​uch für Tensoren zweiter Stufe eingeführt u​nd liefert d​ann Vektorfelder.[L 4] Zum Beispiel g​eht die Divergenz d​es Spannungstensors i​n die lokale Impulsbilanz d​er Kontinuumsmechanik, d​as erste Cauchy-Eulersche Bewegungsgesetz, ein.

Definition

Tensoren zweiter Stufe bilden Vektoren a​uf Vektoren ab. Indem d​ie vektorielle Divergenz m​it der Divergenz d​es Tensors i​n Zusammenhang gebracht wird, k​ann die Divergenz a​uf Tensoren T verallgemeinert werden:[L 5]

${\displaystyle \mathrm {div} (\mathbf {T} )\cdot {\vec {c}}=\mathrm {div} (\mathbf {T} ^{\top }\cdot {\vec {c}})\quad \forall \quad {\vec {c}}}$

Darin bildet d​as Superskript ^⊤ d​en transponierten Tensor. Mit d​em Nabla-Operator berechnet s​ich diese Divergenz mittels

${\displaystyle \mathrm {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)}$

In der Literatur insbesondere der Strömungsmechanik wird auch die transponierte Version ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} }$ benutzt.[L 6]

Divergenz eines Tensors in kartesischen Koordinaten

Für einen Tensor ${\displaystyle \textstyle \mathbf {T} =\sum _{i,j=1}^{3}T_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}}$ ergibt sich bezüglich der Standardbasis ê_1,2,3 eines kartesischen Koordinatensystems mit x-, y- und z-Koordinaten, die gemäß dem Schema x → 1, y → 2 und z → 3 nummeriert werden:

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {T} =\sum _{k=1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {T} }{\partial x_{k}}}\cdot {\hat {e}}_{k}=\sum _{i,k=1}^{3}{\frac {\partial T_{ik}}{\partial x_{k}}}{\hat {e}}_{i}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial T_{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial T_{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial T_{xz}}{\partial z}}\\{\frac {\partial T_{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial T_{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial T_{yz}}{\partial z}}\\{\frac {\partial T_{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial T_{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial T_{zz}}{\partial z}}\end{pmatrix}}}$

Die transponierte Version ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} =\mathrm {div} \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)}$ ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

Divergenz eines Tensors in Zylinderkoordinaten

In Zylinderkoordinaten m​it Basisvektoren

${\displaystyle {\hat {e}}_{\rho }={\begin{pmatrix}\cos(\varphi )\\\sin(\varphi )\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin(\varphi )\\\cos(\varphi )\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

ergibt s​ich die Divergenz für Tensoren zweiter Stufe zu

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} (\mathbf {T} )=&\left(T_{\rho \rho ,\rho }+{\frac {1}{\rho }}(T_{\rho \varphi ,\varphi }+T_{\rho \rho }-T_{\varphi \varphi })+T_{\rho z,z}\right){\hat {e}}_{\rho }\\&+\left(T_{\varphi \rho ,\rho }+{\frac {1}{\rho }}(T_{\varphi \varphi ,\varphi }+T_{\rho \varphi }+T_{\varphi \rho })+T_{\varphi z,z}\right){\hat {e}}_{\varphi }\\&+\left(T_{z\rho ,\rho }+{\frac {1}{\rho }}(T_{z\varphi ,\varphi }+T_{z\rho })+T_{zz,z}\right){\hat {e}}_{z}\end{aligned}}}$

Ein Index hinter einem Komma bezeichnet hier die Ableitung nach der Koordinate: ${\displaystyle T_{\rho \varphi ,\varphi }={\tfrac {\partial T_{\rho \varphi }}{\partial \varphi }}}$. Die transponierte Version ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} =\mathrm {div} \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)}$ ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

Divergenz eines Tensors in Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten m​it Basisvektoren

${\displaystyle {\hat {e}}_{r}={\begin{pmatrix}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\\\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\\\cos(\vartheta )\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\vartheta }={\begin{pmatrix}\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\-\sin(\vartheta )\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin(\varphi )\\\cos(\varphi )\\0\end{pmatrix}}}$

ergibt s​ich die Divergenz für Tensoren zweiter Stufe zu

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} (\mathbf {T} )=&\left(T_{rr,r}+{\frac {2T_{rr}-T_{\vartheta \vartheta }-T_{\varphi \varphi }+T_{r\vartheta ,\vartheta }}{r}}+{\frac {T_{r\varphi ,\varphi }+T_{r\vartheta }\cos(\vartheta )}{r\sin(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{r}\\&\left(T_{\vartheta r,r}+{\frac {2T_{\vartheta r}+T_{r\vartheta }+T_{\vartheta \vartheta ,\vartheta }}{r}}+{\frac {(T_{\vartheta \vartheta }-T_{\varphi \varphi })\cos(\vartheta )+T_{\vartheta \varphi ,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{\vartheta }\\&\left(T_{\varphi r,r}+{\frac {2T_{\varphi r}+T_{r\varphi }+T_{\varphi \vartheta ,\vartheta }}{r}}+{\frac {(T_{\vartheta \varphi }+T_{\varphi \vartheta })\cos(\vartheta )+T_{\varphi \varphi ,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{\varphi }\end{aligned}}}$

Ein Index hinter einem Komma bezeichnet hier die Ableitung nach der Koordinate: ${\displaystyle T_{\varphi r,r}={\tfrac {\partial T_{\varphi r}}{\partial r}}}$. Die transponierte Version ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} =\mathrm {div} \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)}$ ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

Im n-dimensionalen Raum

Sei ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ eine Konstante, ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Teilmenge, ${\displaystyle u\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ ein skalares Feld, ${\displaystyle {\vec {F}},{\vec {G}}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ zwei Vektorfelder und T ein tensorielles Feld. Dann gelten folgende Regeln:

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\operatorname {div} (u\mathbf {T} )&=&(u_{,i}\mathbf {T} +u\mathbf {T} _{,i})\cdot {\hat {e}}_{i}&=&\mathbf {T} \cdot \operatorname {grad} (u)+u\operatorname {div} \mathbf {T} \\\operatorname {div} (\mathbf {T} \cdot {\vec {F}})&=&\left(\mathbf {T} _{,i}\cdot {\vec {F}}+\mathbf {T} \cdot {\vec {F}}_{,i}\right)\cdot {\hat {e}}_{i}&=&\operatorname {div} (\mathbf {T} ^{\top })\cdot {\vec {F}}+\mathbf {T} ^{\top }:\operatorname {grad} {\vec {F}}\\\operatorname {div} ({\vec {F}}\otimes {\vec {G}})&=&\left({\vec {F}}_{,i}\otimes {\vec {G}}+{\vec {F}}\otimes {\vec {G}}_{,i}\right)\cdot {\hat {e}}_{i}&=&\operatorname {grad} ({\vec {F}})\cdot {\vec {G}}+\operatorname {div} ({\vec {G}}){\vec {F}}\end{array}}}$

Darin ist ${\displaystyle \cdot ,:}$ das Frobenius-Skalarprodukt für Vektoren bzw. Tensoren und eine Ableitung nach der Koordinate x_i in einem kartesischen Koordinatensystem mit Basisvektoren ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}}$ wird mit einem Index _,i abgekürzt, über den des Weiteren oben von eins bis drei zu summieren ist (Einsteinsche Summenkonvention).

Im dreidimensionalen Raum

Für d​ie Herleitung d​es zweiten Cauchy-Euler’schen Bewegungsgesetzes, d​as die Erhaltung d​es Drehimpulses i​n einem Kontinuum sicherstellt, w​ird die Produktregel

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} ({\vec {f}}\times \mathbf {T} )=&({\vec {f}}_{,i}\times \mathbf {T} +{\vec {f}}\times \mathbf {T} _{,i})\cdot {\hat {e}}_{i}={\vec {\mathrm {i} }}\left(\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot \mathbf {T} ^{\top }\right)+{\vec {f}}\times \mathrm {div} (\mathbf {T} )\end{aligned}}}$

gebraucht. Darin sind ${\displaystyle {\vec {F}}}$ ein vektorielles und T ein tensorielles, differenzierbares Feld und ${\displaystyle {\vec {\mathrm {i} }}}$ bildet die Vektorinvariante.

Gaußscher Integralsatz

Dieser Integralsatz wird in der Kontinuumsmechanik auch für Tensorfelder, z. B. von Spannungstensoren ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$, benötigt:

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\operatorname {div} {\boldsymbol {\sigma }}\;\mathrm {d} V=\iint \limits _{\partial V}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S=\iint \limits _{\partial V}{\vec {t}}\,\mathrm {d} S\,.}$

Der vom symmetrischen Spannungstensor transformierte Normalenvektor an die Fläche ist nach dem Cauchy’schen Fundamentaltheorem der auf der Fläche wirkende Spannungsvektor ${\displaystyle {\vec {t}}}$ (ein Vektor mit der Dimension Kraft pro Fläche). Diese Gleichung ist im Fall ihres Verschwindens bereits die Impulsbilanz deformierbarer Körper im statischen Fall in Abwesenheit einer Volumenkraft.

Expansionsrate

Die Divergenz eines Vektorfeldes ${\displaystyle {\vec {v}}}$ lautet in diesem Formalismus:

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {v}}=\operatorname {Sp} (\operatorname {grad} \,{\vec {v}})\quad \leftrightarrow \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} v_{i}}{\mathrm {d} x_{i}}}=\operatorname {Sp} \left(\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} v_{i}}{\mathrm {d} x_{j}}}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\right)\,.}$

Urbildraum V, der durch die Bewegungsfunktion χ in den Bildraum v transformiert wird

Ist speziell ${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)={\dot {\vec {\chi }}}({\vec {X}},t)}$ das Geschwindigkeitsfeld einer Bewegung ${\displaystyle {\vec {\chi }}({\vec {X}},t)={\vec {x}}\in v}$ (Bildraum) von Punkten ${\displaystyle {\vec {X}}\in V}$ aus einem zeitunabhängigen Volumen V (Urbildraum), siehe Bild, dann ist der Gradient des Vektorfeldes der Geschwindigkeitsgradient l

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {v}}=\operatorname {Sp} (\operatorname {grad} \,{\vec {v}})=\operatorname {Sp} (\mathbf {l} )=\operatorname {Sp} ({\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1})\,,}$

der m​it der Zeitableitung d​es Deformationsgradienten F u​nd seiner Inversen zusammenhängt. Die Determinante d​es Deformationsgradienten transformiert d​ie Volumenformen (rot i​m Bild) ineinander:

${\displaystyle \mathrm {d} v=\operatorname {det} (\mathbf {F} )\,\mathrm {d} V\,.}$

Zeitableitung dieser Gleichung ergibt m​it dem Frobenius-Skalarprodukt „:“ (siehe Ableitungen d​er Hauptinvarianten)

${\displaystyle (\mathrm {d} v){\dot {}}=\operatorname {det} (\mathbf {F} )\mathbf {F} ^{\top -1}:{\dot {\mathbf {F} }}\,\mathrm {d} V=\operatorname {Sp} (\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }})\,\mathrm {d} v=\operatorname {Sp} (\mathbf {l} )\,\mathrm {d} v=\operatorname {div} ({\vec {v}})\,\mathrm {d} v\,,}$

denn d​ie Volumenform i​m Urbildraum i​st nicht v​on der Zeit abhängig. Wenn d​ie Divergenz verschwindet, d​ann ist d​ie Bewegung l​okal volumenerhaltend. Eine positive Divergenz bedeutet Expansion, w​as in d​er Realität m​it einer Abnahme d​er Dichte einhergeht.

Weblinks

• Wie „krümme“ ich Nabla und Delta? – Herleitung des Nablaoperators für orthonormal krummlinige Koordinaten. In: matheplanet.com.

Siehe auch

• Formelsammlung Tensoranalysis mit Formeln zur Divergenz von Vektoren und Tensoren.

Einzelnachweise

1. G. P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Vol. I, Springer Tracts in Natural Philosophy, vol. 38, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0-387-94172-X
2. Isaac Chavel: Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press, 1984, 2. Ausgabe ISBN 978-0-12-170640-1, Seite 3.
3. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 2. Auflage. Birkhäuser, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, S. 438 (Kapitel XII).
4. Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, S. 43 ff., doi:10.1007/978-3-642-24119-2.
5. M. E. Gurtin: The Linear Theory of Elasticity. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VI2/a, Bandherausgeber C. Truesdell. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5, S. 11.
6. Altenbach (2012), S. 43,M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, Berlin, Heidelberg u. a. 2006, ISBN 978-3-540-33796-6, S. 377.

Literatur

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5
• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
• L. P. Kuptsov: Divergence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).