Kontinuitätsgleichung

Eine Kontinuitätsgleichung ist eine bestimmte partielle Differentialgleichung, die zu einer Erhaltungsgröße (s. u.) gehört. Sie verknüpft die zeitliche Änderung ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$ der räumlichen Dichte ${\displaystyle \rho }$, mit der diese Erhaltungsgröße an einem Punkt vorliegt, mit der räumlichen Änderung ihrer Stromdichte ${\displaystyle {\vec {j}}}$:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$

Zur mathematischen Definition von ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot }$ siehe Divergenz eines Vektorfeldes.

Die Kontinuitätsgleichung t​ritt in a​llen Feldtheorien d​er Physik auf. Die erhaltenen Größen können sein:

• die Masse,
• die elektrische Ladung,
• die Energie,
• die Wahrscheinlichkeit und
• einige Teilchenzahlen (Leptonenzahl, Baryonenzahl).

Die Verallgemeinerung d​er Kontinuitätsgleichung a​uf physikalische Größen, d​ie keine Erhaltungsgrößen sind, i​st die Bilanzgleichung. In i​hr tritt a​uf der rechten Seite d​er Gleichung e​in zusätzlicher Quellterm auf.

Zusammenhang mit einer Erhaltungsgröße

Die in einem Volumen V enthaltene „Ladung“ (das Volumenintegral über die Dichte) kann sich aufgrund der Kontinuitätsgleichung nur dadurch ändern, dass unausgeglichene Ströme aus der Oberfläche des Volumens hinausfließen. Demnach ändert sich die Gesamtladung für ${\displaystyle V\to \infty }$ zeitlich nicht und ist eine Erhaltungsgröße, wenn keine (Netto-)Ströme durch die Oberfläche des betrachteten Volumens fließen.

Denn die zeitliche Änderung der Ladung ${\displaystyle Q_{V}}$, gegeben durch

${\displaystyle Q_{V}=\iiint _{V}\mathrm {d} ^{3}x\,\rho (t,{\vec {x}})}$

in einem zeitlich unveränderlichen Volumen ${\displaystyle V}$, ist wegen der Kontinuitätsgleichung nach dem Integralsatz von Gauß

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q_{V}}{\mathrm {d} t}}=\iiint _{V}\mathrm {d} ^{3}x\,{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\iiint _{V}\!\mathrm {d} ^{3}x\,{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=-\oint _{\partial V}\,{\vec {j}}\;\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S\,,}$

gleich dem Flächenintegral über die Randfläche ${\displaystyle \partial V}$ des Volumens über den Anteil der Stromdichte ${\displaystyle {\vec {j}}}$, der in Richtung der Flächennormalen ${\displaystyle {\vec {n}}}$ nach außen fließt. Die Ladung im Volumen ändert sich nur, sofern unausgeglichene Ströme in der angegebenen Weise durch die Randfläche fließen.

Spezielle Kontinuitätsgleichungen

Hydrodynamik

Verändert sich in der Hydrodynamik die Massendichte ${\displaystyle \rho (t,{\vec {x}})}$, weil die Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {u}}={\tfrac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} t}}}$ längs der Bahnkurven ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ strömt, so ist die zugehörige Stromdichte

${\displaystyle {\vec {j}}=\rho \,{\vec {u}}}$

und d​ie Kontinuitätsgleichung lautet

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot (\rho {\vec {u}})&&=0\\\Leftrightarrow &{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\rho \cdot {\vec {u}}+\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}&&=0\end{alignedat}}}$ (Begründung: Produktregel)

Für die zeitliche Änderung der Dichte bei einem Teilchen, das die Bahn ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ durchläuft, besagt dies:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\rho \cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} t}}&&=-\rho \cdot {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}\\\Leftrightarrow &{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho (t,{\vec {x}}(t))&&=-\rho \cdot {\vec {\nabla }}\cdot \,{\vec {u}}\end{alignedat}}}$ (Begründung: totales Differential).

Entlang einer Trajektorie ändert sich also die Dichte mit der Divergenz der Strömung ${\displaystyle {\vec {u}}.}$

Die Strömung i​st inkompressibel, w​enn die Dichte entlang e​iner Trajektorie konstant bleibt:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho (t,{\vec {x}}(t))=0}$

Daraus folgt, d​ass in diesem Fall d​ie Divergenz d​er Strömung Null ist:

${\displaystyle \Rightarrow {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}={\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0}$

Elektrodynamik

In der Elektrodynamik ergibt sich die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladungsdichte ${\displaystyle \rho }$ und die elektrische Stromdichte ${\displaystyle {\vec {j}}}$ mithilfe der Identität ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\times \dots =0}$ und den beiden inhomogenen Maxwellgleichungen

${\displaystyle 0\ \ {\stackrel {\operatorname {div} \ \operatorname {rot} \ =\ 0}{=}}\ \ {\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}\right)\ \ {\stackrel {\text{Maxwell}}{=}}\ \ {\vec {\nabla }}\cdot \left({\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {D}}+{\vec {j}}\right)={\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}\ ,}$

d. h., e​s folgt m​it der anderen inhomogenen Maxwell-Gleichung[1]

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0\ .}$

In Halbleitern beschreibt d​ie Verletzung d​er Kontinuitätsgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=-r+g}$

die Änderung der Raumladungsdichte ${\displaystyle \rho }$ durch die Rekombinationsrate pro Volumen, ${\displaystyle r}$, und die Generationsrate ${\displaystyle g}$.

Aus den Maxwellgleichungen der Elektrodynamik folgt (in CGS-Einheiten) für die Energiedichte

${\displaystyle u={\frac {1}{8\pi }}\left({\vec {E}}^{2}+{\vec {B}}^{2}\right)}$

und d​ie Energiestromdichte (auch Poynting-Vektor)

${\displaystyle {\vec {S}}={\frac {c}{4\pi }}\left({\vec {E}}\times {\vec {H}}\right)}$

nahezu e​ine Kontinuitätsgleichung:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {S}}=-{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}\,.}$

Die Kontinuitätsgleichung für die Energie im elektromagnetischen Feld ist dort erfüllt, wo die elektrische Stromdichte ${\displaystyle {\vec {j}}}$ verschwindet, beispielsweise im Vakuum. Dort kann sich Energiedichte nur durch Energieströme ändern. Wo die elektrische Stromdichte ${\displaystyle {\vec {j}}}$ nicht verschwindet, leistet das elektrische Feld ${\displaystyle {\vec {E}}}$ Arbeit und tauscht Energie mit den Ladungsträgern aus.

Die Kontinuitätsgleichung für d​ie elektromagnetische Feldenergie i​st der Satz v​on Poynting.

In der relativistischen Formulierung der Elektrodynamik mit Minkowski-Vektoren fasst man cρ und j zu einem Vierervektor zusammen ${\displaystyle (j^{\alpha })=(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z})\,,}$. Wie oben, folgt aus den Maxwellgleichungen, dass dessen Viererdivergenz verschwindet ${\displaystyle \partial _{\alpha }j^{\alpha }={\frac {c\partial \rho }{c\partial t}}+{\frac {\partial j_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial j_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial j_{z}}{\partial z}}=0\,.}$[2] Diese Formulierung ist unabhängig von der gewählten Minkowski-Signatur, äquivalent zur Kontinuitätsgleichung und kann auf relativistische Feldtheorien verallgemeinert werden.

Quantenmechanik

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird der Zustand eines Teilchens, etwa eines einzelnen Elektrons, durch eine Wellenfunktion ${\displaystyle \Psi ({\vec {x}},t)}$ beschrieben.

Das Betragsquadrat

${\displaystyle \rho ({\vec {x}},t)=|\Psi ({\vec {x}},t)|^{2}}$

gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür an, ein Teilchen zur Zeit ${\displaystyle t}$ am Ort ${\displaystyle {\vec {x}}}$ vorzufinden. Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsstromdichte

${\displaystyle {\vec {j}}=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*})}$

gilt o​hne äußeres Magnetfeld a​ls Folge d​er Schrödingergleichung d​ie Kontinuitätsgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0\,}$.

Ist e​in äußeres Magnetfeld vorhanden, m​uss auf d​ie Pauli-Gleichung zurückgegriffen werden u​nd es ergibt sich

${\displaystyle {\vec {j}}=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\Psi ^{\dagger }{\vec {\nabla }}\Psi -({\vec {\nabla }}\Psi ^{\dagger })\Psi )-{\frac {q}{m}}{\vec {A}}\Psi ^{\dagger }\Psi +{\frac {\hbar }{2m}}{\vec {\nabla }}\times (\Psi ^{\dagger }{\vec {\sigma }}\Psi )}$

wobei ${\displaystyle \sigma }$ für die Pauli-Matrizen stehen. Der letzte Term verschwindet zwar bei der Divergenzbildung und ist nicht direkt aus der Pauli-Gleichung ableitbar, ergibt sich aber aus dem nichtrelativistischen Grenzfall der Dirac-Gleichung.

Im Rahmen d​er relativistischen Quantenmechanik gehorchen Teilchen d​er Klein-Gordon-Gleichung (für Skalarbosonen) beziehungsweise d​er Dirac-Gleichung (für Fermionen). Da d​ie Gleichungen d​er Speziellen Relativitätstheorie gehorchen, können d​ie Kontinuitätsgleichungen für d​iese Fälle i​n manifest kovarianter Form

${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$

geschrieben werden u​nd es ergibt sich

${\displaystyle j_{\text{KG}}^{\mu }=\mathrm {i} \left(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*}\right)}$

${\displaystyle j_{\text{Dirac}}^{\mu }=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\psi }$

wobei ${\displaystyle \phi }$ beziehungsweise ${\displaystyle \psi }$ für die skalare bosonische/vektorwertige fermionische Wellenfunktion stehen und ${\displaystyle \gamma }$ die Dirac-Matrizen sind.

Im Rahmen der Klein-Gordon-Kontinuitätsgleichung kann – im Gegensatz zum nichtrelativistischen oder fermionen Fall – die Größe ${\displaystyle j^{0}={\frac {1}{c}}\mathrm {i} \left(\phi ^{*}\partial _{t}\phi -\phi \partial _{t}\phi ^{*}\right)}$ nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte gedeutet werden, da diese Größe nicht positiv semidefinit ist.

Weitere Anwendungen: Allgemeine Erhaltungsgrößen

Man erkennt an der Analogie zum „elektrischen“ Fall, dass Kontinuitätsgleichungen immer dann gelten müssen, wenn eine ladungsartige Größe und eine stromartige Größe wie oben angegeben zusammenhängen. Als weiteres konkretes Beispiel könnte man etwa den in der Thermodynamik wichtigen Wärmestrom angeben. Die „Ladungsdichte“ muss bei Integration über den Gesamtraum eine Erhaltungsgröße ergeben, z. B. die elektrische Gesamtladung, bzw. – im Falle der Quantenmechanik – die Gesamtwahrscheinlichkeit, 1, oder im dritten Fall, die gesamte zugeführte Wärme, bei Systemen, deren Wärmeinhalt als „erhalten“ angesehen werden kann (z. B. Wärmediffusion).

In d​er Strömungsmechanik f​olgt aus d​er Kontinuitätsgleichung d​as Kontinuitätsgesetz für (inkompressible) Fluide.

Literatur

• Batchelor, G.K.: An introduction to fluid dynamics, Cambridge university press, 2000, ISBN 0-521-66396-2

Weblinks

• Video: Kontinuitätsgleichung. Institut für den Wissenschaftlichen Film (IWF) 2004, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.3203/IWF/C-14818.

Einzelnachweise und Fußnoten

1. Bei der Herleitung wird u. a. die Divergenz der sog. Maxwellschen Ergänzung ${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$ gebildet und die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitung ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$ mit dem Divergenzoperator benutzt.
2. Torsten Fließbach: Elektrodynamik Spektrum Akademischer Verlag, 3. Auflage, S. 159.