Mittelwertsatz der Integralrechnung

Der Mittelwertsatz d​er Integralrechnung (auch Cauchyscher Mittelwertsatz genannt) i​st ein wichtiger Satz d​er Analysis. Er erlaubt es, Integrale abzuschätzen, o​hne den tatsächlichen Wert auszurechnen, u​nd liefert e​inen einfachen Beweis d​es Fundamentalsatzes d​er Analysis.

Aussage

Zur geometrischen Deutung des Mittelwertsatzes für ${\displaystyle g=1}$.

Hier w​ird das Riemann-Integral betrachtet. Die Aussage lautet:

Sei ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ eine stetige Funktion, sowie ${\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ integrierbar und entweder ${\displaystyle g\geq 0}$ oder ${\displaystyle g\leq 0}$ (d. h. ohne Vorzeichenwechsel). Dann existiert ein ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$, so dass

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)dx}=f(\xi )\int \limits _{a}^{b}{g(x)dx}}$

gilt. Manche Autoren bezeichnen die obige Aussage als erweiterten Mittelwertsatz und die Aussage für ${\displaystyle g=1}$ als Mittelwertsatz oder ersten Mittelwertsatz. Für ${\displaystyle g=1}$ bekommt man den wichtigen Spezialfall:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{f(x)dx}=f(\xi )(b-a)}$,

der sich geometrisch leicht deuten lässt: Die Fläche unter der Kurve zwischen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ist gleich dem Inhalt eines Rechtecks mittlerer Höhe.

Beweis

Sei ${\displaystyle g(x)\geq 0}$ auf dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$. Der andere Fall kann durch Übergang zu ${\displaystyle -g}$ auf diesen zurückgeführt werden.

Wegen Stetigkeit nimmt ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle [a,b]}$ nach dem Satz vom Minimum und Maximum ein Minimum ${\displaystyle k}$ und ein Maximum ${\displaystyle K}$ an. Mit ${\displaystyle k\leq f(x)\leq K}$ und ${\displaystyle g(x)\geq 0}$ ist

${\displaystyle kg(x)\leq f(x)g(x)\leq Kg(x)}$;

mit Monotonie u​nd Linearität d​es Riemann-Integrals weiter

${\displaystyle k\int \limits _{a}^{b}{g(x)\,{\rm {d}}x}\leq \int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)\,{\rm {d}}x}\leq K\int \limits _{a}^{b}{g(x)\,{\rm {d}}x}}$.

Mit ${\displaystyle I:=\int \limits _{a}^{b}{g(x)\,{\rm {d}}x}}$ gilt somit

${\displaystyle kI\leq \int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)\,{\rm {d}}x}\leq KI}$ (1).

Es g​ilt nun folgende Fälle z​u unterscheiden:

Fall I: ${\displaystyle I\neq 0}$. - Dann hat die Behauptung die äquivalente Form

${\displaystyle f(\xi )={\frac {1}{I}}\cdot \int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)\,{\rm {d}}x}}$;

die rechte Seite dieser Gleichung ist eine Zahl, und zu zeigen ist, dass ${\displaystyle f}$ für ein ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ diese Zahl als Wert annimmt (2).

Wegen ${\displaystyle g(x)\geq 0}$ ist ${\displaystyle I>0}$, und (1) hat nach Division durch ${\displaystyle I}$ die Form

${\displaystyle k\leq {\frac {1}{I}}\cdot \int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)\,{\rm {d}}x}\leq K}$;

hieraus f​olgt (2) m​it dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen, q. e. d.

Fall II: ${\displaystyle I=0}$. - Dann folgt aus (1):

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)\,{\rm {d}}x}=0}$,

und die Behauptung gewinnt die für jedes ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ gültige Form

${\displaystyle f(\xi )\cdot 0=0}$, q. e. d.

Bedingung an g

Die Bedingung, dass ${\displaystyle g\geq 0}$ oder ${\displaystyle -g\geq 0}$ gilt, ist wichtig. In der Tat gilt der Mittelwertsatz für Funktionen ${\displaystyle g}$ ohne diese Bedingung im Allgemeinen nicht, wie das folgende Beispiel zeigt: Für ${\displaystyle [a,b]=[-1,1]}$ und ${\displaystyle f(x)=g(x)=x}$ ist

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x={\tfrac {2}{3}}}$,

jedoch

${\displaystyle f(\xi )\cdot \int \limits _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x=0}$ für alle ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$.

Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung

Seien ${\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ Funktionen, ${\displaystyle f}$ monoton und ${\displaystyle g}$ stetig. Dann existiert ein ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$, so dass

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)dx}=f(a)\int \limits _{a}^{\xi }{g(x)dx}+f(b)\int \limits _{\xi }^{b}{g(x)dx}}$.

Im Fall, dass ${\displaystyle f}$ sogar stetig differenzierbar ist, kann man ${\displaystyle \xi \in (a,b)}$ wählen. Der Beweis erfordert partielle Integration, den Fundamentalsatz der Analysis und den obigen Satz.

Siehe auch

• Integralrechnung #Mittelwerte stetiger Funktionen
• Mittelwert #Mittelwert einer Funktion
• Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Literatur

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6.