Helmholtz-Theorem

Das Helmholtz-Theorem, auch Helmholtz-Zerlegung, Stokes-Helmholtz-Zerlegung[1] oder Fundamentalsatz der Vektoranalysis, (nach Hermann von Helmholtz) besagt, dass für gewisse Gebiete ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ der ${\displaystyle L^{p}}$-Raum als direkte Summe von divergenzfreien Funktionen und Gradientenfeldern geschrieben werden kann.

Definitionen

Für ein Gebiet ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ wird ${\displaystyle L_{\sigma }^{p}(\Omega )={\overline {\{u\in C_{c}^{\infty }(\Omega ):\nabla \cdot u=0\}}}^{\|\cdot \|_{p}}}$ der Raum der divergenzfreien Funktionen genannt, wobei ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ der Raum der Testfunktionen ist und ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ die ${\displaystyle p}$-Norm bezeichnet. Die Zerlegung

${\displaystyle L^{p}(\Omega )=L_{\sigma }^{p}(\Omega )\oplus G_{p}}$

mit ${\displaystyle G_{p}=\{u=\nabla \phi$ :\phi \in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )\ {\text{und}}\ \nabla \phi \in L^{p}(\Omega )\}} wird Helmholtz-Zerlegung genannt, insofern die Zerlegung existiert. In diesem Fall gibt es eine Projektion ${\displaystyle P}$ mit ${\displaystyle PL^{p}(\Omega )=L_{\sigma }^{p}(\Omega )}$, die sog. Helmholtz-Projektion.

Ist ${\displaystyle \Omega }$ der Halbraum, ein beschränktes Gebiet mit ${\displaystyle C^{2}}$-Rand oder ein Außenraum mit ${\displaystyle C^{2}}$-Rand, so existiert die Zerlegung. Für ${\displaystyle p=2}$ existiert die Zerlegung für beliebige Gebiete mit ${\displaystyle C^{2}}$-Rand.[2]

Hat ${\displaystyle \Omega }$ einen ${\displaystyle C^{1}}$-Rand, gilt ${\displaystyle L_{\sigma }^{p}(\Omega )=\{u\in L^{p}(\Omega ):\operatorname {div} u=0\ {\text{und}}\ u\cdot \nu =0\ {\text{auf}}\ \partial \Omega \}}$, wobei ${\displaystyle \nu }$ die äußere Normale ist.

Mathematische Anwendung

In d​er Lösbarkeitstheorie d​er Navier-Stokes-Gleichungen spielt d​ie Helmholtz-Projektion e​ine wichtige Rolle. Wird d​ie Helmholtz-Projektion a​uf die linearisierte inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen angewandt, erhält m​an die Stokes-Gleichung

${\displaystyle u_{t}-P\Delta u=f}$

für ${\displaystyle u,f\in L_{\sigma }^{p}(\Omega )}$. Gab es zuvor zwei Unbekannte, nämlich ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle p}$, gibt es jetzt nur noch eine Unbekannte. Beide Gleichungen, die Stokes- und die linearisierte Gleichung, sind jedoch äquivalent.

Der Operator ${\displaystyle P\Delta }$ wird Stokes-Operator genannt.

Physikalische Betrachtung

Das Helmholtz-Theorem besagt, dass es möglich ist, ein (fast) beliebiges Vektorfeld ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )}$ als Superposition eines rotationsfreien (wirbelfreien) Feldes ${\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {r} )}$ und eines divergenzfreien (quellenfreien) Feldes ${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {r} )}$ darzustellen. Ein rotationsfreies Feld lässt sich jedoch wiederum durch ein skalares Potential ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ darstellen, ein divergenzfreies Feld durch ein Vektorpotential ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$.

${\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {r} )=-\operatorname {grad} (\phi (\mathbf {r} ))}$

und

${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {r} )=\operatorname {rot} (\mathbf {A} (\mathbf {r} ))}$

dann folgt

${\displaystyle \operatorname {rot} (\mathbf {a} (\mathbf {r} ))=-\operatorname {rot} (\operatorname {grad} (\phi (\mathbf {r} )))\equiv 0}$

und

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {b} (\mathbf {r} ))=\operatorname {div} (\operatorname {rot} (\mathbf {A} (\mathbf {r} )))\equiv 0}$

Es ist also möglich das Vektorfeld ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )}$ durch Superposition (Addition) zweier unterschiedlicher Potentiale ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ und ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$ auszudrücken (das Helmholtz-Theorem).

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )=\mathbf {a} (\mathbf {r} )+\mathbf {b} (\mathbf {r} )=-\operatorname {grad} (\phi (\mathbf {r} ))+\operatorname {rot} (\mathbf {A} (\mathbf {r} ))}$

Die beiden einander ergänzenden Potentiale lassen sich durch die folgenden Integrale aus dem Feld ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )}$ gewinnen:

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\operatorname {div} (\mathbf {f} (\mathbf {r} '))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\operatorname {rot} (\mathbf {f} (\mathbf {r} '))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'}$

Wobei ${\displaystyle V}$ das die Felder enthaltende Volumen ist.

Die mathematische Voraussetzung für die Anwendung des Helmholtzschen Theorems ist neben der Differenzierbarkeit des Vektorfelds ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} ),}$ dass es für ${\displaystyle r\to \infty }$ schneller als ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$ gegen ${\displaystyle 0}$ geht, also ${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\mathbf {f} (\mathbf {r} )r=0}$. Ansonsten divergieren die obigen Integrale, lassen sich also nicht mehr berechnen.

Dieses Theorem i​st besonders i​n der Elektrodynamik v​on Interesse, d​a sich m​it seiner Hilfe d​ie Maxwell-Gleichungen i​m Potentialbild schreiben u​nd einfacher lösen lassen. Für a​lle physikalisch relevanten Probleme s​ind dabei d​ie mathematischen Voraussetzungen erfüllt.

Redundanz

Während das ursprüngliche Vektorfeld an jedem Punkt von ${\displaystyle \Omega }$ durch ${\displaystyle n}$ Komponenten zu beschreiben ist, sind für das skalare und das Vektorpotential zusammen ${\displaystyle n+1}$ Komponenten nötig. Diese Redundanz lässt sich für ${\displaystyle n=3}$ beseitigen, indem der quellfreie Anteil des Vektorfeldes der toroidal-poloidalen Zerlegung unterworfen wird, wodurch letztlich insgesamt drei Skalarpotentiale zur Beschreibung ausreichen.

Einzelnachweise

1. Tribikram Kundu: Ultrasonic and Electromagnetic NDE for Structure and Material Characterization. CRC Press, 2012, ISBN 1-4398-3663-9, S. 37 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
2. G. P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Vol. I, Springer Tracts in Natural Philosophy, vol. 38, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0-387-94172-X