Integralkurve

Eine Integralkurve bezeichnet i​n der Mathematik i​m Bereich d​er Differentialtopologie e​ine auf e​iner differenzierbaren Mannigfaltigkeit definierte Kurve, d​ie in e​nger Beziehung z​u einem gegebenen glatten Vektorfeld a​uf dieser Mannigfaltigkeit steht. So stellen beispielsweise elektrische Feldlinien Integralkurven d​es zugehörigen elektrischen Vektorfeldes dar. Anschaulich bewegt s​ich ein kleiner Styroporball i​m Idealfall a​uf Integralkurven d​es Vektorfeldes, d​as etwa v​on der Strömung e​ines Flusses vorgegeben wird.

Definition

Integralkurven eines Vektorfeldes auf der zweidimensionalen Einheitssphäre

Sei ${\displaystyle X}$ ein glattes Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ der Dimension ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle p\in M}$ ein beliebiger Punkt. Dann heißt eine glatte Kurve ${\displaystyle \gamma \colon I\to M}$ auf einem offenen Intervall ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle t_{0}\in I}$ Integralkurve von ${\displaystyle X}$ durch ${\displaystyle p}$, wenn

${\displaystyle \gamma (t_{0})=p;}$

${\displaystyle \gamma '(t)=X(\gamma (t))\quad \forall t\in I.}$

Oder mit anderen Worten: Der Tangentialvektor von ${\displaystyle \gamma }$ ist an jeder Stelle identisch mit dem durch ${\displaystyle X}$ gegebenen Vektor an dieser Stelle.

Existenz

In lokalen Koordinaten reduziert s​ich das Problem a​uf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen:

${\displaystyle (\gamma ^{i})'(t)=X^{i}(\gamma ^{1}(t),...,\gamma ^{n}(t))}$

wobei ${\displaystyle i=1,...,n}$ und die ${\displaystyle X^{i}}$ glatte Funktionen auf ${\displaystyle M}$ sind. Zusammen mit der Randbedingung ${\displaystyle \gamma (t_{0})=p}$ handelt es sich also um ein klassisches Anfangswertproblem und der Satz von Picard-Lindelöf garantiert somit eine eindeutige Lösung in einer Umgebung von ${\displaystyle t_{0}}$. Da man Lösungen von Differentialgleichungen auch oft 'Integrale' nennt, liegt hier der Begriff 'Integralkurve' nahe.

Lokaler Fluss

Zu jedem glatten Vektorfeld ${\displaystyle X\colon M\to TM}$ gibt es einen eindeutig bestimmten maximalen lokalen Fluss

${\displaystyle \varphi \colon A\to M,\quad (t,p)\mapsto \gamma _{p}(t)}$

mit d​em Definitionsbereich

${\displaystyle A=\bigcup \nolimits _{p\in M}I_{p}\times \{p\}\subseteq \mathbb {R} \times M}$.

Dabei ist ${\displaystyle \gamma _{p}\colon I_{p}\to M}$ die eindeutig bestimmte maximale Integralkurve mit ${\displaystyle \gamma _{p}(0)=p}$ und ${\displaystyle \gamma _{p}'(t)=X(\gamma _{p}(t))}$ für alle ${\displaystyle t\in I_{p}}$.[1] Ist die Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ kompakt, dann ist der Fluss global, das heißt, es gilt ${\displaystyle I_{p}=\mathbb {R} }$ für alle ${\displaystyle p\in M}$ und ${\displaystyle A=\mathbb {R} \times M}$.

Literatur

• Theodor Bröcker, Klaus Jänich: Einführung in die Differentialtopologie. Springer, Berlin 1973, ISBN 3-540-06461-3, § 8. Dynamische Systeme.
• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 218). Springer Verlag, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95448-1.

Einzelnachweise

1. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 249.