Vektorpotential

Das Vektorpotential ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$ ist, historisch gesehen, ein mathematisches Hilfsmittel, das in der klassischen Elektrodynamik dazu eingeführt wurde, den Umgang mit der magnetischen Induktion bzw. Flussdichte ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )}$ (anschaulich gesprochen mit dem „Magnetfeld“) zu vereinfachen.

Mathematisch ist das Vektorpotential (im Unterschied zum Skalarpotential) ein Vektorfeld ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$, dessen Rotation gemäß folgender Formel

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\operatorname {rot} \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$

ein zweites Vektorfeld ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )}$ liefert.

Vektorpotentiale lassen sich u. a. dazu verwenden, die zur Beschreibung des elektromagnetischen Felds verwendeten Maxwell-Gleichungen zu entkoppeln und dadurch leichter lösbar zu machen. So zeigt sich, dass das Vektorpotential über eine Faltung aus einer gegebenen ortsabhängigen Stromdichte ${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} )}$ (also eine Anordnung von stromdurchflossenen Leitern im Raum, wie zum Beispiel eine Spule) hervorgeht, man also das Vektorpotential zu einer gegebenen Stromdichte berechnen kann, und daraus dann die messbare magnetische Induktion bzw. Flussdichte ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )}$, die durch diese Anordnung erzeugt wird (Biot-Savart-Gesetz). Dieses Vektorpotential hat die Einheit ${\displaystyle [\mathbf {A} ]=\mathrm {\frac {V\,s}{m}} }$.

Obwohl e​s zunächst n​ur als mathematisches Hilfsmittel eingeführt wurde, k​ommt ihm i​n der Quantenmechanik physikalische Realität zu, w​ie das Aharonov-Bohm-Experiment zeigte.

Definition

Das Vektorpotential ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$ wird so definiert, dass

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$

gilt. Hierbei ist ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$ die Rotation des Vektorpotentials. Durch diesen Ansatz ist die Divergenz von ${\displaystyle \mathbf {B} }$ Null, da ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {B} =\operatorname {div} \operatorname {rot} \mathbf {A} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$ für alle zweifach stetig differenzierbaren Vektorfelder. Dies wird durch die Maxwellgleichungen gefordert.

In der Elektrodynamik gilt die obige Formel unverändert, wohingegen für das elektrische Feld ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ,t)-\partial _{t}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$

gilt. Hierbei ist ${\displaystyle \Phi }$ das skalare Potential.

Diese beiden Ansätze, zusammen m​it der Lorenz-Eichung, werden benutzt, u​m die Maxwellgleichungen z​u entkoppeln. In d​er Magnetostatik w​ird für gewöhnlich d​ie Coulomb-Eichung benutzt, d​ie den statischen Grenzfall d​er Lorenz-Eichung darstellt.

Skalares Potential u​nd Vektorpotential werden i​n der Relativitätstheorie u​nd der Quantenelektrodynamik z​um Viererpotential

${\displaystyle A^{\mu }=\left(\Phi /c,\mathbf {A} \right)}$

zusammengefasst.

Eigenschaften

• Das Vektorpotential ist nur bis auf ein Gradientenfeld bestimmt, weil die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet. Für jede skalare Funktion ${\displaystyle \chi (\mathbf {r} ,t)}$ gilt also

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)'&=\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+\nabla \chi (\mathbf {r} ,t)\\\Rightarrow \;\;\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)'&=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)'=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+\nabla \times \nabla \chi =\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\,.\end{aligned}}}$

Verschieden geeichte Vektorpotentiale führen also auf dasselbe magnetische Feld. Dies wird als Eichinvarianz bezeichnet.

• Das Vektorpotential ist als Vektorfeld nicht konservativ. Andernfalls wäre es durch den Gradienten eines skalaren Feldes ${\displaystyle \alpha }$ darstellbar und es würde gelten:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla \times \nabla \alpha \equiv 0\,\,.}$

• In der Magnetostatik kann das Vektorpotential über die Coulomb-Eichung quellfrei gemacht werden, das bedeutet

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} )=0}$.

• In der Elektrodynamik, d. h. bei nicht-statischen Verhältnissen, benutzt man dagegen meist die folgende Lorenz-Eichung, die für die Berechnung elektromagnetischer Wellenfelder nützlich ist:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+{\frac {1}{\ c^{2}}}\partial _{t}\Phi (\mathbf {r} ,t)=0\,.}$ Dabei ist ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,t)}$ das skalare Potential (s. u.) und ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit.

• In der Magnetostatik erfüllt das Vektorpotential die Poisson-Gleichung, für die gilt (mit der Vakuumpermittivität ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ und der Vakuumpermeabilität ${\displaystyle \mu _{0}}$):

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}\mathbf {j} \equiv -\mu _{0}\mathbf {j} }$.

Daraus erhält man folgende einfache Darstellung des Vektorpotentials über eine Faltung (siehe Greensche Funktion):

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,,}$

wobei zu beachten ist, dass diese Beziehung nur gilt, wenn die Stromdichte im Unendlichen verschwindet.

• In der Elektrodynamik erweitert sich die Poisson-Gleichung zur (inhomogenen) Wellengleichung für das Vektorpotential

${\displaystyle \Box \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} )-\nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} )=\mu _{0}\mathbf {j} }$,

wobei ${\displaystyle \Box }$ der D’Alembert-Operator ist.

Die inhomogenen Lösungen dieser Gleichung sind das retardierte bzw. avancierte Vektorpotential

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ',t')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'}$, mit ${\displaystyle t'=t\mp {\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$.

• Die drei Komponenten ${\displaystyle A_{x}}$, ${\displaystyle A_{y}}$ und ${\displaystyle A_{z}}$ des Vektorpotentials und das skalare Potential ${\displaystyle \Phi /c}$ können in der Elektrodynamik zu einem Vierervektor zusammengefasst werden, der sich bei den Lorentz-Transformationen der Speziellen Relativitätstheorie Albert Einsteins wie das Quadrupel ${\displaystyle (ct,x,y,z)}$ transformiert. ${\displaystyle c}$ ist dabei die Lichtgeschwindigkeit.

Elektrisches Vektorpotential

Bei der Berechnung von Feldern in ladungs- und leitungsstromfreien Gebieten, z. B. in Hohlleitern begegnet man dem elektrischen Vektorpotential ${\displaystyle \mathbf {F} }$.

Aufgrund d​er Quellenfreiheit d​er betrachteten Felder g​ilt

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {D} =0}$       bzw.

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {E} =0}$       sowie

${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {rot} \mathbf {F} =0}$.

Um einen funktionalen Zusammenhang zwischen ${\displaystyle \mathbf {D} (r)}$ und ${\displaystyle \mathbf {F} (r)}$ zu erhalten, subtrahiert man die Gleichungen ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {D} =0}$ und ${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {rot} \mathbf {F} =0}$ voneinander und erhält:

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {D} -\operatorname {rot} \mathbf {F} )=0}$

Das Wirbelfeld ${\displaystyle \mathbf {F} }$ nennt man elektrisches Vektorpotential. Es beschreibt nur zeitlich veränderliche elektrische Felder.

Beziehungen zwischen Vektor- und Skalarpotential

Gemäß dem helmholtzschen Theorem kann (fast) jedes Vektorfeld ${\displaystyle \mathbf {K} (\mathbf {r} )}$ als Superposition zweier Komponenten ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ und ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )}$ aufgefasst werden, deren erste der Gradient eines Skalarpotentials ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ ist, die zweite dagegen die Rotation eines Vektorpotentials ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } (\mathbf {r} )}$:

${\displaystyle \mathbf {K} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} (\mathbf {r} )+\mathbf {G} (\mathbf {r} )=\operatorname {grad} \,\Phi (\mathbf {r} )+\operatorname {rot} \,\mathbf {\Gamma } (\mathbf {r} )=\nabla \Phi (\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {\Gamma } (\mathbf {r} )}$

Ist ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )\,}$ ein konservatives Kraftfeld, in dem die Kraft ${\displaystyle \mathbf {F} \,}$ dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials ${\displaystyle \Phi \ }$ entgegengerichtet ist, gilt alternativ die Schreibweise

${\displaystyle \mathbf {K} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} (\mathbf {r} )+\mathbf {G} (\mathbf {r} )=-\operatorname {grad} \,\Phi (\mathbf {r} )+\operatorname {rot} \,\mathbf {\Gamma } (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {\Gamma } (\mathbf {r} ).}$

Literatur

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Springer Verlag, 2002. ISBN 3-540-42018-5.