Formelsammlung Tensoranalysis

Diese Formelsammlung f​asst Formeln u​nd Definitionen d​er Analysis m​it Vektor- u​nd Tensorfeldern zweiter Stufe i​n der Kontinuumsmechanik zusammen.

Allgemeines

Siehe auch

Formelsammlung Tensoralgebra

Nomenklatur

• Operatoren wie „${\displaystyle \mathrm {grad} }$“ werden nicht kursiv geschrieben.
• Buchstaben in der Mitte des Alphabets werden als Indizes benutzt: ${\displaystyle i,j,k,l\in \{1,2,3\}}$
• Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
  • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in ${\displaystyle c=a_{i}b^{i}}$ wird über diesen Index von eins bis drei summiert:
    ${\displaystyle c=a_{i}b^{i}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}b^{i}}$.
  • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in ${\displaystyle c=A_{ij}B_{j}^{i}}$ wird über diese summiert:
    ${\displaystyle c=A_{ij}B_{j}^{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}B_{j}^{i}}$.
  • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie ${\displaystyle i}$ in ${\displaystyle v_{i}=A_{ij}b_{j}}$, ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
    ${\displaystyle v_{i}=A_{ij}b_{j}\quad \leftrightarrow \quad v_{i}=\sum _{j=1}^{3}A_{ij}b_{j}\quad \forall \;i\in \{1,2,3\}}$.
• Vektoren:
  • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum 𝕍={ℝ³,+,·}.
  • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
  • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen.
  • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in ${\displaystyle {\vec {a}}}$ mit einem Pfeil versehen.
  • Standardbasis ${\displaystyle {\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}}$
  • Beliebige Basis ${\displaystyle {\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2},{\vec {b}}_{3}}$ mit dualer Basis ${\displaystyle {\vec {b}}^{1},{\vec {b}}^{2},{\vec {b}}^{3}}$
  • Der Vektor ${\displaystyle {\vec {x}}=x_{i}{\hat {e}}_{i}}$ wird durchgängig Ortsvektor genannt.
• Tensoren zweiter Stufe werden wie in T mit fetten Großbuchstaben notiert. Insbesondere Einheitstensor 1.
• Koordinaten:
  • #Kartesische Koordinaten ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R} }$
  • #Zylinderkoordinaten: ${\displaystyle \rho ,\varphi ,z}$
  • #Kugelkoordinaten: ${\displaystyle r,\vartheta ,\varphi }$
  • Krummlinige Koordinaten ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}\in \mathbb {R} }$
• Konstanten: ${\displaystyle c,{\vec {c}},\mathbf {C} }$
• Zeit t ∈ ℝ
• Variablen: skalar r,s ∈ ℝ oder vektorwertig ${\displaystyle {\vec {r}},{\vec {s}}\in \mathbb {V} ^{3}}$
• Feldfunktionen abhängig von ${\displaystyle {\vec {x}},t}$ oder ${\displaystyle {\vec {y}},t}$:
  • Skalar ${\displaystyle f,g\in \mathbb {R} }$ oder vektorwertig ${\displaystyle {\vec {f}},{\vec {g}}\in \mathbb {V} ^{3}}$
  • Tensorwertig: S, T
• Operatoren:
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Spur: Sp
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Transposition: T^⊤
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Inverse: T ^-1
  • Transponierte Inverse: T ^⊤-1
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Skalarprodukt von Tensoren :, von Vektoren ·
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor × oder von Vektoren untereinander
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Dyadisches Produkt ⊗
  • Äußeres Tensorprodukt ${\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\#({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}):=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\otimes ({\vec {g}}\times {\vec {h}})}$
  • Vektorinvariante ${\displaystyle {\vec {\mathrm {i} }}({\vec {a}}\otimes {\vec {b}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}}$
• Differentialoperatoren:
  • #Nabla-Operator: 𝜵
  • #Gradient: grad
  • #Divergenz: div
  • #Rotation: rot
  • #Laplace-Operator: Δ
  • Ein Index hinter einem Komma bezeichnet die Ableitung nach einer Koordinate:
    ${\displaystyle f_{,i}:={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,,\quad f_{i,jk}={\frac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}\,,\quad f_{r,\vartheta }={\frac {\partial f_{r}}{\partial \vartheta }}}$
  • Zeitableitung mit Überpunkt: ${\displaystyle {\dot {f}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}},{\dot {\vec {f}}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {f}}}{\mathrm {d} t}},{\dot {\mathbf {T} }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {T} }$
• Landau-Symbole: f = 𝓞(x): f wächst langsamer als x.
• Kontinuumsmechanik:
  • Verschiebung ${\displaystyle {\vec {u}}=u_{i}{\hat {e}}_{i}}$
  • Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}=v_{i}{\hat {e}}_{i}}$
  • Deformationsgradient ${\displaystyle \mathbf {F} }$
  • Räumlicher Geschwindigkeitsgradient ${\displaystyle \mathbf {l} }$
  • der Differentialoperator D/Dt und der Überpunkt steht für die substantielle Zeitableitung

Kronecker-Delta

Siehe auch: Kronecker-Delta

${\displaystyle \delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta _{j}^{i}=\left\{{\begin{array}{ll}1&\mathrm {falls} \ i=j\\0&\mathrm {sonst} \end{array}}\right.}$

Permutationssymbol

Siehe auch: Permutationssymbol

${\displaystyle \epsilon _{ijk}={\hat {e}}_{i}\cdot ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})={\begin{cases}1&{\text{falls}}\;(i,j,k)\in \{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}\\-1&{\text{falls}}\;(i,j,k)\in \{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\}\\0&{\text{sonst, d.h. bei doppeltem Index}}\end{cases}}}$

Kreuzprodukt:

${\displaystyle a_{i}{\hat {e}}_{i}\times b_{j}{\hat {e}}_{j}=\epsilon _{ijk}a_{i}b_{j}{\hat {e}}_{k}}$

${\displaystyle \epsilon _{ijk}{\hat {e}}_{k}={\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}}$

Formelsammlung Tensoralgebra#Kreuzprodukt e​ines Vektors m​it einem Tensor:

${\displaystyle ({\vec {a}}\times \mathbf {A} )\cdot {\vec {g}}:={\vec {a}}\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {g}})}$

${\displaystyle {\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\times \mathbf {A} )=({\vec {b}}\times {\vec {a}})\cdot \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\vec {g}}\cdot (\mathbf {A} \times {\vec {a}}):=({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} )\times {\vec {a}}}$

${\displaystyle (\mathbf {A} \times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=\mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})}$

Kartesische Koordinaten

Siehe auch: Kartesische Koordinaten

${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R} }$

mit Basisvektoren

${\displaystyle {\hat {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

die Standardbasis o​der allgemeiner e​ine beliebige Orthonormalbasis ist.

Zylinderkoordinaten

Siehe auch: Zylinderkoordinaten

${\displaystyle {\hat {e}}_{\rho }={\begin{pmatrix}\cos(\varphi )\\\sin(\varphi )\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin(\varphi )\\\cos(\varphi )\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{\rho ,\varphi }={\hat {e}}_{\varphi },\quad {\hat {e}}_{\varphi ,\varphi }=-{\hat {e}}_{\rho }\quad {\hat {e}}_{z,\varphi }={\vec {0}}}$

Winkelgeschwindigkeit#Zylinderkoordinaten:

${\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\varphi }}{\hat {e}}_{z}\;\rightarrow \;{\dot {\hat {e}}}_{\rho /\varphi /z}={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\rho /\varphi /z}}$

Kugelkoordinaten

Siehe auch: Kugelkoordinaten

${\displaystyle {\hat {e}}_{r}={\begin{pmatrix}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\\\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\\\cos(\vartheta )\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\vartheta }={\begin{pmatrix}\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\-\sin(\vartheta )\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin(\varphi )\\\cos(\varphi )\\0\end{pmatrix}}}$

Winkelgeschwindigkeit#Kugelkoordinaten:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\vec {\omega }}={\begin{pmatrix}-{\dot {\vartheta }}\sin(\varphi )\\{\dot {\vartheta }}\cos(\varphi )\\{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}={\dot {\varphi }}\cos(\vartheta ){\hat {e}}_{r}-{\dot {\varphi }}\sin(\vartheta ){\hat {e}}_{\vartheta }+{\dot {\vartheta }}{\hat {e}}_{\varphi }\\&\rightarrow \;{\dot {\hat {e}}}_{r/\vartheta /\varphi }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{r/\vartheta /\varphi }\end{aligned}}}$

Krummlinige Koordinaten

Siehe auch: Krummlinige Koordinaten

${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\vec {b}}_{i}={\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial y_{i}}},\quad {\vec {b}}^{i}=\mathrm {grad} (y_{i})={\frac {\partial y_{i}}{\partial {\vec {x}}}}\quad \rightarrow \quad {\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {b}}^{j}=\delta _{i}^{j}}$

Ableitung von Skalar-, Vektor- oder Tensorfunktionen

Gâteaux-Differential

Siehe auch: Gâteaux-Differential

${\displaystyle \,\mathrm {D} f(x)[h]:=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}f(x+sh)\right|_{s=0}=\lim _{s\rightarrow 0}{\frac {f(x+sh)-f(x)}{s}}}$

mit ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f,x,h}$ skalar-, vektor- oder tensorwertig aber ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle h}$ gleichartig.

Produktregel:

${\displaystyle \mathrm {D} (f(x)\cdot g(x))[h]=\mathrm {D} f(x)[h]\cdot g(x)+f(x)\cdot \mathrm {D} g(x)[h]}$

Kettenregel:

${\displaystyle \mathrm {D} f{\big (}g(x){\big )}[h]=\mathrm {D} f(g)[Dg(x)[h]]}$

Fréchet-Ableitung

Siehe auch: Fréchet-Ableitung

Existiert ein beschränkter linearer Operator ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, sodass

${\displaystyle {\mathcal {A}}[h]={Df}(x)[h]{\quad \forall \;}h}$

gilt, so wird ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ Fréchet-Ableitung von ${\displaystyle f}$ nach ${\displaystyle x}$ genannt. Man schreibt dann auch

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\mathcal {A}}}$.

Ableitung von Potenzen eines Tensors

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}\mathbf {T} ^{-1}{\dot {{\big )}\;}}=&-\mathbf {T} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {T} }}\cdot {\mathbf {T} }^{-1}=-\left(\mathbf {T} ^{-1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {23}{\top }}:{\dot {\mathbf {T} }}\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} ^{-1}}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}=&-\left(\mathbf {T} ^{-1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {23}{\top }}\\{\big (}\mathbf {T} ^{\top -1}{\dot {{\big )}\;}}=&-\mathbf {T} ^{\top -1}\cdot {\dot {\mathbf {T} }}^{\top }\cdot {\mathbf {T} }^{\top -1}=-\left(\mathbf {T} ^{\top -1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {24}{\top }}:{\dot {\mathbf {T} }}\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} ^{\top -1}}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}=&-\left(\mathbf {T} ^{\top -1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {24}{\top }}\end{aligned}}}$

siehe Formelsammlung Tensoralgebra#Spezielle Tensoren vierter Stufe.

Allgemein m​it n ∈ ℕ, >0, T⁰ := 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} \mathbf {T} ^{n}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=&\sum _{m=0}^{n-1}\mathbf {T} ^{m}\cdot \mathbf {H\cdot T} ^{n-m-1}\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} ^{n}}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}=&\left(\sum _{m=0}^{n-1}\mathbf {T} ^{m}\otimes \left(\mathbf {T} ^{n-m-1}\right)^{\top }\right)^{\stackrel {23}{\top }}\end{aligned}}}$

#Gâteaux-Differential d​er Inversen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T\cdot T} ^{-1}=&\mathbf {1} \;\rightarrow \quad \overbrace {\mathrm {D} \mathbf {T} (\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]} ^{\mathbf {H} }\cdot \mathbf {T} ^{-1}+\mathbf {T} \cdot \mathrm {D} \mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=\mathbf {0} \\\rightarrow \quad \mathrm {D} \mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=&-\mathbf {T} ^{-1}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {T} ^{-1}=-\left(\mathbf {T} ^{-1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {23}{\top }}:\mathbf {H} \\\mathrm {D} \mathbf {T} ^{\top -1}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=&-\mathbf {T} ^{\top -1}\cdot \mathbf {H} ^{\top }\cdot \mathbf {T} ^{\top -1}=-\left(\mathbf {T} ^{\top -1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {24}{\top }}:\mathbf {H} \end{aligned}}}$

n ∈ ℕ, >0:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} \mathbf {T} ^{-n}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=&\sum _{m=1-n}^{0}\mathbf {T} ^{m}\cdot \mathrm {D} \mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]\cdot \mathbf {T} ^{1-n-m}\\=&-\sum _{m=1-n}^{0}\mathbf {T} ^{m-1}\cdot \mathbf {H\cdot T} ^{-n-m}\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} ^{-n}}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}=&-\left(\sum _{m=1-n}^{0}\mathbf {T} ^{m-1}\otimes \left(\mathbf {T} ^{-n-m}\right)^{\top }\right)^{\stackrel {23}{\top }}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} \mathbf {T} ^{\top -n}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=&-\sum _{m=1-n}^{0}\left(\mathbf {T} ^{m-1}\right)^{\top }\cdot \mathbf {H^{\top }\cdot {\big (}T} ^{-n-m}{\big )}^{\top }\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} ^{\top -n}}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}=&-\left(\sum _{m=1-n}^{0}\left(\mathbf {T} ^{m-1}\right)^{\top }\otimes \left(\mathbf {T} ^{-n-m}\right)^{\top }\right)^{\stackrel {24}{\top }}\end{aligned}}}$

Orthogonaler Tensor (Q·Q^⊤=1):

${\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}^{\top }=-\mathbf {Q} ^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }}$

Ableitungen nach dem Ort

Nabla-Operator

Siehe auch: Nabla-Operator

#Kartesische Koordinaten ${\displaystyle {\vec {x}}}$ :${\displaystyle \nabla ={\hat {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$

#Zylinderkoordinaten: ${\displaystyle \nabla ={\vec {e}}_{\rho }{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{\varphi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

#Kugelkoordinaten: ${\displaystyle \nabla ={\vec {e}}_{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\vec {e}}_{\vartheta }{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{r\sin(\vartheta )}}{\vec {e}}_{\varphi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}}$

#Krummlinige Koordinaten ${\displaystyle {\vec {y}}}$ :${\displaystyle \nabla ={\vec {b}}^{j}{\frac {\partial }{\partial y_{j}}}}$    mit    ${\displaystyle {\vec {b}}^{j}={\frac {\partial y_{j}}{\partial x_{i}}}{\hat {e}}_{i}}$.

Gradient

Siehe auch: Gradient (Mathematik)

Definition des Gradienten/Allgemeines

Definierende Eigenschaft b​ei skalar- o​der vektorwertiger Funktion f:[1]

${\displaystyle f({\vec {y}})-f({\vec {x}})=\mathrm {grad} (f)\cdot ({\vec {y}}-{\vec {x}})+{\mathcal {O}}(|{\vec {y}}-{\vec {x}}|)}$ wenn ${\displaystyle {\vec {y}}\to {\vec {x}}}$

Wenn d​er Gradient existiert, i​st er eindeutig. Berechnung b​ei skalar- o​der vektorwertiger Funktion f:

${\displaystyle \mathrm {grad} (f)\cdot {\vec {h}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}f({\vec {x}}+s{\vec {h}})\right|_{s=0}=\lim _{s\to 0}{\frac {f({\vec {x}}+s{\vec {h}})-f({\vec {x}})}{s}}\quad \forall \;{\vec {h}}\in \mathbb {V} }$

Integrabilitätsbedingung: Jedes rotationsfreie Vektorfeld i​st das Gradientenfeld e​ines Skalarpotentials:

${\displaystyle \mathrm {rot} ({\vec {f}})={\vec {0}}\quad \rightarrow \quad \exists g\colon {\vec {f}}=\mathrm {grad} (g)}$.

Koordinatenfreie Darstellung a​ls Volumenableitung:

• Volumen ${\displaystyle v}$ mit
• Oberfläche ${\displaystyle a}$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {a}}}$

${\displaystyle \mathrm {grad} (f)=\lim _{v\to 0}\left({\frac {1}{v}}\int _{a}f\,\mathrm {d} {\vec {a}}\right)}$

Skalarfeld f:

${\displaystyle \mathrm {grad} (f)=\nabla f=:{\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}}$

Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {f}}=f_{i}{\hat {e}}_{i}}$:[2]

${\displaystyle \mathrm {grad} ({\vec {f}})=(\nabla \otimes {\vec {f}})^{\top }=:{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial {\vec {x}}}}}$

${\displaystyle \mathrm {grad} ({\vec {x}})=\mathbf {1} }$

Zusammenhang m​it den anderen Differentialoperatoren:

${\displaystyle \mathrm {grad} (f)=\mathrm {div} (f\mathbf {1} )=\nabla \cdot (f\mathbf {1} )}$

${\displaystyle \mathrm {grad} (f)\times {\vec {c}}=\mathrm {rot} (f{\vec {c}})}$

Gradient in verschiedenen Koordinatensystemen

#Kartesische Koordinaten:

${\displaystyle \mathrm {grad} (f)=f_{,i}{\hat {e}}_{i}}$

${\displaystyle \mathrm {grad} ({\vec {f}})={\vec {f}}_{,i}\otimes {\hat {e}}_{i}={\hat {e}}_{i}\otimes \mathrm {grad} (f_{i})=f_{i,j}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}}$

#Zylinderkoordinaten:

${\displaystyle \mathrm {grad} (f)=f_{,\rho }{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {f_{,\varphi }}{\rho }}{\hat {e}}_{\varphi }+f_{,z}{\hat {e}}_{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {grad} ({\vec {f}})=&{\hat {e}}_{\rho }\otimes \mathrm {grad} (f_{\rho })+{\hat {e}}_{\varphi }\otimes \mathrm {grad} (f_{\varphi })+{\hat {e}}_{z}\otimes \mathrm {grad} (f_{z})\\&+{\frac {1}{\rho }}(f_{\rho }{\hat {e}}_{\varphi }-f_{\varphi }{\hat {e}}_{\rho })\otimes {\hat {e}}_{\varphi }\end{aligned}}}$

#Kugelkoordinaten:

${\displaystyle \mathrm {grad} (f)=f_{,r}{\hat {e}}_{r}+{\frac {f_{,\vartheta }}{r}}{\hat {e}}_{\vartheta }+{\frac {f_{,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}{\hat {e}}_{\varphi }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {grad} ({\vec {f}})=&{\hat {e}}_{r}\otimes \mathrm {grad} (f_{r})+{\hat {e}}_{\vartheta }\otimes \mathrm {grad} (f_{\vartheta })+{\hat {e}}_{\varphi }\otimes \mathrm {grad} (f_{\varphi })\\&+{\frac {f_{r}}{r}}(\mathbf {1} -{\hat {e}}_{r}\otimes {\hat {e}}_{r})-{\hat {e}}_{r}\otimes {\frac {f_{\vartheta }{\hat {e}}_{\vartheta }+f_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }}{r}}+{\frac {f_{\vartheta }{\hat {e}}_{\varphi }-f_{\varphi }{\hat {e}}_{\vartheta }}{r\tan(\vartheta )}}\otimes {\hat {e}}_{\varphi }\end{aligned}}}$

#Krummlinige Koordinaten:

Siehe auch: Gradient eines Vektorfeldes

Christoffelsymbole: ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\vec {g}}_{i,j}\cdot {\vec {g}}^{k}}$

Vektorfelder:

${\displaystyle \mathrm {grad} ({\vec {g}}_{i})=\Gamma _{ij}^{k}{\vec {g}}_{k}\otimes {\vec {g}}^{j}}$

${\displaystyle \mathrm {grad} ({\vec {g}}^{k})=-\Gamma _{ij}^{k}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}}$

${\displaystyle \mathrm {grad} (f^{i}{\vec {g}}_{i})=\left.f^{i}\right|_{j}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}}$

${\displaystyle \mathrm {grad} (f_{i}{\vec {g}}^{i})=\left.f_{i}\right|_{j}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}}$

Mit d​en kovarianten Ableitungen

${\displaystyle \left.f^{i}\right|_{j}=f_{,j}^{i}+\Gamma _{kj}^{i}f^{k}}$

${\displaystyle \left.f_{i}\right|_{j}=f_{i,j}-\Gamma _{ij}^{k}f_{k}}$

Tensorfelder:

${\displaystyle \mathrm {grad} (\mathbf {T} )[{\vec {h}}]=({\vec {h}}\cdot {\vec {g}}^{k})\mathbf {T} _{,k}={\vec {h}}\cdot ({\vec {g}}^{k}\otimes \mathbf {T} _{,k})=(\mathbf {T} _{,k}\otimes {\vec {g}}^{k})\cdot {\vec {h}}}$

Soll d​as Argument w​ie beim Vektorgradient rechts v​om Operator stehen, d​ann lautet d​er Tensorgradient

${\displaystyle \mathrm {grad} (\mathbf {T} )=\mathbf {T} _{,k}\otimes {\vec {g}}^{k}}$

Für e​in Tensorfeld zweiter Stufe:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {grad} (T^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})=&\left.T_{ij}\right|_{k}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}\otimes {\vec {g}}^{k},\quad \left.T_{ij}\right|_{k}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=T_{ij,k}-\Gamma _{ik}^{l}T_{lj}-\Gamma _{jk}^{l}T_{il}\\\mathrm {grad} (T^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})=&\left.T^{ij}\right|_{k}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\otimes {\vec {g}}^{k},\quad \left.T^{ij}\right|_{k}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=T_{,k}^{ij}+\Gamma _{lk}^{i}T^{lj}+\Gamma _{lk}^{j}T^{il}\\\mathrm {grad} (T_{i}^{.j}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}_{j})=&\left.T_{i}^{.j}\right|_{k}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\otimes {\vec {g}}^{k},\quad \left.T_{i}^{.j}\right|_{k}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=T_{i,k}^{.j}-\Gamma _{ik}^{l}T_{l}^{.j}+\Gamma _{lk}^{j}T_{i}^{.l}\\\mathrm {grad} (T_{.j}^{i}){\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}=&\left.T_{.j}^{i}\right|_{k}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}\otimes {\vec {g}}^{k},\quad \left.T_{.j}^{i}\right|_{k}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=T_{.j,k}^{i}+\Gamma _{lk}^{i}T_{.j}^{l}-\Gamma _{jk}^{l}T_{.l}^{i}\end{aligned}}}$

Produktregel für Gradienten

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\mathrm {grad} (fg)&=&(f_{,i}g+fg_{,i}){\hat {e}}_{i}&=&\mathrm {grad} (f)g+f\mathrm {grad} (g)\\\mathrm {grad} (f{\vec {g}})&=&(f_{,i}{\vec {g}}+f{\vec {g}}_{,i})\otimes {\hat {e}}_{i}&=&{\vec {g}}\otimes \mathrm {grad} (f)+f\mathrm {grad} ({\vec {g}})\\\mathrm {grad} ({\vec {f}}\cdot {\vec {g}})&=&\left({\vec {f}}_{,i}\cdot {\vec {g}}+{\vec {f}}\cdot {\vec {g}}_{,i}\right){\hat {e}}_{i}&=&{\vec {g}}\cdot \mathrm {grad} ({\vec {f}})+{\vec {f}}\cdot \mathrm {grad} ({\vec {g}})\\\mathrm {grad} ({\vec {f}}\times {\vec {g}})&=&\left({\vec {f}}_{,i}\times {\vec {g}}+{\vec {f}}\times {\vec {g}}_{,i}\right)\otimes {\hat {e}}_{i}&=&{\vec {f}}\times \mathrm {grad} ({\vec {g}})-{\vec {g}}\times \mathrm {grad} ({\vec {f}})\end{array}}}$

In d​rei Dimensionen i​st speziell[3]

${\displaystyle \mathrm {grad} ({\vec {f}}\cdot {\vec {g}})=\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {g}}+\mathrm {grad} ({\vec {g}})\cdot {\vec {f}}+{\vec {f}}\times \mathrm {rot} ({\vec {g}})+{\vec {g}}\times \mathrm {rot} ({\vec {f}})}$

Beliebige Basis:

${\displaystyle \mathrm {grad} (f_{i}{\vec {b}}_{i})={\vec {b}}_{i}\otimes \mathrm {grad} (f_{i})+f_{i}\,\mathrm {grad} ({\vec {b}}_{i})}$

Divergenz

Siehe auch: Divergenz eines Vektorfeldes

Definition der Divergenz/Allgemeines

Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {f}}}$ :

${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {f}})=\nabla \cdot {\vec {f}}=\mathrm {Sp} {\big (}\mathrm {grad} ({\vec {f}}){\big )}}$

${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {x}})=\mathrm {Sp} {\big (}\mathrm {grad} ({\vec {x}}){\big )}=\mathrm {Sp} (\mathbf {1} )=3}$

Klassische Definition für e​in Tensorfeld T:[1]

${\displaystyle \mathrm {div} (\mathbf {T} )\cdot {\vec {c}}=\mathrm {div} \left(\mathbf {T} ^{\top }\cdot {\vec {c}}\right)\quad \forall {\vec {c}}\in \mathbb {V} }$

→ ${\displaystyle \mathrm {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)}$

Koordinatenfreie Darstellung:

• Volumen ${\displaystyle v}$ mit
• Oberfläche ${\displaystyle a}$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {a}}}$

${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {f}})=\lim _{v\to 0}\left({\frac {1}{v}}\int _{a}{\vec {f}}\;\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}\right)}$

Zusammenhang m​it den anderen Differentialoperatoren:

${\displaystyle {\begin{array}{lcccl}\mathrm {div} ({\vec {f}})&=&\nabla \cdot {\vec {f}}&=&\mathrm {Sp(grad} ({\vec {f}}))\\\mathrm {div} (f\mathbf {1} )&=&\nabla \cdot (f\mathbf {1} )&=&\mathrm {grad} (f)\end{array}}}$

Divergenz in verschiedenen Koordinatensystemen

#Kartesische Koordinaten:

${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {f}})={\vec {f}}_{,i}\cdot {\hat {e}}_{i}=f_{i,i}}$

${\displaystyle \mathrm {div} (\mathbf {T} )=\mathbf {T} _{,i}\cdot {\hat {e}}_{i}=T_{ij,j}{\hat {e}}_{i}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} ={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} _{,i}=T_{ij,i}{\hat {e}}_{j}=T_{ji,j}{\hat {e}}_{i}}$

#Zylinderkoordinaten:

${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {f}})={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho f_{\rho })+{\frac {1}{\rho }}f_{\varphi ,\varphi }+f_{z,z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} (\mathbf {T} )=&\left(T_{\rho \rho ,\rho }+{\frac {1}{\rho }}(T_{\rho \varphi ,\varphi }+T_{\rho \rho }-T_{\varphi \varphi })+T_{\rho z,z}\right){\hat {e}}_{\rho }\\&+\left(T_{\varphi \rho ,\rho }+{\frac {1}{\rho }}(T_{\varphi \varphi ,\varphi }+T_{\rho \varphi }+T_{\varphi \rho })+T_{\varphi z,z}\right){\hat {e}}_{\varphi }\\&+\left(T_{z\rho ,\rho }+{\frac {1}{\rho }}(T_{z\varphi ,\varphi }+T_{z\rho })+T_{zz,z}\right){\hat {e}}_{z}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} =\mathrm {div} \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)}$ ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

#Kugelkoordinaten:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} ({\vec {f}})=&f_{r,r}+{\frac {2f_{r}+f_{\vartheta ,\vartheta }}{r}}+{\frac {f_{\vartheta }\cos(\vartheta )+f_{\varphi ,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}\\\mathrm {div} (\mathbf {T} )=&\left(T_{rr,r}+{\frac {2T_{rr}-T_{\vartheta \vartheta }-T_{\varphi \varphi }+T_{r\vartheta ,\vartheta }}{r}}+{\frac {T_{r\varphi ,\varphi }+T_{r\vartheta }\cos(\vartheta )}{r\sin(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{r}\\&\left(T_{\vartheta r,r}+{\frac {2T_{\vartheta r}+T_{r\vartheta }+T_{\vartheta \vartheta ,\vartheta }}{r}}+{\frac {(T_{\vartheta \vartheta }-T_{\varphi \varphi })\cos(\vartheta )+T_{\vartheta \varphi ,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{\vartheta }\\&\left(T_{\varphi r,r}+{\frac {2T_{\varphi r}+T_{r\varphi }+T_{\varphi \vartheta ,\vartheta }}{r}}+{\frac {(T_{\vartheta \varphi }+T_{\varphi \vartheta })\cos(\vartheta )+T_{\varphi \varphi ,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{\varphi }\end{aligned}}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} =\mathrm {div} \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)}$ ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

Produktregel für Divergenzen

${\displaystyle \mathrm {div} (f{\vec {g}})=\nabla \cdot (f{\vec {g}})=\left(f_{,i}{\vec {g}}+f{\vec {g}}_{,i}\right)\cdot {\hat {e}}_{i}=\mathrm {grad} (f)\cdot {\vec {g}}+f\mathrm {div} ({\vec {g}})}$

${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {f}}\times {\vec {g}})=\nabla \cdot ({\vec {f}}\times {\vec {g}})=\left({\vec {f}}_{,i}\times {\vec {g}}+{\vec {f}}\times {\vec {g}}_{,i}\right)\cdot {\hat {e}}_{i}={\vec {g}}\cdot \mathrm {rot} ({\vec {f}})-{\vec {f}}\cdot \mathrm {rot} ({\vec {g}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} ({\vec {f}}\otimes {\vec {g}})=&\left({\vec {f}}_{,i}\otimes {\vec {g}}+{\vec {f}}\otimes {\vec {g}}_{,i}\right)\cdot {\hat {e}}_{i}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {g}}+\mathrm {div} ({\vec {g}}){\vec {f}}\\\mathrm {div} (f\mathbf {T} )=&(f_{,i}\mathbf {T} +f\mathbf {T} _{,i})\cdot {\hat {e}}_{i}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mathbf {T} \cdot \mathrm {grad} (f)+f\mathrm {div} (\mathbf {T} )\\\mathrm {div} (\mathbf {T} \cdot {\vec {f}})=&\left(\mathbf {T} _{,i}\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T} \cdot {\vec {f}}_{,i}\right)\cdot {\hat {e}}_{i}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mathrm {div} (\mathbf {T} ^{\top })\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T} ^{\top }:\mathrm {grad} ({\vec {f}})\\\mathrm {div} ({\vec {f}}\times \mathbf {T} )=&({\vec {f}}_{,i}\times \mathbf {T} +{\vec {f}}\times \mathbf {T} _{,i})\cdot {\hat {e}}_{i}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&{\vec {\mathrm {i} }}\left(\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot \mathbf {T} ^{\top }\right)+{\vec {f}}\times \mathrm {div} (\mathbf {T} )\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot ({\vec {f}}\otimes {\vec {g}})=&{\hat {e}}_{i}\cdot \left({\vec {f}}_{,i}\otimes {\vec {g}}+{\vec {f}}\otimes {\vec {g}}_{,i}\right)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla \cdot {\vec {f}}){\vec {g}}+(\nabla \otimes {\vec {g}})^{\top }\cdot {\vec {f}}\\\nabla \cdot (f\mathbf {T} )=&{\hat {e}}_{i}\cdot (f_{,i}\mathbf {T} +f\mathbf {T} _{,i})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla f)\cdot \mathbf {T} +f\nabla \cdot \mathbf {T} \\\nabla \cdot (\mathbf {T} \cdot {\vec {f}})=&{\hat {e}}_{i}\cdot \left(\mathbf {T} _{,i}\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T} \cdot {\vec {f}}_{,i}\right)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla \cdot \mathbf {T} )\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T}$ :(\nabla \otimes {\vec {f}})\\\nabla \cdot (\mathbf {T} \times {\vec {f}})=&{\hat {e}}_{i}\cdot (\mathbf {T} _{,i}\times {\vec {f}}+\mathbf {T} \times {\vec {f}}_{,i})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla \cdot \mathbf {T} )\times {\vec {f}}-{\vec {\mathrm {i} }}\left((\nabla \otimes {\vec {f}})^{\top }\cdot \mathbf {T} \right)\end{aligned}}}

Beliebige Basis:

${\displaystyle \mathrm {div} (f_{i}{\vec {b}}_{i})=\nabla \cdot (f_{i}{\vec {b}}_{i})=\mathrm {grad} (f_{i})\cdot {\vec {b}}_{i}+f_{i}\,\mathrm {div} ({\vec {b}}_{i})}$

${\displaystyle \mathrm {div} (T^{ij}{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j})=(\mathrm {grad} (T^{ij})\cdot {\vec {b}}_{j}){\vec {b}}_{i}+T^{ij}\,{\big (}\mathrm {grad} ({\vec {b}}_{i})\cdot {\vec {b}}_{j}+\mathrm {div} ({\vec {b}}_{j}){\vec {b}}_{i}{\big )}}$

${\displaystyle \nabla \cdot (T^{ij}{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j})={\big (}(\nabla T^{ij})\cdot {\vec {b}}_{i}{\big )}{\vec {b}}_{j}+T^{ij}\,{\big (}(\nabla \cdot {\vec {b}}_{i}){\vec {b}}_{j}+(\nabla {\vec {b}}_{j})\cdot {\vec {b}}_{i}{\big )}}$

Produkt m​it Konstanten:

${\displaystyle \mathrm {div} (f\mathbf {C} )=\mathbf {C} \cdot \mathrm {grad} (f)\quad \rightarrow \quad \mathrm {div} (f\mathbf {1} )=\mathrm {grad} (f)}$

${\displaystyle \nabla \cdot (f\mathbf {C} )=\mathrm {grad} (f)\cdot \mathbf {C} \quad \rightarrow \quad \nabla \cdot (f\mathbf {1} )=\nabla f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} (\mathbf {C} \cdot {\vec {f}})=\mathbf {C} ^{\top }:\mathrm {grad} ({\vec {f}})\quad \rightarrow \quad \mathrm {div} ({\vec {f}})=&\mathrm {div} (\mathbf {1} \cdot {\vec {f}})=\mathbf {1}$ :\mathrm {grad} ({\vec {f}})\\=&\mathrm {Sp} (\mathrm {grad} ({\vec {f}}))\end{aligned}}}

Rotation

Siehe auch: Rotation eines Vektorfeldes

Definition der Rotation/Allgemeines

Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {f}}}$ :

${\displaystyle \mathrm {rot} ({\vec {f}})=\nabla \times {\vec {f}}}$

Klassische Definition für e​in Tensorfeld T:[1]

${\displaystyle \mathrm {rot} (\mathbf {T} )\cdot {\vec {c}}=\mathrm {rot} \left(\mathbf {T} ^{\top }\cdot {\vec {c}}\right)\quad \forall {\vec {c}}\in \mathbb {V} }$

→ ${\displaystyle \mathrm {rot} (\mathbf {T} )=\nabla \times \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)}$

Allgemeine Identitäten:

${\displaystyle \mathbf {T=T} ^{\top }\quad \rightarrow \quad \mathrm {Sp{\big (}rot} (\mathbf {T} ){\big )}=\mathrm {Sp} (\nabla \times \mathbf {T} )=0}$

${\displaystyle \mathrm {rot} ({\vec {x}})={\vec {0}}}$

Integrabilitätsbedingung[4]: Jedes divergenzfreie Vektorfeld i​st die Rotation e​ines Vektorfeldes:

${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {f}})=0\quad \rightarrow \quad \exists {\vec {g}}\colon {\vec {f}}=\mathrm {rot} ({\vec {g}})}$.

Siehe a​uch #Satz über rotationsfreie Felder.

Koordinatenfreie Darstellung:

• Volumen ${\displaystyle v}$ mit
• Oberfläche ${\displaystyle a}$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {a}}}$

${\displaystyle \mathrm {rot} ({\vec {f}})=-\lim _{v\rightarrow 0}\left({\frac {1}{v}}\int _{a}{\vec {f}}\times \mathrm {d} {\vec {a}}\right)}$

Zusammenhang m​it den anderen Differentialoperatoren:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {rot} (f{\vec {c}})=&\mathrm {grad} (f)\times {\vec {c}}\\\mathrm {rot} ({\vec {f}})=&-{\vec {\mathrm {i} }}{\big (}\mathrm {grad} ({\vec {f}}){\big )}={\vec {\mathrm {i} }}(\nabla \otimes {\vec {f}})=\nabla \times {\vec {f}}\end{aligned}}}$

Rotation in verschiedenen Koordinatensystemen

#Kartesische Koordinaten:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {rot} ({\vec {f}})=&f_{j,i}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}=\epsilon _{ijk}f_{j,i}{\hat {e}}_{k}\\=&(f_{3,2}-f_{2,3}){\hat {e}}_{1}+(f_{1,3}-f_{3,1}){\hat {e}}_{2}+(f_{2,1}-f_{1,2}){\hat {e}}_{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathrm {rot} (\mathbf {T} )={\hat {e}}_{i}\times \mathbf {T} _{,i}^{\top }={\hat {e}}_{i}\times T_{lj,i}{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{l}=\epsilon _{ijk}T_{lj,i}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l}}$

#Zylinderkoordinaten:

${\displaystyle \mathrm {rot} ({\vec {f}})={\frac {f_{z,\varphi }-\rho f_{\varphi ,z}}{\rho }}{\hat {e}}_{\rho }+(f_{\rho ,z}-f_{z,\rho }){\hat {e}}_{\varphi }+{\frac {f_{\varphi }+\rho f_{\varphi ,\rho }-f_{\rho ,\varphi }}{\rho }}{\hat {e}}_{z}}$

${\displaystyle \mathrm {rot} (\mathbf {T} )={\hat {e}}_{\rho }\times (\mathbf {T} _{,\rho }^{\top })+{\frac {1}{\rho }}{\hat {e}}_{\varphi }\times (\mathbf {T} _{,\varphi }^{\top })+{\hat {e}}_{z}\times (\mathbf {T} _{,z}^{\top })}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {T} ={\hat {e}}_{\rho }\times \mathbf {T} _{,\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\hat {e}}_{\varphi }\times \mathbf {T} _{,\varphi }+{\hat {e}}_{z}\times \mathbf {T} _{,z}}$

#Kugelkoordinaten:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {rot} ({\vec {f}})=&{\frac {f_{\varphi ,\vartheta }\sin(\vartheta )+f_{\varphi }\cos(\vartheta )-f_{\vartheta ,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}{\hat {e}}_{r}+\left({\frac {f_{r,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}-{\frac {f_{\varphi }+rf_{\varphi ,r}}{r}}\right){\hat {e}}_{\vartheta }\\&+{\frac {f_{\vartheta }+rf_{\vartheta ,r}-f_{r,\vartheta }}{r}}{\hat {e}}_{\varphi }\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathrm {rot} (\mathbf {T} )={\hat {e}}_{r}\times (\mathbf {T} _{,r}^{\top })+{\frac {1}{r}}{\hat {e}}_{\vartheta }\times (\mathbf {T} _{,\vartheta }^{\top })+{\frac {1}{r\sin(\vartheta )}}{\hat {e}}_{\varphi }\times (\mathbf {T} _{,\varphi }^{\top })}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {T} ={\hat {e}}_{r}\times \mathbf {T} _{,r}+{\frac {1}{r}}{\hat {e}}_{\vartheta }\times \mathbf {T} _{,\vartheta }+{\frac {1}{r\sin(\vartheta )}}{\hat {e}}_{\varphi }\times \mathbf {T} _{,\varphi }}$

Produktregel für Rotationen

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {rot} (f{\vec {g}})=&{\hat {e}}_{i}\times (f_{,i}{\vec {g}}+f{\vec {g}}_{,i})=\mathrm {grad} (f)\times {\vec {g}}+f\mathrm {rot} ({\vec {g}})\\\mathrm {rot} ({\vec {f}}\times {\vec {g}})=&{\hat {e}}_{i}\times \left({\vec {f}}_{,i}\times {\vec {g}}+{\vec {f}}\times {\vec {g}}_{,i}\right)\\=&({\hat {e}}_{i}\cdot {\vec {g}}){\vec {f}}_{,i}-\left({\hat {e}}_{i}\cdot {\vec {f}}_{,i}\right){\vec {g}}+\left({\hat {e}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{,i}\right){\vec {f}}-({\hat {e}}_{i}\cdot {\vec {f}}){\vec {g}}_{,i}\\=&\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {g}}-\mathrm {div} ({\vec {f}}){\vec {g}}+\mathrm {div} ({\vec {g}}){\vec {f}}-\mathrm {grad} ({\vec {g}})\cdot {\vec {f}}\\=&\mathrm {div} ({\vec {f}}\otimes {\vec {g}})-\mathrm {div} ({\vec {g}}\otimes {\vec {f}})=\nabla \cdot ({\vec {g}}\otimes {\vec {f}})-\nabla \cdot ({\vec {f}}\otimes {\vec {g}})\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {rot} ({\vec {f}}\otimes {\vec {g}})=&{\hat {e}}_{i}\times \left({\vec {g}}_{,i}\otimes {\vec {f}}+{\vec {g}}\otimes {\vec {f}}_{,i}\right)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mathrm {rot} ({\vec {g}})\otimes {\vec {f}}-{\vec {g}}\times \mathrm {grad} ({\vec {f}})^{\top }\\\mathrm {rot} (f\mathbf {T} )=&{\hat {e}}_{k}\times (f_{,k}\mathbf {T} ^{\top }+f\mathbf {T} _{,k}^{\top })\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mathrm {grad} (f)\times (\mathbf {T} ^{\top })+f\mathrm {rot} (\mathbf {T} )\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {rot} (\mathbf {T} \cdot {\vec {f}})=&{\hat {e}}_{k}\times {\big (}\mathbf {T} _{,k}\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T} \cdot {\vec {f}}_{,k}{\big )}\\=&\mathrm {rot} (\mathbf {T} ^{\top })\cdot {\vec {f}}+{\vec {\mathrm {i} }}\left({\hat {e}}_{k}\otimes \mathbf {T} \cdot {\vec {f}}_{,k}\right)\\=&\mathrm {rot} (\mathbf {T} ^{\top })\cdot {\vec {f}}-{\vec {\mathrm {i} }}\left(\mathbf {T} \cdot \mathrm {grad} ({\vec {f}})\right)\\\mathrm {rot} ({\vec {f}}\times \mathbf {T} )=&-\mathrm {rot} \left((\mathbf {T} ^{\top }\times {\vec {f}})^{\top }\right)\\=&-\nabla \times \left(\mathbf {T} ^{\top }\times {\vec {f}}\right)\\=&-(\nabla \times \mathbf {T} ^{\top })\times {\vec {f}}+\mathbf {T} ^{\top }\#(\nabla \otimes {\vec {f}})\\=&-\mathrm {rot} (\mathbf {T} )\times {\vec {f}}+\left(\mathbf {T} \#\mathrm {grad} ({\vec {f}})\right)^{\top }\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times ({\vec {f}}\otimes {\vec {g}})=&{\hat {e}}_{i}\times \left({\vec {f}}_{,i}\otimes {\vec {g}}+{\vec {f}}\otimes {\vec {g}}_{,i}\right)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla \times {\vec {f}})\otimes {\vec {g}}-{\vec {f}}\times (\nabla \otimes ({\vec {g}})\\\nabla \times (f\mathbf {T} )=&{\hat {e}}_{k}\times (f_{,k}\mathbf {T} +f\mathbf {T} _{,k})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla f)\times \mathbf {T} +f\nabla \times \mathbf {T} \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\mathbf {T} \cdot {\vec {f}})=&{\hat {e}}_{k}\times (\mathbf {T} _{,k}\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T} \cdot {\vec {f}}_{,k})\\=&(\nabla \times \mathbf {T} )\cdot {\vec {f}}+{\vec {\mathrm {i} }}\left({\hat {e}}_{k}\otimes \mathbf {T} \cdot {\vec {f}}_{,k}\right)\\=&(\nabla \times \mathbf {T} )\cdot {\vec {f}}-{\vec {\mathrm {i} }}{\big (}\mathbf {T} \cdot (\nabla \otimes {\vec {f}})^{\top }{\big )}\\\nabla \times (\mathbf {T} \times {\vec {f}})=&{\hat {e}}_{k}\times (\mathbf {T} _{,k}\times {\vec {f}}+(\mathbf {T} \cdot {\hat {e}}_{i})\otimes {\hat {e}}_{i}\times {\vec {f}}_{,k})\\=&(\nabla \times \mathbf {T} )\times {\vec {f}}-(\mathbf {T} \cdot {\hat {e}}_{i})\times {\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{i}\times {\vec {f}}_{,k}\\=&(\nabla \times \mathbf {T} )\times {\vec {f}}-\mathbf {T} \#(\nabla \otimes {\vec {f}})\end{aligned}}}$

Beliebige Basis:

${\displaystyle \mathrm {rot} (f^{i}{\vec {b}}_{i})=\mathrm {grad} (f^{i})\times {\vec {b}}_{i}+f^{i}\,\mathrm {rot} ({\vec {b}}_{i})}$

Produkt m​it Konstanten:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {rot} (\mathbf {C} \cdot {\vec {f}})&=&-{\vec {\mathrm {i} }}\left(\mathbf {C} \cdot \mathrm {grad} ({\vec {f}})\right)\\&&\rightarrow \quad \mathrm {rot} ({\vec {f}})=\mathrm {rot} (\mathbf {1} \cdot {\vec {f}})=-{\vec {\mathrm {i} }}\left(\mathrm {grad} ({\vec {f}})\right)\\\mathrm {rot} ({\vec {f}}\times \mathbf {1} )&=&\mathbf {1} \#\mathrm {grad} ({\vec {f}})^{\top }=\mathrm {grad} ({\vec {f}})-\mathrm {div} ({\vec {f}})\mathbf {1} \end{array}}}$

In divergenzfreien Feldern ist also: ${\displaystyle \mathrm {rot} ({\vec {f}}\times \mathbf {1} )=\mathrm {grad} ({\vec {f}})}$

Laplace-Operator

Siehe auch: Laplace-Operator

Definition/Allgemeines

${\displaystyle \Delta$ :=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}

Zusammenhang m​it anderen Differentialoperatoren:

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\Delta f&=&\mathrm {div{\big (}grad} (f){\big )}&=&\nabla \cdot (\nabla f)\\\Delta {\vec {f}}&=&\mathrm {div{\big (}grad} ({\vec {f}}){\big )}&=&\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {f}})\end{array}}}$

„Vektorieller Laplace-Operator“:

${\displaystyle \Delta {\vec {f}}=\mathrm {grad{\big (}div} ({\vec {f}}){\big )}-\mathrm {rot{\big (}rot} ({\vec {f}}){\big )}}$

Laplace-Operator in verschiedenen Koordinatensystemen

#Kartesische Koordinaten:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f=&f_{,kk}\\\Delta {\vec {f}}=&\Delta f_{i}{\hat {e}}_{i}=f_{i,kk}{\hat {e}}_{i}\\\Delta \mathbf {T} =&\Delta T_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=T_{ij,kk}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\end{aligned}}}$

#Zylinderkoordinaten:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f=&{\frac {f_{,\rho }}{\rho }}+f_{,\rho \rho }+{\frac {f_{,\varphi \varphi }}{\rho ^{2}}}+f_{,zz}\\\Delta {\vec {f}}=&\left(\Delta f_{\rho }-{\frac {2f_{\varphi ,\varphi }+f_{\rho }}{\rho ^{2}}}\right){\hat {e}}_{\rho }+\left(\Delta f_{\varphi }+{\frac {2f_{\rho ,\varphi }-f_{\varphi }}{\rho ^{2}}}\right){\hat {e}}_{\varphi }+\Delta f_{z}{\hat {e}}_{z}\end{aligned}}}$

#Kugelkoordinaten:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f=&{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin(\vartheta )}}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\left(\sin(\vartheta )\,{\frac {\partial f}{\partial \vartheta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}\\=&{\frac {2f_{,r}}{r}}+f_{,rr}+{\frac {f_{,\vartheta }\cos(\vartheta )+f_{,\vartheta \vartheta }\sin(\vartheta )}{r^{2}\sin(\vartheta )}}+{\frac {f_{,\varphi \varphi }}{r^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}\\\Delta {\vec {f}}=&\left(\Delta f_{r}-{\frac {2}{r^{2}}}(f_{r}+f_{\vartheta ,\vartheta })-2{\frac {f_{\varphi ,\varphi }+f_{\vartheta }\cos(\vartheta )}{r^{2}\sin(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{r}\\&+\left(\Delta f_{\vartheta }+{\frac {2f_{r,\vartheta }}{r^{2}}}-{\frac {f_{\vartheta }+2f_{\varphi ,\varphi }\cos(\vartheta )}{r^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{\vartheta }\\&+\left(\Delta f_{\varphi }-{\frac {f_{\varphi }-2f_{\vartheta ,\varphi }\cos(\vartheta )-2f_{r,\varphi }\sin(\vartheta )}{r^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{\varphi }\end{aligned}}}$

Verknüpfungen

Wegen d​er in d​er Literatur teilweise abweichenden Definitionen d​er Differentialoperatoren k​ann es i​n der Literatur z​u abweichenden Formeln kommen. Wenn d​ie Definitionen d​er Literatur h​ier eingesetzt werden, g​ehen die hiesigen Formeln i​n die d​er Literatur über.

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\mathrm {div(rot} ({\vec {f}}))&=&\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {f}})&=&0\\\mathrm {rot(grad} (f))&=&\nabla \times \nabla f&=&{\vec {0}}\\\mathrm {div(grad} (f)\times \mathrm {grad} (g))&=&\nabla \cdot (\nabla f\times \nabla g)=\nabla g\cdot (\nabla \times \nabla f)&=&0\\\mathrm {rot{\big (}grad} ({\vec {f}}){\big )}&=&\nabla \times (\nabla \otimes {\vec {f}})&=&\mathbf {0} \\\mathrm {div{\big (}rot} (\mathbf {T} )^{\top }{\big )}&=&\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {T} )&=&{\vec {0}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\mathrm {div{\big (}grad} (f){\big )}&=&\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f&=&\Delta f\\\mathrm {div{\big (}grad} ({\vec {f}}){\big )}&=&\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {f}})=(\nabla \cdot \nabla ){\vec {f}}&=&\Delta {\vec {f}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\mathrm {div{\big (}grad} ({\vec {f}})^{\top }{\big )}&=&\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {f}}^{\top })=f_{i,ij}{\hat {e}}_{j}&=&\mathrm {grad{\big (}div} ({\vec {f}}){\big )}\\\mathrm {rot{\big (}grad} ({\vec {f}})^{\top }{\big )}&=&\nabla \times {\big (}(\nabla \otimes {\vec {f}})^{\top }{\big )}=\nabla \times {\big (}{\vec {f}}_{,i}\otimes {\hat {e}}_{i}{\big )}&=&\mathrm {grad{\big (}rot} ({\vec {f}}){\big )}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\mathrm {rot{\big (}rot} ({\vec {f}}){\big )}&=&\nabla \times (\nabla \times {\vec {f}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {f}})-\Delta {\vec {f}}&=&\mathrm {grad(div} ({\vec {f}}))-\Delta {\vec {f}}\\\mathrm {rot{\big (}rot} (\mathbf {T} )^{\top }{\big )}^{\top }&=&{\big (}\nabla \times (\nabla \times (\mathbf {T} ^{\top })){\big )}^{\top }\\&=&{\big (}\nabla \otimes \nabla \cdot \mathbf {T} ^{\top }{\big )}^{\top }-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} &=&\mathrm {grad(div} (\mathbf {T} ))-\Delta \mathbf {T} \end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {rot{\big (}rot} (\mathbf {T} ^{\top }){\big )}&=&-\Delta \mathbf {T} -\mathrm {grad{\big (}grad(Sp} (\mathbf {T} )){\big )}+\mathrm {grad{\big (}div} (\mathbf {T} ){\big )}+\mathrm {grad{\big (}div} (\mathbf {T} ^{\top }){\big )}^{\top }\\&&+\left[\Delta \mathrm {Sp} (\mathbf {T} )-\mathrm {div{\big (}div} (\mathbf {T} ){\big )}\right]\mathbf {1} \end{array}}}$

Bei symmetrischem T = T^⊤ gilt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {rot{\big (}rot} (\mathbf {T} ){\big )}&=&-\Delta \mathbf {T} -\mathrm {grad{\big (}grad(Sp} (\mathbf {T} )){\big )}+\mathrm {grad{\big (}div} (\mathbf {T} ){\big )}+\mathrm {grad{\big (}div} (\mathbf {T} ){\big )}^{\top }\\&&+\left[\Delta \mathrm {Sp} (\mathbf {T} )-\mathrm {div{\big (}div} (\mathbf {T} ){\big )}\right]\mathbf {1} \end{array}}}$

Wenn zusätzlich ${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {T} ^{\top }=\mathbf {G} -\mathrm {Sp} (\mathbf {G} )\mathbf {1} }$ dann ist:

${\displaystyle \mathrm {rot{\big (}rot} (\mathbf {T} ){\big )}=-\Delta \mathbf {G} +\mathrm {grad{\big (}div} (\mathbf {G} ){\big )}+\mathrm {grad{\big (}div} (\mathbf {G} ){\big )}^{\top }-\mathrm {div{\big (}div} (\mathbf {G} ){\big )}\mathbf {1} }$

Der Laplace-Operator k​ann zwischen d​en anderen Operatoren w​ie ein Skalar behandelt werden, a​lso an beliebiger Stelle i​n die Formeln eingesetzt werden, z. B.:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta \mathrm {rot(rot} ({\vec {f}}))=\mathrm {rot(\Delta rot} ({\vec {f}}))=\mathrm {rot(rot} (\Delta {\vec {f}}))=\ldots \\\ldots =\Delta \mathrm {grad(div} ({\vec {f}}))-\Delta \Delta {\vec {f}}=\mathrm {grad} (\Delta \mathrm {div} ({\vec {f}}))-\Delta \Delta {\vec {f}}=\mathrm {grad(div} (\Delta {\vec {f}}))-\Delta \Delta {\vec {f}}\end{array}}}$

Grassmann-Entwicklung

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {f}}\times \mathrm {rot} ({\vec {f}})=&{\frac {1}{2}}\mathrm {grad} ({\vec {f}}\cdot {\vec {f}})-\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {f}}\\=&{\big (}\mathrm {grad} ({\vec {f}})^{\top }-\mathrm {grad} ({\vec {f}}){\big )}\cdot {\vec {f}}={\vec {\mathrm {i} }}{\big (}\mathrm {grad} ({\vec {f}}){\big )}\times {\vec {f}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {f}}={\frac {1}{2}}\mathrm {grad} ({\vec {f}}\cdot {\vec {f}})-{\vec {f}}\times \mathrm {rot} ({\vec {f}})}$

Sätze über Gradient, Divergenz und Rotation

Ein Vektorfeld, dessen Divergenz u​nd Rotation verschwindet, i​st harmonisch:

${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {f}})=0\;{\text{und}}\;\mathrm {rot} ({\vec {f}})={\vec {0}}\quad \rightarrow \quad \Delta {\vec {f}}={\vec {0}}}$

Helmholtz-Theorem

Siehe auch: Helmholtz-Theorem

Jedes Vektorfeld lässt sich eindeutig in einen divergenzfreien und einen rotationsfreien Anteil zerlegen. Den Integrabilitätsbedingungen für Rotationen und Gradienten zufolge ist der erste Anteil ein Rotationsfeld und der zweite ein Gradientenfeld.
${\displaystyle {\begin{array}{rclccl}{\vec {f}}={\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}:&&&\mathrm {div} ({\vec {f}}_{1})=0&{\text{und}}&\mathrm {rot} ({\vec {f}}_{2})={\vec {0}}\\\leftrightarrow \exists g,{\vec {g}}:&&{\vec {f}}=&\mathrm {rot} ({\vec {g}})&+&\mathrm {grad} (g)\end{array}}}$

Satz über rotationsfreie Felder

Siehe auch: Poincaré-Lemma

${\displaystyle {\begin{array}{rrcll}{\textsf {I}}:&\mathrm {rot} ({\vec {u}}):={\hat {e}}_{k}\times {\vec {u}}_{,k}={\vec {0}}&\rightarrow &\exists f\colon &{\vec {u}}=\mathrm {grad} (f)\\{\textsf {II}}:&\mathrm {rot} (\mathbf {T} )=\mathbf {0} &\rightarrow &\exists {\vec {u}}\colon &\mathbf {T} =\mathrm {grad} ({\vec {u}})\\{\textsf {III}}:&\mathrm {rot} (\mathbf {T} )=\mathbf {0} \;{\text{und}}\;\mathrm {Sp} (\mathbf {T} )=0&\rightarrow &\exists \mathbf {W} \colon &\mathbf {T} =\mathrm {rot} (\mathbf {W} )\;{\text{und}}\;\mathbf {W} =-\mathbf {W} ^{\top }\end{array}}}$

oder

${\displaystyle {\begin{array}{rrcll}{\textsf {II}}:&\nabla \times (\mathbf {T} ^{\top })=\mathbf {0} &\rightarrow &\exists {\vec {u}}\colon &\mathbf {T} =\mathrm {grad} ({\vec {u}})\\{\textsf {III}}:&\nabla \times (\mathbf {T} ^{\top })=\mathbf {0} \;{\text{und}}\;\mathrm {Sp} (\mathbf {T} )=0&\rightarrow &\exists \mathbf {W} \colon &\mathbf {T} =\mathrm {rot} (\mathbf {W} )\;{\text{und}}\;\mathbf {W} =-\mathbf {W} ^{\top }\end{array}}}$

Gaußscher Integralsatz

Siehe auch: Gaußscher Integralsatz

• Volumen ${\displaystyle v}$ mit Volumenform ${\displaystyle \mathrm {d} v}$ und
• Oberfläche ${\displaystyle a}$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {a}}}$
• Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}\in v}$
• Skalar-, vektor- oder tensorwertige Funktion ${\displaystyle f,{\vec {f}},\mathbf {T} }$ des Ortes ${\displaystyle {\vec {x}}}$ :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\int _{v}\mathrm {grad} (f)\,\mathrm {d} v&=&\int _{a}f\,\mathrm {d} {\vec {a}}\\\int _{v}\mathrm {grad} ({\vec {f}})\,\mathrm {d} v&=&\int _{a}{\vec {f}}\otimes \mathrm {d} {\vec {a}}\\\int _{v}\mathrm {div} ({\vec {f}})\,\mathrm {d} v&=&\int _{a}{\vec {f}}\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}\\\int _{v}\mathrm {rot} ({\vec {f}})\,\mathrm {d} v&=&-\int _{a}{\vec {f}}\times \mathrm {d} {\vec {a}}\\\int _{v}\mathrm {div} (\mathbf {T} )\,\mathrm {d} v&=&\int _{a}\mathbf {T} \cdot \mathrm {d} {\vec {a}}\\\int _{v}\nabla \cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} v&=&\int _{a}\mathbf {T} ^{\top }\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}\end{array}}}$

Mit d​er #Produktregel für Gradienten, #Produktregel für Divergenzen u​nd #Produktregel für Rotationen können Formeln für d​ie partielle Integration i​m Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {grad} (fg)=&\mathrm {grad} (f)g+f\mathrm {grad} (g)\\\rightarrow \int _{v}\mathrm {grad} (f)g\,\mathrm {d} v=&\int _{a}fg\,\mathrm {d} {\vec {a}}-\int _{v}f\mathrm {grad} (g)\,\mathrm {d} v\end{aligned}}}$

Klassischer Integralsatz von Stokes

Siehe auch: Satz von Stokes

Gegeben:

• Fläche ${\displaystyle a}$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {a}}}$
• Berandungskurve ${\displaystyle b}$ der Fläche ${\displaystyle a}$ mit Linienelement ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {b}}}$
• Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}\in a}$

Vektorwertige Funktion ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}},t)}$ :

${\displaystyle \int _{a}\mathrm {rot} ({\vec {f}})\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}=\oint _{b}{\vec {f}}\cdot \mathrm {d} {\vec {b}}}$

Mit d​er #Produktregel für Rotationen können Formeln für d​ie partielle Integration i​m Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {rot} (f{\vec {g}})=&\mathrm {grad} (f)\times {\vec {g}}+f\mathrm {rot} ({\vec {g}})\\\rightarrow \int _{a}{\big (}\mathrm {grad} (f)\times {\vec {g}}{\big )}\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}=&\oint _{b}f{\vec {g}}\cdot \mathrm {d} {\vec {b}}-\int _{a}f\mathrm {rot} ({\vec {g}})\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}\end{aligned}}}$

Reynoldscher Transportsatz

Siehe auch: Reynolds’scher Transportsatz

Gegeben:

• Zeit ${\displaystyle t}$
• Zeitabhängiges Volumen ${\displaystyle v}$ mit Volumenform ${\displaystyle \mathrm {d} v}$ mit
• Oberfläche des Volumes ${\displaystyle a}$ und äußerem vektoriellem Oberflächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {a}}}$
• Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}\in v}$
• Geschwindigkeitsfeld:${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)}$
• Eine skalare oder vektorwertige Dichtefunktion pro Volumeneinheit ${\displaystyle f({\vec {x}},t)}$, die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
• Die Integrale Größe für das Volumen:${\displaystyle \int _{v}{\vec {f}}({\vec {x}},t)\,\mathrm {d} v}$

Skalare Funktion ${\displaystyle f({\vec {x}},t)}$ :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{v}f\,\mathrm {d} v&=&\int _{v}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,\mathrm {d} v+\int _{a}f({\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {a}})=\int _{v}\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathrm {div} (f{\vec {v}})\right)\,\mathrm {d} v\\&=&\int _{v}\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathrm {grad} (f)\cdot {\vec {v}}+\mathrm {div} ({\vec {v}})\,f\right)\,\mathrm {d} v=\int _{v}\left({\dot {f}}+\mathrm {div} ({\vec {v}})\,f\right)\,\mathrm {d} v\end{array}}}$

Vektorwertige Funktion ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}},t)}$ :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{v}{\vec {f}}\,\mathrm {d} v&=&\int _{v}{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} v+\int _{a}{\vec {f}}({\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {a}})=\int _{v}\left({\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}+\mathrm {div} ({\vec {v}}\otimes {\vec {f}})\right)\,\mathrm {d} v\\&=&\int _{v}\left({\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}+\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {v}}+\mathrm {div} ({\vec {v}}){\vec {f}}\right)\,\mathrm {d} v=\int _{v}({\dot {\vec {f}}}+\mathrm {div} ({\vec {v}}){\vec {f}})\,\mathrm {d} v\end{array}}}$

Transportsatz für Flächenintegrale

Gegeben:

• Zeit ${\displaystyle t}$
• Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}\in v}$
• Geschwindigkeitsfeld:${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)}$
• Zeitabhängige Fläche ${\displaystyle a\colon [0,1]^{2}\mapsto v}$, die mit dem Geschwindigkeitsfeld transportiert wird und auf der mit räumlichem, vektoriellem Oberflächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {a}}}$ im Volumen v integriert wird
• Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße ${\displaystyle f({\vec {x}},t)}$, die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
• Die Integrale Größe auf der Fläche:${\displaystyle \int _{a}f({\vec {x}},t)\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}}$

Skalare Funktion ${\displaystyle f({\vec {x}},t)}$ :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{a}f\,\mathrm {d} {\vec {a}}=\int _{a}[{\dot {f}}\mathbf {1} +f\operatorname {div} ({\vec {v}})\mathbf {1} -f\operatorname {grad} ({\vec {v}})^{\top }]\cdot \,\mathrm {d} {\vec {a}}}$

Vektorwertige Funktion ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}},t)}$:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{a}{\vec {f}}\cdot \,\mathrm {d} {\vec {a}}=\int _{a}[{\dot {\vec {f}}}+{\vec {f}}\operatorname {div} ({\vec {v}})-\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {f}}]\cdot \,\mathrm {d} {\vec {a}}}$

Transportsatz für Kurvenintegrale

Gegeben:

• Zeit ${\displaystyle t}$
• Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}\in v}$
• Geschwindigkeitsfeld:${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)}$
• Zeitabhängige Kurve ${\displaystyle b\colon [0,1)\mapsto v}$, die mit dem Geschwindigkeitsfeld transportiert wird und entlang derer mit räumlichem, vektoriellem Linienelement ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {b}}}$ im Volumen v integriert wird
• Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße ${\displaystyle f({\vec {x}},t)}$, die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
• Die Integrale Größe entlang des Weges:${\displaystyle \int _{b}f({\vec {x}},t)\cdot \mathrm {d} {\vec {b}}}$

Skalare Funktion ${\displaystyle f({\vec {x}},t)}$ :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\oint _{b}f\,\mathrm {d} {\vec {b}}=\oint _{b}({\dot {f}}\mathbf {1} +f\,\mathrm {grad} {\vec {v}})\cdot \mathrm {d} {\vec {b}}}$

Vektorwertige Funktion ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}},t)}$:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\oint _{b}{\vec {f}}\cdot \mathrm {d} {\vec {b}}=\oint _{b}({\dot {\vec {f}}}+{\vec {f}}\cdot \mathrm {grad} {\vec {v}})\cdot \mathrm {d} {\vec {b}}}$

Kontinuumsmechanik

Kleine Deformationen

Ingenieursdehnungen:

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\varepsilon _{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}={\frac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i}){\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}}$

Kompatibilitätsbedingungen:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {rot{\big (}rot} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\big )}=\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {\varepsilon }})^{\top }&=&\mathbf {0} \\&\downarrow &\\2\varepsilon _{12,12}-\varepsilon _{22,11}-\varepsilon _{11,22}&=&0\\2\varepsilon _{13,13}-\varepsilon _{33,11}-\varepsilon _{11,33}&=&0\\2\varepsilon _{23,23}-\varepsilon _{33,22}-\varepsilon _{22,33}&=&0\\\varepsilon _{11,23}+\varepsilon _{23,11}-\varepsilon _{12,13}-\varepsilon _{13,12}&=&0\\\varepsilon _{22,13}+\varepsilon _{13,22}-\varepsilon _{12,23}-\varepsilon _{23,12}&=&0\\\varepsilon _{12,33}+\varepsilon _{33,12}-\varepsilon _{13,23}-\varepsilon _{23,13}&=&0\end{array}}}$

Starrkörperbewegung

Orthogonaler Tensor ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ beschreibt die Drehung.

${\displaystyle \mathbf {\Omega }$ :={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }={(\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}^{\top })}^{\top }=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}^{\top }}

Vektorinvariante oder dualer axialer Vektor ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ des schiefsymmetrischen Tensors ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ ist die Winkelgeschwindigkeit:

${\displaystyle \mathbf {\Omega } \cdot {\vec {r}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}{\quad \forall \;}{\vec {r}}}$

Starrkörperbewegung mit ${\displaystyle {\vec {r}}=\mathrm {const.} }$ :

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {f}}+\mathbf {Q} \cdot {\vec {r}}\quad \rightarrow \quad {\vec {r}}=\mathbf {Q} ^{\top }\cdot ({\vec {x}}-{\vec {f}})}$

${\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\vec {f}}}+{\dot {\mathbf {Q} }}\cdot {\vec {r}}={\dot {\vec {f}}}+{\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }\cdot ({\vec {x}}-{\vec {f}})={\dot {\vec {f}}}+\mathbf {\Omega } \cdot ({\vec {x}}-{\vec {f}})={\dot {\vec {f}}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {x}}-{\vec {f}})}$

Ableitungen der Invarianten

${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} )}{\partial \mathbf {T} }}={\frac {\partial \mathrm {Sp} (\mathbf {T} )}{\partial \mathbf {T} }}=\mathbf {1} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} )}{\partial \mathbf {T} }}=\mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} )\mathbf {1} -\mathbf {T} ^{\top }}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {I} _{3}(\mathbf {T} )}{\partial \mathbf {T} }}={\frac {\partial \mathrm {det} (\mathbf {T} )}{\partial \mathbf {T} }}=\mathrm {det} (\mathbf {T} )\mathbf {T} ^{\top -1}=\mathrm {cof} (\mathbf {T} )=\mathbf {T^{\top }\cdot T^{\top }} -\mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} )\mathbf {T} ^{\top }+\mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} )\mathbf {1} }$

mit d​er transponiert inversen T^⊤-1 u​nd dem Kofaktor cof(T) d​es Tensors T.

Funktion ${\displaystyle f}$ der Invarianten:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {T} }}(\mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} ),\,\mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} ),\,\mathrm {I} _{3}(\mathbf {T} ))=&\left({\frac {\partial f}{\partial \mathrm {I} _{1}}}+\mathrm {I} _{1}{\frac {\partial f}{\partial \mathrm {I} _{2}}}+\mathrm {I} _{2}{\frac {\partial f}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\right)\mathbf {1} -\left({\frac {\partial f}{\partial \mathrm {I} _{2}}}+\mathrm {I} _{1}{\frac {\partial f}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\right)\mathbf {T} ^{\top }\\&+{\frac {\partial f}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\mathbf {T} ^{\top }\cdot \mathbf {T} ^{\top }\end{aligned}}}$

Ableitung d​er Frobenius-Norm:

${\displaystyle {\frac {\partial \parallel \mathbf {T} \parallel }{\partial \mathbf {T} }}={\frac {\mathbf {T} }{\parallel \mathbf {T} \parallel }}}$

Eigenwerte (aus d​er impliziten Ableitung d​es charakteristischen Polynoms):

${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}\quad \rightarrow \quad \mathrm {det} (\mathbf {T} -\lambda \mathbf {1} )=-\lambda ^{3}+\mathrm {I} _{1}\lambda ^{2}-\mathrm {I} _{2}\lambda +\mathrm {I} _{3}=0}$

→ ${\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} \mathbf {T} }}={\dfrac {(\lambda ^{2}-\lambda \mathrm {I} _{1}+\mathrm {I} _{2})\mathbf {1} +(\lambda -\mathrm {I} _{1})\mathbf {T} ^{\top }+\mathbf {T^{\top }\cdot T^{\top }} }{3\lambda ^{2}-2\mathrm {I} _{1}\lambda +\mathrm {I} _{2}}}}$

Eigenwerte symmetrischer Tensoren:

${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}\quad \rightarrow \quad {\frac {\partial \lambda }{\partial \mathbf {T} }}={\vec {v}}\otimes {\vec {v}}}$

Eigenwerte von ${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\,{\vec {v}}_{i}\otimes {\vec {v}}^{i}}$, wo ${\displaystyle {\vec {v}}^{i}}$ dual zu den Eigenvektoren ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ sind ${\displaystyle ({\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {v}}^{j}=\delta _{i}^{j})}$:

${\displaystyle {\frac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {T} }}={\vec {v}}^{i}\otimes {\vec {v}}_{i}}$ (keine Summe)

Die Eigenwerte von ${\displaystyle \mathbf {T} =c\,{\vec {v}}_{1}\otimes {\vec {v}}^{1}+a({\vec {v}}_{2}\otimes {\vec {v}}^{2}+{\vec {v}}_{3}\otimes {\vec {v}}^{3})+b({\vec {v}}_{2}\otimes {\vec {v}}^{3}-{\vec {v}}_{3}\otimes {\vec {v}}^{2})}$ sind ${\displaystyle \lambda _{1}=c,\,\lambda _{2}=a+\mathrm {i} b,\,\lambda _{3}=a-\mathrm {i} b}$ mit den Eigenvektoren ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},\,{\vec {w}}_{2}={\vec {v}}_{2}+\mathrm {i} {\vec {v}}_{3},\,{\vec {w}}_{3}={\vec {v}}_{2}-\mathrm {i} {\vec {v}}_{3}}$. Hier ist:

${\displaystyle {\frac {\partial \lambda _{1}}{\partial \mathbf {T} }}={\vec {v}}^{1}\otimes {\vec {v}}_{1},\quad {\frac {\partial \lambda _{k}}{\partial \mathbf {T} }}={\frac {1}{2}}{\overline {{\vec {w}}^{k}\otimes {\vec {w}}_{k}}},\quad k=2,3}$ (keine Summe)

mit ${\displaystyle {\vec {w}}^{2}={\vec {v}}^{2}+\mathrm {i} {\vec {v}}^{3},\,{\vec {w}}^{3}={\vec {v}}^{2}-\mathrm {i} {\vec {v}}^{3}}$ und der Überstrich markiert den konjugiert komplexen Wert.

Konvektive Koordinaten

Siehe auch: Konvektive Koordinaten

Konvektive Koordinaten ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}\in \mathbb {R} }$

Kovariante Basisvektoren ${\displaystyle {\vec {B}}_{i}={\frac {\mathrm {d} {\vec {X}}}{\mathrm {d} y_{i}}}}$,    ${\displaystyle {\vec {b}}_{i}={\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} y_{i}}}}$

Kontravariante Basisvektoren ${\displaystyle {\vec {B}}^{i}={\frac {\mathrm {d} y_{i}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}:=\mathrm {GRAD} (y_{i})}$,    ${\displaystyle {\vec {b}}^{i}={\frac {\mathrm {d} y_{i}}{\mathrm {d} {\vec {x}}}}:=\mathrm {grad} (y_{i})}$

${\displaystyle {\vec {B}}_{i}\cdot {\vec {B}}^{j}={\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {b}}^{j}=\delta _{i}^{j}}$

Deformationsgradient ${\displaystyle \mathbf {F} ={\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {B}}^{i}}$

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient ${\displaystyle \mathbf {l} ={\dot {\vec {b}}}_{i}\otimes {\vec {b}}^{i}=-{\vec {b}}_{i}\otimes {\dot {\vec {b}}}^{i}}$

Kovarianter Tensor ${\displaystyle \mathbf {T} =T_{ij}{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}}$

Kontravarianter Tensor ${\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}}$

Geschwindigkeitsgradient

Siehe auch: Geschwindigkeitsgradient

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient:${\displaystyle \mathbf {l} =\mathrm {grad} ({\vec {v}})={\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}}$

Divergenz der Geschwindigkeit:${\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {v}})=\mathrm {Sp} (\mathbf {l} )}$

Winkelgeschwindigkeit o​der Wirbelstärke i​st der duale axiale Vektor

${\displaystyle {\vec {\omega }}={\stackrel {A}{\vec {\mathbf {l} }}}=-{\frac {1}{2}}{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {l} )={\frac {1}{2}}\mathrm {rot} ({\vec {v}})}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\mathrm {det} (\mathbf {F} )=\mathrm {det} (\mathbf {F} )\mathbf {F} ^{\top -1}:{\dot {\mathbf {F} }}=\mathrm {det} (\mathbf {F} )\mathrm {Sp} ({\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1})=\mathrm {det} (\mathbf {F} )\,\mathrm {div} ({\vec {v}})}$

Objektive Zeitableitungen

Siehe auch: Euklidische Transformation

Bezeichnungen w​ie in #Konvektive Koordinaten.

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient ${\displaystyle \mathbf {l} ={\dot {\vec {b}}}_{i}\otimes {\vec {b}}^{i}=-{\vec {b}}_{i}\otimes {\dot {\vec {b}}}\,^{i}=\mathbf {d} +\mathbf {w} }$

Räumliche Verzerrungsgeschwindigkeit ${\displaystyle \mathbf {d} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {l} +\mathbf {l} ^{\top })}$

Wirbel- oder Spintensor ${\displaystyle \mathbf {w} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {l} -\mathbf {l} ^{\top })}$

Objektive Zeitableitungen von Vektoren

Gegeben:${\displaystyle {\vec {v}}=v_{i}{\vec {b}}^{i}=v^{i}{\vec {b}}_{i}}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}{\stackrel {\Delta }{\vec {v}}}&=&{\dot {\vec {v}}}+\mathbf {l} ^{\top }\cdot {\vec {v}}&=&{\dot {v}}_{i}{\vec {b}}^{i}\\{\stackrel {\nabla }{\vec {v}}}&=&{\dot {\vec {v}}}-\mathbf {l} \cdot {\vec {v}}&=&{\dot {v}}^{i}{\vec {b}}_{i}\\{\stackrel {\circ }{\vec {v}}}&=&{\dot {\vec {v}}}-\mathbf {w} \cdot {\vec {v}}\end{array}}}$

Objektive Zeitableitungen von Tensoren

Gegeben:${\displaystyle \mathbf {T} =T_{ij}{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}=T^{ij}{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}{\stackrel {\Delta }{\mathbf {T} }}&=&{\dot {\mathbf {T} }}+\mathbf {T\cdot l} +\mathbf {l} ^{\top }\cdot \mathbf {T} &=&{\dot {T}}_{ij}{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}\\{\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}&=&{\dot {\mathbf {T} }}-\mathbf {l\cdot T} -\mathbf {T\cdot l} ^{\top }&=&{\dot {T}}^{ij}{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\\{\stackrel {\circ }{\mathbf {T} }}&=&{\dot {\mathbf {T} }}+\mathbf {T\cdot w} -\mathbf {w\cdot T} \\{\stackrel {\diamond }{\mathbf {T} }}&=&{\dot {\mathbf {T} }}+\mathrm {Sp} (\mathbf {l} )\mathbf {T} -\mathbf {l\cdot T} -\mathbf {T\cdot l} ^{\top }\end{array}}}$

Materielle Zeitableitung

Siehe auch: Substantielle Ableitung

${\displaystyle {\dot {f}}({\vec {x}},t)={\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathrm {grad} (f)\cdot {\vec {v}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla )f}$

${\displaystyle {\dot {\vec {f}}}({\vec {x}},t)={\frac {\mathrm {D} {\vec {f}}}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}+\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {v}}={\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {f}}}$

#Kartesische Koordinaten:${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}:={\frac {\partial f}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}}$

#Zylinderkoordinaten:${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}:={\frac {\partial f}{\partial t}}+v_{\rho }{\frac {\partial f}{\partial \rho }}+{\frac {v_{\varphi }}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}}$

#Kugelkoordinaten:${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}:={\frac {\partial f}{\partial t}}+v_{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {v_{\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}+{\frac {v_{\vartheta }}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \vartheta }}}$

Materielle Zeitableitungen von Vektoren werden mittels ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {D} {\vec {f}}}{\mathrm {D} t}}={\tfrac {\mathrm {D} f_{i}}{\mathrm {D} t}}{\hat {e}}_{i}}$ daraus zusammengesetzt.

Fußnoten

1. Truesdell (1972), S. 10 ff.
2. In der Literatur (z. B. Altenbach 2012) wird auch die transponierte Beziehung benutzt:
   ${\displaystyle {\tilde {\mathrm {grad} }}({\vec {f}})=\nabla \otimes {\vec {f}}={\hat {e}}_{i}\otimes {\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial x_{i}}}=f_{j}{\partial x_{i}}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=\mathrm {grad} ({\vec {f}})^{\top }}$
   Dann muss, um die Formeln zu vergleichen, ${\displaystyle {\tilde {\mathrm {grad} }}({\vec {f}})}$ und ${\displaystyle \mathrm {grad} ({\vec {f}})^{\top }}$ vertauscht werden.
3. Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, S. 367, doi:10.1007/978-3-658-25272-4.
4. R. Greve (2003), S. 111.

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
• M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6.
• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz. 6., unveränderte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.
• Konrad Königsberger: Analysis. überarbeitete Auflage. Band 2. 4. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-43580-8.
• Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Springer, 2003, ISBN 3-540-00760-1.
• C. Truesdell: Festkörpermechanik II. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VIa/2. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5.