Adjungierte Matrix

Die adjungierte Matrix (nicht z​u verwechseln m​it der Adjunkten), hermitesch transponierte Matrix o​der transponiert-konjugierte Matrix i​st in d​er Mathematik diejenige Matrix, d​ie durch Transponierung u​nd Konjugation e​iner gegebenen komplexen Matrix entsteht. Anschaulich ergibt s​ich die adjungierte Matrix d​urch Spiegelung d​er Ausgangsmatrix a​n ihrer Hauptdiagonale u​nd anschließende komplexe Konjugation a​ller Matrixeinträge. Bei Matrizen m​it Einträgen a​us den reellen Zahlen entspricht s​ie der transponierten Matrix. Die Umwandlung e​iner Matrix i​n ihre adjungierte Matrix w​ird Adjungierung d​er Matrix genannt.

Die Adjungierungsabbildung, d​ie einer Matrix i​hre Adjungierte zuordnet, i​st stets bijektiv, konjugiert linear u​nd selbstinvers. Bezüglich d​er Matrizenaddition stellt s​ie einen Isomorphismus dar, bezüglich d​er Matrizenmultiplikation hingegen e​inen Antiisomorphismus, d​as heißt, d​ie Reihenfolge b​ei der Multiplikation v​on Matrizen k​ehrt sich n​ach Adjungierung um. Viele Kenngrößen adjungierter Matrizen, w​ie Spur, Determinante u​nd Eigenwerte, s​ind gerade d​ie komplex Konjugierten d​er jeweiligen Kenngrößen d​er Ausgangsmatrizen.

In d​er linearen Algebra w​ird die adjungierte Matrix u​nter anderem z​ur Charakterisierung spezieller Klassen v​on Matrizen u​nd bei Matrixzerlegungen eingesetzt. Die adjungierte Matrix i​st auch d​ie Abbildungsmatrix d​er adjungierten Abbildung zwischen z​wei endlichdimensionalen komplexen Skalarprodukträumen bezüglich d​er jeweiligen Orthonormalbasen.

Definition

Ist ${\displaystyle A=(a_{ij})\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ eine komplexe Matrix,

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$

dann ist die zugehörige adjungierte Matrix ${\displaystyle A^{H}\in \mathbb {C} ^{n\times m}}$ definiert als

${\displaystyle A^{H}={\overline {A}}^{T}={\overline {A^{T}}}={\begin{pmatrix}{\bar {a}}_{11}&\dots &{\bar {a}}_{m1}\\\vdots &&\vdots \\{\bar {a}}_{1n}&\dots &{\bar {a}}_{mn}\end{pmatrix}}}$,

wobei ${\displaystyle A^{T}}$ die transponierte Matrix und ${\displaystyle {\bar {A}}}$ die konjugierte Matrix von ${\displaystyle A}$ sind. Die adjungierte Matrix ${\displaystyle A^{H}}$ ergibt sich also dadurch, dass die Rollen von Zeilen und Spalten der Ausgangsmatrix ${\displaystyle A}$ vertauscht werden und alle Einträge komplex konjugiert werden. Die Reihenfolge, in der transponiert und konjugiert wird, ist dabei unerheblich.

Notation

Das hochgestellte ${\displaystyle H}$ in der Notation ${\displaystyle A^{H}}$ steht für den Nachnamen des französischen Mathematikers Charles Hermite. Hermite beschäftigte sich im Jahr 1855 mit Matrizen, die gleich ihrer Adjungierten sind, sogenannten hermiteschen Matrizen, und zeigte, dass solche Matrizen viele Eigenschaften mit reellen symmetrischen Matrizen gemeinsam haben.[1]

Andere Schreibweisen für die adjungierte Matrix sind ${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$, ${\displaystyle A^{\ast }}$, ${\displaystyle A^{+}}$ und ${\displaystyle A^{\dagger }}$. Die Notation ${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$ ist jedoch nicht eindeutig, da sie auch für die Adjunkte verwendet wird. Mit ${\displaystyle A^{\ast }}$ wird gelegentlich auch die konjugierte Matrix bezeichnet und ${\displaystyle A^{+}}$ steht auch für die Pseudoinverse. Die Notation ${\displaystyle A^{\dagger }}$ wird vor allem in der Physik, insbesondere in der Quantenmechanik, verwendet.

Beispiele

Durch Adjungierung einer ${\displaystyle (1\times 3)}$-Matrix (eines Zeilenvektors) entsteht eine ${\displaystyle (3\times 1)}$-Matrix (ein Spaltenvektor) und umgekehrt, jeweils mit komplex konjugierten Einträgen:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&1+i&2-i\end{pmatrix}}^{H}={\begin{pmatrix}-i\\1-i\\2+i\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1\\2-2i\\3i\end{pmatrix}}^{H}={\begin{pmatrix}1&2+2i&-3i\end{pmatrix}}}$

Durch Adjungierung einer ${\displaystyle (3\times 2)}$-Matrix entsteht eine ${\displaystyle (2\times 3)}$-Matrix, bei der die erste Zeile der ersten Spalte der Ausgangsmatrix und die zweite Zeile der zweiten Spalte der Ausgangsmatrix jeweils nach komplexer Konjugation entspricht:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2-i\\3i&4-2i\\5+i&-6i\end{pmatrix}}^{H}={\begin{pmatrix}1&-3i&5-i\\2+i&4+2i&6i\end{pmatrix}}}$

Für e​ine komplexe Matrix m​it ausschließlich reellen Einträgen i​st die Adjungierte gerade d​ie Transponierte.

Eigenschaften

Die nachfolgenden Eigenschaften s​ind direkte Folgerungen a​us den entsprechenden Eigenschaften transponierter u​nd konjugierter Matrizen.

Summe

Für die Adjungierte der Summe zweier Matrizen ${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ gleicher Größe gilt

${\displaystyle (A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}}$.

Allgemein ergibt sich die Summe von ${\displaystyle n}$ Matrizen ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ gleicher Größe zu

${\displaystyle (A_{1}+A_{2}+\ldots +A_{n})^{H}=A_{1}^{H}+A_{2}^{H}+\ldots +A_{n}^{H}}$.

Die Adjungierte e​iner Summe v​on Matrizen i​st demnach gleich d​er Summe d​er Adjungierten.

Skalarmultiplikation

Für die Adjungierte des Produkts einer Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ mit einem Skalar ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ gilt

${\displaystyle (c\cdot A)^{H}={\bar {c}}\cdot A^{H}}$.

Die Adjungierte d​es Produkts e​iner Matrix m​it einem Skalar i​st also gleich d​em Produkt d​es konjugierten Skalars m​it der adjungierten Matrix.

Zweifache Adjungierung

Für die Adjungierte der Adjungierten einer Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ gilt

${\displaystyle \left(A^{H}\right)^{H}=A}$.

Durch zweifache Adjungierung ergibt s​ich demnach s​tets wieder d​ie Ausgangsmatrix.

Produkt

Für die Adjungierte des Produkts einer Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ mit einer Matrix ${\displaystyle B\in \mathbb {C} ^{n\times l}}$ gilt

${\displaystyle (A\cdot B)^{H}=B^{H}\cdot A^{H}}$.

Allgemein ergibt sich für das Produkt von ${\displaystyle n}$ Matrizen ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ passender Größe

${\displaystyle (A_{1}\cdot A_{2}\cdot \ldots \cdot A_{n})^{H}=A_{n}^{H}\cdot \ldots \cdot A_{2}^{H}\cdot A_{1}^{H}}$.

Die Adjungierte e​ines Produkts v​on Matrizen i​st demnach gleich d​em Produkt d​er Adjungierten, jedoch i​n umgekehrter Reihenfolge.

Inverse

Die Adjungierte einer regulären Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ist ebenfalls stets regulär. Für die Adjungierte der Inversen einer regulären Matrix gilt dabei

${\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{H}=\left(A^{H}\right)^{-1}}$.

Die Adjungierte der inversen Matrix ist demnach gleich der Inversen der adjungierten Matrix. Diese Matrix wird gelegentlich auch mit ${\displaystyle A^{-H}}$ bezeichnet.[2]

Exponential und Logarithmus

Für das Matrixexponential der Adjungierten einer quadratischen Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ gilt

${\displaystyle \exp(A^{H})=(\exp A)^{H}}$.

Entsprechend g​ilt für d​en Matrixlogarithmus d​er Adjungierten e​iner regulären komplexen Matrix

${\displaystyle \ln(A^{H})=(\ln A)^{H}}$.

Adjungierungsabbildung

Die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {C} ^{m\times n}\to \mathbb {C} ^{n\times m},\quad A\mapsto A^{H}}$,

die e​iner Matrix i​hre Adjungierte zuordnet, besitzt aufgrund d​er vorstehenden Gesetzmäßigkeiten d​ie folgenden Eigenschaften:

• Die Adjungierungsabbildung ist stets bijektiv, konjugiert linear und selbstinvers.
• Zwischen den Matrizenräumen ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m\times n}}$ und ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times m}}$ stellt die Adjungierungsabbildung einen Isomorphismus dar.
• In der allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ und im Matrizenring ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$ stellt die Adjungierungsabbildung (für ${\displaystyle m=n}$) einen Antiautomorphismus dar.

Blockmatrizen

Die Adjungierte einer Blockmatrix mit ${\displaystyle r}$ Zeilen- und ${\displaystyle s}$ Spaltenpartitionen ist durch

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots &A_{1s}\\\vdots &&\vdots \\A_{r1}&\cdots &A_{rs}\end{pmatrix}}^{H}={\begin{pmatrix}A_{11}^{H}&\cdots &A_{r1}^{H}\\\vdots &&\vdots \\A_{1s}^{H}&\cdots &A_{rs}^{H}\end{pmatrix}}}$

gegeben. Sie entsteht d​urch Spiegelung a​ller Blöcke a​n der Hauptdiagonale u​nd nachfolgende Adjungierung j​edes Blocks.

Kenngrößen

Rang

Für eine Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ ist der Rang der adjungierten Matrix gleich dem der Ausgangsmatrix, das heißt

${\displaystyle \operatorname {rang} (A^{H})=\operatorname {rang} (A)}$.

Das Bild der Abbildung ${\displaystyle x\mapsto Ax}$ wird dabei von den Spaltenvektoren von ${\displaystyle A}$ aufgespannt, während das Bild der Abbildung ${\displaystyle x\mapsto A^{H}x}$ von den Zeilenvektoren von ${\displaystyle A}$ aufgespannt wird. Die Dimensionen dieser beiden Bilder stimmen stets überein.

Spur

Für eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ist die Spur (die Summe der Hauptdiagonalelemente) der adjungierten Matrix gleich der konjugierten Spur der Ausgangsmatrix, das heißt

${\displaystyle \operatorname {spur} (A^{H})={\overline {\operatorname {spur} (A)}}}$,

denn d​ie Diagonalelemente d​er adjungierten Matrix stimmen m​it denen d​er Ausgangsmatrix b​is auf komplexe Konjugation überein.

Determinante

Für eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ist die Determinante der adjungierten Matrix gleich der konjugierten Determinante der Ausgangsmatrix, das heißt

${\displaystyle \det(A^{H})={\overline {\det(A)}}}$.

Dies f​olgt aus d​er Leibniz-Formel für Determinanten über

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}\right)={\overline {\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn} (\sigma ){\bar {a}}_{\sigma (1),1}\cdots {\bar {a}}_{\sigma (n),n}\right)}}={\overline {\det(A^{H})}}}$,

wobei die Summe über alle Permutationen der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ läuft und ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$ das Vorzeichen der Permutation ${\displaystyle \sigma }$ bezeichnet.

Spektrum

Für eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ stimmt aufgrund der vorstehenden Determinantenformel auch das charakteristische Polynom der adjungierten Matrix mit dem der Ausgangsmatrix bis auf komplexe Konjugation überein, denn

${\displaystyle \chi _{A^{H}}(\lambda )=\det(\lambda I-A^{H})={\overline {\det((\lambda I-A^{H})^{H})}}={\overline {\det({\bar {\lambda }}I-A)}}={\overline {\chi _{A}({\bar {\lambda }})}}}$.

Die Eigenwerte von ${\displaystyle A^{H}}$ sind demnach gerade die komplex Konjugierten der Eigenwerte von ${\displaystyle A}$.

Normen

Die euklidische Norm eines komplexen Vektors ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ ist durch

${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {x^{H}x}}}$

gegeben. Für die Frobeniusnorm und die Spektralnorm der Adjungierten einer Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ gilt

${\displaystyle \|A^{H}\|_{F}=\|A\|_{F}}$   und   ${\displaystyle \|A^{H}\|_{2}=\|A\|_{2}}$.

Die Zeilensummen- u​nd die Spaltensummennorm d​er Adjungierten u​nd der Ausgangsmatrix stehen folgendermaßen i​n Beziehung:

${\displaystyle \|A^{H}\|_{\infty }=\|A\|_{1}}$   und   ${\displaystyle \|A^{H}\|_{1}=\|A\|_{\infty }}$.

Skalarprodukte

Das Standardskalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ zweier komplexer Vektoren ${\displaystyle x,y\in \mathbb {C} ^{n}}$ ist durch

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{H}y}$

gegeben. Bezüglich des Standardskalarprodukts weisen eine Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ und ihre Adjungierte die Verschiebungseigenschaft

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{H}y\rangle }$

für alle Vektoren ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ und ${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$ auf. Hierbei steht auf der linken Seite das Standardskalarprodukt im ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ und auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt im ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Für das Frobenius-Skalarprodukt zweier Matrizen ${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ gilt

${\displaystyle \langle A,B\rangle _{F}=\operatorname {spur} (A^{H}B)=\operatorname {spur} (BA^{H})={\overline {\operatorname {spur} (AB^{H})}}={\overline {\langle A^{H},B^{H}\rangle _{F}}}}$,

da Matrizen u​nter der Spur zyklisch vertauschbar sind.

Verwendung

Spezielle Matrizen

Die adjungierte Matrix w​ird in d​er linearen Algebra u​nter anderem b​ei folgenden Definitionen verwendet:

• Eine hermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, die gleich ihrer Adjungierten ist, das heißt ${\displaystyle A^{H}=A}$. Solche Matrizen werden auch als selbstadjungiert bezeichnet.
• Eine schiefhermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, die gleich ihrer negativen Adjungierten ist, das heißt ${\displaystyle A^{H}=-A}$.
• Eine unitäre Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Adjungierte gleich ihrer Inversen ist, das heißt ${\displaystyle A^{H}=A^{-1}}$.
• Eine (komplexe) normale Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, die mit ihrer Adjungierten kommutiert, das heißt ${\displaystyle A^{H}A=AA^{H}}$.
• Für eine beliebige komplexe Matrix sind die beiden Gram-Matrizen ${\displaystyle A^{H}A}$ und ${\displaystyle AA^{H}}$ stets hermitesch und positiv semidefinit.
• Eine komplexe Matrix besitzt genau dann ausschließlich reelle Einträge, wenn ihre Adjungierte gleich ihrer Transponierten ist, das heißt wenn ${\displaystyle A^{H}=A^{T}}$ gilt.

Matrixzerlegungen

Die adjungierte Matrix wird auch bei der Schur-Zerlegung einer quadratischen Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$

${\displaystyle A=U\,R\,U^{H}}$

in eine unitäre Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$, eine obere Dreiecksmatrix ${\displaystyle R\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ und die Adjungierte von ${\displaystyle U}$ sowie bei der Singulärwertzerlegung einer Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$

${\displaystyle A=U\,\Sigma \,V^{H}}$

in eine unitäre Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m}}$, eine reelle Diagonalmatrix ${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ und die Adjungierte einer unitären Matrix ${\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ verwendet.

Adjungierte Abbildungen

Sind ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ endlichdimensionale komplexe Skalarprodukträume, dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to W}$ zugehörige adjungierte Abbildung ${\displaystyle f^{\ast }\colon W\to V}$ durch die Beziehung

${\displaystyle \langle f(v),w\rangle =\langle v,f^{\ast }(w)\rangle }$

für alle ${\displaystyle v\in V}$ und ${\displaystyle w\in W}$ charakterisiert. Ist weiter ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{m}\}}$ eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle \{w_{1},\ldots ,w_{n}\}}$ eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle W}$ und ${\displaystyle A_{f}\in \mathbb {C} ^{n\times m}}$ die Abbildungsmatrix von ${\displaystyle f}$ bezüglich dieser Basen, dann ist die Abbildungsmatrix ${\displaystyle A_{f^{\ast }}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ von ${\displaystyle f^{\ast }}$ bezüglich dieser Basen durch

${\displaystyle A_{f^{\ast }}=A_{f}^{H}}$

gegeben. Die Abbildungsmatrix d​er adjungierten Abbildung i​st also gerade d​ie Adjungierte d​er Abbildungsmatrix d​er Ausgangsabbildung. In d​er Funktionalanalysis w​ird dieses Konzept a​uf adjungierte Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen verallgemeinert.

Siehe auch

• Adjunktion (Kategorientheorie)

Literatur

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-29884-3.
• Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, ISBN 0-521-46713-6.

Weblinks

• T. S. Pogolkina: Adjoint matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Eric W. Weisstein: Conjugate Transpose. In: MathWorld (englisch).
• koro: Conjugate Transpose. In: PlanetMath. (englisch)

Einzelnachweise

1. Charles Hermite: Remarque sur un théorème de M. Cauchy. In: Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences. Nr. 41. Paris 1855, S. 181–183.
2. G. W. Stewart: Matrix Algorithms. Volume 1: Basic Decompositions. SIAM, 1998, S. 38.