Matrizenraum

Der Matrizenraum o​der Raum d​er Matrizen i​st in d​er Mathematik d​er Vektorraum d​er Matrizen fester Größe über e​inem gegebenen Körper m​it der Matrizenaddition u​nd der Skalarmultiplikation a​ls innerer u​nd äußerer Verknüpfung. Die Standardbasis für d​en Matrizenraum besteht a​us den Standardmatrizen, b​ei denen g​enau ein Eintrag eins i​st und a​lle anderen Einträge null sind. Die Dimension d​es Matrizenraums i​st gleich d​em Produkt a​us der Zeilen- u​nd Spaltenanzahl d​er Matrizen.

Die Matrizenräume besitzen i​n der linearen Algebra e​ine fundamentale Bedeutung, d​a der Raum d​er linearen Abbildungen zwischen z​wei endlichdimensionalen Vektorräumen isomorph (strukturell gleich) z​u einem Matrizenraum ist. Demnach k​ann – n​ach Wahl e​iner Basis für d​en Urbild- u​nd den Zielraum – j​ede lineare Abbildung d​urch eine Matrix dargestellt werden u​nd umgekehrt entspricht j​ede Matrix e​iner linearen Abbildung.

Definition

Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper sowie ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ natürliche Zahlen, so ist

${\displaystyle K^{m\times n}=\{(a_{ij})_{i=1,\ldots ,m,j=1,\ldots ,n}\mid a_{ij}\in K\}}$

die Menge der Matrizen der Größe ${\displaystyle m\times n}$ mit Einträgen aus ${\displaystyle K}$. Für Matrizen ${\displaystyle A,B\in K^{m\times n}}$ definiert man nun eine komponentenweise Addition durch

${\displaystyle A+B=(a_{ij}+b_{ij})}$,

sowie eine komponentenweise Multiplikation mit einem Skalar ${\displaystyle c\in K}$ durch

${\displaystyle c\cdot A=(c\cdot a_{ij})}$.

Auf diese Weise erhält man einen Vektorraum ${\displaystyle (K^{m\times n},+,\cdot )}$, der Matrizenraum oder Raum der Matrizen der Größe ${\displaystyle m\times n}$ über dem Körper ${\displaystyle K}$ genannt wird.[1]

Beispiel

Betrachtet man den Raum ${\displaystyle K^{2\times 2}}$ der Matrizen der Größe ${\displaystyle 2\times 2}$, dann entspricht die Matrizenaddition gerade

${\displaystyle A+B={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}}}$

und d​ie Skalarmultiplikation entsprechend

${\displaystyle c\cdot A=c\cdot {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c\cdot a_{11}&c\cdot a_{12}\\c\cdot a_{21}&c\cdot a_{22}\end{pmatrix}}}$.

Als Ergebnis der Addition oder Skalarmultiplikation erhält man demnach wieder eine ${\displaystyle (2\times 2)}$-Matrix.

Eigenschaften

Neutrales und inverses Element

Das neutrale Element i​m Matrizenraum i​st die Nullmatrix

${\displaystyle 0=(~0_{K}~)}$,

deren Elemente alle gleich dem Nullelement ${\displaystyle 0_{K}}$ des Körpers ${\displaystyle K}$ sind. Das zu einer Matrix ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ additiv inverse Element ist dann die Matrix

${\displaystyle -A=(-a_{ij})}$,

wobei ${\displaystyle -a_{ij}}$ für ${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$ und ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ jeweils das additiv inverse Element zu ${\displaystyle a_{ij}}$ in ${\displaystyle K}$ ist.

Gesetze

Der Matrizenraum erfüllt die Axiome eines Vektorraums. Neben der Existenz eines neutralen und inversen Elements gelten für Matrizen ${\displaystyle A,B,C\in K^{m\times n}}$ und Skalare ${\displaystyle c,d\in K}$

• das Assoziativgesetz ${\displaystyle A+(B+C)=(A+B)+C}$,
• das Kommutativgesetz ${\displaystyle A+B=B+A}$,
• das gemischte Assoziativgesetz ${\displaystyle c\cdot (d\cdot A)=(c\cdot d)\cdot A}$,
• die Distributivgesetze ${\displaystyle c\cdot (A+B)=c\cdot A+c\cdot B}$ und ${\displaystyle (c+d)\cdot A=c\cdot A+d\cdot A}$ sowie
• die Neutralität der Eins ${\displaystyle 1_{K}\cdot A=A}$, wobei ${\displaystyle 1_{K}}$ das Einselement des Körpers ${\displaystyle K}$ ist.

Diese Gesetze folgen direkt aus der Assoziativität, der Kommutativität und der Distributivität der Addition und Multiplikation im Körper ${\displaystyle K}$ durch Anwendung auf jedes Element einer Matrix.

Basis und Dimension

Die Standardbasis für d​en Matrizenraum besteht a​us der Menge d​er Standardmatrizen

${\displaystyle \{E_{ij}\mid i=1,\ldots ,m,j=1,\ldots ,n\}}$.

bei denen der Eintrag an der Stelle ${\displaystyle (i,j)}$ eins ist und alle anderen Einträge null sind. Jede Matrix ${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$ lässt sich somit als Linearkombination

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\cdot E_{ij}}$

dieser Basismatrizen darstellen. Die Dimension d​es Matrizenraums beträgt demnach

${\displaystyle \operatorname {dim} (K^{m\times n})=m\cdot n}$,

sie i​st also d​as Produkt a​us der Zeilen- u​nd der Spaltenanzahl d​er Matrizen d​es Raums.

Isomorphie

Der Vektorraum der Matrizen ist isomorph zum Raum ${\displaystyle L(V,W)}$ der linearen Abbildungen zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ über dem gleichen Körper ${\displaystyle K}$, das heißt

${\displaystyle L(V,W)\cong K^{m\times n}}$,

wobei ${\displaystyle m}$ die Dimension von ${\displaystyle W}$ und ${\displaystyle n}$ die Dimension von ${\displaystyle V}$ ist. Jede lineare Abbildung ${\displaystyle f\in L(V,W)}$ kann nämlich nach Wahl einer Basis ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$ für ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle \{w_{1},\ldots ,w_{m}\}}$ für ${\displaystyle W}$ durch

${\displaystyle f(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}}$

für ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ dargestellt werden. Somit kann jede solche lineare Abbildung eindeutig durch eine Matrix ${\displaystyle (a_{ij})\in K^{m\times n}}$, die sogenannte Abbildungsmatrix, beschrieben werden. Umgekehrt entspricht jede Matrix auf diese Weise genau einer linearen Abbildung aus ${\displaystyle L(V,W)}$.[2]

Erweiterungen

Der Matrizenraum k​ann beispielsweise u​m folgende mathematische Strukturen erweitert werden:

• Wird ein reeller oder komplexer Matrizenraum mit einem Skalarprodukt versehen, beispielsweise dem Frobenius-Skalarprodukt, erhält man einen Skalarproduktraum. Da dieser Raum bezüglich der von dem Skalarprodukt induzierten Metrik vollständig ist, handelt es sich dabei sogar um einen Hilbertraum.

• Wird ein reeller oder komplexer Matrizenraum mit einer Matrixnorm versehen, beispielsweise einer natürlichen Matrixnorm oder der Frobeniusnorm, erhält man einen normierten Raum. Auch dieser Raum ist dann bezüglich der von der Norm induzierten Metrik vollständig, also ein Banachraum.

• Wird ein Matrizenraum mit einer Topologie versehen, erhält man einen topologischen Vektorraum, das heißt die Matrizenaddition und die Skalarmultiplikation sind dann stetige Operationen.

• Wird ein Raum quadratischer Matrizen neben der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation mit der Matrizenmultiplikation versehen, erhält man eine assoziative Algebra.

Siehe auch

• Koordinatenraum, der Vektorraum der Koordinatenvektoren über einem Körper
• Matrizenring, der Ring der quadratischen Matrizen über einem Ring
• Allgemeine lineare Gruppe, die Gruppe der regulären Matrizen über einem Ring

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra: eine Einführung für Studienanfänger. Springer, 2008, ISBN 3-8348-9574-1.
• Michael Artin: Algebra. Springer, 1998, ISBN 3-7643-5938-2.

Einzelnachweise

1. Fischer: Lineare Algebra: eine Einführung für Studienanfänger. S. 75.
2. Artin: Algebra. S. 125–127.