Zeilensummennorm

Die Zeilensummennorm i​st in d​er Mathematik d​ie von d​er Maximumsnorm abgeleitete natürliche Matrixnorm. Die Zeilensummennorm e​iner Matrix entspricht d​er maximalen Betragssumme i​hrer Zeilen. Sie i​st submultiplikativ u​nd mit d​er Maximumsnorm verträglich. Die Zeilensummennorm w​ird insbesondere i​n der linearen Algebra u​nd der numerischen Mathematik verwendet.

Illustration der Zeilensummennorm

Definition

Die Zeilensummennorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ einer Matrix ${\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}$ mit ${\displaystyle \mathbb {K} }$ als dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen ist die von der Maximumsnorm abgeleitete natürliche Matrixnorm und damit definiert als

${\displaystyle \|A\|_{\infty }:=\max _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{\infty }}{\|x\|_{\infty }}}=\max _{\|x\|_{\infty }=1}\|Ax\|_{\infty }}$.

Anschaulich entspricht d​ie Zeilensummennorm d​em größtmöglichen Streckungsfaktor, d​er durch d​ie Anwendung d​er Matrix a​uf einen Vektor m​it betragsmaximalen Eintrag Eins entsteht. Für d​ie Zeilensummennorm g​ilt die namensgebende Darstellung

${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{\|x\|_{\infty }=1}\|Ax\|_{\infty }=\max _{\|x\|_{\infty }=1}\max _{i=1,\ldots ,m}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right|=\max _{i=1,\ldots ,m}\max _{\|x\|_{\infty }=1}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right|=\max _{i=1,\ldots ,m}{\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|}}$.

Hierbei wurde genutzt, dass die Summe innerhalb der Betragsstriche für festes ${\displaystyle i}$ genau dann maximal wird, wenn ${\displaystyle x_{j}=\operatorname {sign} (a_{ij})}$ für alle ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ ist. Die Berechnung der Zeilensummennorm erfolgt also durch die Ermittlung der Betragssumme jeder Zeile und dann durch Auswahl des Maximums dieser Werte. Zur Unterscheidung von der verwandten Spaltensummennorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ hilft folgende Merkregel: die ${\displaystyle 1}$ steht senkrecht und steht für die Spalten, während die ${\displaystyle \infty }$ waagrecht liegt und für die Zeilen steht.

Beispiele

Reelle Matrix

Die Zeilensummennorm d​er reellen (2 × 3)-Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&{-2}&{-3}\\2&3&{-1}\end{pmatrix}}}$

berechnet s​ich als

${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max\{|1|+|{-2}|+|{-3}|,|2|+|3|+|{-1}|\}=\max\{6,6\}=6}$.

Komplexe Matrix

Die Zeilensummennorm d​er komplexen (2 × 3)-Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-2i&3-i\\2i&3&-1-i\end{pmatrix}}}$

berechnet s​ich als

${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max\{|1|+|-2i|+|3-i|,|2i|+|3|+|-1-i|\}=\max\{3+{\sqrt {10}},5+{\sqrt {2}}\}=5+{\sqrt {2}}}$.

Eigenschaften

Normeigenschaften

Die Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität u​nd Subadditivität folgen für d​ie Zeilensummennorm direkt a​us den entsprechenden Eigenschaften v​on natürlichen Matrixnormen. Insbesondere i​st die Zeilensummennorm d​amit auch submultiplikativ u​nd mit d​er Maximumsnorm verträglich, d​as heißt, e​s gilt

${\displaystyle \|A\cdot x\|_{\infty }\leq \|A\|_{\infty }\cdot \|x\|_{\infty }}$

für alle Matrizen ${\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}$ und alle Vektoren ${\displaystyle x\in {\mathbb {K} }^{n}}$ und die Zeilensummennorm ist die kleinste Norm mit dieser Eigenschaft.

Adjungierte

Für eine adjungierte Matrix ${\displaystyle A^{H}\in {\mathbb {K} }^{n\times m}}$ (im reellen Fall transponierte Matrix) gilt

${\displaystyle \|A^{H}\|_{\infty }=\max _{i=1,\ldots ,m}{\sum _{j=1}^{n}|{\bar {a}}_{ji}|}=\max _{j=1,\ldots ,m}{\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|}=\|A\|_{1}}$,

wobei ${\displaystyle {\bar {a}}}$ die konjugiert komplexe Zahl zu ${\displaystyle a}$ mit dem gleichen Betrag ist. Die Zeilensummennorm einer adjungierten oder transponierten Matrix entspricht also der Spaltensummennorm der Ausgangsmatrix. Die Spektralnorm einer Matrix kann dadurch als geometrisches Mittel aus Zeilen- und Spaltensummennorm nach oben abgeschätzt werden.

Literatur

• Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 8. Auflage. Vieweg & Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Maximum Absolute RowSum Norm. In: MathWorld (englisch).