Matrixlogarithmus

In d​er Mathematik i​st der Logarithmus e​iner Matrix e​ine Verallgemeinerung d​es skalaren Logarithmus a​uf Matrizen. Er i​st in gewissem Sinn e​ine Umkehrfunktion d​es Matrixexponentials.

Definition

Eine Matrix ${\displaystyle B}$ ist ein Logarithmus einer gegebenen Matrix ${\displaystyle A}$, wenn ${\displaystyle A}$ das Matrixexponential von ${\displaystyle B}$ ist:

${\displaystyle e^{B}=A.\,}$

Eigenschaften

Eine Matrix h​at einen Logarithmus genau dann, wenn s​ie invertierbar ist. Dieser Logarithmus k​ann eine nicht-reelle Matrix sein, selbst w​enn alle Einträge i​n der Matrix reelle Zahlen sind. In diesem Fall i​st der Logarithmus n​icht eindeutig.

Berechnung des Logarithmus einer diagonalisierbaren Matrix

Im Folgenden wird eine Methode beschrieben, ${\displaystyle \ln(A)}$ für ein diagonalisierbare Matrix ${\displaystyle A}$ zu berechnen:

Ermittle die Matrix ${\displaystyle V}$ von Eigenvektoren von ${\displaystyle A}$ (jede Spalte von ${\displaystyle V}$ ist ein Eigenvektor von ${\displaystyle A}$).

Berechne die Inverse ${\displaystyle V^{-1}}$ von ${\displaystyle V}$.

Sei

${\displaystyle A'=V^{-1}AV}$.

Dann ist ${\displaystyle A'}$ eine diagonale Matrix, deren diagonale Elemente Eigenwerte von ${\displaystyle A}$ sind.

Ersetze jedes diagonale Element von ${\displaystyle A'}$ durch dessen natürlichen Logarithmus, um ${\displaystyle \ln(A')}$ zu erhalten. Dann gilt ${\displaystyle \ln(A)=V(\ln A')V^{-1}}$.

Dass der Logarithmus von ${\displaystyle A}$ komplex sein kann, obwohl ${\displaystyle A}$ reell ist, ergibt sich aus der Tatsache, dass eine reelle Matrix komplexe Eigenwerte haben kann (dies gilt zum Beispiel für Rotationsmatrizen). Die Nichteindeutigkeit des Logarithmus folgt aus der Nichteindeutigkeit des Logarithmus einer komplexen Zahl.

Beispiel: ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},V={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}=V^{-1},A'={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$. Wie man nun ${\displaystyle \ln A'}$ berechnet, ist nicht eindeutig definiert, da der natürliche Logarithmus bei −1 den Verzweigungsschnitt[1] hat. Nähert man sich der Zahl ${\displaystyle -1=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }}$ mit positivem Imaginärteil, so ist ${\displaystyle \ln(-1)=\lim \limits _{\epsilon \to 0}\ln(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\pi +\epsilon )})=\mathrm {i} \pi }$; nähert man sich der Zahl ${\displaystyle -1=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi }}$ mit negativem Imaginärteil, so erhält man ${\displaystyle \ln(-1)=\lim \limits _{\epsilon \to 0}\ln(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (\pi -\epsilon )})=-\mathrm {i} \pi }$. Hier sieht man die Uneindeutigkeit des Logarithmus und auch die nicht notwendigerweise reellwertigen Einträge, obwohl die Matrix reellwertig war.

Der Logarithmus einer nichtdiagonalisierbaren Matrix

Der o​bige Algorithmus funktioniert n​icht für nichtdiagonalisierbare Matrizen w​ie zum Beispiel

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Für solche Matrizen m​uss man zunächst d​ie Jordansche Normalform ermitteln. Statt d​es Logarithmus d​er Diagonaleneinträge m​uss man h​ier den Logarithmus d​er Jordan-Blöcke berechnen.

Letzteres w​ird dadurch erreicht, d​ass man d​ie Jordan-Matrix schreibt als

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)}$

wobei K e​ine Matrix m​it Nullen u​nter und a​uf der Hauptdiagonalen ist. (Die Zahl λ i​st ungleich null, w​enn man annimmt, d​ass die Matrix, d​eren Logarithmus m​an berechnen möchte, invertierbar ist.)

Durch d​ie Formel

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

erhält man

${\displaystyle \ln B=\ln {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\ln(\lambda I)+\ln(I+K)=(\ln \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots }$

Diese Reihe konvergiert für eine allgemeine Matrix ${\displaystyle K}$ nicht, wie sie es für reelle Zahlen mit Betrag kleiner ${\displaystyle 1}$ tun würde. Diese spezielle Matrix ${\displaystyle K}$ jedoch ist eine nilpotente Matrix, so dass die Reihe eine endliche Anzahl von Termen hat (${\displaystyle K^{m}}$ ist null, wenn ${\displaystyle m-1}$ den Rang von ${\displaystyle K}$ bezeichnet).

Durch diesen Ansatz erhält man

${\displaystyle \ln {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$

Aus dem Blickwinkel der Funktionalanalysis

Eine quadratische Matrix repräsentiert einen linearen Operator auf dem Euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Da dieser Raum endlichdimensional ist, ist jeder Operator beschränkt.

Sei ${\displaystyle f}$ eine holomorphe Funktion auf einer offenen Menge in der komplexen Ebene, und sei ${\displaystyle T}$ ein beschränkter Operator. Man kann ${\displaystyle f(T)}$ berechnen, wenn ${\displaystyle f(z)}$ auf dem Spektrum von ${\displaystyle T}$ definiert ist.

Die Funktion ${\displaystyle f(z)=\ln(z)}$ kann auf jeder einfach zusammenhängenden offenen Menge in der komplexen Ebene, die Null nicht enthält, definiert werden und ist auf dieser Definitionsmenge holomorph. Daraus folgt, dass ${\displaystyle \ln(T)}$ definiert ist, wenn das Spektrum von ${\displaystyle T}$ Null nicht enthält und es einen Pfad von null in die Unendlichkeit gibt, der das Spektrum von ${\displaystyle T}$ nicht schneidet (Bildet zum Beispiel das Spektrum von ${\displaystyle T}$ eine Kreislinie, deren Mittelpunkt null ist, dann ist es nicht möglich, ${\displaystyle \ln(T)}$ zu definieren).

Für den speziellen Fall des Euklidischen Raums ist das Spektrum eines linearen Operators die Menge der Eigenwerte der Matrix, also endlich. Solange null nicht im Spektrum enthalten ist (die Matrix also invertierbar ist) und damit offensichtlich die obige Pfadbedingung erfüllt ist, folgt, dass ${\displaystyle \ln(T)}$ wohldefiniert ist. Die Nichteindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass man mehr als einen Zweig des Logarithmus wählen kann, welcher auf der Menge der Eigenwerte der Matrix definiert ist.

Siehe auch

• Cepstrum

Einzelnachweise

1. Branch Cut Wolfram Research, abgerufen am 19. September 2018.