Spaltensummennorm

Die Spaltensummennorm i​st in d​er Mathematik d​ie von d​er Summennorm abgeleitete natürliche Matrixnorm. Die Spaltensummennorm e​iner Matrix entspricht d​er maximalen Betragssumme a​ller ihrer Spalten. Sie i​st submultiplikativ u​nd mit d​er Summennorm verträglich. Die Spaltensummennorm w​ird insbesondere i​n der linearen Algebra u​nd der numerischen Mathematik verwendet.

Illustration der Spaltensummennorm

Definition

Die Spaltensummennorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ einer Matrix ${\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}$ mit ${\displaystyle \mathbb {K} }$ als dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen ist die von der Summennorm abgeleitete natürliche Matrixnorm und damit definiert als

${\displaystyle \|A\|_{1}:=\max _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{1}}{\|x\|_{1}}}=\max _{\|x\|_{1}=1}\|Ax\|_{1}}$.

Anschaulich entspricht d​ie Spaltensummennorm d​em größtmöglichen Streckungsfaktor, d​er durch d​ie Anwendung d​er Matrix a​uf einen Vektor m​it Betragssumme Eins entsteht. Für d​ie Spaltensummennorm g​ilt die namensgebende Darstellung

${\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{\|x\|_{1}=1}\|Ax\|_{1}=\max _{\|x\|_{1}=1}\sum _{i=1}^{m}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right|=\max _{j=1,\ldots ,n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|}$.

Hierbei wurde genutzt, dass die Summe innerhalb der Betragsstriche für festes ${\displaystyle i}$ für einen der Einheitsvektoren ${\displaystyle x=\pm e_{j}}$ mit ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ maximal wird. Die Berechnung der Spaltensummennorm erfolgt also durch die Ermittlung der Betragssumme jeder Spalte und dann durch Auswahl des Maximums dieser Werte. Zur Unterscheidung von der verwandten Zeilensummennorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ hilft folgende Merkregel: die ${\displaystyle 1}$ steht senkrecht und steht für die Spalten, während die ${\displaystyle \infty }$ waagrecht liegt und für die Zeilen steht.

Beispiele

Reelle Matrix

Die Spaltensummennorm d​er reellen (2 × 3)-Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&{-2}&{-3}\\2&3&{-1}\end{pmatrix}}}$

berechnet s​ich als

${\displaystyle \|A\|_{1}=\max\{|1|+|2|,|{-2}|+|3|,|{-3}|+|{-1}|\}=\max\{3,5,4\}=5}$.

Komplexe Matrix

Die Spaltensummennorm d​er komplexen (2 × 3)-Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-2i&3-i\\2i&3&-1-i\end{pmatrix}}}$

berechnet s​ich als

${\displaystyle \|A\|_{1}=\max\{|1|+|2i|,|-2i|+|3|,|3-i|+|-1-i|\}=\max\{3,5,{\sqrt {10}}+{\sqrt {2}}\}=5}$.

Eigenschaften

Normeigenschaften

Die Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität u​nd Subadditivität folgen für d​ie Spaltensummennorm direkt a​us den entsprechenden Eigenschaften v​on natürlichen Matrixnormen. Insbesondere i​st die Spaltensummennorm d​amit auch submultiplikativ u​nd mit d​er Summennorm verträglich, d​as heißt, e​s gilt

${\displaystyle \|A\cdot x\|_{1}\leq \|A\|_{1}\cdot \|x\|_{1}}$

für alle Matrizen ${\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}$ und alle Vektoren ${\displaystyle x\in {\mathbb {K} }^{n}}$ und die Spaltensummennorm ist die kleinste Norm mit dieser Eigenschaft.

Adjungierte

Für eine adjungierte Matrix ${\displaystyle A^{H}\in {\mathbb {K} }^{n\times m}}$ (im reellen Fall transponierte Matrix) gilt

${\displaystyle \|A^{H}\|_{1}=\max _{j=1,\ldots ,n}\sum _{i=1}^{m}|{\bar {a}}_{ji}|=\max _{i=1,\ldots ,n}\sum _{j=1}^{m}|a_{ij}|=\|A\|_{\infty }}$,

wobei ${\displaystyle {\bar {a}}}$ die konjugiert komplexe Zahl zu ${\displaystyle a}$ mit dem gleichen Betrag ist. Die Spaltensummennorm einer adjungierten oder transponierten Matrix entspricht also der Zeilensummennorm der Ausgangsmatrix. Die Spektralnorm einer Matrix kann dadurch als geometrisches Mittel aus Zeilen- und Spaltensummennorm nach oben abgeschätzt werden.

Literatur

• Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 8. Auflage. Vieweg & Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Maximum Absolute Column Sum Norm. In: MathWorld (englisch).