Reguläre Matrix

Eine reguläre, invertierbare o​der nichtsinguläre Matrix i​st in d​er Mathematik e​ine quadratische Matrix, d​ie eine Inverse besitzt. Reguläre Matrizen können a​uf mehrere äquivalente Weisen charakterisiert werden. Zum Beispiel zeichnen s​ich reguläre Matrizen dadurch aus, d​ass die d​urch sie beschriebene lineare Abbildung bijektiv ist. Daher i​st ein lineares Gleichungssystem m​it einer regulären Koeffizientenmatrix s​tets eindeutig lösbar. Die Menge d​er regulären Matrizen fester Größe m​it Einträgen a​us einem Ring o​der Körper bildet m​it der Matrizenmultiplikation a​ls Verknüpfung d​ie allgemeine lineare Gruppe.

Nicht z​u jeder quadratischen Matrix existiert e​ine Inverse. Eine quadratische Matrix, d​ie keine Inverse besitzt, w​ird singuläre Matrix genannt.

Definition

Eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in R^{n\times n}}$ mit Einträgen aus einem unitären Ring ${\displaystyle R}$ (in der Praxis meist dem Körper der reellen Zahlen) heißt regulär, wenn eine weitere Matrix ${\displaystyle B\in R^{n\times n}}$ existiert, sodass

${\displaystyle A\cdot B=B\cdot A=I}$

gilt, wobei ${\displaystyle I}$ die Einheitsmatrix bezeichnet. Die Matrix ${\displaystyle B}$ ist hierbei eindeutig bestimmt und heißt inverse Matrix zu ${\displaystyle A}$. Die Inverse einer Matrix ${\displaystyle A}$ wird üblicherweise mit ${\displaystyle A^{-1}}$ bezeichnet. Bei einer singulären Matrix existiert keine solche Matrix ${\displaystyle B}$.

Ist ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring, Körper oder Schiefkörper, so sind die beiden Bedingungen ${\displaystyle A\cdot B=I}$ und ${\displaystyle B\cdot A=I}$ äquivalent, das heißt, eine linksinverse Matrix ist dann auch rechtsinvers und umgekehrt, sprich, die obige Bedingung lässt sich durch ${\displaystyle B\cdot A=I}$ beziehungsweise ${\displaystyle A\cdot B=I}$ abschwächen.

Beispiele

Die reelle Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}}}$

ist regulär, d​enn sie besitzt d​ie Inverse

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}}$,

mit

${\displaystyle A\cdot B={\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}$.

Die reelle Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&3\\0&0\end{pmatrix}}}$

ist singulär, d​enn für e​ine beliebige Matrix

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

gilt

${\displaystyle A\cdot B={\begin{pmatrix}2&3\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2a+3c&2b+3d\\0&0\end{pmatrix}}\neq I}$.

Äquivalente Charakterisierungen

Reguläre Matrizen über einem Körper

Eine ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrix ${\displaystyle A}$ mit Einträgen aus einem Körper ${\displaystyle K}$, zum Beispiel die reellen oder komplexen Zahlen, ist genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

• Es gibt eine Matrix ${\displaystyle B}$ mit ${\displaystyle AB=I=BA}$.
• Die Determinante von ${\displaystyle A}$ ist ungleich null.
• Die Null ist kein Eigenwert von ${\displaystyle A}$.
• Das lineare Gleichungssystem ${\displaystyle Ax=0}$ besitzt nur die triviale Lösung ${\displaystyle x=0}$.
• Für jedes ${\displaystyle b\in K^{n}}$ existiert mindestens eine Lösung ${\displaystyle x\in K^{n}}$ des linearen Gleichungssystems ${\displaystyle Ax=b}$.
• Für jedes ${\displaystyle b\in K^{n}}$ existiert höchstens eine Lösung ${\displaystyle x\in K^{n}}$ des linearen Gleichungssystems ${\displaystyle Ax=b}$.
• Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig.
• Die Zeilenvektoren erzeugen ${\displaystyle K^{n}}$.
• Die Spaltenvektoren sind linear unabhängig.
• Die Spaltenvektoren erzeugen ${\displaystyle K^{n}}$.
• Die durch ${\displaystyle A}$ beschriebene lineare Abbildung ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$, ${\displaystyle x\mapsto Ax}$, ist injektiv.
• Die durch ${\displaystyle A}$ beschriebene lineare Abbildung ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$, ${\displaystyle x\mapsto Ax}$, ist surjektiv.
• Die transponierte Matrix ${\displaystyle A^{T}}$ ist invertierbar.
• Der Rang der Matrix ${\displaystyle A}$ ist gleich ${\displaystyle n}$.

Bei einer singulären ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrix ${\displaystyle A}$ mit Einträgen aus einem Körper ${\displaystyle K}$ ist keine der obigen Bedingungen erfüllt.

Reguläre Matrizen über einem unitären kommutativen Ring

Allgemeiner ist eine ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrix ${\displaystyle A}$ mit Einträgen aus einem kommutativen Ring mit Eins ${\displaystyle R}$ genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

• Es gibt eine Matrix ${\displaystyle B}$ mit ${\displaystyle AB=I=BA}$.
• Die Determinante von ${\displaystyle A}$ ist eine Einheit in ${\displaystyle R}$ (man spricht auch von einer unimodularen Matrix).
• Für alle ${\displaystyle b\in R^{n}}$ existiert genau eine Lösung ${\displaystyle x\in R^{n}}$ des linearen Gleichungssystems ${\displaystyle Ax=b}$.
• Für alle ${\displaystyle b\in R^{n}}$ existiert mindestens eine Lösung ${\displaystyle x\in R^{n}}$ des linearen Gleichungssystems ${\displaystyle Ax=b}$.
• Die Zeilenvektoren bilden eine Basis von ${\displaystyle R^{n}}$.
• Die Zeilenvektoren erzeugen ${\displaystyle R^{n}}$.
• Die Spaltenvektoren bilden eine Basis von ${\displaystyle R^{n}}$.
• Die Spaltenvektoren erzeugen ${\displaystyle R^{n}}$.
• Die durch ${\displaystyle A}$ beschriebene lineare Abbildung ${\displaystyle R^{n}\to R^{n}}$, ${\displaystyle x\mapsto Ax}$, ist surjektiv (oder gar bijektiv).
• Die transponierte Matrix ${\displaystyle A^{T}}$ ist invertierbar.

Bei einer singulären ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrix ${\displaystyle A}$ mit Einträgen aus einem kommutativen Ring mit Eins ${\displaystyle R}$ ist keine der obigen Bedingungen erfüllt.

Der wesentliche Unterschied zum Fall eines Körpers ist hier also, dass im Allgemeinen aus der Injektivität einer linearen Abbildung nicht mehr ihre Surjektivität (und damit ihre Bijektivität) folgt, wie bereits das einfache Beispiel ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle x\mapsto 2x}$ zeigt.

Weitere Beispiele

Die Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3x^{3}&x^{2}-1\\3x^{2}+3&x\end{pmatrix}}}$

mit Einträgen aus dem Polynomring ${\displaystyle R=\mathbb {R} [x]}$ hat die Determinante ${\displaystyle \det A=3x^{3}\cdot x-(x^{2}-1)\cdot (3x^{2}+3)=3}$ und ${\displaystyle 3}$ ist invertierbar in ${\displaystyle R}$. Somit ist ${\displaystyle A}$ regulär in ${\displaystyle R^{2\times 2}}$. Die inverse Matrix ist

${\displaystyle B={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}x&1-x^{2}\\-3x^{2}-3&3x^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{3}}\cdot x&{\tfrac {1}{3}}\cdot (1-x^{2})\\-x^{2}-1&x^{3}\end{pmatrix}}}$.

Die Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}[2]_{17}&[1]_{17}\\\left[6\right]_{17}&[4]_{17}\end{pmatrix}}}$

mit Einträgen aus dem Restklassenkörper ${\displaystyle R=\mathbb {Z} /17\mathbb {Z} }$ hat die Determinante ${\displaystyle \det A=[2]_{17}\cdot [4]_{17}-[1]_{17}\cdot [6]_{17}=[2]_{17}}$ und ${\displaystyle [2]_{17}}$ ist invertierbar in ${\displaystyle R}$. Somit ist ${\displaystyle A}$ regulär in ${\displaystyle R^{2\times 2}}$. Die inverse Matrix ist

${\displaystyle B={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}[4]_{17}&[-1]_{17}\\\left[-6\right]_{17}&[2]_{17}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}[4]_{17}&[16]_{17}\\\left[11\right]_{17}&[2]_{17}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}[2]_{17}&[8]_{17}\\\left[14\right]_{17}&[1]_{17}\end{pmatrix}}}$.

Die Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}[3]_{12}&[7]_{12}\\\left[1\right]_{12}&[9]_{12}\end{pmatrix}}}$

mit Einträgen aus dem Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ hat die Determinante ${\displaystyle \det A=[3]_{12}\cdot [9]_{12}-[7]_{12}\cdot [1]_{12}=[20]_{12}=[8]_{12}}$. Da ${\displaystyle 8}$ und ${\displaystyle 12}$ nicht teilerfremd sind, ist ${\displaystyle \det A=[8]_{12}}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ nicht invertierbar. Daher ist ${\displaystyle A}$ nicht regulär.

Eigenschaften

Ist die Matrix ${\displaystyle A}$ regulär, so ist auch ${\displaystyle A^{-1}}$ regulär mit der Inversen

${\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{-1}=A}$.

Sind die beiden Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ regulär, so ist auch ihr Produkt ${\displaystyle A\cdot B}$ regulär mit der Inversen

${\displaystyle \left(A\cdot B\right)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}}$.

Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet demnach mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine (im Allgemeinen nichtkommutative) Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$. In dieser Gruppe ist die Einheitsmatrix das neutrale Element und die inverse Matrix das inverse Element. Für eine reguläre Matrix ${\displaystyle A}$ gelten damit auch die Kürzungsregeln

${\displaystyle A\cdot B=A\cdot C\Rightarrow B=C}$

und

${\displaystyle B\cdot A=C\cdot A\Rightarrow B=C}$,

wobei ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$ beliebige Matrizen passender Größe sind.

Eine singuläre Matrix besitzt d​en Eigenwert null, d. h. e​s gibt e​inen vom Nullvektor verschiedenen Vektor, d​er von d​er Matrix a​uf ersteren abgebildet wird. Alle Vektoren, d​ie von d​er Matrix a​uf den Nullvektor abgebildet werden, erzeugen d​en Eigenraum z​um Eigenwert null. Die Dimension dieses Eigenraumes i​st die geometrische Vielfachheit d​es Eigenwerts null, s​iehe Jänich (2008), S. 197 ff.

Reguläre Matrizen über einem Restklassenkörper

Eine Matrix mit Einträgen aus einem Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ mit einer Primzahl ${\displaystyle p}$ ist genau dann regulär, wenn die Zeilenvektoren linear unabhängig sind.

Für den Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ kann die Anzahl der regulären ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen wie folgt berechnet werden:

• Jedes der ${\displaystyle n}$ Elemente der 1. Zeile kann unabhängig voneinander 2 Werte annehmen. Der Nullvektor ist ausgeschlossen. Für die 1. Zeile gibt es also ${\displaystyle 2^{n}-1}$ Möglichkeiten.
• Für die 2. Zeile sind alle Vektoren ausgeschlossen, die eine Linearkombination der 1. Zeile sind, also ${\displaystyle 2}$ Vektoren. Für die 2. Zeile gibt es also ${\displaystyle 2^{n}-2}$ Möglichkeiten.
• Für die 3. Zeile sind alle Vektoren ausgeschlossen, die eine Linearkombination der 1. Zeile und 2. Zeile sind, also ${\displaystyle 2^{2}}$ Vektoren. Für die 3. Zeile gibt es also ${\displaystyle 2^{n}-2^{2}}$ Möglichkeiten.
• Allgemein gibt es für die Zeile mit dem Index ${\displaystyle k}$ also ${\displaystyle 2^{n}-2^{k-1}}$ mögliche Werte. Für alle Zeilen der Matrix ergeben sich daher insgesamt ${\displaystyle (2^{n}-2^{0})\cdot (2^{n}-2^{1})\cdot (2^{n}-2^{2})\cdot \ldots \cdot (2^{n}-2^{n-1})}$ Möglichkeiten.

Daraus lässt sich der Anteil der regulären ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen an allen ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen bestimmen. Es gibt ${\displaystyle 2^{n\cdot n}=2^{n^{2}}}$ verschiedene ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen, weil jedes der ${\displaystyle n\cdot n=n^{2}}$ Elemente unabhängig voneinander 2 Werte annehmen kann. Der Anteil der regulären ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen beträgt daher

${\displaystyle {\begin{aligned}&(2^{n}-2^{0})\cdot (2^{n}-2^{1})\cdot (2^{n}-2^{2})\cdot \ldots \cdot (2^{n}-2^{n-1})/2^{n\cdot n}\\&={\frac {2^{n}-2^{0}}{2^{n}}}\cdot {\frac {2^{n}-2^{1}}{2^{n}}}\cdot {\frac {2^{n}-2^{2}}{2^{n}}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2^{n}-2^{n-1}}{2^{n}}}\\&=\left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {1}{2^{n-1}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {1}{2^{n-2}}}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1-{\frac {1}{2^{1}}}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\right)\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle n}$ gegen unendlich konvergiert dieses Produkt nach dem Pentagonalzahlensatz wegen ${\displaystyle |{\tfrac {1}{2}}|<1}$ gegen einen endlichen Grenzwert. Dieser beträgt etwa 0,289.

Dieses Ergebnis lässt sich für beliebige Primzahlen ${\displaystyle p}$ auf den Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ verallgemeinern. Es gibt ${\displaystyle p^{n\cdot n}=p^{n^{2}}}$ verschiedene ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen, von denen ${\displaystyle (p^{n}-p^{0})\cdot (p^{n}-p^{1})\cdot (p^{n}-p^{2})\cdot \ldots \cdot (p^{n}-p^{n-1})}$ reguläre ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen sind. Der Anteil der regulären ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen beträgt ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(1-\left({\frac {1}{p}}\right)^{k}\right)}$.[1]

Literatur

• Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.
• K. Jänich: Lineare Algebra. 11. Auflage. Springer-Lehrbuch, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-75502-9, doi:10.1007/978-3-540-75502-9.

Weblinks

• Non-singular matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Eric W. Weisstein: Nonsingular Matrix. In: MathWorld (englisch).
• CWoo: Invertible matrix. In: PlanetMath. (englisch)

Einzelnachweise

1. StackExchange: Number of non singular matrices over a finite field of order 2