Schur-Zerlegung

Als Schur-Zerlegung o​der Schursche Normalform (nach Issai Schur) bezeichnet m​an in d​er Linearen Algebra, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, e​ine wichtige Matrix-Zerlegung, genauer e​in Trigonalisierungsverfahren.

Definition

${\displaystyle A}$ sei eine quadratische Matrix mit Einträgen aus ${\displaystyle \mathbb {K} }$ (also ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$, wobei ${\displaystyle \mathbb {K} }$ entweder für ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder für ${\displaystyle \mathbb {C} }$ steht). Zerfällt das charakteristische Polynom von ${\displaystyle A}$ über ${\displaystyle \mathbb {K} }$ in Linearfaktoren, so existiert eine unitäre Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$, sodass

${\displaystyle R=U^{*}AU\quad }$ (${\displaystyle U^{*}}$ ist die zu ${\displaystyle U}$ adjungierte Matrix)

eine obere Dreiecksmatrix ist. Da ${\displaystyle U}$ unitär ist, folgt ${\displaystyle A=URU^{*}}$; eine solche Darstellung heißt Schur-Zerlegung von ${\displaystyle A}$.

Bemerkungen

• Da ${\displaystyle R}$ eine obere Dreiecksmatrix ist, kann sie als Summe einer Diagonalmatrix ${\displaystyle D}$ und einer strikten oberen Dreiecksmatrix ${\displaystyle N}$ dargestellt werden (${\displaystyle D,N\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$):

${\displaystyle R=D+N}$

Es gilt dann:

• ${\displaystyle D}$ ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Diagonalelemente und wird als der Diagonalanteil der Schur-Zerlegung bezeichnet.
• ${\displaystyle N}$ ist nilpotent, im Allgemeinen nur bezüglich ihrer Frobeniusnorm eindeutig und wird der nilpotente Anteil der Schur-Zerlegung genannt.
• Die Frobeniusnorm von ${\displaystyle N}$ ist genau dann 0, wenn ${\displaystyle A}$ normal ist.

• Wegen der Ähnlichkeit der Ausgangsmatrix ${\displaystyle A}$ und der oberen Dreiecksmatrix ${\displaystyle R}$ stehen auf der Hauptdiagonale von ${\displaystyle R}$ die Eigenwerte von ${\displaystyle A}$.
• Ist ${\displaystyle A}$ eine normale Matrix, dann ist ${\displaystyle R}$ sogar eine Diagonalmatrix und die Spaltenvektoren von ${\displaystyle U}$ sind Eigenvektoren von ${\displaystyle A}$. Die Schur-Zerlegung von ${\displaystyle A}$ wird dann als Spektralzerlegung von ${\displaystyle A}$ bezeichnet.
• Wenn ${\displaystyle A}$ positiv definit ist, dann ist die Schur-Zerlegung von ${\displaystyle A}$ dasselbe wie die Singulärwertzerlegung von ${\displaystyle A}$.

Konstruktion einer Schur-Zerlegung

Sei ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$. Zunächst muss ein Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{1}}$ und ein entsprechender Eigenvektor ${\displaystyle v_{1}}$ zu ${\displaystyle A}$ gefunden werden. Nun werden ${\displaystyle n-1}$ Vektoren ${\displaystyle w_{2},\ldots ,w_{n}}$ gewählt, so dass ${\displaystyle v_{1},w_{2},\ldots ,w_{n}}$ eine orthonormale Basis in ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ bilden. Diese Vektoren bilden die Spalten einer Matrix ${\displaystyle V_{1}}$ mit

${\displaystyle V_{1}^{*}AV_{1}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&A_{1}\end{bmatrix}}}$,

wobei ${\displaystyle A_{1}}$ eine ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$ Matrix ist. Nun wird dieser Vorgang für ${\displaystyle A_{1}}$ wiederholt. Es entsteht eine unitäre Matrix ${\displaystyle V_{2}}$ mit

${\displaystyle V_{2}^{*}A_{1}V_{2}={\begin{bmatrix}\lambda _{2}&*\\0&A_{2}\end{bmatrix}}}$,

wobei ${\displaystyle A_{2}}$ eine ${\displaystyle (n-2)\times (n-2)}$ Matrix ist. Dann gilt

${\displaystyle Q_{2}^{*}AQ_{2}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*&*\\0&\lambda _{2}&*\\0&0&A_{2}\end{bmatrix}}}$,

wobei ${\displaystyle Q_{2}=V_{1}{\hat {V}}_{2}}$ mit ${\displaystyle {\hat {V}}_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}}}$ gilt. Die gesamte Prozedur wird ${\displaystyle (n-1)}$-mal wiederholt, bis die Matrizen ${\displaystyle V_{1},\ldots ,{\hat {V}}_{n-1}}$ vorliegen. Dann ist ${\displaystyle Q:=V_{1}{\hat {V}}_{2}{\hat {V}}_{3}\cdots {\hat {V}}_{n-1}}$ eine unitäre Matrix und ${\displaystyle R:=Q^{*}AQ}$ eine obere Dreiecksmatrix. Damit ist die Schur-Zerlegung der Matrix ${\displaystyle A}$ bestimmt.

Beispiel

Betrachte beispielsweise die Matrix ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&1&3\\2&1&-1\\-7&2&7\end{bmatrix}}}$ mit den Eigenwerten ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=2}$ (die Matrix ist nicht diagonalisierbar, weil die Dimension des mit diesem Eigenwert assoziierten Eigenraums 1 beträgt).

Wir wählen als Basis für den Anfang die Standard-Basis ${\displaystyle \langle e_{1},e_{2},e_{3}\rangle }$, wobei ${\displaystyle e_{j}}$ den ${\displaystyle j}$-ten Einheitsvektor bezeichnet.

Für ${\displaystyle A_{1}=A}$ bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, zum Beispiel ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}}$ mit Darstellung ${\displaystyle v_{1}:=1e_{1}+1e_{2}+1e_{3}={\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}}$ und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. ${\displaystyle \langle v_{1},e_{1},e_{3}\rangle }$. Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation ${\displaystyle V_{1}=(v_{1}|e_{1}|e_{3})}$ und berechnen ${\displaystyle V_{1}^{-1}AV_{1}={\begin{bmatrix}2&2&-1\\0&-4&4\\0&-9&8\end{bmatrix}}}$ daraus lässt sich ablesen, dass ${\displaystyle A_{2}={\begin{bmatrix}-4&4\\-9&8\end{bmatrix}}}$.

Für ${\displaystyle A_{2}}$ bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}}$ mit Darstellung ${\displaystyle v_{2}:=0v_{1}+2e_{1}+3e_{3}={\begin{bmatrix}2\\0\\3\end{bmatrix}}}$ und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. ${\displaystyle \langle v_{1},v_{2},e_{3}\rangle }$. Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation ${\displaystyle V_{2}=(v_{1}|v_{2}|e_{3})}$ und berechnen ${\displaystyle V_{2}^{-1}AV_{2}={\begin{bmatrix}2&1&-1\\0&2&2\\0&0&2\end{bmatrix}}}$.

Wie o​ben gezeigt, k​ann die Basis beliebig gewählt werden, allerdings w​ird die Sache s​ehr einfach u​nd interessant, w​enn die Wahl d​er Standardbasis durchgezogen w​ird (sofern möglich). Dadurch ändern s​ich die vorherigen Schritte w​ie folgt:

Für ${\displaystyle A_{1}=A}$ bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}}$ mit Darstellung ${\displaystyle v_{1}:={\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}}$ und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. ${\displaystyle \langle v_{1},e_{2},e_{3}\rangle }$. Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation ${\displaystyle V_{1}=(v_{1}|e_{2}|e_{3})}$ und berechnen ${\displaystyle V_{1}^{-1}AV_{1}={\begin{bmatrix}2&1&3\\0&0&-4\\0&1&4\end{bmatrix}}}$ daraus lässt sich ablesen, dass ${\displaystyle A_{2}={\begin{bmatrix}0&-4\\1&4\end{bmatrix}}}$.

Für ${\displaystyle A_{2}}$ bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}}}$ mit Darstellung ${\displaystyle v_{2}:={\begin{bmatrix}0\\2\\-1\end{bmatrix}}}$ und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. ${\displaystyle \langle v_{1},v_{2},e_{3}\rangle }$. Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation ${\displaystyle V_{2}=(v_{1}|v_{2}|e_{3})}$ und berechnen ${\displaystyle V_{2}^{-1}AV_{2}={\begin{bmatrix}2&-1&3\\0&2&-2\\0&0&2\end{bmatrix}}}$.

Hier ist die Berechnung der Darstellung der Vektoren in der richtigen Basis sozusagen intuitiv und somit auch weniger fehleranfällig, zudem ist die finale Basistransformation hier ${\displaystyle V_{2}}$ auch eine Dreiecksmatrix.

Mit d​em Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren k​ann die erhaltene Basistransformationsmatrix z​u einer unitären Matrix gemacht werden, w​ie verlangt.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Schur Decomposition. In: MathWorld (englisch).
• LP – Lemma von Schur, u. a. Beweis des Lemmas, in: Numerische Mathematik I – Funktionalanalytische Grundlagen.