Matrixexponential

In d​er Mathematik i​st das Matrixexponential, a​uch als Matrixexponentialfunktion bezeichnet, e​ine Funktion a​uf der Menge d​er quadratischen Matrizen, welche analog z​ur gewöhnlichen (skalaren) Exponentialfunktion definiert ist. Das Matrixexponential stellt d​ie Verbindung zwischen Lie-Algebra u​nd der zugehörigen Lie-Gruppe her.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ eine reelle oder komplexe ${\displaystyle n\times n}$-Matrix. Das Exponential von ${\displaystyle X}$, welches mit ${\displaystyle e^{X}}$ oder ${\displaystyle \exp(X)}$ bezeichnet wird, ist die ${\displaystyle n\times n}$-Matrix, welche durch die folgende Potenzreihe definiert ist (Taylor-Entwicklung):

${\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}=E+X+{\frac {X^{2}}{2}}+\dots }$.

Diese Reihe konvergiert, genauso wie die der gewöhnlichen Exponentialfunktion, immer. Daher ist das Exponential von ${\displaystyle X}$ wohldefiniert. Wenn ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle 1\times 1}$-Matrix ist, entspricht das Matrixexponential von ${\displaystyle X}$ der gewöhnlichen Exponentialfunktion. Eine Verallgemeinerung, welche auch für unendliche Matrizen sinnvoll ist, ist die Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren.

Eigenschaften

Das Matrixexponential teilt eine Reihe der Eigenschaften der gewöhnlichen Exponentialfunktion. Beispielsweise ist das Exponential der ${\displaystyle (n\times n)}$-Nullmatrix ${\displaystyle 0}$ gleich der ${\displaystyle (n\times n)}$-Einheitsmatrix ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle e^{0}=E}$.

Für beliebige komplexe ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen ${\displaystyle X}$ und beliebige komplexe Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gilt

${\displaystyle e^{aX}\cdot e^{bX}=e^{(a+b)X}}$.

Daraus folgt

${\displaystyle e^{X}\cdot e^{-X}=e^{(1-1)X}=e^{0}=E}$,

das heißt

${\displaystyle \left(e^{X}\right)^{-1}=e^{-X}}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \left(e^{X}\right)^{-1}}$ die zu ${\displaystyle e^{X}}$ inverse Matrix.

Die Exponentialfunktion erfüllt ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\,e^{y}}$ für alle Zahlen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$. Dasselbe gilt für kommutierende Matrizen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$, das heißt aus

${\displaystyle X\cdot Y=Y\cdot X}$

folgt

${\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}\cdot e^{Y}}$.

Für nichtkommutierende Matrizen stimmt diese Gleichung im Allgemeinen nicht. In diesem Fall kann man ${\displaystyle e^{X+Y}}$ mit Hilfe der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel berechnen.

Das Exponential der zu ${\displaystyle X}$ transponierten Matrix ist gleich der Transposition des Exponentials von ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle \exp \left(X^{\mathrm {T} }\right)=\left(\exp X\right)^{\mathrm {T} }}$

Daraus folgt, d​ass die Matrixexponentialfunktion symmetrische Matrizen a​uf symmetrische Matrizen u​nd schiefsymmetrische Matrizen a​uf orthogonale Matrizen abbildet. Analog g​ilt zwischen Adjunktion u​nd Exponentiation d​ie Beziehung

${\displaystyle \exp \left(X^{*}\right)=\left(\exp X\right)^{*}}$,

so d​ass die Matrixexponentialfunktion hermitesche Matrizen a​uf hermitesche Matrizen u​nd schiefhermitesche Matrizen a​uf unitäre Matrizen abbildet.

Weiterhin gilt:

• Wenn ${\displaystyle Y}$ invertierbar ist, dann ist ${\displaystyle e^{YXY^{-1}}=Ye^{X}Y^{-1}}$.
• ${\displaystyle \det(e^{X})=e^{{\mbox{tr}}(X)}}$, Hier bezeichnet ${\displaystyle {\mbox{tr}}(X)}$ die Spur der quadratischen Matrix ${\displaystyle X}$.
• ${\displaystyle e^{\operatorname {diag} (x_{1},\ldots ,x_{n})}=\operatorname {diag} \left(e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}}\right)}$.

Die Exponentialabbildung

Das Exponential einer Matrix ist immer eine invertierbare Matrix. Die Inverse von ${\displaystyle e^{X}}$ ist durch ${\displaystyle e^{-X}}$ gegeben. Das (komplexe) Matrixexponential liefert somit eine Abbildung

${\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to {\mbox{GL}}(n,\mathbb {C} )}$

aus dem Vektorraum aller (komplexen) ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrizen in die allgemeine lineare Gruppe, die Gruppe aller (komplexen) invertierbaren Matrizen. Diese Abbildung ist kein Gruppenhomomorphismus auf der gesamten Gruppe ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$, aber auf jeder Untergruppe, deren Matrizen multiplikativ miteinander kommutieren. Des Weiteren ist sie surjektiv, das heißt jede (reelle oder komplexe) invertierbare Matrix kann als die Exponentialmatrix einer komplexen Matrix geschrieben werden. Urbilder (bzw. lokale Schnitte) lassen sich durch Matrixlogarithmen berechnen.

Für je zwei Matrizen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ gilt

${\displaystyle \|e^{X+Y}-e^{X}\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|}}$,

wobei ${\displaystyle \|\cdot \|}$ eine beliebige Matrixnorm bezeichnet. Daraus folgt, dass die Exponentialabbildung stetig und auf kompakten Teilmengen von ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$ sogar lipschitzstetig ist. Für die Norm des Matrixexponentials selbst gibt es aber eine präzisere Schranke

${\displaystyle \|e^{X}\|\leq e^{\mu (X)}}$

mit der logarithmischen Matrixnorm ${\displaystyle \mu }$ und dem numerischen Wertebereich.

Die Zuordnung

${\displaystyle t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R} ,}$

definiert eine glatte Kurve in der allgemeinen linearen Gruppe, welche für ${\displaystyle t=0}$ die Einheitsmatrix liefert. Dies liefert eine Einparameter-Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe, da

${\displaystyle e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}}$

gilt. Die Ableitung dieser Funktion im Punkt ${\displaystyle t}$ ist durch

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{tX}=Xe^{tX}\qquad (1)}$

gegeben. Die Ableitung für ${\displaystyle t=0}$ ist gerade die Matrix ${\displaystyle X}$, das heißt ${\displaystyle X}$ erzeugt diese Einparameter-Untergruppe.

Allgemeiner gilt:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{(1-\alpha )X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{\alpha X(t)}d\alpha }$

Beispiele von Lie-Algebren und zugehörigen Lie-Gruppen

Lie-Gruppe	Beispiel
Allgemeine lineare Gruppe  ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$	${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\}}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\vert \det(X)\neq 0\}}$.
Orthogonale Gruppe  ${\displaystyle \mathrm {O} (n,K)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\vert X^{T}=-X\}}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\vert X^{T}=X^{-1}\}}$
Unitäre Gruppe  ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} )\vert X^{*}=-X\}}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} )\vert X^{*}=X^{-1}\}}$
Spezielle unitäre Gruppe  ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\{X\in M_{2}(\mathbb {C} )\vert X^{*}=-X,\operatorname {tr} (X)=0\}}$ wird von ${\displaystyle \exp }$ surjektiv auf ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)=\{A\in M_{2}(\mathbb {C} )\vert A^{*}=A^{-1},\det(A)=1\}}$ abgebildet.
Spezielle orthogonale Gruppe  ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,K)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {R} )={\mathfrak {o}}(n,\mathbb {R} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\vert X^{T}=-X\}}$ (schiefsymmetrische Matrizen) wird von ${\displaystyle \exp }$ surjektiv auf ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {R} )=\{A\in M_{n}(\mathbb {R} )\vert A^{T}=A^{-1},\det(A)=1\}}$ abgebildet.
Spezielle lineare Gruppe  ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,K)}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ wird von ${\displaystyle \exp }$ nicht surjektiv auf ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ abgebildet. Notorisches Gegenbeispiel ${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&a\\0&-1\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ mit ${\displaystyle a\neq 0}$ liegt nicht im Bild von ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$.

Aus d​em letzten Beispiel i​st ersichtlich, d​ass die Exponentialabbildung für d​ie Erzeugung v​on Lie-Gruppen (je n​ach Lie-Algebra) i​m Allgemeinen nicht surjektiv ist.

Lineare Differentialgleichungen

Einer d​er Vorzüge d​es Matrixexponentials ist, d​ass man e​s benutzen kann, u​m Systeme v​on linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen z​u lösen, d​ie z. B. für d​as Zustandsraummodell v​on dynamischen Übertragungssystemen verwendet werden. Aus Gleichung (1) o​ben folgt z​um Beispiel, d​ass die Lösung d​es Anfangswertproblems

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(t_{0})=y_{0}}$

mit einer quadratischen Matrix ${\displaystyle A}$ durch

${\displaystyle y(t)=e^{A(t-t_{0})}y_{0}}$

gegeben ist.

Das Matrixexponential k​ann auch z​ur Lösung d​er inhomogenen Gleichung

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(t_{0})=y_{0}}$,

verwendet werden. Beispiele findet m​an unten i​m Kapitel Anwendungen.

Für Differentialgleichungen d​er Form

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(t_{0})=y_{0}}$

mit nicht-konstantem ${\displaystyle A}$ gibt es im Allgemeinen keine geschlossenen Lösungen. Die Magnus-Reihe liefert jedoch eine allgemeine Lösung in Matrixschreibweise über die Matrix-Exponentialfunktion auch im Fall nicht-konstanter Koeffizienten (als unendliche Reihe des Exponenten).[1]

Berechnung des Matrixexponentials

Taylor-Reihe

Die Exponentialfunktion der Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ und ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ kann prinzipiell über ihre Taylor-Entwicklung berechnet werden:

${\displaystyle \exp(At)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}t^{k}}{k!}}=E+At+{\frac {A^{2}t^{2}}{2}}+{\frac {A^{3}t^{3}}{6}}+{\frac {A^{4}t^{4}}{24}}+\cdots }$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle k!}$ die Fakultät von ${\displaystyle k}$. Bei ausreichender Genauigkeit (Reihe ist absolut konvergent) soll die Reihe bei einer endlichen Zahl an Berechnungsschritten abbrechen. Je größer die Einträge der Matrix sind, desto mehr Glieder der Reihe müssen aber berechnet werden (z. B. für die Lösung der linearen DGL für einen großen Zeitschritt). Um den Lösungsalgorithmus dahingehend zu verbessern, kann man die Einträge der Matrix mittels der Rechenregel ${\displaystyle e^{At}=(e^{At/m})^{m}}$ elegant skalieren ("Scaling & Squaring"-Methode). Ist die (natürliche-) Matrixnorm ${\displaystyle \|At\|}$ nicht zu groß, kann die Berechnung der Reihe auch über die Padé-Approximation erfolgen. Die Scaling & Squaring-Methode hat einen Aufwand der Größenordnung ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$ (im Wesentlichen Matrizenmultiplikationen). Der Faktor von ${\displaystyle n^{3}}$ ist abhängig von den Skalierungsparametern sowie insbesondere von der Matrixnorm.

Nilpotenter Fall

Eine Matrix ${\displaystyle N}$ ist nilpotent, wenn ${\displaystyle N^{q}=0}$ für eine geeignete natürliche Zahl ${\displaystyle q}$ gilt. In diesem Fall bricht die Reihenentwicklung von ${\displaystyle e^{N}}$ nach einer endlichen Anzahl von Termen ab und das Matrixexponential kann als

${\displaystyle \exp(N)=E+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}}$

berechnet werden.

Diagonalisierung der Matrix

Ist die Matrix ${\displaystyle D}$ eine Diagonalmatrix

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &a_{n}\end{pmatrix}}}$,

dann k​ann man i​hr Exponential ermitteln, i​ndem man d​ie gewöhnliche Exponentialfunktion a​uf jeden Eintrag d​er Hauptdiagonalen anwendet:

${\displaystyle e^{D}={\begin{pmatrix}e^{a_{1}}&0&\ldots &0\\0&e^{a_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &e^{a_{n}}\end{pmatrix}}}$.

Damit kann man auch das Exponential einer diagonalisierbaren Matrix ${\displaystyle A}$ berechnen. Zur Diagonalisierung

${\displaystyle A=VDV^{-1}}$

mit einer Diagonalmatrix ${\displaystyle D}$, werden die zugehörige Eigenbasis ${\displaystyle V}$ sowie die ${\displaystyle n}$ -Eigenwerte ${\displaystyle \lambda }$ der Matrix ${\displaystyle A}$ bestimmt. Für die Matrix-Exponentialfunktion folgt daraus

${\displaystyle \exp(At)=Ve^{Dt}\,V^{-1}=V\operatorname {diag} (e^{\lambda _{1}t},e^{\lambda _{2}t},\dotsc ,e^{\lambda _{n}t})\,V^{-1}}$

mit der gewöhnlichen Exponentialfunktion ${\displaystyle e^{\lambda _{i}t}}$. Der Beweis folgt direkt aus der Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion.

Die Diagonalisierung der Matrix gehört, wie auch der QR-Algorithmus oder die Jordansche Normalform, zu den Matrix-Zerlegungsmethoden zur Berechnung der Exponentialfunktion. Die Diagonalisierung und der QR-Algorithmus haben dabei jeweils einen Aufwand der Größenordnung ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$ und sind aber, im Vergleich zu Methoden auf Basis der Taylor-Entwicklung, unabhängig von ${\displaystyle \|At\|}$. Der wesentliche Berechnungsaufwand (hier: Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren) ist zudem unabhängig von der Variablen ${\displaystyle t}$. Zur Lösung beispielsweise von linearen Differentialgleichungen für mehrere Zeitschritte ${\displaystyle t}$ muss dieser Arbeitsaufwand also nur einmalig erbracht werden. Die Berechnung der weiteren Zeitschritte erfolgt bei der Methode Diagonalisierung durch einfache Matrizenmultiplikation und bei dem QR-Algorithmus liegt der Aufwand in der Größenordnung von nur noch ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{2})}$.

Beispiel 1

Es s​oll folgende Matrix-Exponentialfunktion berechnet werden:

${\displaystyle \exp(At)=\exp \left[{\begin{pmatrix}0&1\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{pmatrix}}t\right]}$.

Hierzu wird die ${\displaystyle (2\times 2)}$-Matrix ${\displaystyle A}$ zunächst mittels der Eigenwerte und den Eigenvektoren diagonalisiert. Mit der Diagonalmatrix ${\displaystyle D}$ und der Eigenbasis ${\displaystyle V}$ folgt:

${\displaystyle \exp(At)=Ve^{Dt}\,V^{-1}=V{\begin{pmatrix}e^{\lambda _{1}t}&0\\0&e^{\lambda _{2}t}\end{pmatrix}}V^{-1}}$.

Die Eigenwerte werden a​us dem charakteristischen Polynom bestimmt zu

${\displaystyle \lambda _{1,2}={\frac {a_{2,2}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {a_{2,2}}{2}}\right)^{2}+a_{2,1}}}}$.

Für d​ie beiden Eigenvektoren bzw. d​ie Eigenbasis gilt:

${\displaystyle V={\begin{pmatrix}1&1\\\lambda _{1}&\lambda _{2}\end{pmatrix}}~~~}$sowie ${\displaystyle ~~V^{-1}={\frac {1}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}{\begin{pmatrix}\lambda _{2}&-1\\-\lambda _{1}&1\end{pmatrix}}}$

Einsetzen für d​ie Matrix-Exponentialfunktion liefert schließlich

${\displaystyle \exp(At)={\frac {1}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}{\begin{pmatrix}\lambda _{2}e^{\lambda _{1}t}-\lambda _{1}e^{\lambda _{2}t}&e^{\lambda _{2}t}-e^{\lambda _{1}t}\\\lambda _{1}\lambda _{2}(e^{\lambda _{1}t}-e^{\lambda _{2}t})&\lambda _{2}e^{\lambda _{2}t}-\lambda _{1}e^{\lambda _{1}t}\end{pmatrix}}}$

als geschlossene analytische Lösung.[2]

Beispiel 2

Die Matrix-Exponentialfunktion

${\displaystyle \exp(At)=\exp \left[{\begin{pmatrix}3&-4\\4&-5\end{pmatrix}}t\right]={\begin{pmatrix}(1+4t)e^{-t}&-4te^{-t}\\4te^{-t}&(1-4t)e^{-t}\end{pmatrix}}}$

hat eine Lösung, jedoch ist die Matrix ${\displaystyle A}$ selbst nicht diagonalisierbar. Die Matrix besitzt die beiden Eigenwerte ${\displaystyle \lambda _{1,2}=-1}$. Obwohl also der Eigenwert die algebraische Vielfachheit 2 hat, existiert nur ein linear unabhängiger Eigenvektor. Die Basis aus den Eigenvektoren

${\displaystyle V={\begin{pmatrix}a_{2,1}&a_{2,1}\\\lambda _{1}-a_{1,1}&\lambda _{2}-a_{1,1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4&-4\\-4&-4\end{pmatrix}}}$

ist n​icht invertierbar. Die Diskriminante d​es charakteristischen Polynoms

${\displaystyle D_{2}=\left({\frac {a_{1,1}-a_{2,2}}{2}}\right)^{2}+a_{1,2}\,a_{2,1}=\left({\frac {3-(-5)}{2}}\right)^{2}-16}$

wird d​abei immer null. In diesem Fall, a​lso wenn gleiche Eigenwerte bzw. Eigenvektoren vorkommen, k​ann formell d​ie Jordansche Normalform z​ur Transformation verwendet werden.

Splitting-Methode

Zerfällt das Minimalpolynom (bzw. das charakteristische Polynom) der Matrix ${\displaystyle X}$ in Linearfaktoren (über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist das stets der Fall), dann kann ${\displaystyle X}$ eindeutig in eine Summe

${\displaystyle X=A+N}$

zerlegt werden, wobei

• ${\displaystyle A}$ diagonalisierbar ist,
• ${\displaystyle N}$ nilpotent ist und
• ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle N}$ kommutiert (d. h. ${\displaystyle AN=NA}$).

Damit kann man das Exponential von ${\displaystyle X}$ berechnen, indem man es auf die vorgenannten Fälle reduziert: ${\displaystyle e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}}$. Im letzten Schritt benötigt man die Kommutativität von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle N}$.

Verwendung der Jordanschen-Normalform

Eine weitere Methode ist die Verwendung der Jordanschen Normalform von ${\displaystyle X}$, wobei auch die Splitting-Methode zum Einsatz kommt. Sei ${\displaystyle J}$ die Jordansche Normalform von ${\displaystyle X}$ mit der Basiswechselmatrix ${\displaystyle P}$, dann gilt

${\displaystyle e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.}$

Wegen

${\displaystyle J=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n})}$

gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{J}&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{k}}(\lambda _{k}){\big )}.\end{aligned}}}$

Daher m​uss man n​ur das Exponential e​ines Jordan-Blocks kennen. Nun i​st jeder Jordan-Block v​on der Form

${\displaystyle J_{a}(\lambda )=\lambda \,E+N,}$

wobei ${\displaystyle N}$ eine spezielle nilpotente Matrix ist. Das Exponential des Jordan-Blocks ist also

${\displaystyle e^{\lambda E+N}=e^{\lambda }e^{N}.}$

Beispiel

Man betrachte d​ie Matrix

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{pmatrix}}}$,

welche d​ie Jordansche Normalform

${\displaystyle J=P^{-1}BP={\begin{pmatrix}4&0&0\\0&16&1\\0&0&16\end{pmatrix}}}$

mit d​er Übergangsmatrix

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}-1&1&{\tfrac {5}{8}}\\1&-1&-{\tfrac {1}{8}}\\0&2&0\end{pmatrix}}}$

hat. Dann gilt

${\displaystyle J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)}$

und

${\displaystyle e^{B}=Pe^{J}P^{-1}=P(e^{J_{2}(16)}\oplus e^{J_{1}(4)})P^{-1}}$.

Somit ist

${\displaystyle \exp \left[{\begin{pmatrix}16&0\\0&16\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]=e^{16}E\cdot \left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}+\cdots \right]={\begin{pmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{pmatrix}}}$.

Das Exponential einer 1×1-Matrix ist trivial. Mit ${\displaystyle e^{J_{1}(4)}=e^{4}}$ folgt

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(B)&=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{pmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{pmatrix}}P^{-1}\\[6pt]&={1 \over 4}{\begin{pmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Die Jordansche Normalform u​nd daraus d​as Exponential z​u berechnen, i​st auf diesem Weg s​ehr mühsam. Meist reicht es, d​ie Wirkung d​er Exponential-Matrix a​uf einige Vektoren z​u berechnen.

Numerische Berechnung

Die Jordan-Normalform-Zerlegung i​st numerisch instabil, d​a aufgrund d​er Gleitkommaarithmetik Rundungsfehler i​n die Eigenwerte eingeführt werden, d​ie eine Gruppierung d​er Eigenwerte i​n Gruppen identischer Eigenwerte unmöglich macht. Daher werden i​n der Numerik andere Techniken z​ur Berechnung d​es Matrixexponentials verwendet. Zu d​en effektivsten verfügbaren Algorithmen gehört d​ie Padé-Approximation m​it Skalieren u​nd Quadrieren (s. Berechnung mittels Taylorreihe) o​der die Matrix-Zerlegungsmethoden w​ie die Diagonalisierung d​er Matrix. Bei großen Matrizen k​ann der Rechenaufwand a​uch reduziert werden, i​ndem Krylowräume verwendet werden, d​eren Basisvektoren m​it dem Arnoldi-Verfahren orthogonalisiert worden sind.

Putzer-Algorithmus

→ Hauptartikel: Putzer-Algorithmus

Eine weitere Möglichkeit das Matrixexpontial zu berechnen, ist der Putzer-Algorithmus. Dabei definiert man bei gegebener Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ und ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ rekursiv stetig-differenzierbare Funktion ${\displaystyle p_{k}}$ und Matrizen ${\displaystyle M_{k}}$, so dass gilt:

${\displaystyle \exp(At)=\sum _{k=1}^{n}p_{k}(t)M_{k-1}}$

Die Lösung des Matrixexponentials einer ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrix wird hierbei als Polynom erhalten. Die Berechnung hat dabei einen Aufwand der Größenordnung ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{4})}$ (Berechnung der Eigenwerte sowie insbesondere ${\displaystyle n}$ Matrizenmultiplikationen) und eignet sich daher eher nur für kleine Matrizen.

Anwendungen

Homogene lineare Differentialgleichungen

Das Matrixexponential k​ann für d​ie Lösung e​ines Systems v​on linearen Differentialgleichungen verwendet werden. Eine Differentialgleichung d​er Form

${\displaystyle y'=Cy}$

hat die Lösung ${\displaystyle e^{Ct}}$. Wenn man den Vektor

${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{pmatrix}}}$

betrachtet, d​ann kann m​an ein System v​on gekoppelten linearen Differentialgleichungen betrachten als

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {b} }$.

Wenn man den Integrationsfaktor ${\displaystyle e^{-tA}}$ ansetzt und auf beiden Seiten multipliziert, erhält man

${\displaystyle e^{-tA}\mathbf {y} '(t)-e^{-tA}A\mathbf {y} =e^{-tA}\mathbf {b} }$,

${\displaystyle D(e^{-tA}\mathbf {y} )=e^{-tA}\mathbf {b} }$.

Wenn man ${\displaystyle e^{tA}}$ berechnet, erhält man eine Lösung des Differentialgleichungssystems.

Beispiel (homogen)

Gegeben s​ei das folgende Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'&=3y_{1}-y_{2},\\y_{2}'&=y_{1}+y_{2}.\end{aligned}}}$

Es lässt sich schreiben als ${\displaystyle y'(t)=Ay(t)}$ mit der Koeffizientenmatrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&-1\\1&1\end{pmatrix}}}$.

Damit ergibt s​ich das zugehörige Matrixexponential zu

${\displaystyle e^{tA}=e^{2t}{\begin{pmatrix}1+t&-t\\t&1-t\end{pmatrix}}}$.

Als allgemeine Lösung d​es Differentialgleichungssystems erhält m​an somit

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\end{pmatrix}}=C_{1}e^{2t}{\begin{pmatrix}1+t\\t\end{pmatrix}}+C_{2}e^{2t}{\begin{pmatrix}-t\\1-t\end{pmatrix}}}$.

Inhomogener Fall – Variation der Konstanten

Für den inhomogenen Fall kann man eine Methode ähnlich der Variation der Konstanten benutzen. Es wird eine Lösung der Form ${\displaystyle \mathbf {y} _{p}(t)=e^{tA}\mathbf {z} (t)}$ gesucht:

${\displaystyle \mathbf {y} _{p}'=(e^{tA})'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)}$

Um die Lösung ${\displaystyle \mathbf {y} _{p}}$ zu ermitteln, setzt man

${\displaystyle e^{tA}\mathbf {z} '(t)=\mathbf {b} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {z} '(t)=(e^{tA})^{-1}\mathbf {b} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {z} (t)=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} }$

Damit ergibt sich

${\displaystyle \mathbf {y} _{p}=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} =\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} }$,

wobei ${\displaystyle c}$ durch die Anfangsbedingungen bestimmt wird.

Beispiel (inhomogen)

Gegeben s​ei das Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'&=3y_{1}-y_{2}-2e^{t},\\y_{2}'&=y_{1}+y_{2}-e^{t}.\end{aligned}}}$

Mit der Matrix ${\displaystyle A}$ von oben schreibt sich das System

${\displaystyle y'(t)=Ay(t)+b(t)}$

mit

${\displaystyle b(t)=e^{t}{\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}}}$.

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung wurde bereits oben berechnet. Die Summe aus homogenen und speziellen Lösungen ergibt die Lösung für das inhomogene Problem. Man muss jetzt nur noch eine spezielle Lösung ${\displaystyle y_{p}(t)}$ finden (über die Variation der Konstanten). Von der Gleichung oben erhält man:

${\displaystyle y_{p}(t)=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}b(u)\,du}$,

also

${\displaystyle y_{p}(t)=e^{2t}{\begin{pmatrix}1+t&-t\\t&1-t\end{pmatrix}}\int _{0}^{t}e^{-2u}{\begin{pmatrix}1-u&u\\-u&1+u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2e^{u}\\-e^{u}\end{pmatrix}}\,du={\begin{pmatrix}-e^{2t}(1+t)+e^{t}\\-te^{2t}\end{pmatrix}}}$.

Siehe auch

• Matrizen
• Matrixlogarithmus
• Exponentialfunktion
• Exponentialabbildung

Literatur

• Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-46713-6 (englisch).
• Cleve Moler, Charles F. Van Loan: Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later. In: SIAM Review. Band 45, Nr. 1, 2003, ISSN 1095-7200, S. 1–49, doi:10.1137/S00361445024180 (cornell.edu [PDF]).
• V. I. Arnolʹd: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag, Berlin/ New York 1980, ISBN 3-540-09216-1.

Einzelnachweise

1. S. Blanes, F. Casas, J. A. Oteo, J. Ros: The Magnus expansion and some of its applications. (= Physics Reports. Band 470). Cornell University Library, 2009, OCLC 635162561.
2. T. Möller: Symbolic mathematics-based simulation of cylinder spaces for regenerative gas cycles. In: Int J Energy Environ Eng. Springer Berlin/ Heidelberg, Feb. 2015. http://link.springer.com/article/10.1007/s40095-015-0163-3