Blockmatrix

In d​er Mathematik bezeichnet e​ine Blockmatrix e​ine Matrix, d​ie so interpretiert wird, a​ls sei s​ie in mehrere Teile, genannt Blöcke, zerlegt worden. Eine Blockmatrix k​ann auf intuitive Art u​nd Weise a​ls die Originalmatrix m​it einer bestimmten Anzahl a​n horizontalen u​nd vertikalen Trennstrichen dargestellt werden. Diese Trennstriche teilen d​ie Originalmatrix i​n Untermatrizen auf.

Blockzerlegung einer (14 × 14)-Matrix mit Zeilen- und Spaltenpartitionen jeweils der Größe 2, 4 und 8

Definition

Sei ${\displaystyle \mathbf {M} }$ eine Matrix der Größe ${\displaystyle m\times n}$. Die Zahl der Zeilen und der Spalten der Matrix werde nun mittels ${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{q}}$ und ${\displaystyle n=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}}$ ganzzahlig zerlegt, wobei ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle r}$ die Anzahl der Summanden bezeichnen. Dann lässt sich ${\displaystyle \mathbf {M} }$ darstellen als

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}\mathbf {M} _{11}&\mathbf {M} _{12}&\cdots &\mathbf {M} _{1r}\\\mathbf {M} _{21}&\mathbf {M} _{22}&\cdots &\mathbf {M} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {M} _{q1}&\mathbf {M} _{q2}&\cdots &\mathbf {M} _{qr}\end{bmatrix}}}$

mit Untermatrizen ${\displaystyle \mathbf {M} _{ij}}$ der Größe ${\displaystyle m_{i}\times n_{j}}$. Jede ${\displaystyle (m\times n)}$-Matrix kann auf unterschiedliche Arten als Blockmatrix interpretiert werden, je nachdem wie die ${\displaystyle m}$ Zeilen und ${\displaystyle n}$ Spalten zerlegt werden. Auf triviale Weise kann jede Matrix auch als Blockmatrix mit nur einem Block oder als Blockmatrix mit ${\displaystyle mn}$ Blöcken der Größe ${\displaystyle 1\times 1}$ aufgefasst werden.

Beispiel

Die Matrix

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{bmatrix}}}$

kann in vier ${\displaystyle (2\times 2)}$-Blöcke zerlegt werden

${\displaystyle \mathbf {M} _{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\mathbf {M} _{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}},\mathbf {M} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\mathbf {M} _{22}={\begin{bmatrix}4&4\\4&4\end{bmatrix}}.}$

Die zerlegte Matrix ergibt s​ich dann zu

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}\mathbf {M} _{11}&\mathbf {M} _{12}\\\mathbf {M} _{21}&\mathbf {M} _{22}\end{bmatrix}}.}$

Multiplikation von Blockmatrizen

Beispiel einer Multiplikation zweier Blockmatrizen

Das Produkt von Blockmatrizen kann rein mit Operationen der Untermatrizen dargestellt werden. Sei ${\displaystyle \mathbf {A} }$ eine ${\displaystyle (m\times n)}$-Matrix mit ${\displaystyle q}$ Zeilenzerlegungen und ${\displaystyle r}$ Spaltenzerlegungen

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1r}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qr}\end{bmatrix}}}$

und ${\displaystyle \mathbf {B} }$ eine ${\displaystyle (n\times p)}$-Matrix mit ${\displaystyle r}$ Zeilenzerlegungen und ${\displaystyle s}$ Spaltenzerlegungen

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1s}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{r1}&\mathbf {B} _{r2}&\cdots &\mathbf {B} _{rs}\end{bmatrix}},}$

dann gilt, d​ass das Produkt

${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \mathbf {B} }$

blockweise berechnet werden kann, wobei ${\displaystyle \mathbf {C} }$ eine ${\displaystyle (m\times p)}$-Matrix mit ${\displaystyle q}$ Zeilenzerlegungen und ${\displaystyle s}$ Spaltenzerlegungen ist. Die Untermatrizen der Blockmatrix ${\displaystyle \mathbf {C} }$ sind gegeben durch

${\displaystyle \mathbf {C} _{ik}=\sum _{j=1}^{r}\mathbf {A} _{ij}\mathbf {B} _{jk}.}$

Oder, mithilfe d​er Einsteinschen Summenkonvention, welche implizit über mehrfach vorhandene Indizes summiert, kompakter dargestellt

${\displaystyle \mathbf {C} _{ik}=\mathbf {A} _{ij}\mathbf {B} _{jk}.}$

Blockdiagonalmatrix

Eine Blockdiagonalmatrix ist eine quadratische Blockmatrix, deren Hauptdiagonale quadratische Blockmatrizen sind und deren restliche Blöcke Nullmatrizen sind. Eine Blockdiagonalmatrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ hat die Form

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}},}$

wobei die Untermatrizen ${\displaystyle \mathbf {A} _{k}}$ quadratische Matrizen sind. Anders ausgedrückt ist ${\displaystyle \mathbf {A} }$ die direkte Summe von ${\displaystyle \mathbf {A} _{1},\dotsc ,\mathbf {A} _{n}}$, das heißt

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{1}\oplus \mathbf {A} _{2}\oplus \dotsb \oplus \mathbf {A} _{n}}$

oder m​it dem Formalismus v​on Diagonalmatrizen

${\displaystyle \mathbf {A} =\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2},\dotsc ,\mathbf {A} _{n})}$.

Für d​ie Determinante u​nd die Spur e​iner Blockdiagonalmatrix gilt

${\displaystyle \det \mathbf {A} =\det \mathbf {A} _{1}\cdot \det \mathbf {A} _{2}\dotsm \det \mathbf {A} _{n}}$

und

${\displaystyle \operatorname {Spur} (\mathbf {A} )=\operatorname {Spur} (\mathbf {A} _{1})+\dotsb +\operatorname {Spur} (\mathbf {A} _{n})}$.

Die Inverse einer Blockdiagonalmatrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ist wiederum eine Blockdiagonalmatrix, zusammengesetzt aus den Inversen der einzelnen Blöcke

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}^{-1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}^{-1}\end{bmatrix}}.}$

Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Blockdiagonalmatrix entsprechen den (kombinierten) Eigenwerten und Eigenvektoren der Untermatrizen ${\displaystyle \mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2},\dotsc ,\mathbf {A} _{n}}$.

Beispiel

Wichtige Beispiele für Blockdiagonalmatrizen s​ind Matrizen i​n Jordanscher Normalform. Die Blöcke s​ind in diesem Fall sogenannte Jordanblöcke, d​as sind Bidiagonalmatrizen, a​uf deren Hauptdiagonalen d​er Eigenwert d​es Blocks steht, während a​lle Elemente a​uf der Nebendiagonalen 1 sind.

Blocktridiagonalmatrix

Eine Blocktridiagonalmatrix ist eine andere spezielle Blockmatrix, welche genau wie die Blockdiagonalmatrix eine quadratische Matrix ist, allerdings zusätzlich mit quadratischen Blockmatrizen in den beiden ersten (oberen und unteren) Nebendiagonalen. Die restlichen Blöcke sind Nullmatrizen. Die Blocktridiagonalmatrix ist im Grunde genommen eine Tridiagonalmatrix, allerdings mit Blockmatrizen anstelle von Skalaren. Eine Blocktridiagonalmatrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ hat die Form

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{1}&\mathbf {C} _{1}&&&\cdots &&0\\\mathbf {A} _{2}&\mathbf {B} _{2}&\mathbf {C} _{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{k}&\mathbf {B} _{k}&\mathbf {C} _{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&\mathbf {A} _{n-1}&\mathbf {B} _{n-1}&\mathbf {C} _{n-1}\\0&&\cdots &&&\mathbf {A} _{n}&\mathbf {B} _{n}\end{bmatrix}}}$

wobei ${\displaystyle \mathbf {A} _{k}}$, ${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$ und ${\displaystyle \mathbf {C} _{k}}$ jeweils quadratische Blockmatrizen auf der unteren Nebendiagonale, der Hauptdiagonale und der oberen Nebendiagonale sind.

Blocktridiagonalmatrizen tauchen oft in numerischen Lösungen verschiedener Probleme auf (zum Beispiel in der numerischen Strömungsmechanik). Es existieren optimierte numerische Verfahren zur LR-Zerlegung von Blocktridiagonalmatrizen und dementsprechend effiziente Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen mit Triadiagonalmatrizen als Koeffizientenmatrix. Der Thomas-Algorithmus, welcher zur effizienten Lösung von Gleichungssystemen mit Tridiagonalmatrix verwendet wird, kann auch auf Blocktridiagonalmatrizen angewendet werden.

Block-Toeplitz-Matrix

Eine Block-Toeplitz-Matrix ist eine andere spezielle Blockmatrix, welche, ähnlich wie die Toeplitz-Matrix wiederholt die gleichen Blöcke auf den Diagonalen enthält. Eine Block-Toeplitz-Matrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ hat die Form

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&&\cdots &\mathbf {A} _{(1,n-1)}&\mathbf {A} _{(1,n)}\\\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&&&\mathbf {A} _{(1,n-1)}\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\\mathbf {A} _{(n-1,1)}&&&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}\\\mathbf {A} _{(n,1)}&\mathbf {A} _{(n-1,1)}&\cdots &&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}\end{bmatrix}}.}$

Siehe auch

• Kronecker-Produkt

Literatur

• Gilbert Strang: Lineare Algebra. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43949-8.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Block matrix. In: MathWorld (englisch).
• Cam McLeman, matte: Partitioned matrix. In: PlanetMath. (englisch)