Adjunkte

Die Adjunkte, klassische Adjungierte (nicht z​u verwechseln m​it der echten adjungierten Matrix) o​der komplementäre Matrix e​iner Matrix i​st ein Begriff a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er linearen Algebra. Man bezeichnet d​amit die Transponierte d​er Kofaktormatrix, a​lso die Transponierte j​ener Matrix, d​eren Einträge d​ie vorzeichenbehafteten Minoren (Unterdeterminanten) sind.

Mit Hilfe d​er Adjunkten k​ann man d​ie Inverse e​iner regulären quadratischen Matrix berechnen.

Definition

Die Adjunkte ${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$ einer quadratischen Matrix ${\displaystyle A\in K^{n\times n}}$ mit Einträgen aus einem Körper (oder allgemeiner aus einem kommutativen Ring) ${\displaystyle K}$ ist definiert als

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)=\operatorname {Cof} (A)^{T}={\tilde {A}}^{T}={\begin{pmatrix}{\tilde {a}}_{11}&{\tilde {a}}_{12}&\cdots &{\tilde {a}}_{1n}\\{\tilde {a}}_{21}&{\tilde {a}}_{22}&&{\tilde {a}}_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\tilde {a}}_{n1}&{\tilde {a}}_{n2}&\cdots &{\tilde {a}}_{nn}\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}{\tilde {a}}_{11}&{\tilde {a}}_{21}&\cdots &{\tilde {a}}_{n1}\\{\tilde {a}}_{12}&{\tilde {a}}_{22}&&{\tilde {a}}_{n2}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\tilde {a}}_{1n}&{\tilde {a}}_{2n}&\cdots &{\tilde {a}}_{nn}\end{pmatrix}}}$.

Es ist hierbei zu beachten, dass an der Stelle ${\displaystyle (j,i)}$ der Kofaktor ${\displaystyle {\tilde {a}}_{ij}}$ steht. Die Kofaktoren ${\displaystyle {\tilde {a}}_{ij}}$ berechnen sich zu

${\displaystyle {\tilde {a}}_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det {\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i-1,1}&\cdots &a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots &a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&\cdots &a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots &a_{i+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{n,n}\end{pmatrix}}}$.

Die Minoren ${\displaystyle M_{ij}}$ sind also die Werte der Unterdeterminanten der Matrix ${\displaystyle A}$, die durch Streichen der ${\displaystyle i}$-ten Zeile und der ${\displaystyle j}$-ten Spalte entstehen.

Da d​ie Adjunkte i​n heutigen Lehrbüchern selten auftaucht u​nd in älteren Werken d​ie Notation n​icht immer eindeutig ist, i​st Vorsicht geboten. Oft w​ird dieselbe Notation für d​ie Adjunkte u​nd die Adjungierte (also b​ei reellen Matrizen d​eren Transponierte, b​ei komplexen Matrizen d​eren konjugiert-transponierte) verwendet.

Beispiele

(2 × 2)-Matrix

Eine beliebige ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrix hat die Form

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}}$

Die Adjunkte z​u dieser Matrix ist

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-c}\\{-b}&{a}\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}}$

(3 × 3)-Matrix

Eine beliebige ${\displaystyle 3\times 3}$-Matrix hat die Form

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}}$

Die Adjunkte z​u dieser Matrix ist

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {adj} (A)&={\begin{pmatrix}\quad \det {\begin{pmatrix}e&f\\h&i\end{pmatrix}}&-\det {\begin{pmatrix}d&f\\g&i\end{pmatrix}}&\quad \det {\begin{pmatrix}d&e\\g&h\end{pmatrix}}\\-\det {\begin{pmatrix}b&c\\h&i\end{pmatrix}}&\quad \det {\begin{pmatrix}a&c\\g&i\end{pmatrix}}&-\det {\begin{pmatrix}a&b\\g&h\end{pmatrix}}\\\quad \det {\begin{pmatrix}b&c\\e&f\end{pmatrix}}&-\det {\begin{pmatrix}a&c\\d&f\end{pmatrix}}&\quad \det {\begin{pmatrix}a&b\\d&e\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}^{T}\\[.7em]&={\begin{pmatrix}ei-fh&fg-di&dh-eg\\ch-bi&ai-cg&bg-ah\\bf-ce&cd-af&ae-bd\end{pmatrix}}^{T}\\[.7em]&={\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Eigenschaften

Nachfolgende Beziehungen gelten für alle Matrizen aus ${\displaystyle K^{n\times n}}$

${\displaystyle \operatorname {adj} (E)=E}$, wobei ${\displaystyle E}$ eine Einheitsmatrix ist.

${\displaystyle \operatorname {adj} (0)=0}$ für ${\displaystyle n>1}$, wobei 0 die Nullmatrix ist. Für ${\displaystyle 1\times 1}$-Matrizen ${\displaystyle A=[a_{11}]}$ gilt jedoch immer, auch für die Nullmatrix: ${\displaystyle \operatorname {adj} ([a_{11}])=[1]}$.

${\displaystyle \operatorname {adj} (AB)=\operatorname {adj} (B)\cdot \operatorname {adj} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {adj} (A^{T})=\operatorname {adj} (A)^{T}}$

${\displaystyle A\cdot \operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\cdot A=\det(A)\cdot E}$

${\displaystyle \operatorname {adj} (\lambda A)=\lambda ^{n-1}\operatorname {adj} (A)}$ wobei ${\displaystyle \lambda \in K}$

${\displaystyle \det(\operatorname {adj} (A))=(\det A)^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {adj} (\operatorname {adj} (A))=(\det A)^{n-2}A}$, insbesondere für ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen gilt ${\displaystyle \operatorname {adj} (\operatorname {adj} (A))=A}$

Für invertierbare Matrizen g​ilt zusätzlich

${\displaystyle (\operatorname {adj} (A))^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}A=\operatorname {adj} (A^{-1})}$

Berechnung der Inversen einer Matrix

Die einzelnen Spalten der Inversen einer Matrix ${\displaystyle A}$ werden jeweils von der Lösung des Gleichungssystems ${\displaystyle Ax=e_{j}}$ mit dem ${\displaystyle j}$-ten Einheitsvektor auf der rechten Seite gebildet. Berechnet man diese mit der cramerschen Regel, so erhält man die Formel

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\,\operatorname {adj} (A).}$

Eine invertierbare ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrix lässt sich somit auf sehr einfache Weise invertieren:

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\,\operatorname {adj} (A)={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}}$

Literatur

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 4., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76437-3.