Diagonalmatrix

Als Diagonalmatrix bezeichnet m​an in d​er linearen Algebra e​ine quadratische Matrix, b​ei der a​lle Elemente außerhalb d​er Hauptdiagonale Null sind. Diagonalmatrizen s​ind deshalb allein d​urch die Angabe i​hrer Hauptdiagonalen bestimmt.

Für Diagonalmatrizen lässt sich die Matrixmultiplikation und die Inversenbildung einfacher als bei einer voll besetzten Matrix berechnen. Wird eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum mithilfe einer Diagonalmatrix dargestellt, so können die Eigenwerte der Abbildung aufgrund des Spektralsatzes direkt abgelesen werden.

Eine quadratische ${\displaystyle n}$-dimensionale Matrix ${\displaystyle A}$ heißt diagonalisierbar, wenn es eine Diagonalmatrix ${\displaystyle D_{A}}$ gibt, zu der sie ähnlich ist, das heißt, wenn eine reguläre Matrix ${\displaystyle S}$ so existiert, dass ${\displaystyle D_{A}=S^{-1}AS}$ bzw. ${\displaystyle SD_{A}=AS}$ gilt.

Definition

Eine quadratische Matrix ${\displaystyle D}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ (zum Beispiel den reellen Zahlen ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$)

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}}$,

deren Elemente ${\displaystyle d_{ij}\in K}$ mit ${\displaystyle i\neq j}$ alle gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. Häufig schreibt man dafür

${\displaystyle D=\operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{n}):={\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &0\\0&d_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}}$.

Beispiele

Zahlenbeispiel

Die ${\displaystyle 3\times 3}$-Matrix

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(1,3,5\right)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&5\end{pmatrix}}}$

ist e​ine Diagonalmatrix.

Besondere Diagonalmatrizen

• Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert ${\displaystyle 1}$ haben.
• Die quadratische Nullmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert ${\displaystyle 0}$ haben.
• Stimmen bei einer Diagonalmatrix sämtliche Zahlen auf der Hauptdiagonalen überein, spricht man auch von Skalarmatrizen.[1] Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der Einheitsmatrix ${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dotsc ,1)}$. Die Gruppe der von der Nullmatrix verschiedenen Skalarmatrizen ist das Zentrum der allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$.

Eigenschaften von Diagonalmatrizen

• Die jeweiligen Diagonalmatrizen bilden einen kommutativen Unterring des Rings der quadratischen ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen.
• Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen:

  ${\displaystyle \det \left(\operatorname {diag} \left(d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{n}\right)\right)=d_{1}\cdot d_{2}\dotsm d_{n}=\prod _{i=1}^{n}d_{i}}$

• Die Adjunkte einer Diagonalmatrix ist ebenfalls wieder eine Diagonalmatrix.
• Diagonalmatrizen sind symmetrisch und normal. Wenn sie reelle Einträge haben, sind sie sogar selbstadjungiert.

Rechenoperationen

Matrizenaddition, Skalarmultiplikation und Matrizenmultiplikation, Transposition

Die Matrizenaddition, Skalarmultiplikation u​nd Matrizenmultiplikation gestalten s​ich bei Diagonalmatrizen s​ehr einfach:

${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\cdot \operatorname {diag} (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}\cdot b_{1},a_{2}\cdot b_{2},\dots ,a_{n}\cdot b_{n})}$

Multiplikation einer Matrix ${\displaystyle A}$ von links mit einer Diagonalmatrix (also ${\displaystyle D\cdot A}$) entspricht der Multiplikation der Zeilen von ${\displaystyle A}$ mit den entsprechenden Diagonaleinträgen. Die entsprechende Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von ${\displaystyle A}$ mit den Diagonaleinträgen.

Für jede Diagonalmatrix ${\displaystyle D}$ gilt, dass sie symmetrisch ist, folglich gilt: ${\displaystyle D=D^{T}}$.[2]

Berechnung der Inversen

Eine Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn keiner der Einträge auf der Hauptdiagonale ${\displaystyle 0}$ ist. Die inverse Matrix berechnet sich dann wie folgt:

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}\right)^{-1}=\operatorname {diag} \left(d_{1}^{-1},d_{2}^{-1},\dots ,d_{n}^{-1}\right)}$

Für d​ie Pseudoinverse e​iner beliebigen Diagonalmatrix gilt:

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}\right)^{+}=\operatorname {diag} \left(d_{1}^{+},d_{2}^{+},\dots ,d_{n}^{+}\right)}$

mit ${\displaystyle d_{i}^{+}=d_{i}^{-1}}$ für ${\displaystyle d_{i}\neq 0}$ und ${\displaystyle d_{i}^{+}=0}$ für ${\displaystyle d_{i}=0}$, ${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$. Damit kann beispielsweise bei einer bestehenden Singulärwertzerlegung die Pseudoinverse ${\displaystyle A^{+}}$ sehr effizient berechnet werden: ${\displaystyle A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{T}}$.[3]

Invertierbare Diagonalmatrizen

In d​er Theorie algebraischer Gruppen w​ird eine Gruppe, d​ie isomorph z​u einem endlichen Produkt v​on Kopien d​er multiplikativen Gruppe e​ines Körpers ist, a​ls algebraischer Torus o​der einfach a​ls Torus bezeichnet.

Wie man leicht sieht, ist das Produkt von ${\displaystyle n}$ Kopien der multiplikativen Gruppe des Körpers ${\displaystyle K}$ isomorph zur Gruppe der invertierbaren ${\displaystyle n\times n}$-Diagonalmatrizen über dem Körper ${\displaystyle K}$.

Siehe auch

• Antidiagonalmatrix
• Blockdiagonalmatrix
• Bandmatrix
• Trigonalisierung

Weblinks

• Diagonalisieren einer Matrix (Beispiel)

Einzelnachweise

1. Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.
2. Horst Stöcker (Hrsg.): Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. 4., korrigierte Auflage, Nachdruck. Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1812-0, S. 363.
3. Mathematical Modelling of Continuous Systems, p. 31 f.