Schiefhermitesche Matrix

Eine schiefhermitesche Matrix o​der antihermitesche Matrix i​st ein mathematisches Objekt a​us der linearen Algebra. Diese spezielle Art quadratischer Matrizen m​it komplexen Koeffizienten w​ird bei e​iner Spiegelung d​er Koeffizienten a​n der Hauptdiagonalen i​n ihre adjungierte Matrix bezüglich d​es komplexen Standardskalarproduktes überführt. Benannt s​ind diese Matrizen n​ach dem Mathematiker Charles Hermite.

Definition

Eine quadratische Matrix ${\displaystyle B\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ heißt schiefhermitesch, wenn sie gleich ihrer negativen Adjungierten ist,[1] das bedeutet

${\displaystyle B=-B^{H}=-{\overline {B}}^{T}}$.

Für d​ie Einträge e​iner schiefhermiteschen Matrix g​ilt also

${\displaystyle b_{jk}=-{\overline {b_{kj}}}}$.

Beispiele

• Die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3i&2+i\\-2+i&i\end{pmatrix}}}$

mit ${\displaystyle i^{2}=-1}$ als der imaginären Einheit ist schiefhermitesch.

• Die ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}\mapsto \mathrm {i} ,\quad {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\mapsto \mathrm {j} ,\quad {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\mapsto \mathrm {k} ,}$

die sich wie angezeigt auf die quaternionischen Erzeugenden abbilden lassen, sind schiefhermitesch und spurfrei.

Eigenschaften

• Die Hauptdiagonalelemente sind rein imaginär.
• Der Realteil ist schiefsymmetrisch, der Imaginärteil ist symmetrisch.
• Ist ${\displaystyle B}$ schiefhermitesch, dann ist ${\displaystyle iB}$ hermitesch.
• Die Eigenwerte schiefhermitescher Matrizen sind rein imaginär, die Eigenvektoren bilden ein Orthonormalsystem für die hermitesche Standardform.
• Schiefhermitesche Matrizen lassen sich immer diagonalisieren.
• Im Reellen fallen die Begriffe schiefhermitesch und schiefsymmetrisch zusammen. Reelle schiefsymmetrische Matrizen lassen sich durch reellen Basiswechsel in blockdiagonale Form bringen mit ${\displaystyle (2\times 2)}$-Blöcken

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&r\\-r&0\end{pmatrix}}\ ,\ r\in \mathbb {R} }$.

• Ist ${\displaystyle B}$ schiefhermitesch, dann ist ${\displaystyle B^{k}}$ hermitesch bei geradem ${\displaystyle k}$ und schiefhermitesch bei ungeradem ${\displaystyle k}$.
• Ist ${\displaystyle B}$ schiefhermitesch, dann ist ${\displaystyle e^{B}}$ unitär.
• Eine beliebige quadratische Matrix ${\displaystyle C}$ kann eindeutig als die Summe einer hermiteschen Matrix ${\displaystyle A}$ und einer schiefhermiteschen Matrix ${\displaystyle B}$ geschrieben werden:

${\displaystyle C=A+B}$

mit ${\displaystyle A=(C+C^{H})/2}$ und ${\displaystyle B=(C-C^{H})/2}$.

Die Lie-Algebra der schiefhermiteschen Matrizen

Der Kommutator schiefhermitescher Matrizen ist wieder schiefhermitesch. Die schiefhermiteschen ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrizen bilden also eine Lie-Algebra, diese wird mit ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$ bezeichnet.

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)=\left\{X\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )\colon X+{\overline {X}}^{\mathrm {T} }=0\right\}}$

ist d​ie Lie-Algebra d​er Lie-Gruppe d​er unitären Matrizen

${\displaystyle U(n)=\left\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )\colon A{\overline {A}}^{\mathrm {T} }=E_{n}\right\}}$.

Literatur

• Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. de Gruyter, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-11-017963-6.

Einzelnachweise

1. Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. de Gruyter, 2003, S. 182.