Tensor

Ein Tensor i​st eine multilineare Abbildung, d​ie eine bestimmte Anzahl v​on Vektoren a​uf einen Vektor abbildet u​nd eine universelle Eigenschaft erfüllt.[1] Er i​st ein mathematisches Objekt a​us der linearen Algebra, d​as in vielen Bereichen, s​o auch i​n der Differentialgeometrie, Anwendung findet u​nd den Begriff d​er linearen Abbildung erweitert. Der Begriff w​urde ursprünglich i​n der Physik eingeführt u​nd erst später mathematisch präzisiert.

In d​er Differentialgeometrie u​nd den physikalischen Disziplinen werden m​eist keine Tensoren i​m Sinn d​er linearen Algebra betrachtet, sondern e​s werden Tensorfelder behandelt, d​ie oft vereinfachend ebenfalls a​ls Tensoren bezeichnet werden. Ein Tensorfeld i​st eine Abbildung, d​ie jedem Punkt d​es Raums e​inen Tensor zuordnet. Viele physikalische Feldtheorien handeln v​on Tensorfeldern. Das prominenteste Beispiel i​st die allgemeine Relativitätstheorie. Das mathematische Teilgebiet, d​as sich m​it der Untersuchung v​on Tensorfeldern befasst, heißt Tensoranalysis u​nd ist e​in wichtiges Werkzeug i​n den physikalischen u​nd ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen.

Begriffsgeschichte

Ricci-Curbastro

Das Wort Tensor (abgeleitet v​om Partizip Perfekt v​on lateinisch tendere ‚spannen‘) w​urde in d​en 1840er Jahren v​on William Rowan Hamilton i​n die Mathematik eingeführt; e​r bezeichnete d​amit den Absolutbetrag seiner Quaternionen, a​lso keinen Tensor i​m modernen Sinn. James Clerk Maxwell scheint d​en Spannungstensor, d​en er a​us der Elastizitätstheorie i​n die Elektrodynamik übertrug, selbst n​och nicht s​o genannt z​u haben.

In seiner modernen Bedeutung, a​ls Verallgemeinerung v​on Skalar, Vektor, Matrix, w​ird das Wort Tensor erstmals v​on Woldemar Voigt i​n seinem Buch Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften d​er Krystalle i​n elementarer Darstellung (Leipzig, 1898) eingeführt.

Unter d​em Titel absolute Differentialgeometrie entwickelten Gregorio Ricci-Curbastro u​nd dessen Schüler Tullio Levi-Civita u​m 1890 d​ie Tensorrechnung a​uf riemannschen Mannigfaltigkeiten.[2] Einem größeren Fachpublikum machten s​ie ihre Ergebnisse 1900 m​it dem Buch Calcolo differenziale assoluto zugänglich, d​as bald i​n andere Sprachen übersetzt w​urde und a​us dem s​ich Albert Einstein d​ie mathematischen Grundlagen aneignete, d​ie er z​ur Formulierung d​er allgemeinen Relativitätstheorie benötigte. Einstein selbst prägte 1916 d​en Begriff Tensoranalysis u​nd trug m​it seiner Theorie maßgeblich d​azu bei, d​en Tensorkalkül bekannt z​u machen; e​r führte überdies d​ie einsteinsche Summenkonvention ein, n​ach der über doppelt auftretende Indizes u​nter Weglassung d​er Summenzeichen summiert wird.

Arten von Tensoren

Das Levi-Civita-Symbol im Dreidimensionalen repräsentiert einen besonders einfachen dreistufigen Tensor

Ausgehend von einem endlichdimensionalen Vektorraum bezeichnet man Skalare als Tensoren vom Typ ${\displaystyle (0,0)}$, Spaltenvektoren als Tensoren vom Typ ${\displaystyle (1,0)}$ und Kovektoren (bzw. Zeilenvektoren) als Tensoren vom Typ ${\displaystyle (0,1)}$. Tensoren höherer Stufe definiert man als multilineare Abbildungen mit Tensoren geringerer Stufe als Argumente und Abbildungswerte. So kann etwa ein Tensor vom Typ ${\displaystyle (1,1)}$ als lineare Abbildung zwischen Vektorräumen oder als bilineare Abbildung mit einem Vektor und einem Kovektor als Argumente aufgefasst werden.

Beispielsweise ist der mechanische Spannungstensor in der Physik ein Tensor zweiter Stufe – eine Zahl (Stärke der Spannung) oder ein Vektor (eine Hauptspannungsrichtung) reichen nicht immer zur Beschreibung des Spannungszustandes eines Körpers aus. Als Tensor vom Typ ${\displaystyle (0,2)}$ aufgefasst ist er eine lineare Abbildung, die einem Flächenelement (als Vektor) die darauf wirkende Kraft (als Kovektor) zuordnet, oder eine bilineare Abbildung, die einem Flächenelement und einem Verschiebungsvektor die Arbeit zuordnet, die bei der Verschiebung des Flächenstücks unter dem Einfluss der wirkenden Spannung verrichtet wird.

Bezüglich e​iner fest gewählten Vektorraumbasis erhält m​an die folgenden Darstellungen d​er verschiedenen Typen v​on Tensoren:

• Ein Skalar durch eine einzelne Zahl
• Ein Vektor durch einen Spaltenvektor
• Ein Kovektor durch einen Zeilenvektor
• Ein Tensor zweiter Stufe durch eine Matrix

Die Anwendung des Spannungstensors auf ein Flächenelement ist dann z. B. durch das Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor gegeben. Die Koordinaten von Tensoren höherer Stufe können entsprechend in ein höherdimensionales Schema angeordnet werden. So können diese Komponenten eines Tensors anders als die eines Spaltenvektors oder einer Matrix mehr als ein oder zwei Indizes haben. Ein Beispiel für einen Tensor dritter Stufe, der drei Vektoren des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ als Argumente hat, ist die Determinante einer 3×3-Matrix als Funktion der Spalten dieser Matrix. Bezüglich einer Orthonormalbasis wird er durch das Levi-Civita-Symbol ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ repräsentiert.

Ko- und Kontravarianz von Vektoren

→ Hauptartikel: Kovarianz (Physik) und Kontravarianz (Physik)

Die Begriffe ko- u​nd kontravariant beziehen s​ich auf d​ie Koordinatendarstellungen v​on Vektoren, Linearformen u​nd werden auch, w​ie später i​m Artikel beschrieben, a​uf Tensoren angewandt. Sie beschreiben, w​ie sich solche Koordinatendarstellungen bezüglich e​ines Basiswechsels i​m zugrundeliegenden Vektorraum verhalten.

Legt man in einem ${\displaystyle n}$-dimensionalen Vektorraum ${\displaystyle V}$ eine Basis ${\displaystyle (e_{1},\dotsc ,e_{n})}$ fest, so kann jeder Vektor ${\displaystyle v\in V}$ dieses Raumes durch ein Zahlentupel ${\displaystyle (x^{1},\dotsc ,x^{n})}$ – seine Koordinaten – mittels ${\displaystyle \textstyle v=\sum _{k}e_{k}\,x^{k}}$ dargestellt werden. Legt man der Koordinatendarstellung eine andere Basis von ${\displaystyle V}$ zugrunde, so werden sich die Koordinaten (ein und desselben Vektors) bezüglich dieser neuen Basis ändern. Der Übergang zu einer anderen Basis bedingt also eine Transformation der Koordinatendarstellung. Dabei gilt: Ist die neue Basis durch ${\displaystyle \textstyle e'_{j}=\sum _{k}e_{k}\,A^{k}{}_{j}}$ in der alten Basis bestimmt, so ergeben sich die neuen Koordinaten durch Vergleich in

${\displaystyle v=\sum _{k}e_{k}\,x^{k}=\sum _{j}e'_{j}\,x'^{j}=\sum _{j,k}e_{k}\,A^{k}{}_{j}\,x'^{j},}$

also:

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{k}&=\sum _{j}A^{k}{}_{j}\,x'^{j}\\x'\,^{j}&=\sum _{k}(A^{-1})^{j}{}_{k}\,x^{k}\end{aligned}}}$

Dreht man zum Beispiel eine orthogonale Basis in einem dreidimensionalen euklidischen Raum ${\displaystyle V}$ um ${\displaystyle 30^{\circ }}$ um die ${\displaystyle z}$-Achse, so drehen sich die Koordinatenvektoren im Koordinatenraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ebenfalls um die ${\displaystyle z}$-Achse, aber in der entgegengesetzten Richtung, also um ${\displaystyle -30^{\circ }}$. Dieses der Basistransformation entgegengesetzte Transformationsverhalten nennt man kontravariant. Oft werden Vektoren zur Abkürzung der Notation mit ihren Koordinatenvektoren identifiziert, sodass Vektoren allgemein als kontravariant bezeichnet werden.

Eine Linearform oder ein Kovektor ${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$ ist dagegen eine skalarwertige lineare Abbildung ${\displaystyle \alpha \colon V\to \mathbb {K} }$ auf dem Vektorraum. Man kann ihr als Koordinaten ihre Werte auf den Basisvektoren, ${\displaystyle \alpha _{k}=\alpha (e_{k})}$, zuordnen. Die Koordinatenvektoren einer Linearform transformieren sich wie das Basistupel als

${\displaystyle \alpha '_{j}=\alpha (e'_{j})=\sum _{k}\alpha (e_{k}\,A^{k}{}_{j})=\sum _{k}\alpha _{k}\,A^{k}{}_{j},}$

weshalb m​an dieses Transformationsverhalten kovariant nennt. Identifiziert m​an wieder Linearformen m​it ihren Koordinatenvektoren, s​o bezeichnet m​an auch allgemein Linearformen a​ls kovariant. Hierbei geht, w​ie bei Vektoren, d​ie zugrundeliegende Basis a​us dem Kontext hervor. Man spricht i​n diesem Kontext a​uch von Dualvektoren.

Diese Bezeichnungen werden auf Tensoren übertragen. Dies wird im nächsten Abschnitt zur Definition der ${\displaystyle (r,s)}$-Tensoren erklärt.

Definition

(r,s)-Tensorraum

Im Folgenden sind alle Vektorräume endlichdimensional über dem Körper ${\displaystyle K}$. Mit ${\displaystyle L(E;K)}$ bezeichne man die Menge aller Linearformen aus dem ${\displaystyle K}$-Vektorraum ${\displaystyle E}$ in den Körper ${\displaystyle K}$ und – allgemeiner – mit ${\displaystyle L(E_{1};E_{2})}$ die Menge aller ${\displaystyle K}$-linearen Abbildungen eines ${\displaystyle K}$-Vektorraums ${\displaystyle E_{1}}$ in einen ${\displaystyle K}$-Vektorraum ${\displaystyle E_{2}}$. Sind ${\displaystyle E_{1},\dotsc ,E_{k}}$ Vektorräume über ${\displaystyle K}$, so werde der Vektorraum der Multilinearformen ${\displaystyle E_{1}\times E_{2}\times \dotsb \times E_{k}\to K}$ mit ${\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};K)}$ bezeichnet. Entsprechend bezeichne ${\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};E)}$ die Menge aller ${\displaystyle K}$-multilinearen Abbildungen ${\displaystyle E_{1}\times E_{2}\times \dotsb \times E_{k}\to E}$, hier speziell der ${\displaystyle k}$-fach ${\displaystyle K}$-linearen Abbildungen. Im Falle von ${\displaystyle E=K}$ und ${\displaystyle k=2}$ handelt es sich um Bilinearformen.

Ist ${\displaystyle E}$ ein ${\displaystyle K}$-Vektorraum, so wird mit ${\displaystyle E^{*}:=L(E;K)}$ sein Dualraum bezeichnet. Dann existieren (gemäß der universellen Eigenschaft) kanonische Isomorphismen

${\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};K)\cong (E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\cong E_{1}^{*}\otimes E_{2}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*}}$

und allgemeiner

${\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};E)\cong L(E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsc \otimes E_{k};E).}$

Der kanonischen Isomorphie ${\displaystyle E\cong E^{**}=L(E^{*};K)}$ eines Vektorraums ${\displaystyle E}$ mit seinem Bidualraum ${\displaystyle E^{**}}$ wegen folgt (durch Ersetzen von ${\displaystyle E_{i}}$ durch ${\displaystyle E_{i}^{*}}$ und mithin von ${\displaystyle E_{i}^{*}}$ durch ${\displaystyle E_{i}^{**}=E_{i}}$), dass ${\displaystyle L^{k}(E_{1}^{*},E_{2}^{*},\dotsc ,E_{k}^{*};K)}$ zum Tensorprodukt ${\displaystyle E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsb \otimes E_{k}}$ isomorph ist. (Zur Realisierung des Tensorproduktraums als Raum von Multilinearformen sowie zur kanonischen Identifizierung ${\displaystyle (E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\cong E_{1}^{*}\otimes E_{2}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*}}$, die in diesem Abschnitt noch häufiger genutzt wird, siehe die Abschnitte über die universelle Eigenschaft und über Tensorprodukte und Multilinearformen.)

Es g​ibt natürliche Isomorphismen d​er folgenden Art:

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};K)&\cong L^{m}(E_{1},\dotsc ,E_{m};E_{m+1}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*})\\&\cong L(E_{1}\otimes \dotsb \otimes E_{m};E_{m+1}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*})\end{aligned}}}$

Diesen natürlichen Isomorphismen liegen die Zurückführung ${\displaystyle n}$-fach-linearer Abbildungen auf ${\displaystyle (n-1)}$-fach-lineare Abbildungen (vgl. Currying oder Schönfinkeln) einerseits und die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts andererseits – mehrfach angewandt – zugrunde:

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{k}(E_{1},\dotsc ,E_{k};E)&\cong L^{k-1}(E_{1},\dotsc ,E_{k-1};L(E_{k};E))\\&\cong L^{k-2}(E_{1},\dotsc ,E_{k-2};L(E_{k-1};L(E_{k};E)))\\&\cong L^{k-2}(E_{1},\dotsc ,E_{k-2};L^{2}(E_{k-1},E_{k};E))\\&\cong L(E_{1}\otimes \dotsc \otimes E_{k-2};L(E_{k-1}\otimes E_{k};E))\\&\;\;\vdots \qquad \cdots \;\cdots \;\cdots \\&\cong L(E_{1}\otimes \dotsc \otimes E_{m};L(E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k};E)){\text{ für }}0\leq m\leq k\\\end{aligned}}}$

Speziell für ${\displaystyle E=K}$ besteht also der oben behauptete natürliche Isomorphismus

$${\displaystyle {\begin{matrix}L^{k}(E_{1},\dotsc ,E_{k};K)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(E_{1}\otimes \dotsc \otimes E_{m};E_{m+1}^{*}\otimes \dotsc \otimes E_{k}^{*})\\\lambda &\longmapsto &\left[\lambda _{(1,\dotsc ,m)}\colon v_{1}\otimes \dotsc \otimes v_{m}\mapsto \lambda _{(v_{1},\dotsc ,v_{m})}\in (E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\right]{\text{ ,}}\\&&{\text{wobei }}\left[\lambda _{(v_{1},\dotsc ,v_{m})}\colon (v_{m+1}\otimes \dotsc \otimes v_{k})\mapsto \lambda (v_{1},\dotsc ,v_{k})\right]\\\end{matrix}}}$$

und für die Linearform ${\displaystyle \lambda _{(1,\dotsc ,m)}\in (E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}}$ die Identifikation ${\displaystyle (E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\cong E_{m+1}^{*}\otimes \dotsc \otimes E_{k}^{*}}$ vorgenommen wird. Es genügt hierbei, die Abbildungen auf den elementaren Tensoren (siehe auch Abschnitt Tensor als Element des Tensorproduktes) als einem Erzeugendensystem über dem Grundkörper ${\displaystyle K}$ festzulegen. Zu ergänzen ist noch, dass in den Fällen ${\displaystyle m=0}$ und ${\displaystyle m=k}$ das leere Tensorprodukt entsteht, das mit dem Grundkörper ${\displaystyle K}$ zu identifizieren ist. Insbesondere besteht also für ${\displaystyle K}$-Vektorräume ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ die Identifikation

${\displaystyle {\begin{matrix}L(V;W)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(V\otimes W^{*};K)\cong V^{*}\otimes W\\f&\longmapsto &(\beta \colon v\otimes \mu \mapsto \mu \circ f(v))\\\end{matrix}}}$.

Definition: Für einen fixierten Vektorraum ${\displaystyle E}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ mit Dualraum ${\displaystyle E^{*}}$ sei ${\displaystyle T_{s}^{r}(E,K)}$ definiert durch

${\displaystyle T_{s}^{r}(E,K):=L^{r+s}(E^{*},\dotsc ,E^{*},E,\dotsc ,E;K)}$

mit ${\displaystyle r}$ Einträgen von ${\displaystyle E^{*}}$ und ${\displaystyle s}$ Einträgen von ${\displaystyle E}$. Elemente dieser Menge heißen Tensoren, kontravariant der Stufe ${\displaystyle r}$ und kovariant der Stufe ${\displaystyle s}$. Kurz spricht man von Tensoren vom Typ ${\displaystyle (r,s)}$. Die Summe ${\displaystyle r+s}$ heißt Stufe oder Rang des Tensors.[3][4]

Mit den obigen Überlegungen (bei ${\displaystyle r=m}$ und ${\displaystyle r+s=k}$ sowie ${\displaystyle E_{i}=E}$ für ${\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,r\}}$ bzw. ${\displaystyle E_{i}=E^{*}}$ für ${\displaystyle i\in \{m+1,\dotsc ,k\}}$) ergibt sich insgesamt

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{s}^{r}(E,K)&:=L^{r+s}(\underbrace {E^{*},\dotsc ,E^{*}} _{r{\text{ Einträge}}},\underbrace {E,\dotsc ,E} _{s{\text{ Einträge}}};K)\\&\cong L(\underbrace {E^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{r{\text{ Faktoren}}};\underbrace {E^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}})\\&\cong \underbrace {E\otimes \dotsc \otimes E} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}}\end{aligned}}}$

Also realisiert der Vektorraum ${\displaystyle T_{s}^{r}(E,K)}$ der Tensoren vom Typ ${\displaystyle (r,s)}$ das Tensorprodukt ${\displaystyle \underbrace {E\otimes \dotsb \otimes E} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dotsb \otimes E^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}}}$, nämlich durch die obige kanonische Identifikation

${\displaystyle {\begin{matrix}T_{s}^{r}(E,K)=L(\underbrace {E^{*},\dotsc ,E^{*}} _{r},\underbrace {E,\dotsc ,E} _{s};K)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\underbrace {E\otimes \dotsc \otimes E} _{r}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{s}\\\end{matrix}}}$.

Diese natürlichen Isomorphismen bedeuten, dass man Tensoren der Stufe ${\displaystyle r+s>2}$ auch induktiv als multilineare Abbildungen zwischen Tensorräumen geringerer Stufe definieren kann. Dabei hat man für einen Tensor eines bestimmten Typs mehrere äquivalente Möglichkeiten.

In der Physik sind die Vektorräume in der Regel nicht identisch, z. B. kann man einen Geschwindigkeitsvektor und einen Kraftvektor nicht addieren. Man kann jedoch die Richtungen miteinander vergleichen, d. h., die Vektorräume bis auf einen skalaren Faktor miteinander identifizieren. Daher kann die Definition von Tensoren des Typs ${\displaystyle (r,s)}$ entsprechend angewendet werden. Es sei außerdem erwähnt, dass (dimensionsbehaftete) Skalare in der Physik Elemente aus eindimensionalen Vektorräumen sind und dass Vektorräume mit Skalarprodukt mit ihrem Dualraum identifiziert werden können. Man arbeitet z. B. mit Kraftvektoren, obwohl Kräfte ohne die Verwendung des Skalarprodukts als Kovektoren anzusehen sind.

Äußeres Tensorprodukt

Als (äußeres) Tensorprodukt oder Tensormultiplikation bezeichnet man eine Verknüpfung ${\displaystyle \otimes }$ zwischen zwei Tensoren. Sei ${\displaystyle E}$ ein Vektorraum und seien ${\displaystyle t_{1}\in T_{s_{1}}^{r_{1}}(E)}$ und ${\displaystyle t_{2}\in T_{s_{2}}^{r_{2}}(E)}$ Tensoren. Das (äußere) Tensorprodukt von ${\displaystyle t_{1}}$ und ${\displaystyle t_{2}}$ ist der Tensor ${\displaystyle t_{1}\otimes t_{2}\in T_{s_{1}+s_{2}}^{r_{1}+r_{2}}(E)}$, der durch

${\displaystyle \left(t_{1}\otimes t_{2})(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r_{1}},\gamma ^{1},\dotsc ,\gamma ^{r_{2}},f_{1},\dotsc ,f_{s_{1}},g_{1},\dotsc ,g_{s_{2}}\right):=t_{1}(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r_{1}},f_{1},\dotsc ,f_{s_{1}})t_{2}(\gamma ^{1},\dotsc ,\gamma ^{r_{2}},g_{1},\dotsc ,g_{s_{2}})}$

definiert ist. Hierbei sind die ${\displaystyle \beta ^{j},\gamma ^{j}\in E^{*}}$ und die ${\displaystyle f_{j},g_{j}\in E}$.

Beispiele von (r,s)-Tensoren

Im Folgenden seien ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ endlichdimensionale Vektorräume.

• Die Menge der (0,0)-Tensoren ist isomorph mit dem zugrunde liegenden Körper ${\displaystyle K}$. Sie ordnen keiner Linearform und keinem Vektor ein Körperelement zu. Deshalb die Bezeichnung als (0,0)-Tensoren.
• (0,1)-Tensoren ordnen keiner Linearform und einem Vektor eine Zahl zu, entsprechen somit den Linearformen ${\displaystyle L(E,K)=E^{*}}$ auf ${\displaystyle E}$.
• (1,0)-Tensoren ordnen einer Linearform und keinem Vektor eine Zahl zu. Sie sind somit Elemente des bidualen Vektorraums ${\displaystyle E^{**}}$. Sie entsprechen bei endlichdimensionalen Vektorräumen den Ausgangsvektorräumen ${\displaystyle E}$, da hier ${\displaystyle T_{0}^{1}(E)\cong E^{**}\cong E}$ gilt (siehe Isomorphismus).
• Eine lineare Abbildung ${\displaystyle E\to F}$ zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen kann als Element von ${\displaystyle E^{*}\otimes F}$ aufgefasst werden und ist dann ein (1,1)-Tensor.
• Eine Bilinearform ${\displaystyle E\times E\to K}$ lässt sich als ein Element von ${\displaystyle E^{*}\otimes E^{*}}$ auffassen, also als ein (0,2)-Tensor. Insbesondere lassen sich also Skalarprodukte als (0,2)-Tensoren auffassen.
• Das Kronecker-Delta ${\displaystyle \delta }$ ist wieder ein (0,2)-Tensor. Es ist ein Element von ${\displaystyle E^{*}\otimes E^{*}}$ und somit eine multilineare Abbildung ${\displaystyle \delta \colon E\times E\to K}$. Multilineare Abbildungen sind durch die Wirkung auf die Basisvektoren eindeutig bestimmt. So ist das Kronecker-Delta eindeutig durch

${\displaystyle \delta (e_{i},e_{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{falls }}i=j,\\0,&{\mbox{falls }}i\neq j,\end{matrix}}\right.}$

bestimmt.

• Die Determinante von ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen, aufgefasst als alternierende Multilinearform der Spalten, ist ein (0,n)-Tensor. Bezüglich einer Orthonormalbasis wird er durch das Levi-Civita-Symbol (den „Epsilontensor“) dargestellt. Speziell in drei reellen Dimensionen ist die Determinante ${\displaystyle \det \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ ein Tensor dritter Stufe und es gilt ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\det(e_{i},e_{j},e_{k})}$ für die Elemente einer Orthonormalbasis. Sowohl das Kronecker-Delta als auch das Levi-Civita-Symbol werden häufig verwendet, um Symmetrieeigenschaften von Tensoren zu untersuchen. Das Kronecker-Delta ist symmetrisch bei Vertauschungen der Indizes, das Levi-Civita-Symbol antisymmetrisch, sodass man mit ihrer Hilfe Tensoren in symmetrische und antisymmetrische Anteile zerlegen kann.
• Ein weiteres Beispiel für einen kovarianten Tensor 2. Stufe ist der Trägheitstensor.
• In der Elastizitätstheorie verallgemeinert man die hookesche Gleichung über den Zusammenhang zwischen Kräften und zugehörigen Dehnungen und Verzerrungen in einem elastischen Medium ebenfalls mit Hilfe der Tensorrechnung durch Einführung des Verzerrungstensors, der Verzerrungen, Deformationen beschreibt, und des Spannungstensors, der die die Deformationen verursachenden Kräfte beschreibt. Siehe dazu auch unter Kontinuumsmechanik nach.
• Sei ${\displaystyle (V,g)}$ ein Vektorraum mit Skalarprodukt ${\displaystyle g}$. Wie oben bereits erwähnt, ist das Skalarprodukt ${\displaystyle g}$ linear in beiden Argumenten, also ein (0,2)-Tensor bzw. ein zweifach kovarianter Tensor. Man spricht auch von einem metrischen Tensor oder kurz von einer „Metrik“. Dabei ist zu beachten, dass ${\displaystyle g}$ selbst keine Metrik im Sinne eines metrischen Raums ist, aber eine solche erzeugt. Mit ${\displaystyle g_{ij}}$ werden die Koordinaten der Metrik bezüglich einer Basis des Vektorraums ${\displaystyle V}$ bezeichnet; ${\displaystyle v^{i}}$ und ${\displaystyle w^{j}}$ seien die Koordinaten der Vektoren ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle w}$ bezüglich derselben Basis. Für die Abbildung zweier Vektoren ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle w}$ unter der Metrik ${\displaystyle g}$ gilt deshalb

${\displaystyle g(v,w)=\sum _{i,j}g_{ij}v^{i}w^{j}.}$

Der Übergang zwischen ko- und kontravarianten Tensoren lässt sich mittels der Metrik durch

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j}g_{ij}x^{j}}$

bewerkstelligen.

In der Differentialgeometrie auf riemannschen Mannigfaltigkeiten ist diese Metrik zusätzlich eine Funktion des Ortes. Eine tensorwertige Funktion des Ortes wird Tensorfeld genannt, im Fall des metrischen Tensors speziell riemannsche Metrik.

• In der Theorie der pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten wird der Begriff des metrischen Tensors dahingehend verallgemeinert, dass auf die Definitheit des Skalarprodukts verzichtet wird. Wichtigste Anwendung ist die Relativitätstheorie. In der speziellen Relativitätstheorie verwendet man statt der euklidischen Metrik die uneigentliche Metrik des Minkowskiraumes. In der allgemeinen Relativitätstheorie wird ein Tensorfeld mit derselben Signatur wie die Minkowski-Metrik verwendet.

Basis

Basis und Dimension

Sei ${\displaystyle E}$ wie oben ein Vektorraum, dann sind die Räume ${\displaystyle T_{s}^{r}(E)}$ ebenfalls Vektorräume. Weiterhin sei ${\displaystyle E}$ nun endlichdimensional mit der Basis ${\displaystyle \{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}}$. Die duale Basis wird mit ${\displaystyle \{e^{1},\dotsc ,e^{n}\}}$ bezeichnet. Der Raum ${\displaystyle T_{s}^{r}(E)}$ der Tensoren ist dann ebenfalls endlichdimensional und

${\displaystyle \left\{\left.e_{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes e^{j_{s}}\right|i_{1},\dotsc ,i_{r},j_{1},\dotsc ,j_{s}=1,\dotsc ,n\right\}}$

ist eine Basis dieses Raumes. Das heißt, jedes Element ${\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E)}$ kann durch

${\displaystyle \sum _{i_{1},\dotsc ,i_{r},j_{1},\dotsc ,j_{s}=1,\dotsc ,n}a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_{1},\dotsc ,i_{r}}e_{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes e^{j_{s}}}$

dargestellt werden. Die Dimension dieses Vektorraums ist ${\displaystyle T_{s}^{r}(E)=n^{r+s}}$. Wie in jedem endlichdimensionalen Vektorraum reicht es auch im Raum der Tensoren zu sagen, wie eine Funktion auf der Basis operiert.

Da d​ie obige Summendarstellung s​ehr viel Schreibarbeit m​it sich bringt, w​ird oft d​ie einsteinsche Summenkonvention verwendet. In diesem Fall schreibt m​an also

${\displaystyle a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_{1},\dotsc ,i_{r}}e_{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes e^{j_{s}}.}$

Die Koeffizienten ${\displaystyle a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_{1},\dotsc ,i_{r}}}$ werden Komponenten des Tensors bezüglich der Basis ${\displaystyle \{e^{1},\dotsc ,e^{n}\}}$ genannt. Oft identifiziert man die Komponenten des Tensors mit dem Tensor an sich. Siehe dafür unter Tensordarstellungen der Physik nach.

Basiswechsel und Koordinatentransformation

Seien ${\displaystyle \{e'_{i_{1}},\dotsc ,e'_{i_{n}}\}}$ und ${\displaystyle \{e_{i_{1}},\dotsc ,e_{i_{n}}\}}$ paarweise verschiedene Basen der Vektorräume ${\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{n}}$. Jeder Vektor, also auch jeder Basisvektor ${\displaystyle e_{i_{l}}}$ kann als Linearkombination der Basisvektoren ${\displaystyle e'_{i_{l}}}$ dargestellt werden. Der Basisvektor ${\displaystyle e_{i_{l}}}$ werde dargestellt durch

${\displaystyle e_{i_{l}}=\sum _{j_{l}}a_{j_{l},i_{l}}e'_{j_{l}}.}$

Die Größen ${\displaystyle a_{j_{l},i_{l}}}$ bestimmen also die Basistransformation zwischen den Basen ${\displaystyle \{e'_{i_{l}}\}}$ und ${\displaystyle \{e_{i_{l}}\}}$. Das gilt für alle ${\displaystyle l=1,\dotsc ,n}$. Dieses Verfahren wird Basiswechsel genannt.

Ferner seien ${\displaystyle T_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}}$ die Komponenten des Tensors ${\displaystyle T}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle \{e_{i_{1}},\dotsc ,e_{i_{n}}\}}$. Dann ergibt sich für das Transformationsverhalten der Tensorkomponenten die Gleichung

${\displaystyle T'_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}=\sum _{j_{1}}\dots \sum _{j_{n}}a_{i_{1},j_{1}}\dots a_{i_{n},j_{n}}T_{{j_{1}},\dotsc ,{j_{n}}}.}$

Es wird in der Regel zwischen der Koordinatendarstellung des Tensors ${\displaystyle T'_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}}$ und der Transformationsmatrix ${\displaystyle a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}}$ unterschieden. Die Transformationsmatrix ${\displaystyle a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}}$ ist zwar eine indizierte Größe, aber kein Tensor. Im euklidischen Raum sind das Drehmatrizen und in der speziellen Relativitätstheorie z. B. Lorentz-Transformationen, die sich auch als „Drehungen“ in einem vierdimensionalen Minkowskiraum auffassen lassen. Man spricht in diesem Fall auch von Vierertensoren und Vierervektoren.

Beispiel

Mit Hilfe der Komponenten kann ein Tensor bezüglich einer Basis dargestellt werden. Beispielsweise kann ein Tensor ${\displaystyle T}$ mit Rang 2 in einem gegebenen Basissystem ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ wie folgt als Matrix dargestellt werden:

${\displaystyle T=_{\mathcal {B}}{\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}\\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}\end{pmatrix}}}$

Dadurch lässt sich der Wert ${\displaystyle T(v,w)}$ im Rahmen des entsprechenden Basissystems mit Hilfe der Matrixmultiplikation berechnen:

${\displaystyle T(v,w)={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}\\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}}$

Betrachtet man nun konkret den Trägheitstensor ${\displaystyle I}$, so kann mit ihm bezüglich eines gewählten Koordinatensystems die Rotationsenergie ${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }}$ eines starren Körpers mit der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ wie folgt berechnet werden:

${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}^{T}I{\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\omega _{\alpha }I_{\beta }^{\alpha }\omega ^{\beta }={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}&\omega _{2}&\omega _{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}}$

Operationen auf Tensoren

Neben d​em Tensorprodukt g​ibt es für (r,s)-Tensoren weitere wichtige Operationen.

Inneres Produkt

Das innere Produkt eines Vektors ${\displaystyle v\in E}$ (bzw. eines (Ko-)Vektors ${\displaystyle \beta \in E^{*}}$) mit einem Tensor ${\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E;K)}$ ist der ${\displaystyle (r,s-1)}$ (bzw. ${\displaystyle (r-1,s)}$)-Tensor, der durch

${\displaystyle (i_{v}t)\left(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r},\cdot ,v_{1},\dotsc ,v_{s-1}\right)=t\left(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r},v,v_{1},\dotsc ,v_{s-1}\right)}$

bzw. durch

${\displaystyle (i^{\beta }t)\left(\cdot ,\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r-1},v_{1},\dotsc ,v_{s}\right)=t\left(\beta ,\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r-1},v_{1},\dotsc ,v_{s}\right)}$

definiert ist. Dies bedeutet, dass der ${\displaystyle (r,s)}$-Tensor ${\displaystyle t}$ an einem festen Vektor ${\displaystyle v}$ bzw. festen Kovektor ${\displaystyle \beta }$ ausgewertet wird.

Tensorverjüngung

→ Hauptartikel: Tensorverjüngung

Gegeben sei ein (r,s)-Tensor sowie ${\displaystyle 1\leq k\leq r}$ und ${\displaystyle 1\leq l\leq s}$. Die Tensorverjüngung ${\displaystyle C_{l}^{k}}$ bildet den Tensor

${\displaystyle \sum \beta _{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{k}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{l}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{s}}}$

auf d​en Tensor

${\displaystyle {\begin{aligned}&C_{l}^{k}\left(\sum \beta _{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{k}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{l}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{s}}\right)\\=&\sum \beta _{i_{k}}(v^{j_{l}})\cdot (\beta _{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{k-1}}\otimes \beta _{i_{k+1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{l-1}}\otimes v^{j_{l+1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{s}})\end{aligned}}}$

ab. Dieser Vorgang heißt Tensorverjüngung o​der Spurbildung. Im Fall v​on (1,1)-Tensoren entspricht d​ie Tensorverjüngung

${\displaystyle C_{1}^{1}\colon V^{*}\otimes V\to K}$

unter der Identifizierung ${\displaystyle V^{*}\otimes V\cong \mathrm {End} (V)}$ der Spur eines Endomorphismus.

Mit Hilfe der einsteinschen Summenkonvention kann man die Tensorverjüngung sehr kurz darstellen. Seien beispielsweise ${\displaystyle T_{i}^{j}}$ die Koeffizienten (bzw. Koordinaten) des zweistufigen Tensors ${\displaystyle T}$ bezüglich einer gewählten Basis. Will man diesen (1,1)-Tensor verjüngen, so schreibt man oft anstatt ${\displaystyle C_{1}^{1}(T)}$ nur die Koeffizienten ${\displaystyle T_{i}^{i}}$. Die einsteinsche Summenkonvention besagt nun, dass über alle gleichen Indizes summiert wird und somit ${\displaystyle T_{i}^{i}}$ ein Skalar ist, der mit der Spur des Endomorphismus übereinstimmt. Der Ausdruck ${\displaystyle B_{i}{}^{j}{}_{i}}$ ist hingegen nicht definiert, weil über gleiche Indizes nur dann summiert wird, wenn einer oben und einer unten steht. Hingegen ist also ${\displaystyle B_{i}{}^{j}{}_{j}}$ ein Tensor erster Stufe.

Pull-Back (Rücktransport)

→ Hauptartikel: Rücktransport

Sei ${\displaystyle \phi \in L(E,F)}$ eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, die kein Isomorphismus zu sein braucht. Der Rücktransport von ${\displaystyle \phi }$ sei eine Abbildung ${\displaystyle \phi ^{*}\in L(T_{s}^{0}(F),T_{s}^{0}(E))}$, die durch

${\displaystyle \phi ^{*}t(f_{1},\dotsc ,f_{s})=t(\phi (f_{1}),\dotsc ,\phi (f_{s}))}$

definiert ist. Dabei ist ${\displaystyle t\in T_{s}^{0}(F)}$ und ${\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{s}\in E}$.

Push-Forward

→ Hauptartikel: Pushforward

Sei ${\displaystyle \phi \colon E\to F}$ ein Vektorraumisomorphismus. Definiere den Push-Forward von ${\displaystyle \phi }$ durch ${\displaystyle \phi _{*}\in L(T_{s}^{r}(E),T_{s}^{r}(F))}$ mit

${\displaystyle \phi _{*}t(\beta ^{1}\dotsc ,\beta ^{r},f_{1},\dotsc ,f_{s})=t(\phi ^{*}(\beta ^{1}),\dotsc ,\phi ^{*}(\beta ^{r}),\phi ^{-1}(f_{1}),\dotsc ,\phi ^{-1}(f_{s})).}$

Dabei ist ${\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E)}$, ${\displaystyle \beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r}\in F^{*}}$ und ${\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{s}\in F}$. Mit ${\displaystyle \phi ^{*}(\beta ^{i})}$ wird der Rücktransport der Linearform ${\displaystyle \beta ^{i}}$ notiert. Konkret heißt dies ${\displaystyle \phi ^{*}(\beta ^{i}(.))=\beta ^{i}(\phi (.)).}$ Analog zum Rücktransport kann man beim Push-Forward auf die Isomorphie von ${\displaystyle \phi }$ verzichten und diese Operation nur für ${\displaystyle (r,0)}$-Tensoren definieren.

Tensoralgebra

→ Hauptartikel: Tensoralgebra

Sei ${\displaystyle E}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$. Dann ist durch

${\displaystyle \mathrm {T} (E)=\bigoplus _{n\geq 0}E^{\otimes n}=K\oplus E\oplus (E\otimes E)\oplus (E\otimes E\otimes E)\oplus \dotsb }$

die sogenannte Tensoralgebra definiert. Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, wird ${\displaystyle \mathrm {T} (E)}$ zu einer unitären assoziativen Algebra.

Tensorproduktraum

→ Hauptartikel: Tensorprodukt

In diesem Abschnitt werden Tensorprodukträume definiert, s​ie werden typischerweise i​n der Algebra betrachtet. Diese Definition i​st allgemeiner a​ls die d​er (r,s)-Tensoren, d​a hier d​ie Tensorräume a​us unterschiedlichen Vektorräumen konstruiert werden können.

Die universelle Eigenschaft für das Tensorprodukt zweier Faktoren

Universelle Eigenschaft des Tensorproduktes

Es seien ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ Vektorräume über dem Körper ${\displaystyle K}$. Sind ${\displaystyle X,Y}$ weitere ${\displaystyle K}$-Vektorräume, ${\displaystyle b\colon V\times W\to X}$ eine beliebige bilineare Abbildung und ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine lineare Abbildung, dann ist auch die Verknüpfung ${\displaystyle (f\circ b)\colon V\times W\to Y}$ eine bilineare Abbildung. Ist also eine bilineare Abbildung gegeben, so kann man daraus auch beliebig viele weitere bilineare Abbildungen konstruieren. Es stellt sich die Frage, ob es eine bilineare Abbildung gibt, aus der auf diese Art, durch Verknüpfung mit linearen Abbildungen, alle bilinearen Abbildungen auf ${\displaystyle V\times W}$ (auf eindeutige Weise) konstruiert werden können. Ein solches universelles Objekt, d. h. die bilineare Abbildung samt ihrem Bildraum, wird als Tensorprodukt von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ bezeichnet.

Definition: Als Tensorprodukt der Vektorräume ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ wird jeder ${\displaystyle K}$-Vektorraum ${\displaystyle X}$ bezeichnet, zu dem es eine bilineare Abbildung ${\displaystyle \phi \colon V\times W\to X}$ gibt, die die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Zu jeder bilinearen Abbildung ${\displaystyle b\colon V\times W\to Y}$ von ${\displaystyle V\times W}$ in einen Vektorraum ${\displaystyle Y}$ existiert genau eine lineare Abbildung ${\displaystyle b'\colon X\to Y}$, sodass für alle ${\displaystyle (v,w)\in V\times W}$ gilt: ${\displaystyle b(v,w)=b'(\phi (v,w))}$

Gibt es einen solchen Vektorraum ${\displaystyle X}$, so ist er bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Ist nämlich bereits ${\displaystyle Y}$ mit der Bilinearform ${\displaystyle b}$ (als seinem Tensorprodukt ${\displaystyle \otimes }$) ein zweiter derartigen Vektorraum ${\displaystyle X'}$, so gibt es neben der eindeutig bestimmten linearen Abbildung ${\displaystyle b'}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle b=b'\circ \phi }$ auch eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung ${\displaystyle \phi '\colon Y\to X}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle \phi =\phi '\circ b}$, da ja auch ${\displaystyle (b,Y)}$ die universelle Eigenschaft hat. Also sind beide, ${\displaystyle \phi }$ und ${\displaystyle b}$, Isomorphismen. Man schreibt ${\displaystyle X=V\otimes W}$ und ${\displaystyle \phi (v,w)=v\otimes w}$. Die universelle Eigenschaft kann also als ${\displaystyle b(v,w)=b'(v\otimes w)}$ geschrieben werden. Zur Konstruktion solcher Produkträume sei auf den Artikel Tensorprodukt verwiesen.

Die universelle Eigenschaft d​es Tensorproduktes g​ibt also a​uf die o​bige Fragestellung e​ine bejahende Antwort u​nd lässt s​ich so formulieren: Die Abbildung

${\displaystyle {\begin{matrix}L(V\otimes W;Y)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L^{2}(V,W;Y)\\b'&\longmapsto &b'\circ \phi \end{matrix}}}$

ist surjektiv (Existenzaussage) und injektiv (Eindeutigkeitsaussage), mithin bijektiv und somit ein Isomorphismus von Vektorräumen. Für den Fall ${\displaystyle Y=K}$ ergibt sich eine Deutung des Dualraumes des Tensorproduktraumes als Raum der Bilinearformen. Zusammen mit den bereits erwähnten Identifikationen ergibt sich:

$${\displaystyle V^{*}\otimes W^{*}\cong (V\otimes W)^{*}\cong L(V,W;K)\cong L(V;W^{*})\cong L(W;V^{*})}$$

Tensor als Element des Tensorproduktes

In d​er Mathematik s​ind Tensoren Elemente v​on Tensorprodukten.

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und es seien ${\displaystyle V_{1},V_{2},\dotsc ,V_{s}}$ Vektorräume über dem Körper ${\displaystyle K}$.

Das Tensorprodukt ${\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}$ von ${\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}}$ ist ein ${\displaystyle K}$-Vektorraum, dessen Elemente Summen von Symbolen der Form

${\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s},\quad v_{i}\in V_{i},}$

sind. Dabei gelten für d​iese Symbole d​ie folgenden Rechenregeln:

• ${\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes (v_{i}'+v_{i}'')\otimes \dotsb \otimes v_{s}=(v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{i}'\otimes \dotsb \otimes v_{s})+(v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{i}''\otimes \dotsb \otimes v_{s})}$
• ${\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes (\lambda v_{i})\otimes \dotsb \otimes v_{s}=\lambda (v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{i}\otimes \dotsb \otimes v_{s}),\quad \lambda \in K}$

Die Tensoren der Form ${\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s}}$ heißen elementar. Jeder Tensor lässt sich als Summe von elementaren Tensoren schreiben, aber diese Darstellung ist außer in trivialen Fällen nicht eindeutig, wie man an der ersten der beiden Rechenregeln sieht.

Ist ${\displaystyle \{e_{i}^{(1)},\dotsc ,e_{i}^{(d_{i})}\}}$ eine Basis von ${\displaystyle V_{i}}$ (für ${\displaystyle i=1,\dotsc ,s}$; ${\displaystyle d_{i}=\dim V_{i}}$), so ist

${\displaystyle \{e_{1}^{(j_{1})}\otimes \dotsb \otimes e_{s}^{(j_{s})}\mid 1\leq i\leq s,1\leq j_{i}\leq d_{i}\}}$

eine Basis von ${\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}.}$ Die Dimension von ${\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}$ ist also das Produkt der Dimensionen der einzelnen Vektorräume ${\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}.}$

Erweiterung auf mehrere Faktoren: Universelle Eigenschaft für mehrfache Tensorprodukte und Multilinearformen

Die bisherigen Betrachtungen z​ur universellen Eigenschaft lassen s​ich wie f​olgt auf mehrere Faktoren ausweiten.

Der Dualraum von ${\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}$ kann (gemäß der universellen Eigenschaft) mit dem Raum ${\displaystyle L(V_{1},\dotsc ,V_{s};K)}$ der ${\displaystyle s}$-Multilinearformen identifiziert werden:

• Ist ${\displaystyle \lambda \colon V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}\to K}$ eine Linearform auf ${\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s},}$ so ist durch ${\displaystyle (v_{1},\dotsc ,v_{s})\mapsto \lambda (v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s})}$ eine ${\displaystyle s}$-Multilinearform gegeben. Es stellt sich die Frage, ob jede ${\displaystyle s}$-Multilinearform auf diese Weise konstruiert werden kann. Die bejahende Antwort gibt die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes:

• Ist nämlich umgekehrt ${\displaystyle \mu \colon V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to K}$ eine ${\displaystyle s}$-Multilinearform, so ist die mit ihr – gemäß der universellen Eigenschaft – korrespondierende Linearform ${\displaystyle \mu '\in L(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s};K)}$ festgelegt, indem sie für die elementaren Tensoren (im Einklang mit der universellen Eigenschaft) definiert und dann linear auf den ganzen Vektorraum ${\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}$ fortgesetzt wird. Für die elementaren Tensoren gilt gemäß der universellen Eigenschaft: ${\displaystyle \mu '(v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s})=\mu (v_{1},\dotsc ,v_{s}).}$

Wie o​ben (im Abschnitt z​ur universellen Eigenschaft) für d​en Fall zweier Vektorräume formuliert, g​ilt nämlich a​uch für mehrere Faktoren (bis a​uf Isomorphie) d​ie universelle Eigenschaft. Und d​iese lässt s​ich in folgender Weise formulieren u​nd umfasst zugleich d​ie Aussage d​er beiden obigen Spiegelpunkte:

Definition: Es seien ${\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}}$ sowie ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Vektorräume über dem Körper ${\displaystyle K}$. Dann heißt die multilineare Abbildung ${\displaystyle t\colon V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to X}$ das Tensorprodukt der Vektorräume ${\displaystyle V_{i}}$ über ${\displaystyle K}$, wenn sie folgende Eigenschaft hat: Zu jeder multilinearen Abbildung ${\displaystyle \mu \in L(V_{1},\dotsc ,V_{s};Y)}$ gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung ${\displaystyle \mu '\in L(X;Y)}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle \mu '(t(v_{1},\dotsc ,v_{s}))=\mu (v_{1},\dotsc ,v_{s})}$ für alle Tupel ${\displaystyle (v_{1},\dotsc ,v_{s})\in V_{1}\times \dotsb \times V_{s}.}$ Man schreibt dann:

$${\displaystyle t(v_{1},\dotsc ,v_{s})=v_{1}\otimes \dotsc \otimes v_{s}\qquad {\text{ und }}\qquad X=V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}$$

Wenn es einen solchen Vektorraum ${\displaystyle X}$ mit einer solchen multilinearen Abbildung ${\displaystyle t}$ gibt, dann ist der Vektorraum ${\displaystyle X}$ aufgrund eben dieser universellen Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Daher wird häufig nur von dem Vektorraum ${\displaystyle X}$ gesprochen, obwohl genau genommen auch die zugehörige multilineare Abbildung ${\displaystyle t\colon V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to X}$ Bestandteil des Tensorproduktes ist.

Tatsächlich lässt sich für die Kategorie der Vektorräume (genauer: in der Kategorie der multilinearen Abbildungen ${\displaystyle \psi :V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to [??]}$ auf vorgegebenen Vektorräumen ${\displaystyle V_{i}}$ in einen beliebigen Vektorraum) ein solches Tensorprodukt konstruieren. Es ist durch die universelle Eigenschaft eindeutig bis auf Isomorphie gekennzeichnet.

Wenn also ${\displaystyle X=V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}$ das (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte) Tensorprodukt der Vektorräume ${\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}}$ bezeichnet, so etabliert die universelle Eigenschaft einen Isomorphismus von Vektorräumen (Beachte: Der Raum der linearen Abbildungen und der Raum der multilinearen Abbildungen sind in natürlicher Weise Vektorräume):

$${\displaystyle {\begin{matrix}L(V_{1},\dotsc ,V_{s};Y)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(X,Y)=L(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s};Y)\\\lambda &\longmapsto &\lambda '{\text{ definiert durch Festlegung auf den elementaren Tensoren}}\\&&\lambda '\circ t(v_{1},\dotsc ,v_{s})=\lambda '(v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s}):=\lambda (v_{1},\dotsc ,v_{s})\\&&{\text{ und }}K{\text{-lineare Fortsetzung auf den gesamten (Tensor-)Raum }}X.\end{matrix}}}$$

Die Surjektivität dieser Abbildung nämlich i​st gleichbedeutend m​it der Existenzaussage („zu j​eder multilinearen Abbildung g​ibt es“, vgl. zweiten Spiegelpunkt), d​ie Injektivität hingegen m​it der Eindeutigkeitsaussage („eine eindeutig bestimmte“). Da d​ie angegebene Abbildung e​ine lineare Abbildung i​st (Homomorphismus v​on Vektorräumen), i​st sie e​in Isomorphismus v​on Vektorräumen.

Sind alle betrachteten Vektorräume endlichdimensional, so kann man demnach für den Fall ${\displaystyle Y=K}$ die beiden Vektorräume

${\displaystyle L(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s};K)=:(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s})^{*}\quad \mathrm {und} \quad V_{1}^{*}\otimes \dotsb \otimes V_{s}^{*}}$

in natürlicher Weise miteinander identifizieren, d. h., Elemente von ${\displaystyle V_{1}^{*}\otimes \dotsb \otimes V_{s}^{*}}$ entsprechen ${\displaystyle s}$-Multilinearformen auf ${\displaystyle V_{1}\times \dotsb \times V_{s}.}$

Invarianten von Tensoren 1. und 2. Stufe

Als Invarianten e​ines ein- o​der zweistufigen Tensors bezeichnet m​an Skalare, d​ie sich u​nter orthogonalen Koordinatentransformationen d​es Tensors n​icht ändern. Für Tensoren erster Stufe führt d​ie Bildung d​er vom Skalarprodukt induzierten Norm z​u einer Invarianten

${\displaystyle I_{1}=x^{j}x_{j}=x'^{j}x'_{j}}$,

wobei h​ier und i​m Folgenden wieder d​ie einsteinsche Summenkonvention verwendet wird. Für Tensoren zweiter Stufe i​m dreidimensionalen euklidischen Raum lassen s​ich im Allgemeinen s​echs irreduzible Invarianten (das heißt Invarianten, d​ie nicht d​urch andere Invarianten ausgedrückt werden können) finden:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}I_{1}&=A_{ii}&&=\mathrm {Spur} \left(A\right)\;,\\I_{2}&=A_{ij}A_{ji}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{2}\right)\;,\\I_{3}&=A_{ij}A_{ij}&&=\mathrm {Spur} \left(AA^{T}\right)\;,\\I_{4}&=A_{ij}A_{jk}A_{ki}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{3}\right)\;,\\I_{5}&=A_{ij}A_{jk}A_{ik}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{2}A^{T}\right)\;,\\I_{6}&=A_{ij}A_{jk}A_{lk}A_{il}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{2}\left(A^{2}\right)^{T}\right)\end{alignedat}}}$

Im Falle von symmetrischen Tensoren 2. Stufe (z. B. dem Verzerrungstensor) fallen die Invarianten ${\displaystyle I_{2}=I_{3}}$ und ${\displaystyle I_{4}=I_{5}}$ zusammen. Außerdem lässt sich ${\displaystyle I_{6}}$ über die anderen 3 Invarianten darstellen (ist also nicht mehr irreduzibel). Die Determinante ist auch eine Invariante, sie lässt sich beispielsweise für ${\displaystyle 3\times 3}$-Matrizen über die irreduziblen Invarianten ${\displaystyle I_{1}}$, ${\displaystyle I_{2}}$ und ${\displaystyle I_{4}}$ darstellen als[5]

${\displaystyle \mathrm {Det} (A)={\frac {1}{6}}I_{1}^{3}-{\frac {1}{2}}I_{1}I_{2}+{\frac {1}{3}}I_{4}.}$

Für antisymmetrische Tensoren gilt ${\displaystyle I_{1}=0}$, ${\displaystyle I_{2}=-I_{3}}$, ${\displaystyle I_{4}=-I_{5}=0}$ und ${\displaystyle I_{6}}$ lässt sich wieder auf ${\displaystyle I_{2}}$ zurückführen.[6] Somit haben im dreidimensionalen euklidischen Raum symmetrische Tensoren 2. Stufe drei irreduzible Invarianten und antisymmetrische Tensoren 2. Stufe eine irreduzible Invariante.

Siehe auch: Hauptinvariante

Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie

Man kann das Tensorprodukt ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}V:=V\otimes V}$ eines Vektorraumes ${\displaystyle V}$ mit sich selbst bilden. Ohne weiteres Wissen über den Vektorraum kann ein Automorphismus des Tensorprodukts definiert werden, der darin besteht, in den reinen Produkten ${\displaystyle a\otimes b}$ die Faktoren zu vertauschen:

${\displaystyle \Pi _{12}(a\otimes b):=b\otimes a}$

Da das Quadrat dieser Abbildung die Identität ist, folgt, dass für die Eigenwerte nur die Werte ${\displaystyle \pm 1}$ in Frage kommen.

• Ein ${\displaystyle w\in V\otimes V}$, das ${\displaystyle \Pi _{12}(w):=w}$ erfüllt, heißt symmetrisch. Beispiele sind die Elemente

${\displaystyle w=a\odot b:={\frac {1}{2}}(a\otimes b+b\otimes a)}$.

Die Menge aller symmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}V=(1+\Pi _{12})(V\otimes V)}$ bezeichnet.

• Ein ${\displaystyle w\in V\otimes V}$, das ${\displaystyle \Pi _{12}(w):=-w}$ erfüllt, heißt antisymmetrisch oder alternierend. Beispiele sind die Elemente

${\displaystyle w=a\wedge b:={\frac {1}{2}}(a\otimes b-b\otimes a)}$.

Die Menge aller antisymmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit ${\displaystyle \Lambda ^{2}V:=(1-\Pi _{12})(V\otimes V)}$ bezeichnet.

Mittels ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{n+1}V:=V\otimes {\mathcal {T}}^{n}V}$ können Tensorpotenzen von ${\displaystyle V}$ beliebiger Stufe gebildet werden. Entsprechend können weitere paarweise Vertauschungen definiert werden. Nur sind diese nicht mehr voneinander unabhängig. So lässt sich jede Vertauschung der Stellen ${\displaystyle j}$ und ${\displaystyle k}$ auf Vertauschungen mit der ersten Stelle zurückführen:

${\displaystyle \Pi _{jk}=\Pi _{1j}\circ \Pi _{1k}\circ \Pi _{1j}}$

Injektives und projektives Tensorprodukt

→ Hauptartikel: Injektives Tensorprodukt und Projektives Tensorprodukt

Falls d​ie Vektorräume, d​ie man miteinander tensorieren will, e​ine Topologie besitzen, s​o ist e​s wünschenswert, d​ass ihr Tensorprodukt ebenfalls e​ine Topologie besitzt. Es g​ibt natürlich v​iele Möglichkeiten, e​ine solche Topologie z​u definieren. Das injektive beziehungsweise d​as projektive Tensorprodukt s​ind dafür jedoch e​ine natürliche Wahl.

Tensoranalysis

→ Hauptartikel: Tensoranalysis

Ursprünglich w​urde der Tensorkalkül n​icht in d​em modernen h​ier vorgestellten algebraischen Konzept untersucht, sondern entstand a​us Überlegungen z​ur Differentialgeometrie. Insbesondere Gregorio Ricci-Curbastro u​nd sein Schüler Tullio Levi-Civita h​aben ihn entwickelt. Man n​ennt den Tensorkalkül d​aher auch Ricci-Kalkül. Albert Einstein g​riff den Kalkül i​n seiner Relativitätstheorie auf, w​as diesem große Bekanntheit i​n der Fachwelt einbrachte. Die damaligen Tensoren werden h​eute als Tensorfelder bezeichnet u​nd spielen i​n der Differentialgeometrie a​uch heute n​och eine wichtige Rolle. Im Gegensatz z​u Tensoren s​ind Tensorfelder differenzierbare Abbildungen, d​ie jedem Punkt d​es zugrundeliegenden (oft gekrümmten) Raums e​inen Tensor zuordnen.

Siehe auch

• Formelsammlung Tensoralgebra
• Formelsammlung Tensoranalysis

Literatur

• Theodor Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Birkhäuser, Basel 2004, ISBN 3-7643-2178-4, Kap. VII: Tensorrechnung.
• Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences. 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-96790-7.
• Theodore Frankel: The Geometry of Physics. An Introduction. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1997, ISBN 0-521-38334-X.
• Horst Teichmann: Physikalische Anwendungen der Vektor- und Tensorrechnung (= BI-Hochschultaschenbücher. 39). 3. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1973, ISBN 3-411-00039-2.
• André Lichnerowicz: Einführung in die Tensoranalysis (= BI Hochschultaschenbuch. 77). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1966.
• Horst Lippmann: Angewandte Tensorrechnung. Springer 1993.
• Mikhail Itskov: Tensor algebra and tensor analysis for engineers. 3. Auflage. Springer, Heidelberg u. a. 2013, ISBN 978-3-642-30878-9.
• Adalbert Duschek: Der Tensorbegriff und seine Bedeutung für die Physik. Teil 1, 2, 3, Physikalische Blätter 1954, 1955, Teil 1, Geometrische Grundlagen, Teil 2, Tensoralgebra, Teil 3, Tensoranalysis.
• Karin Reich: Die Entwicklung des Tensorkalküls. Vom absoluten Differentialkalkül zur Relativitätstheorie. Birkhäuser 1994 (zur Geschichte).

Weblinks

• Georg Bernhardt: Über Tensoren, Matrizen und Pseudovektoren. PDF, deutsch, 340 kB.
• Joseph C. Kolecki: An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering. Einführung in die Tensorrechnung für Studenten, PDF, englisch, 328 kB, NASA-Publikation.
• Eigenvalue-Eigenvector Glyphs: Visualizing Zeroth, Second, Fourth and Higher Order Tensors in a Continuum. Webseite zur Visualisierung von Vektoren, englisch.
• Siegfried Petry: Einführung in die Tensorrechnung.

Einzelnachweise

1. Ein elementarer Tensor (oder einfacher Tensor) bildet auf einen Zahlenwert (Skalar) ab.
2. M. M. G. Ricci, T. Levi-Civita: Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications. In: Mathematische Annalen. 54, 1901, ISSN 0025-5831, S. 125–201, online.
3. John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 172–179.
4. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7 S. 338–339.
5. Kerstin Weinberg: Vorlesungsskript. Tensoralgebra und -Analysis. (PDF; 235 kB) Universität Siegen, 24. Oktober 2012, abgerufen am 27. November 2020.
6. Heinz Schade, Klaus Neemann: Tensoranalysis. 2. überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin / New York 2006, ISBN 3-11-018943-7, S. 277 ff.