Assoziative Algebra

Assoziative Algebra i​st ein Begriff a​us der abstrakten Algebra, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik. Es handelt s​ich um e​ine algebraische Struktur, d​ie den Begriff d​es Vektorraums bzw. d​es Moduls dahingehend erweitert, d​ass zusätzlich z​ur Vektoraddition e​ine assoziative Multiplikation a​ls innere Verknüpfung definiert wird.

Definition

Ein Vektorraum ${\displaystyle A}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ oder ein Modul ${\displaystyle A}$ über einem Ring ${\displaystyle R}$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung

${\displaystyle *\colon A\times A\longrightarrow A,\quad (a,b)\longmapsto a*b}$

heißt assoziative Algebra, wenn für alle ${\displaystyle a,b,c\in A}$ das folgende Assoziativgesetz gilt:

${\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c.}$

Es handelt s​ich also u​m eine spezielle Algebra über e​inem Körper o​der eine spezielle Algebra über e​inem kommutativen Ring.

Beispiele

• Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper ${\displaystyle K}$ bilden (mit der üblichen Multiplikation) eine assoziative Algebra über diesem Körper.
• Die Endomorphismen eines Vektorraums ${\displaystyle V}$ bilden mit der Verkettung eine assoziative Algebra. Hierbei ist die Verknüpfung ${\displaystyle *}$ nicht kommutativ, sofern die Dimension von ${\displaystyle V}$ größer als 1 ist.
• Ist ${\displaystyle V}$ ein unendlichdimensionaler Vektorraum und betrachtet man nur die Endomorphismen mit endlich-dimensionalem Bild, erhält man ein Beispiel, bei dem ${\displaystyle *}$ kein Einselement hat.
• Der Vektorraum aller reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem beliebigen topologischem Raum bildet eine assoziative Algebra; dabei werden die Funktionen punktweise addiert und multipliziert.
• Der Vektorraum aller stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem Banachraum bildet eine assoziative Algebra, bzw. sogar eine Banach-Algebra.
• Der Matrizenraum aller ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrizen bildet zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine assoziative Algebra.
• Die komplexen Zahlen bilden eine assoziative Algebra über dem Körper der reellen Zahlen.
• Die Quaternionen sind eine assoziative Algebra über dem Körper der reellen Zahlen, aber nicht über den komplexen Zahlen.

Literatur

• Serge Lang: Algebra. Revised 3rd Edition, Springer-Verlag, 2002, ISBN 0-387-95385-X