Erzeugendensystem

Ein Erzeugendensystem i​st in d​er Mathematik e​ine Teilmenge d​er Grundmenge e​iner mathematischen Struktur, a​us der d​urch Anwendung d​er verfügbaren Operationen j​edes Element d​er gesamten Menge dargestellt werden kann. Speziell heißt d​as im Fall v​on Vektorräumen, d​ass jeder Vektor a​ls Linearkombination v​on Vektoren d​es Erzeugendensystems dargestellt werden kann. Im Fall v​on Gruppen bedeutet dies, d​ass jedes Gruppenelement a​ls Produkt a​us Elementen d​es Erzeugendensystems u​nd deren Inversen dargestellt werden kann. Es g​ibt den Begriff d​es Erzeugendensystems a​ber auch für weitere algebraische Strukturen, w​ie Moduln u​nd Ringe, u​nd auch für nichtalgebraische Strukturen, w​ie topologische Räume.

Erzeugendensysteme e​iner vorgegebenen mathematischen Struktur s​ind in d​er Regel n​icht eindeutig bestimmt. Die Existenz e​ines Erzeugendensystems i​st hingegen m​eist leicht z​u zeigen, d​a oft d​ie Grundmenge selbst a​ls Erzeugendensystem gewählt werden kann. Häufig w​ird daher versucht, e​in minimales Erzeugendensystem z​u finden. Dies i​st jedoch n​icht immer möglich u​nd allgemeine Existenzbeweise für minimale Erzeugendensysteme machen n​icht selten v​om zornschen Lemma Gebrauch (siehe beispielsweise d​ie Existenz e​iner Basis i​n Vektorräumen).

Allgemein lässt s​ich auch d​ie von e​iner beliebigen Teilmenge erzeugte Unterstruktur e​iner mathematischen Struktur betrachten. Diese Unterstruktur w​ird Erzeugnis dieser Teilmenge genannt u​nd die Teilmenge selbst heißt d​ann erzeugende Menge o​der Erzeuger d​er Unterstruktur. So i​st jeder Untervektorraum d​as Erzeugnis e​iner erzeugenden Menge v​on Vektoren (nämlich gerade d​ie lineare Hülle dieser Vektoren) u​nd jede Untergruppe d​as Erzeugnis e​iner erzeugenden Menge v​on Gruppenelementen.

Erzeugendensysteme in der linearen Algebra

Definition

Ist ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$, dann heißt eine Menge ${\displaystyle E\subseteq V}$ Erzeugendensystem von ${\displaystyle V}$, falls jeder Vektor aus ${\displaystyle V}$ als Linearkombination von Vektoren aus ${\displaystyle E}$ darstellbar ist. Jeder Vektor ${\displaystyle v\in V}$ besitzt demnach eine Zerlegung der Form

${\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\dotsb +\lambda _{n}e_{n}}$

mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle \lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n}\in K}$ und ${\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{n}\in E}$. Eine solche Zerlegung ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Ein Vektorraum heißt endlich erzeugt, wenn er ein Erzeugendensystem aus endlich vielen Vektoren besitzt.

Koordinatenraum

Standardbasisvektoren in der euklidischen Ebene

Zwei unterschiedliche Erzeugendensysteme: der Vektor ${\displaystyle v}$ lässt sich durch ${\displaystyle v=xe_{1}+ye_{2}}$ oder durch ${\displaystyle v=f_{1}+f_{2}}$ darstellen.

Ein Erzeugendensystem des reellen Koordinatenraums ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ besteht aus den sogenannten Standardbasisvektoren

${\displaystyle e_{1}=(1,0,0,\dotsc ,0),e_{2}=(0,1,0,\dotsc ,0),\dotsc ,e_{n}=(0,0,0,\dotsc ,1)}$.

Tatsächlich lässt sich jeder Vektor ${\displaystyle v=(v_{1},\dotsc ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ durch

${\displaystyle v=v_{1}e_{1}+v_{2}e_{2}+\dotsb +v_{n}e_{n}}$

mit ${\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{n}\in \mathbb {R} }$ als Linearkombination dieser Vektoren darstellen. Weitere Erzeugendensysteme können durch Hinzunahme zusätzlicher „überflüssiger“ Vektoren erhalten werden. Insbesondere stellt auch die Menge aller Vektoren des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ein Erzeugendensystem des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dar. Es gibt auch Erzeugendensysteme, die die Vektoren ${\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{n}}$ nicht enthalten. Beispielsweise ist

${\displaystyle f_{1}=(-1,1,0,\dotsc ,0),f_{2}=(0,-1,1,\dotsc ,0),\dotsc ,f_{n}=(0,0,0,\dotsc ,-1)}$

ein Erzeugendensystem des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, denn jeder Vektor ${\displaystyle v=(v_{1},\dotsc ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ lässt sich auch durch

${\displaystyle v=(-v_{1})f_{1}+(-v_{1}-v_{2})f_{2}+\dotsb +(-v_{1}-v_{2}-\dotsb -v_{n})f_{n}}$

darstellen.

Polynomraum

Ein Beispiel eines nicht endlich erzeugten Vektorraums ist der Polynomraum ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ der Polynome mit reellen Koeffizienten in einer Variablen ${\displaystyle x}$. Ein Erzeugendensystem des ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ ist die Menge der Monome

${\displaystyle E=\{1,x,x^{2},\dotsc ,x^{k},\dotsc \}}$.

Dies ist ein Erzeugendensystem, weil sich jedes Polynom vom Grad ${\displaystyle n}$ als

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n}x^{n}}$,

also a​ls (endliche) Linearkombination v​on Monomen darstellen lässt. Auch h​ier gibt e​s viele weitere Erzeugendensysteme, z​um Beispiel d​ie Legendre-Polynome o​der die Tschebyschow-Polynome. Man k​ann aber zeigen, d​ass der Polynomraum k​ein endliches Erzeugendensystem besitzt.

Folgenraum

Ein weiteres Beispiel eines nicht endlich erzeugten Vektorraums ist der Folgenraum ${\displaystyle \omega }$ der reellen Zahlenfolgen ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc )}$ mit ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }$ für ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$. In diesem Fall stellt jedoch die naheliegende Wahl von

${\displaystyle e_{0}=(1,0,0,\dotsc ),e_{1}=(0,1,0,\dotsc ),e_{2}=(0,0,1,\dotsc ),\dotsc }$

kein Erzeugendensystem von ${\displaystyle \omega }$ dar, weil sich nicht jede Folge als (endliche) Linearkombination der ${\displaystyle e_{i}}$ darstellen lässt. Dies ist lediglich für Folgen möglich, bei denen nur endlich viele Folgenglieder ungleich Null sind. Ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle \omega }$ besteht zwangsläufig aus überabzählbar vielen Elementen.

Nullvektorraum

Der Nullvektorraum ${\displaystyle \{0\}}$, der nur aus dem Nullvektor ${\displaystyle 0}$ besteht, besitzt die beiden Erzeugendensysteme

${\displaystyle E=\emptyset }$   und   ${\displaystyle E=\{0\}}$.

Die leere Menge bildet e​in Erzeugendensystem d​es Nullvektorraums, d​a die leere Summe v​on Vektoren p​er Definition d​en Nullvektor ergibt.

Minimalität

Ein Erzeugendensystem ${\displaystyle E\subseteq V}$ heißt minimal, falls kein Vektor ${\displaystyle e\in E}$ existiert, sodass ${\displaystyle E\setminus \{e\}}$ weiterhin ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle V}$ ist. Gemäß dem Basisauswahlsatz kann aus jedem nicht-minimalen Erzeugendensystem durch Weglassen „überflüssiger“ Elemente ein minimales Erzeugendensystem ausgewählt werden. Das ist leicht im Fall endlich-dimensionaler Vektorräume zu sehen, im Fall unendlich-dimensionaler Vektorräume benötigt man für den Beweis das Lemma von Zorn.

Ein minimales Erzeugendensystem ${\displaystyle E}$ besteht stets aus linear unabhängigen Vektoren. Wären nämlich die Vektoren in ${\displaystyle E}$ nicht linear unabhängig, dann gibt es einen Vektor ${\displaystyle e\in E}$, der sich als Linearkombination von Vektoren in ${\displaystyle E\setminus \{e\}}$ darstellen lässt. Dann lässt sich aber jede Linearkombination von Vektoren aus ${\displaystyle E}$ auch als Linearkombination von Vektoren in ${\displaystyle E\setminus \{e\}}$ schreiben und ${\displaystyle E}$ wäre nicht minimal. Jedes minimale Erzeugendensystem stellt somit eine Basis des Vektorraums dar, das heißt, jeder Vektor des Raums lässt sich eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.

Erzeugte Untervektorräume

Zu einer beliebigen Menge ${\displaystyle E\subseteq V}$ kann auch der von ${\displaystyle E}$ erzeugte Untervektorraum ${\displaystyle W\subseteq V}$ betrachtet werden. Zur Konstruktion von ${\displaystyle W}$ gibt es die folgenden beiden Verfahren.

Bei dem ersten Verfahren wird der Durchschnitt aller Untervektorräume von ${\displaystyle V}$, die ${\displaystyle E}$ enthalten, betrachtet. Dies ist selbst ein Untervektorraum von ${\displaystyle V}$, da der Durchschnitt einer nichtleeren Menge von Untervektorräumen wiederum ein Untervektorraum ist, und ${\displaystyle V}$ mit sich selbst zumindest einen Untervektorraum besitzt, der ${\displaystyle E}$ enthält. Dieser Untervektorraum ist der kleinste Untervektorraum im Sinne der Inklusion, der ${\displaystyle E}$ als Teilmenge enthält.

Bei dem zweiten Verfahren wird die Menge aller möglichen Linearkombinationen von Elementen der Menge ${\displaystyle E}$ betrachtet. Diese Menge wird die lineare Hülle von ${\displaystyle E}$ genannt und mit ${\displaystyle \langle E\rangle }$ bezeichnet. Der Untervektorraum ${\displaystyle W}$ ist damit genau der von ${\displaystyle E}$ im Sinne der obigen Definition erzeugte Vektorraum. Die Menge ${\displaystyle E}$ ist also ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle W}$.

Erzeugendensysteme in der Gruppentheorie

Definition

Ist ${\displaystyle G}$ eine Gruppe, dann heißt eine Teilmenge ${\displaystyle E\subseteq G}$ ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle G}$, wenn sich jedes Element ${\displaystyle g\in G}$ als endliches Produkt von Elementen aus ${\displaystyle E}$ und deren Inversen darstellen lässt. Das heißt, jedes Gruppenelement hat eine Darstellung der Form

${\displaystyle g=a_{1}\,a_{2}\dotsm a_{n}}$

mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\displaystyle a_{i}\in E}$ oder ${\displaystyle a_{i}^{-1}\in E}$ für ${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$. Eine solche Zerlegung ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Eine Gruppe heißt endlich erzeugt, wenn sie ein Erzeugendensystem aus endlich vielen Elementen besitzt.

Gruppe der ganzen Zahlen

Ein anschauliches Beispiel ist die Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung und dem neutralen Element ${\displaystyle 0}$. Die erlaubten Operationen sind hier die Addition von Zahlen und der Übergang zum Negativen einer Zahl. Diese Gruppe wird von der einelementigen Menge

${\displaystyle E=\{1\}}$

erzeugt, denn jede positive Zahl lässt sich durch sukzessive Addition ${\displaystyle 1+\dotsb +1}$ aus der ${\displaystyle 1}$ gewinnen und alle weiteren durch ${\displaystyle 1+(-1)+\dotsb +(-1)}$. Analog ist auch

${\displaystyle E=\{-1\}}$

ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Diese beiden Erzeugendensysteme sind minimal, denn ihre einzige echte Teilmenge ist die leere Menge, und diese stellt kein Erzeugendensystem für ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dar. Ein weiteres Erzeugendensystem ist

${\displaystyle E=\{2,3\}}$,

denn ${\displaystyle 3+(-2)=1}$ und durch ${\displaystyle \{1\}}$ wird bereits ganz ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ erzeugt. Es ist sogar minimal, das heißt, keine echte Teilmenge von ${\displaystyle E}$ ist ein Erzeugendensystem. Dieses Beispiel zeigt, dass minimale Erzeugendensysteme nicht unbedingt von minimaler Mächtigkeit sein müssen, denn ${\displaystyle \{1\}}$ und ${\displaystyle \{-1\}}$ sind Erzeugendensysteme von echt kleinerer Mächtigkeit. Im Allgemeinen wird ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ von einer nicht-leeren Teilmenge ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {Z} }$ erzeugt, wenn der größte gemeinsame Teiler ${\displaystyle d}$ aller Elemente aus ${\displaystyle E}$ den Betrag ${\displaystyle |d|=1}$ hat. Das zeigt der euklidische Algorithmus, denn dieser produziert als Nebenprodukt eine Darstellung von ${\displaystyle d}$ als ganze Linearkombination von Elementen aus ${\displaystyle E}$ (und jede solche Linearkombination wird von ${\displaystyle d}$ geteilt).

Zyklische Gruppen

Die Gruppe der fünften Einheitswurzeln ist zyklisch, jedes von ${\displaystyle 1}$ verschiedene Element ist ein Erzeuger.

Besitzt eine Gruppe ${\displaystyle G}$ ein einelementiges Erzeugendensystem

${\displaystyle E=\{a\}}$,

dann nennt man die Gruppe zyklisch mit dem Erzeuger ${\displaystyle a}$. Hier gilt dann

${\displaystyle G=\{a^{z}\mid z\in \mathbb {Z} \}}$,

das heißt, die Gruppe besteht aus den ganzzahligen Potenzen des Erzeugers ${\displaystyle a}$. Damit ist auch

${\displaystyle E=\{a^{-1}\}}$

ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle G}$. Die zyklischen Gruppen können vollständig klassifiziert werden. Zu jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ gibt es eine zyklische Gruppe ${\displaystyle C_{n}}$ mit genau ${\displaystyle n}$ Elementen und es gibt die unendliche zyklische Gruppe ${\displaystyle C_{\infty }}$. Jede andere zyklische Gruppe ist zu einer dieser Gruppen isomorph. Insbesondere ist ${\displaystyle C_{\infty }}$ isomorph zur obigen additiven Gruppe der ganzen Zahlen und ${\displaystyle C_{n}}$ ist isomorph zur Restklassengruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ mit der Addition (modulo ${\displaystyle n}$) als Verknüpfung. In dieser Restklassengruppe ist jede Zahl ${\displaystyle a}$, die teilerfremd zu ${\displaystyle n}$ ist, ein Erzeuger. Ist ${\displaystyle n}$ prim, dann stellt sogar jede Zahl ${\displaystyle a\neq 0}$ einen Erzeuger dar.

Diedergruppe

Die achtelementige Symmetrie­gruppe des Quadrats wird von der Drehung um 90° und der Spiegelung an einer Mittel­senkrechten erzeugt.

Ein Beispiel für eine Gruppe, die von mindestens zwei Elementen erzeugt wird, ist die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$. Die Diedergruppe ist die Isometriegruppe eines regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecks in der Ebene. Sie besteht aus ${\displaystyle 2n}$ Elementen, nämlich den ${\displaystyle n}$ Drehungen ${\displaystyle r_{0},\dotsc ,r_{n-1}}$ und den ${\displaystyle n}$ Spiegelungen ${\displaystyle s_{0},\dotsc ,s_{n-1}}$. Die Drehung ${\displaystyle r_{k}}$ dreht das Polygon dabei um den Winkel ${\displaystyle 2\pi k/n}$ und die Spiegelung ${\displaystyle s_{k}}$ spiegelt es an einer Achse, die im Winkel ${\displaystyle \pi k/n}$ geneigt ist. Ein Erzeugendensystem der Diedergruppe ist

${\displaystyle E=\{r_{1},s_{0}\}}$,

denn jede Drehung kann durch wiederholte Anwendung von ${\displaystyle r_{1}}$ dargestellt werden (die Drehungen bilden eine zyklische Untergruppe), das heißt ${\displaystyle r_{k}=r_{1}^{k}}$, und jede Spiegelung durch Anwendung von ${\displaystyle s_{0}}$ und einer nachfolgenden Drehung, also ${\displaystyle s_{k}=r_{1}^{k}\,s_{0}}$. Die Spiegelung ${\displaystyle s_{0}}$ kann dabei auch durch eine beliebige andere Spiegelung ${\displaystyle s_{k}}$ ersetzt werden. Die Diedergruppe besitzt auch das Erzeugendensystem

${\displaystyle E=\{s_{0},s_{1}\}}$

bestehend aus zwei Spiegelungen, denn die Drehung ${\displaystyle r_{1}}$ hat die Darstellung ${\displaystyle r_{1}=s_{1}\,s_{0}}$ und ${\displaystyle \{r_{1},s_{0}\}}$ wurde bereits als Erzeugendensystem identifiziert. Statt ${\displaystyle s_{0},s_{1}}$ bilden auch zwei beliebige benachbarte Spiegelungen ${\displaystyle s_{k},s_{k+1}}$ ein Erzeugendensystem der Diedergruppe, denn es gilt auch ${\displaystyle r_{1}=s_{k+1}\,s_{k}}$.

Gruppen rationaler Zahlen

Ein Beispiel für eine nicht endlich erzeugte Gruppe ist die Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ der rationalen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Diese Gruppe wird beispielsweise von der Menge der Stammbrüche

${\displaystyle E=\left\{{\tfrac {1}{1}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dotsc \right\}}$

erzeugt. Sie lässt sich jedoch von keiner endlichen Menge ${\displaystyle \{q_{1},\dotsc ,q_{n}\}}$ rationaler Zahlen erzeugen. Zu jeder solchen Menge lässt sich nämlich eine weitere rationale Zahl ${\displaystyle r}$ finden, die sich nicht als Summe der Zahlen ${\displaystyle q_{1},\dotsc ,q_{n}}$ und ihrer Gegenzahlen darstellen lässt. Hierzu wird einfach der Nenner der Zahl ${\displaystyle r}$ teilerfremd zu den Nennern der Zahlen ${\displaystyle q_{1},\dotsc ,q_{n}}$ gewählt. Auch die Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Q} ^{+},\cdot )}$ der positiven rationalen Zahlen mit der Multiplikation als Verknüpfung ist nicht endlich erzeugt. Ein Erzeugendensystem dieser Gruppe ist die Menge der Primzahlen

${\displaystyle E=\{2,3,5,\dotsc \}}$.

Triviale Gruppe

Die triviale Gruppe ${\displaystyle \{e\}}$, die nur aus dem neutralen Element ${\displaystyle e}$ besteht, besitzt die beiden Erzeugendensysteme

${\displaystyle E=\emptyset }$   und   ${\displaystyle E=\{e\}}$.

Die l​eere Menge bildet e​in Erzeugendensystem d​er trivialen Gruppe, d​a das leere Produkt v​on Gruppenelementen p​er Definition d​as neutrale Element ergibt.

Symmetrie

Der Cayleygraph der freien Gruppe mit zwei Erzeugern a und b

Ein Erzeugendensystem ${\displaystyle E}$ heißt symmetrisch, wenn

${\displaystyle a\in E\Longleftrightarrow a^{-1}\in E}$

gilt. Jedem endlichen, symmetrischen Erzeugendensystem e​iner Gruppe k​ann man seinen Cayley-Graphen zuordnen. Unterschiedliche endliche, symmetrische Erzeugendensysteme derselben Gruppe g​eben quasi-isometrische Cayley-Graphen, d​er Quasi-Isometrie-Typ d​es Cayley-Graphen i​st also e​ine Invariante endlich erzeugter Gruppen.

Präsentation von Gruppen

→ Hauptartikel: Präsentation einer Gruppe

Allgemein kann eine Gruppe ${\displaystyle G}$ als Bild unter der kanonischen Abbildung ${\displaystyle h\colon F(E)\to G}$ der freien Gruppe ${\displaystyle F(E)}$ über dem Erzeugendensystem ${\displaystyle E}$ dargestellt werden, wobei ${\displaystyle h}$ die Inklusion ${\displaystyle f\colon E\to G}$ fortsetzt. Dies erklärt die obige explizite Beschreibung des Erzeugnisses. Weiterhin findet diese Interpretation wichtige Anwendungen in der Gruppentheorie. Wir nehmen an, dass ${\displaystyle h}$ surjektiv ist, das heißt, dass ${\displaystyle G}$ von ${\displaystyle E}$ erzeugt wird. Die Kenntnis des Kernes ${\displaystyle N}$ von ${\displaystyle h}$ bestimmt dann ${\displaystyle G}$ bis auf Isomorphie eindeutig. In günstigen Fällen lässt sich der Kern selbst wiederum durch Erzeuger ${\displaystyle M\subseteq N}$ einfach beschreiben. Das Datum ${\displaystyle (E,M)}$ legt dann ${\displaystyle G}$ bis auf Isomorphie eindeutig fest.

Erzeugte Untergruppen

Die von einer beliebigen Menge ${\displaystyle E\subseteq G}$ erzeugte Untergruppe von ${\displaystyle G}$ wird mit ${\displaystyle \langle E\rangle }$ bezeichnet, sie besteht aus dem neutralen Element und allen endlichen Produkten ${\displaystyle a_{1}\,a_{2}\dotsm a_{n}}$, für die für ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ jeweils ${\displaystyle a_{i}\in E}$ oder ${\displaystyle a_{i}^{-1}\in E}$ ist. Damit ist

${\displaystyle \{a\in E\}\cup \left\{a:a^{-1}\in E\right\}}$

ein symmetrisches Erzeugendensystem von ${\displaystyle \langle E\rangle }$.

Topologische Gruppen

In der Theorie der topologischen Gruppen interessiert man sich in der Regel für abgeschlossene Untergruppen und vereinbart daher, unter dem Erzeugnis einer Teilmenge ${\displaystyle E}$ die kleinste abgeschlossene Untergruppe, die ${\displaystyle E}$ enthält, zu verstehen.

Da die Verknüpfung und die Inversenbildung stetig sind, ist der Abschluss ${\displaystyle {\overline {\langle E\rangle }}}$ des algebraischen Erzeugnisses ${\displaystyle \langle E\rangle }$ wieder eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$. Daher ist das Erzeugnis einer Teilmenge ${\displaystyle E\subseteq G}$ einer topologischen Gruppe ${\displaystyle G}$ der Abschluss des Gruppenerzeugnisses ${\displaystyle \langle E\rangle }$.

Besitzt ${\displaystyle G}$ als topologische Gruppe ein endliches Erzeugendensystem, so wird ${\displaystyle G}$ auch als topologisch endlich erzeugt bezeichnet.

Da ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ in den ganzen p-adischen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ dicht ist, wird ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ als topologische Gruppe von ${\displaystyle 1}$ erzeugt. Es ist also topologisch endlich erzeugt. Aus der Terminologie der proendlichen Gruppen leitet sich ab, dass ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ prozyklisch ist.

Erzeugendensysteme in der Algebra

Ringe

Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Erzeugendensystem eines Ideals ${\displaystyle I\subset R}$ ist eine Menge ${\displaystyle J\subset I}$ mit der Eigenschaft, dass sich jedes ${\displaystyle a\in I}$ als

${\displaystyle a=r_{1}a_{1}+\dotsb +r_{n}a_{n}}$

mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle r_{1},\dotsc ,r_{n}\in R}$ und ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}\in J}$ zerlegen lässt. Ein Ideal ${\displaystyle I\subset R}$ heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Teilmenge ${\displaystyle \left\{a_{1},\dotsc ,a_{n}\right\}\subset I}$ mit ${\displaystyle I=Ra_{1}+\dotsb +Ra_{n}}$ gibt. Ein Hauptideal ist ein von einer einelementigen Menge erzeugtes Ideal. Insbesondere ist der Ring ${\displaystyle R}$ ein Hauptideal, denn er wird von ${\displaystyle \{1\}}$ erzeugt. Ein Ring ist noethersch genau dann, wenn alle Ideale endlich erzeugt sind.

Moduln

Eine Teilmenge ${\displaystyle E\subseteq M}$ eines (linken) ${\displaystyle R}$-Moduls ist ein Erzeugendensystem, wenn sich jedes ${\displaystyle x\in M}$ als endliche Summe

${\displaystyle x=r_{1}e_{1}+\dotsb +r_{n}e_{n}}$

mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle r_{1},\dotsc ,r_{n}\in R}$ und ${\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{n}\in E}$ darstellen lässt. Eine analoge Definition gilt für rechte ${\displaystyle R}$-Moduln.

Ein Modul heißt endlich erzeugt, w​enn er v​on einer endlichen Teilmenge erzeugt wird.

Ein ${\displaystyle R}$-Modul heißt frei, wenn er ein Erzeugendensystem bestehend aus linear unabhängigen Elementen besitzt.

Erzeugendensysteme in Maßtheorie und Topologie

σ-Algebren

In der Maß- und Integrationstheorie untersucht man sogenannte σ-Algebren. Für eine Grundmenge ${\displaystyle X}$ und eine beliebige Teilmenge ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq \operatorname {Pot} (X)}$ der Potenzmenge von ${\displaystyle X}$ bezeichnet ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {E}})}$ die von ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ erzeugte σ-Algebra, also die kleinste σ-Algebra auf ${\displaystyle X}$, die alle Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ enthält. Sie wird konstruiert als der Durchschnitt aller ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ enthaltenden σ-Algebren auf ${\displaystyle X}$, da es im Allgemeinen schwierig ist, das Erzeugnis als solches explizit anzugeben. Man betrachtet zum Beispiel einen topologischen Raum ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ und sucht in diesem eine kleinste σ-Algebra auf ${\displaystyle X}$, die alle offenen Mengen enthält, also die von ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ erzeugte σ-Algebra ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {T}})}$. Die dadurch eindeutig bestimmte σ-Algebra heißt die Borelsche σ-Algebra. Diese ist in der Integrationstheorie von zentraler Bedeutung.

Topologien

In der Topologie ist der Begriff des Erzeugendensystems mit dem der Subbasis gleichbedeutend. Hierbei handelt es sich um ein Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {T}}}$ offener Teilmengen eines topologischen Raumes ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$, welches die Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ erzeugt. Dies bedeutet, dass aus den in ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ enthaltenen Elementen allein durch die beiden Operationen der Bildung des Durchschnitts endlich vieler Mengen und der Bildung der Vereinigungsmenge beliebig vieler Mengen jede offene Menge ${\displaystyle O\subseteq X}$ erzeugt wird.

${\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {T}}}$ ist also dadurch gekennzeichnet, dass ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ die gröbste Topologie auf der Grundmenge ${\displaystyle X}$ ist, bezüglich welcher die Mengen in ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ alle offen sind. Mithin ist ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ der Durchschnitt aller Topologien auf ${\displaystyle X}$, welche ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ enthalten.

Kann sogar die Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ allein durch Bildung beliebiger Vereinigungsmengen erzeugt werden, so nennt man ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ eine Basis der Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}.}$

Mengentheoretische Formulierung

Es sei eine Grundmenge ${\displaystyle X}$ und ein System ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ von Teilmengen von ${\displaystyle X}$ gegeben. Diese Teilmengen entsprechen dabei den Unterstrukturen von ${\displaystyle X}$, die im Folgenden betrachtet werden. Sei weiter eine Menge ${\displaystyle E\subseteq X}$ gegeben. Dann wird nach der kleinsten Menge ${\displaystyle A\in {\mathfrak {B}}}$ gefragt, so dass ${\displaystyle E\subseteq A}$ gilt. Die Menge ${\displaystyle E}$ ist dann der Erzeuger von ${\displaystyle A}$. Ein solches Element ${\displaystyle A}$ existiert und ist eindeutig bestimmt, sofern gilt

1. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ist stabil unter beliebigen Durchschnitten, das heißt, ist ${\displaystyle S\subseteq {\mathfrak {B}}}$ eine nichtleere Teilmenge, so ist auch der Durchschnitt ${\displaystyle \textstyle \bigcap S\in {\mathfrak {B}}}$.
2. Es gibt mindestens ein Element ${\displaystyle A}$ aus ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle E\subseteq A}$ (meist gilt ${\displaystyle X\in {\mathfrak {B}}}$).

Das Erzeugnis ${\displaystyle A}$ hat dann die Darstellung

${\displaystyle A=\bigcap \{B\in {\mathfrak {B}}\mid E\subseteq B\}}$.

Dies trifft auf alle obigen Beispiele zu. Im Fall von Vektorräumen ist das betrachtete Mengensystem ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ die Menge der Untervektorräume eines Vektorraums ${\displaystyle V}$ und die Grundmenge ist ${\displaystyle X=V}$. Im Fall von Gruppen ist ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ die Menge der Untergruppen einer Gruppe ${\displaystyle G}$ und die Grundmenge ist ${\displaystyle X=G}$. Im Fall der σ-Algebren ist ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ die Menge der σ-Algebren auf ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ und die Grundmenge ${\displaystyle X={\mathcal {P}}({\mathcal {T}})}$. Dies gilt mutatis mutandis auch für alle anderen genannten Beispiele.

Siehe auch

• Hüllenoperator

Literatur

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie (= De-Gruyter-Lehrbuch). 2., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin (u. a.) 1992, ISBN 3-11-013625-2.
• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 15., verbesserte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0031-7.
• Kurt Meyberg: Algebra. Bd. 1. Carl Hanser Verlag, München [u. a.] 1975, ISBN 3-446-11965-5.
• Christian Karpfinger - Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen - Ringe - Körper. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2600-0.
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.

Weblinks

• yark: Generating set of a group. In: PlanetMath. (englisch)