Projektives Tensorprodukt

Das projektive Tensorprodukt i​st eine Erweiterung d​er in d​er Mathematik betrachteten Tensorprodukte v​on Vektorräumen a​uf den Fall, d​ass zusätzlich Topologien a​uf den Vektorräumen vorhanden sind. In dieser Situation l​iegt es nahe, a​uch auf d​em Tensorprodukt d​er Räume e​ine Topologie erklären z​u wollen. Unter d​en vielen Möglichkeiten d​ies zu t​un sind d​as injektive Tensorprodukt u​nd das h​ier zu behandelnde projektive Tensorprodukt natürliche Wahlen.

Die Untersuchung des projektiven Tensorproduktes lokalkonvexer Räume geht auf Alexander Grothendieck zurück. Einige Resultate über Banachräume wurden zuvor von Robert Schatten erzielt.

Zunächst w​ird der leichter zugängliche Fall d​er normierten Räume u​nd Banachräume besprochen, anschließend w​ird auf d​ie Verallgemeinerungen i​n der Theorie d​er lokalkonvexen Räume eingegangen.

Normierte Räume

Das Tensorprodukt zweier normierter Räume lässt s​ich wie f​olgt ebenfalls z​u einem normierten Raum machen.

Definition

Seien ${\displaystyle (E,\|\cdot \|_{1})}$ und ${\displaystyle (F,\|\cdot \|_{2})}$ normierte Räume. Die Elemente des Tensorproduktes ${\displaystyle z\in E\otimes F}$ können in der Form ${\displaystyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}}$ geschrieben werden, wobei diese Summendarstellung nicht eindeutig ist. Definiert man

${\displaystyle \|z\|_{\pi }:=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|_{1}\cdot \|y_{i}\|_{2};\,n\in {\mathbb {N} },x_{i}\in E,y_{i}\in F,z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}\right\}}$,

so erhält man eine Norm auf dem Tensorprodukt ${\displaystyle E\otimes F}$. Diese Norm heißt das projektive Tensorprodukt der Normen ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$. Versieht man ${\displaystyle E\otimes F}$ mit dieser Norm, so nennt man ${\displaystyle E\otimes F}$ das projektive Tensorprodukt oder auch das ${\displaystyle \pi }$-Tensorprodukt der normierten Räume ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ und schreibt dafür ${\displaystyle E\otimes _{\pi }F}$.

Eigenschaften

Sind in der Situation obiger Definition ${\displaystyle x\in E,y\in F}$, so gilt ${\displaystyle \|x\otimes y\|_{\pi }=\|x\|_{1}\cdot \|y\|_{2}}$.

Ist ${\displaystyle B:E\times F\rightarrow G}$ eine stetige, bilineare Abbildung zwischen normierten Räumen, so induziert diese eine eindeutig bestimmte stetige, lineare Abbildung ${\displaystyle B_{0}:E\otimes F\rightarrow G}$, wobei ${\displaystyle B(x,y)=B_{0}(x\otimes y)}$ für alle ${\displaystyle x\in E,y\in F}$. Für die Operatornorm gilt ${\displaystyle \|B_{0}\|=\sup\{\|B(x,y)\|;\,x\in E,\|x\|_{1}\leq 1,y\in F,\|y\|_{2}\leq 1\}}$.

Daher ist ${\displaystyle \otimes _{\pi }}$ das Tensorprodukt in der Kategorie der normierten Räume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen im Sinne der Universaldefinition des Tensorproduktes.

Banachräume

Das projektive Tensorprodukt zweier Banachräume ${\displaystyle (E,\|\cdot \|_{1})}$ und ${\displaystyle (F,\|\cdot \|_{2})}$ ist in der Regel nicht vollständig, so dass die Bildung des Tensorproduktes aus der Kategorie der Banachräume herausführt. Um in der Kategorie der Banachräume zu bleiben, muss man vervollständigen.

Definition

Man definiert ${\displaystyle E{\hat {\otimes }}_{\pi }F}$ als die Vervollständigung des normierten Raums ${\displaystyle E\otimes _{\pi }F}$ und nennt ${\displaystyle E{\hat {\otimes }}_{\pi }F}$ das projektive Tensorprodukt in der Kategorie der Banachräume. Diese Definition wird besonders durch die nachfolgende universelle Eigenschaft motiviert.

Universelle Eigenschaft

Ist ${\displaystyle B:E\times F\rightarrow G}$ eine stetige, bilineare Abbildung zwischen Banachräumen, so gibt es genau eine stetige, lineare Abbildung ${\displaystyle B_{0}:E{\hat {\otimes }}_{\pi }F\rightarrow G}$ mit ${\displaystyle B(x,y)=B_{0}(x\otimes y)}$ für alle ${\displaystyle x\in E,y\in F}$. Für die Operatornorm gilt wie im Falle der normierten Räume ${\displaystyle \|B_{0}\|=\sup\{\|B(x,y)\|;\,x\in E,\|x\|_{1}\leq 1,y\in F,\|y\|_{2}\leq 1\}}$.

Also ist ${\displaystyle {\hat {\otimes }}_{\pi }}$ das Tensorprodukt in der Kategorie der Banachräume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen im Sinne der Universaldefinition des Tensorproduktes.

Darstellung der Elemente

Jedes Element ${\displaystyle z\in E{\hat {\otimes }}_{\pi }F}$ hat eine Darstellung ${\displaystyle z=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\otimes y_{i}}$ mit ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\|x_{i}\|_{1}\cdot \|y_{i}\|_{2}<\infty }$, wobei diese Darstellung als absolut konvergente Reihe nicht eindeutig ist. Es gilt die Formel

${\displaystyle \|z\|_{\pi }:=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\|x_{i}\|_{1}\cdot \|y_{i}\|_{2};\,x_{i}\in E,y_{i}\in F,z=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\otimes y_{i},\sum _{i=1}^{\infty }\|x_{i}\|_{1}\cdot \|y_{i}\|_{2}<\infty \right\}}$.

Dualräume

Der Dualraum eines projektiven Tensorproduktes ${\displaystyle E{\hat {\otimes }}_{\pi }F}$ kann mit dem Raum ${\displaystyle L(E,F')}$ der stetigen, linearen Operatoren von ${\displaystyle E}$ in den Dualraum von ${\displaystyle F}$ identifiziert werden. Ist ${\displaystyle S:E\rightarrow F'}$ ein solcher Operator, so ist

${\displaystyle \psi _{S}:E\otimes F\rightarrow \mathbb {R} ,\,\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}\mapsto \sum _{i=1}^{n}(S(x_{i}))(y_{i})}$

ein ${\displaystyle \|\cdot \|_{\pi }}$-stetiges lineares Funktional, dessen Norm mit der Operatornorm übereinstimmt, es lässt sich also normgleich zu einem stetigen linearen Funktional ${\displaystyle {\overline {\psi _{S}}}}$ nach ${\displaystyle E{\hat {\otimes }}_{\pi }F}$ fortsetzen. Dann kann man zeigen, dass ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi :L(E,F')\rightarrow (E{\hat {\otimes }}_{\pi }F)',\,S\mapsto {\overline {\psi _{S}}}}$

ein isometrischer Isomorphismus ist. In diesem Sinne ist die Identifikation ${\displaystyle L(E,F')\cong (E{\hat {\otimes }}_{\pi }F)'}$ zu verstehen.[1]

Das Tensorprodukt mit L¹-Räumen

Es seien ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ein Maßraum und ${\displaystyle (E,\|\cdot \|)}$ ein Banachraum. Sei ${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu ,E)}$ der Banachraum aller Äquivalenzklassen messbarer Funktionen ${\displaystyle f:X\rightarrow E}$ mit ${\displaystyle \|f\|_{1}:=\int _{X}\|f\|{\rm {d}}\mu (t)<\infty }$, wobei zwei messbare Funktionen äquivalent sind, wenn sie ${\displaystyle \mu }$-fast überall übereinstimmen, das heißt, wenn sie höchstens innerhalb einer ${\displaystyle \mu }$-Nullmenge verschiedene Werte annehmen. Nach der universellen Eigenschaft induziert die bilineare Abbildung ${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu )\times E\rightarrow L^{1}(X,\Sigma ,\mu ,E),(f,x)\mapsto f(\cdot )x}$, eine stetige lineare Abbildung ${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu ){\hat {\otimes }}_{\pi }E\rightarrow L^{1}(X,\Sigma ,\mu ,E)}$. Es gilt nun der Satz, dass diese Abbildung ein isometrischer Isomorphismus ist. Das schreibt sich kurz und prägnant als

${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu ){\hat {\otimes }}_{\pi }E\cong L^{1}(X,\Sigma ,\mu ,E)}$.

Banachalgebren

Seien ${\displaystyle (E,\|\cdot \|_{1})}$ und ${\displaystyle (F,\|\cdot \|_{2})}$ Banachalgebren. Dann setzt sich die Definition ${\displaystyle (x_{1}\otimes y_{1})\cdot (x_{2}\otimes y_{2}):=x_{1}x_{2}\otimes y_{1}y_{2}}$ zu einer Multiplikation auf ${\displaystyle E{\hat {\otimes }}_{\pi }F}$ fort, die ${\displaystyle E{\hat {\otimes }}_{\pi }F}$ zu einer Banachalgebra macht, das heißt, die Norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{\pi }}$ ist submultiplikativ.[2]

Negative Aussagen

• Eine zu ${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu ){\hat {\otimes }}_{\pi }E\cong L^{1}(X,\Sigma ,\mu ,E)}$ analoge Aussage für Räume stetiger Funktionen gilt nicht, dazu muss man das injektive Tensorprodukt heranziehen.
• Im Allgemeinen ist das projektive Tensorprodukt reflexiver Räume nicht wieder reflexiv. Ist ${\displaystyle \ell ^{2}}$ der Folgenraum der quadrat-summierbaren Folgen mit den Einheitsvektoren ${\displaystyle e_{n}}$, so ist der von den Elementen ${\displaystyle e_{n}\otimes e_{n}}$ erzeugte abgeschlossene Unterraum von ${\displaystyle \ell ^{2}{\hat {\otimes }}_{\pi }\ell ^{2}}$ isometrisch isomorph zum Folgenraum ${\displaystyle \ell ^{1}}$ der absolut-summierbaren Folgen. Da letzterer nicht reflexiv ist, kann auch ${\displaystyle \ell ^{2}{\hat {\otimes }}_{\pi }\ell ^{2}}$ nicht reflexiv sein, obwohl der Hilbertraum ${\displaystyle \ell ^{2}}$ es ist.[3]
• Sieht man von trivialen Ausnahmen ab, so sind projektive Tensorprodukte von Hilberträumen (C^*-Algebren) keine Hilberträume (C^*-Algebren), wie durch das Beispiel des vorangegangenen Punktes belegt wird. Es gibt aber ein spezielles Hilbertraum-Tensorprodukt, das auch Ausgangspunkt für Tensorprodukte von C*-Algebren ist.

Lokalkonvexe Räume

Die Konstruktion d​es projektiven Tensorproduktes k​ann auf d​en Fall d​er lokalkonvexen Räume verallgemeinert werden.

Definition

Seien ${\displaystyle U\subset E}$ und ${\displaystyle V\subset F}$ abgeschlossene, absolutkonvexe Nullumgebungen in den lokalkonvexen Vektorräumen ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$. ${\displaystyle \pi _{U,V}}$ sei das Minkowski-Funktional der absolutkonvexen Hülle von ${\displaystyle U\otimes V:=\{x\otimes y;x\in U,y\in V\}\subset E\otimes F}$. Das projektive Tensorprodukt oder ${\displaystyle \pi }$-Tensorprodukt ${\displaystyle E\otimes _{\pi }F}$ ist der Tensorproduktraum mit dem System der Halbnormen ${\displaystyle \pi _{U,V}}$, wobei ${\displaystyle U\subset E}$ und ${\displaystyle V\subset F}$ die abgeschlossenen, absolutkonvexen Nullumgebungen durchlaufen.

Bezeichnen ${\displaystyle p_{U}}$ bzw. ${\displaystyle p_{V}}$ die Minkowski-Funktionale von ${\displaystyle U}$ bzw. ${\displaystyle V}$, so gilt die Formel

${\displaystyle \pi _{U,V}(z):=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}p_{U}(x_{i})\cdot p_{V}(y_{i});\,n\in {\mathbb {N} },x_{i}\in E,y_{i}\in F,z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}\right\}}$.

Daher verallgemeinert d​iese Definition d​as projektive Tensorprodukt normierter Räume.

Man kann zeigen, dass die so erklärte Topologie die feinste lokalkonvexe Topologie auf dem Tensorprodukt ist, die die natürliche bilineare Abbildung ${\displaystyle E\times F\rightarrow E\otimes F}$ stetig macht.

Die Vervollständigung von ${\displaystyle E\otimes _{\pi }F}$ wird wie im Falle normierter Räume mit ${\displaystyle E{\hat {\otimes }}_{\pi }F}$ bezeichnet.

Stabilitätseigenschaften

Viele Klassen lokalkonvexer Räume sind stabil gegenüber der Bildung des projektiven Tensorproduktes. Gehören ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ beide zu einer der Klassen

• normierte Räume
• metrisierbare lokalkonvexe Räume
• nukleare Räume
• Schwartz-Räume
• quasinormierbare Räume
• (DF)-Räume
• gDF-Räume,

so gehören auch ${\displaystyle E\otimes _{\pi }F}$ und ${\displaystyle E{\hat {\otimes }}_{\pi }F}$ zu dieser Klasse.

Das projektive Tensorprodukt tonnelierter Räume ist im Allgemeinen nicht wieder tonneliert. Sind aber ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ metrisierbar und tonneliert, so ist auch ${\displaystyle E\otimes _{\pi }F}$ metrisierbar und tonneliert.

Siehe auch

• Vektorielles Maß: Tensorprodukte von Räumen von Maßen

Literatur

• A. Grothendieck: Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. In: Mem. Amer. Math. Soc., Band 16, 1955.
• H. Jarchow: Locally Convex Spaces. Teubner, Stuttgart 1981, ISBN 3-519-02224-9.
• Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces. Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1.
• R. Schatten: A theory of cross spaces. In: Annals of Mathematical Studies, 26, Princeton NJ 1950.

Einzelnachweise

1. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces. Springer-Verlag, 2002, ISBN 1-85233-437-1, Kapitel 2.3: The Dual Space of ${\displaystyle X{\hat {\otimes }}_{\pi }Y}$
2. A. Y. Helemskii: The Homology of Banach and Topological Algebras. Kluwer Academic Publishers, 1989, ISBN 0-7923-0217-6, Kapitel II, Satz 2.19
3. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces. Springer-Verlag, 2002, ISBN 1-85233-437-1, Beispiel 2.10