Pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit o​der semi-riemannsche Mannigfaltigkeit i​st ein mathematisches Objekt a​us der (pseudo-)riemannschen Geometrie. Sie i​st eine Verallgemeinerung d​er schon früher definierten riemannschen Mannigfaltigkeit u​nd wurde v​on Albert Einstein für s​eine allgemeine Relativitätstheorie eingeführt. Jedoch w​urde das Objekt n​ach Bernhard Riemann, d​em Begründer d​er Riemannschen Geometrie, benannt. Aber a​uch nach Albert Einstein w​urde eine Struktur e​iner Mannigfaltigkeit benannt. Diese einsteinschen Mannigfaltigkeiten s​ind ein Spezialfall d​er pseudo-riemannschen.

Definition

Mit ${\displaystyle T_{p}M}$ wird im Folgenden der Tangentialraum an einem Punkt ${\displaystyle p}$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ bezeichnet. Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ zusammen mit einer Funktion ${\displaystyle g_{p}\colon T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$. Diese Funktion ist tensoriell, symmetrisch und nicht ausgeartet, das heißt für alle Tangentialvektoren ${\displaystyle X,\ Y,\ Z\in T_{p}M}$ und Funktionen ${\displaystyle a,\ b\in C^{\infty }(M)}$ gilt

1. ${\displaystyle g_{p}(aX+bY,Z)=a(p)\,g_{p}(X,Z)+b(p)\,g_{p}(Y,Z)}$ (tensoriell),
2. ${\displaystyle g_{p}(X,Y)=g_{p}(Y,X)}$ (symmetrisch),
3. falls für ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ gilt, dass ${\displaystyle g_{p}(X,Y)=0}$ für alle ${\displaystyle Y}$, so folgt ${\displaystyle X=0}$.

Außerdem ist ${\displaystyle g_{p}}$ differenzierbar abhängig von ${\displaystyle p}$. Die Funktion ${\displaystyle g}$ ist also ein differenzierbares Tensorfeld ${\displaystyle g\colon TM\times TM\to C^{\infty }(M)}$ und heißt pseudo-riemannsche Metrik oder metrischer Tensor.

Signatur

Wie jeder gewöhnlichen Bilinearform kann man auch der pseudo-riemannschen Metrik eine Signatur zuordnen. Diese ist aufgrund des Trägheitssatzes von Sylvester unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems auf der Mannigfaltigkeit und damit auch unabhängig von der Wahl des Punktes ${\displaystyle p\in M}$. Wie bei der Determinante gibt es zu gegebener „Physik“ zahlreiche äquivalente Ausdrücke. Aber da ${\displaystyle g}$ nicht ausgeartet ist, ist der dritte Eintrag in der Signatur immer null und die Determinante von ${\displaystyle g}$ ist immer ungleich null. Vierdimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten mit der Signatur (3,1,0) (beziehungsweise meist (1,3,0)) heißen Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Diese spielen eine wichtige Rolle in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Pseudo-riemannsche Geometrie

Im Unterschied zu pseudo-riemannschen Metriken sind die riemannschen Metriken positiv definit, was eine stärkere Forderung als „nicht ausgeartet“ ist. Einige Resultate aus der riemannschen Geometrie lassen sich auch auf pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten übertragen. So gilt zum Beispiel der Hauptsatz der riemannschen Geometrie auch für pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten. Es existiert also für jede pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit ein eindeutiger Levi-Civita-Zusammenhang. Jedoch im Gegensatz zur riemannschen Geometrie kann man nicht zu jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit eine Metrik mit vorgegebener Signatur finden. Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen riemannscher und pseudo-riemannscher Geometrie ist das Fehlen eines Äquivalents für den Satz von Hopf-Rinow in der pseudo-riemannschen Geometrie. Im Allgemeinen sind hier metrische Vollständigkeit und geodätische Vollständigkeit nicht miteinander verknüpft. Durch die Signatur der Metrik ergeben sich außerdem Probleme für die Stetigkeit der Abstandsfunktion. So kann die Abstandsfunktion für Lorentzmannigfaltigkeiten die Eigenschaft aufweisen, nicht oberhalbstetig zu sein.

Definitionsvariante

Abweichend von der obigen Definition unterscheidet Serge Lang semi-riemannsche von pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten und verlangt für erstere zusätzlich, dass ${\displaystyle g_{p}}$ positiv semidefinit sei, das heißt ${\displaystyle g_{p}(X,X)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle X\in T_{p}M}$.[1]

Einzelnachweise

1. Serge Lang: Differential and Riemannian manifolds. 3. Auflage. Springer Science+Business Media, New York 1995, ISBN 0-387-94338-2, S. 30 (Graduate Texts in Mathematics. Band 160, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

Literatur

• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry („Geometria Riemannia“). 2. Aufl. Birkhäuser, Boston 1993, ISBN 0-8176-3490-8.
• Peter Petersen: Riemannian geometry (Graduate Texts in Mathematics; Bd. 171). 2. Aufl. Springer-Verlag, New York 2006, ISBN 0-387-29403-1.
• John K. Beem, Paul E. Ehrlich, Kevin L. Easley: Global Lorentzian Geometry (Pure and Applied Mathematics; Bd. 202). 2. Aufl. Marcel Dekker Books, New York 1996, ISBN 0-8247-9324-2.