Tensorverjüngung

Die Tensorverjüngung o​der Kontraktion[1] i​st ein mathematischer Begriff a​us der linearen Algebra. Es i​st eine Verallgemeinerung d​er Spur e​iner linearen Abbildung a​uf Tensoren, d​ie mindestens einfach kovariant u​nd einfach kontravariant sind.

Definition

Sei ${\displaystyle V}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum und sei

${\displaystyle T_{s}^{r}(V):=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{r{\text{-mal}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{s{\text{-mal}}}}$

der Tensorraum der ${\displaystyle r}$-fach kontravarianten und ${\displaystyle s}$-fach kovarianten Tensoren (kurz: ${\displaystyle (r,s)}$-Tensoren) über ${\displaystyle V}$.

Als Verjüngung oder Kontraktion eines Tensors (genauer: ${\displaystyle (k,l)}$-Kontraktion) bezeichnet man die lineare Abbildung

${\displaystyle C_{l}^{k}:T_{s}^{r}(V)\rightarrow T_{s-1}^{r-1}(V)}$

mit ${\displaystyle 1\leq k\leq r}$ und ${\displaystyle 1\leq l\leq s}$, welche durch

${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r}\otimes \xi _{1}\otimes \cdots \otimes \xi _{s}\mapsto }$

${\displaystyle \xi _{l}(v_{k})(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{k-1}\otimes v_{k+1}\otimes \cdots \otimes v_{r}\otimes \xi _{1}\otimes \cdots \otimes \xi _{l-1}\otimes \xi _{l+1}\otimes \cdots \otimes \xi _{s})}$

definiert werden kann. Dabei ist ${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r}\otimes \xi _{1}\otimes \cdots \otimes \xi _{s}}$ ein Element von ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$. Nicht jedes Element von ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ ist von dieser Form, aber die Elemente dieser Form erzeugen den Tensorraum und die Abbildung ist wohldefiniert. Setzt man ${\displaystyle n:=r+s}$, so wird also aus einem Tensor ${\displaystyle n}$-ter Stufe ein Tensor der Stufe ${\displaystyle n-2}$.

Beispiele

• Interpretiert man eine Matrix als einen einfach ko- sowie kontravarianten Tensor, so ist die Verjüngung einer Matrix ihre Spur. Dies lässt sich sehr schnell einsehen, wenn man die Matrix ${\displaystyle A\in \operatorname {End} (V)\cong V\otimes V^{*}}$ als Linearkombination
  ${\displaystyle A=\sum _{i,j}\lambda _{i}^{j}\,v_{i}\otimes \xi _{j}}$
  darstellt. Hier bilden die ${\displaystyle v_{i}}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$ und die ${\displaystyle \xi _{j}}$ die dazu duale Basis von ${\displaystyle V^{*}}$. Wendet man nun die Funktion ${\displaystyle C_{1}^{1}}$ an, so erhält man
  ${\displaystyle C_{1}^{1}(A)=C_{1}^{1}(\sum _{i,j}\lambda _{i}^{j}\,v_{i}\otimes \xi _{j})=\sum _{i,j}\lambda _{i}^{j}\delta _{ij}=\sum _{i}\lambda _{i}^{i}=\operatorname {Spur} (A).}$
  Dies lässt erkennen, dass die Tensorverjüngung eine Verallgemeinerung des aus der linearen Algebra bekannten Spuroperators ist. Aus diesem Grund wird die Abbildung auch Spurbildung genannt.
• Man erhält aus dem riemannschen Krümmungstensor ${\displaystyle R_{ijk}^{l}}$ durch Verjüngung den Ricci-Tensor ${\displaystyle R_{ik}=R_{ijk}^{j}}$.

Literatur

• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications (= Applied Mathematical Sciences 75). 2nd Edition. Springer-Verlag, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.

Einzelnachweise

1. Ulrich E. Schröder: Spezielle Relativitätstheorie. Deutsch, Frankfurt am Main 2005, ISBN 3-8171-1724-8, S. 51.