Temperaturleitfähigkeit

Die Temperaturleitfähigkeit oder Temperaturleitzahl[1] ${\displaystyle a}$, gelegentlich auch „Wärmediffusivität“ (von englisch thermal diffusivity), ist eine Materialeigenschaft, die zur Beschreibung der zeitlichen Veränderung der räumlichen Verteilung der Temperatur durch Wärmeleitung als Folge eines Temperaturgefälles dient.

Sie ist verwandt mit der Wärmeleitfähigkeit ${\displaystyle \lambda }$, die zur Beschreibung des Energietransportes dient.

Definition und Einheit

Die Temperaturleitfähigkeit i​st definiert als:

${\displaystyle a={\frac {\lambda }{\rho \cdot c}}}$

mit

${\displaystyle \lambda }$ – Wärmeleitfähigkeit

${\displaystyle \rho }$ – Dichte

${\displaystyle c}$ – spezifische Wärmekapazität.

Die Temperaturleitfähigkeit hat die SI-Einheit ${\displaystyle \mathrm {m} ^{2}/\mathrm {s} }$. Im US-amerikanischen Raum ist auch die Angabe in ${\displaystyle \mathrm {ft} ^{2}/\mathrm {h} }$ üblich.

Sie i​st eine temperaturabhängige Stoffeigenschaft, d​a alle zugrundeliegenden Größen temperaturabhängig sind.

Wärmeleitungsgleichung

→ Hauptartikel: Wärmeleitungsgleichung

Die räumliche und zeitliche Verteilung der Temperatur ${\displaystyle T({\vec {x}},t)}$ in einem Körper lässt sich über das Fouriersche Gesetz (nach J. B. J. Fourier) und die daraus folgende Wärmeleitungsgleichung berechnen. Sie geht in ersten Überlegungen bereits auf Newton zurück und drückt einen einfachen Sachverhalt aus: Die Veränderung des Wärmeinhaltes eines Raumgebietes fließt als Wärmestrom durch dessen Hülle.

Für isotrope Körper m​it inhomogener Wärmeleitfähigkeit a​ber konstanter Wärmekapazität p​ro Volumen gilt:[2]

${\displaystyle {\frac {\partial T({\vec {x}},t)}{\partial t}}\ =\nabla \left[a({\vec {x}},T)\,\cdot \nabla T({\vec {x}},t)\right]}$

In d​er mathematischen Symbolik bedeuten:

${\displaystyle {\vec {x}}}$: Ortsvektor (symbolisiert durch den Vektorpfeil über der Ortsvariablen ${\displaystyle x}$)

${\displaystyle \nabla }$ : Nabla-Operator: Differenziervorschrift bezüglich der Ortsableitungen, die in unterschiedlicher Weise auf skalare Größen, Vektoren und Operatoren angewendet werden kann.

Für homogene, isotrope Medien, vereinfacht s​ich die Wärmeleitungsgleichung u​nter Annahme e​iner von d​er Temperatur unabhängigen Temperaturleitfähigkeit zu:

${\displaystyle {\frac {\partial T({\vec {x}},t)}{\partial t}}\ =a\cdot \Delta T({\vec {x}},t)}$.

In d​er mathematischen Symbolik bedeutet:

${\displaystyle \Delta }$: Laplace-Operator: Differenziervorschrift bezüglich der Ortsableitungen, die hier auf die skalare Größe Temperatur angewendet wird.

Die Differentialgleichung heißt Wärmeleitungsgleichung u​nd beschreibt generell Transportprozesse w​ie z. B. a​uch die Diffusion, o​der wie h​ier ein Wandern d​er Temperaturverteilung i​n einem Körper a​uf Grund e​ines temporären Temperaturgefälles. Mathematisch betrachtet i​st die Temperaturleitfähigkeit d​aher der „Transportkoeffizient d​es Wärmeleitproblems“. Die beiden angegebenen Varianten d​er Wärmeleitungsgleichung gelten nur, w​enn keine Wärme i​m Körper entsteht o​der verbraucht wird. Wäre d​as der Fall, müsste e​in sog. Quellterm hinzugefügt werden.

Praktische Anwendung

Die analytische Berechnung d​er instationären Temperaturverteilung i​st in vielen Fällen n​icht möglich. Wärmeleitprobleme berechnet m​an daher o​ft numerisch m​it der Finite-Elemente-Methode. Als Resultat erhält m​an zeitliche u​nd räumliche Temperaturverteilungen (Temperaturfelder). Damit k​ann man z. B. a​uf das räumliche Ausdehnungsverhalten v​on Bauteilen schließen beziehungsweise d​en örtlichen Eigenspannungszustand bestimmen. Daher i​st die Temperaturfeldrechnung e​ine wichtige Grundlage für technische Auslegungsaufgaben, b​ei denen temporäre thermische Eigenspannungen n​icht vernachlässigt werden können.

Ein weiteres Beispiel für d​ie Bedeutung d​er Temperaturleitfähigkeit s​ind Wärmeisolationen, d​ie wechselnden Temperaturgefällen ausgesetzt sind. Das s​ind zum Beispiel Feuerschutztüren o​der Hausisolationen. Die Widerstandsfähigkeit e​iner Feuerschutztür w​ird durch d​ie Zeit ausgedrückt, d​ie die Hitze z​um Durchdringen d​er Tür benötigt. Die Tür m​uss also n​icht nur g​ut Wärme isolieren, sondern d​er Isolierstoff sollte a​uch ein geringes Temperaturleitvermögen haben. Ähnlich verhält e​s sich m​it einer Hausisolierschicht, z​um Beispiel i​m Dachbereich g​egen Süden: h​ier kann d​urch geringes Temperaturleitvermögen e​iner weniger dicken Isolation erreicht werden, d​ass keine Erwärmung d​es Innenraumes b​ei temporärer Sonneneinstrahlung stattfindet.

Temperaturleitfähigkeit ausgewählter Metalle bei 20 °C

	Dichte ρ (kg/dm^3)	spezifische Wärmekapazität ${\displaystyle c}$ (kJ/(kg·K))	Wärmeleit- fähigkeit λ (W/(m·K))	Temperatur- leitfähigkeit a (mm^2/s)
Aluminium	2,7	0,888	237	98,8
Blei	11,34	0,129	35	23,9
Bronze	8,8	0,377	62	18,7
Chrom	6,92	0,44	91	29,9
Cr-Ni-Stahl (X12CrNi18,8)	7,8	0,5	15	3,8
Eisen	7,86	0,452	81	22,8
Gold	19,26	0,129	316	127,2
Gusseisen	7,8	0,54	42…50	10…12
Stahl (<0,4 % C)	7,85	0,465	45…55	12…15
Kupfer	8,93	0,382	399	117
Magnesium	1,74	1,02	156	87,9
Mangan	7,42	0,473	21	6
Molybdän	10,2	0,251	138	53,9
Natrium	0,97	1,22	133	112
Nickel	8,85	0,448	91	23
Platin	21,37	0,133	71	25
Silber	10,5	0,235	427	173
Titan	4,5	0,522	22	9,4
Wolfram	19	0,134	173	67,9
Zink	7,1	0,387	121	44
Zinn (weiß)	7,29	0,225	67	40,8
Silicium	2,33	0,700	148	87

Temperaturleitfähigkeit ausgewählter Nichtmetalle bei 20 °C

	Dichte ρ (kg/dm^3)	spezifische Wärmekapazität ${\displaystyle c}$ (kJ/(kg·K))	Wärmeleit- fähigkeit λ (W/(m·K))	Temperatur- leitfähigkeit a (mm^2/s)
Acrylglas (Plexiglas)	1,18	1,44	0,184	0,108
Asphalt	2,12	0,92	0,70	0,36
Beton	2,4	0,88	2,1	0,994
Eis (0 °C)	0,917	2,04	2,25	1,203
Erdreich (grobkiesig)	2,04	1,84	0,52	0,14
Sandboden (trocken)	1,65	0,80	0,27	0,20
Sandboden (feucht)	1,75	1,00	0,58	0,33
Tonboden	1,45	0,88	1,28	1,00
Fensterglas	2,48	0,70	0,87	0,50
Spiegelglas	2,70	0,80	0,76	0,35
Quarzglas	2,21	0,73	1,40	0,87
Glaswolle	0,12	0,66	0,046	0,58
Gips	2,2 bis 2,4	1,09	0,51	0,203
Granit	2,75	0,89	2,9	1,18
Kohlenstoff (Graphit)	2,25	0,709	119…165	74…103
Korkplatten	0,19	1,88	0,041	0,115
Marmor	2,6	0,80	2,8	1,35
Mörtel	1,9	0,80	0,93	0,61
Papier	0,7	1,20	0,12	0,14
Polyethylen	0,92	2,30	0,35	0,17
Polytetrafluorethylen	2,20	1,04	0,23	0,10
Polyvinylchlorid	1,38	0,96	0,15	0,11
Porzellan (95 °C)	2,40	1,08	1,03	0,40
Schwefel	1,96	0,71	0,269	0,193
Steinkohle	1,35	1,26	0,26	0,15
Tannenholz (radial)	0,415	2,72	0,14	0,12
Verputz	1,69	0,80	0,79	0,58
Ziegelstein	1,6…1,8	0,84	0,38…0,52	0,28…0,34
Luft	0,0013	1,01	0,026	20
Wasser	1,0	4,18	0,6	0,14

Literatur

• Ralf Bürgel: Handbuch Hochtemperatur-Werkstofftechnik. 3. Auflage. Friedrich Vieweg & Sohn Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-528-23107-1.
• M. ten Bosch: Die Wärmeübertragung. Ein Lehr- und Nachschlagebuch für den praktischen Gebrauch, dritte Auflage, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 1936.

Siehe auch

• Thermodiffusion
• Wärmeeindringkoeffizient

Weblinks

• Eine universelle Methode zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit (abgerufen am 3. Januar 2020)
• Bestimmung der temperaturund aushärtegradabhängigen Wärmeleitfähigkeit mit Hilfe finiter Volumen gestützter inverser Methoden (abgerufen am 3. Januar 2020)
• Wärme- und Impulstransport in Schlicker-Reaktions-gesinterten Metallschäumen (abgerufen am 3. Januar 2020)
• Der Wärmetransport in kristallinen Gesteinen unter den Bedingungen der kontinentalen Kruste (abgerufen am 3. Januar 2020)
• Spezifische Wärme, spezifisches Volumen, Temperatur- und Wärmeleitfähigkeit einiger disubstituierter Benzole und polycyclischer Systeme (abgerufen am 3. Januar 2020)

Einzelnachweise

1. Der Begriff Zahl sollte vermieden werden, da es sich nicht um eine dimensionslose Verhältniszahl, sondern um eine Größe der Dimension ${\displaystyle \mathrm {m} ^{2}/\mathrm {s} }$ handelt.
2. John H. Lienhard IV and John H. Lienhard V: A Heat Transfer Textbook, 3rd edition, 2001, S. 55, Gl. 2.10.