Orthogonale Matrix

Eine orthogonale Matrix i​st in d​er linearen Algebra e​ine quadratische, reelle Matrix, d​eren Zeilen- u​nd Spaltenvektoren orthonormal bezüglich d​es Standardskalarprodukts sind. Damit i​st die Inverse e​iner orthogonalen Matrix gleichzeitig i​hre Transponierte.

Orthogonale Matrizen stellen Kongruenzabbildungen i​m euklidischen Raum, a​lso Drehungen, Spiegelungen u​nd Kombinationen daraus, dar. Jede orthogonale Abbildung zwischen z​wei endlichdimensionalen Skalarprodukträumen k​ann nach Wahl j​e einer Orthonormalbasis d​urch eine orthogonale Matrix dargestellt werden. Die Menge d​er orthogonalen Matrizen fester Größe bildet m​it der Matrizenmultiplikation a​ls Verknüpfung d​ie orthogonale Gruppe.

Orthogonale Matrizen werden beispielsweise b​ei der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme o​der Eigenwertprobleme eingesetzt. Der analoge Begriff b​ei komplexen Matrizen i​st die unitäre Matrix.

Definition

Eine reelle quadratische Matrix ${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ heißt orthogonal, wenn das Produkt mit ihrer transponierten Matrix ${\displaystyle Q^{T}}$ die Einheitsmatrix ${\displaystyle I}$ ergibt, also

${\displaystyle Q^{T}\cdot Q=I}$

gilt. Werden die Spaltenvektoren der Matrix ${\displaystyle Q}$ mit ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$ bezeichnet, dann ist diese Bedingung gleichbedeutend damit, dass das Standardskalarprodukt zweier Spaltenvektoren

${\displaystyle q_{i}^{T}\cdot q_{j}=\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{falls}}~i=j\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

ergibt, wobei ${\displaystyle \delta _{ij}}$ das Kronecker-Delta ist. Die Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix bilden damit eine Orthonormalbasis des Koordinatenraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Dies trifft auch für die Zeilenvektoren einer orthogonalen Matrix zu, denn mit ${\displaystyle Q}$ ist auch ${\displaystyle Q^{T}}$ orthogonal, das heißt

${\displaystyle Q\cdot Q^{T}=I}$.

Auch w​enn die Bezeichnung „orthogonale Matrix“ s​o verstanden werden könnte, reicht e​s nicht aus, w​enn die Zeilen- o​der Spaltenvektoren lediglich paarweise orthogonal sind; s​ie müssen zusätzlich normiert sein, a​lso die Länge e​ins aufweisen.

Beispiele

Konkrete Beispiele

• Die Matrix

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

ist orthogonal, denn es gilt

${\displaystyle Q^{T}\,Q={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\cdot 0+1\cdot 1&0\cdot 1+1\cdot 0\\1\cdot 0+0\cdot 1&1\cdot 1+0\cdot 0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}$.

• Auch die Matrix

${\displaystyle Q={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}3&4\\-4&3\end{pmatrix}}}$

ist orthogonal, denn es gilt

${\displaystyle Q^{T}\,Q={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}3&-4\\4&3\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}3&4\\-4&3\end{pmatrix}}={\frac {1}{25}}{\begin{pmatrix}9+16&12-12\\12-12&16+9\end{pmatrix}}={\frac {1}{25}}{\begin{pmatrix}25&0\\0&25\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}$.

Allgemeine Beispiele

• Permutationsmatrizen, also Matrizen, bei denen genau ein Eintrag pro Zeile und Spalte gleich eins ist und alle anderen Einträge null sind, sind orthogonal. Bezeichnet ${\displaystyle P_{\pi }}$ die zu einer Permutation ${\displaystyle \pi }$ zugehörige Permutationsmatrix, dann gilt

${\displaystyle P_{\pi }^{T}\,P_{\pi }=P_{\pi ^{-1}}\,P_{\pi }=P_{\pi ^{-1}\circ \pi }=P_{\mathrm {id} }=I}$,

denn die transponierte Permutationsmatrix ist gleich der Permutationsmatrix der inversen Permutation, die alle Vertauschungen rückgängig macht, und das Produkt von Permutationsmatrizen entspricht der Hintereinanderausführung der Permutationen. Die vorzeichenbehafteten Permutationsmatrizen, bei denen in jeder Zeile und Spalte genau ein Eintrag plus oder minus eins ist und alle übrigen Einträge null sind, sind genau die ganzzahligen orthogonalen Matrizen.

• Drehmatrizen, also Matrizen, die eine Drehung um den Koordinatenursprung in der euklidischen Ebene beschreiben, sind orthogonal. Bezeichnet

${\displaystyle R_{\alpha }={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}}$

die Drehmatrix einer Drehung um einen Winkel ${\displaystyle \alpha }$, die den Ursprung festlässt, dann gilt mit dem „trigonometrischen Pythagoras“

${\displaystyle R_{\alpha }^{T}\,R_{\alpha }={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha &-\cos \alpha \sin \alpha +\sin \alpha \cos \alpha \\-\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha &\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha \end{pmatrix}}=I}$.

Allgemeiner sind auch Drehmatrizen, die eine Drehung in einer beliebigen Ursprungsebene im ${\displaystyle n}$-dimensionalen Raum beschreiben, orthogonal.

• Spiegelungsmatrizen, also Matrizen, die eine (senkrechte) Spiegelung an einer Ursprungsgerade in der euklidischen Ebene beschreiben, sind orthogonal. Bezeichnet

${\displaystyle S_{n}=I-2nn^{T}}$

die Spiegelungsmatrix einer Spiegelung an einer Ursprungsgerade mit Einheits-Normalenvektor ${\displaystyle n}$, dann gilt

${\displaystyle S_{n}^{T}\,S_{n}=S_{n}\,S_{n}=(I-2nn^{T})\,(I-2nn^{T})=I-4nn^{T}+4n(n^{T}n)n^{T}=I}$,

denn Spiegelungsmatrizen sind nach Definition symmetrisch und für einen Einheitsvektor gilt ${\displaystyle n^{T}n=1}$. Allgemeiner sind auch Matrizen, die Spiegelungen an einem beliebigen Untervektorraum im ${\displaystyle n}$-dimensionalen Raum (beispielsweise einer Hyperebene) beschreiben, orthogonal.

Eigenschaften

Inverse

Eine orthogonale Matrix ${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ist aufgrund der linearen Unabhängigkeit ihrer Zeilen- und Spaltenvektoren stets regulär. Die Inverse einer orthogonalen Matrix ist dabei gleich ihrer Transponierten, das heißt, es gilt

${\displaystyle Q^{T}=Q^{-1}}$.

Die Inverse einer Matrix ${\displaystyle Q}$ ist nämlich gerade diejenige Matrix ${\displaystyle Q^{-1}}$, für die

${\displaystyle Q\,Q^{-1}=Q^{-1}\,Q=I}$

gilt. Aus der zweiten Gleichung folgt weiterhin, dass die Transponierte einer orthogonalen Matrix orthogonal ist. Es gilt auch die Umkehrung und jede Matrix ${\displaystyle Q}$, deren Transponierte gleich ihrer Inversen ist, ist orthogonal, denn es gilt dann

${\displaystyle Q^{T}\,Q=Q^{-1}\,Q=I}$.

Längen- und Winkeltreue

Wird ein Vektor ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ mit einer orthogonalen Matrix ${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ multipliziert, ändert sich die Länge (euklidische Norm) des Vektors nicht, das heißt

${\displaystyle \|Q\,x\|_{2}=\|x\|_{2}}$.

Weiter ist das Standardskalarprodukt zweier Vektoren ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$ invariant bezüglich der Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix ${\displaystyle Q}$, also

${\displaystyle \left\langle Q\,x,Q\,y\right\rangle =\left\langle x,y\right\rangle }$.

Damit bleibt a​uch der Winkel zwischen d​en beiden Vektoren erhalten. Beide Eigenschaften folgen direkt a​us der Verschiebungseigenschaft d​es Standardskalarprodukts. Aufgrund dieser Längen- u​nd Winkeltreue stellt d​ie lineare Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},x\mapsto Q\,x}$

eine Kongruenzabbildung i​m euklidischen Raum dar. Umgekehrt i​st die Abbildungsmatrix bezüglich d​er Standardbasis j​eder winkeltreuen linearen Abbildung i​m euklidischen Raum orthogonal. Aufgrund d​er Polarisationsformel i​st auch j​ede längentreue Abbildung winkeltreu.

Determinante

Für den Betrag der Determinante einer orthogonalen Matrix ${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ gilt

${\displaystyle |\det Q|=1}$,

was m​it Hilfe d​es Determinantenproduktsatzes über

${\displaystyle (\operatorname {det} Q)^{2}=\det Q\cdot \det Q=\det Q^{T}\cdot \det Q=\det(Q^{T}Q)=\det I=1}$

folgt. Damit k​ann die Determinante e​iner orthogonalen Matrix n​ur die Werte e​ins oder m​inus eins annehmen. Es g​ibt allerdings a​uch nicht-orthogonale Matrizen, d​eren Determinante p​lus oder m​inus eins ist, z​um Beispiel unimodulare Matrizen. Orthogonale Matrizen, d​eren Determinante e​ins ist, entsprechen Drehungen. Man spricht d​ann auch v​on einer eigentlich orthogonalen Matrix. Orthogonale Matrizen, d​eren Determinante m​inus eins ist, stellen Drehspiegelungen dar. Man spricht d​ann auch v​on einer uneigentlich orthogonalen Matrix.

Eigenwerte

Die Eigenwerte einer orthogonalen Matrix ${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ sind nicht notwendigerweise alle reell. Sie haben jedoch den komplexen Betrag eins, sind also von der Form

${\displaystyle \lambda =e^{it}}$

mit ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Ist nämlich ${\displaystyle x}$ ein zu ${\displaystyle \lambda }$ gehöriger Eigenvektor, dann gilt aufgrund der Längentreue und der absoluten Homogenität einer Norm

${\displaystyle \|x\|_{2}=\|Q\,x\|_{2}=\|\lambda \,x\|_{2}=|\lambda |\,\|x\|_{2}}$

und daher ${\displaystyle |\lambda |=1}$. Eine orthogonale Matrix besitzt demnach höchstens die reellen Eigenwerte ${\displaystyle \pm 1}$. Die komplexen Eigenwerte treten immer paarweise komplex konjugiert auf, das heißt mit ${\displaystyle \lambda =e^{it}}$ ist auch ${\displaystyle {\bar {\lambda }}=e^{-it}}$ ein Eigenwert, denn

${\displaystyle Q{\bar {x}}={\overline {Qx}}={\overline {\lambda x}}={\bar {\lambda }}{\bar {x}}}$.

Demnach besitzt eine orthogonale Matrix ungerader Dimension ${\displaystyle n}$ mindestens einen reellen Eigenwert (siehe auch den Satz vom Fußball).

Diagonalisierbarkeit

Eine orthogonale Matrix ${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ist normal, das heißt, es gilt

${\displaystyle Q\,Q^{T}=Q^{T}\,Q}$,

und damit über den komplexen Zahlen unitär diagonalisierbar. Nach dem Spektralsatz gibt es nämlich eine unitäre Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$, sodass

${\displaystyle U^{-1}\,Q\,U=D}$

gilt, wobei ${\displaystyle D\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von ${\displaystyle Q}$ ist. Die Spaltenvektoren von ${\displaystyle U}$ sind dann paarweise orthonormale Eigenvektoren von ${\displaystyle Q}$. Damit sind auch die Eigenräume einer orthogonalen Matrix paarweise orthogonal.

Im Allgemeinen ist eine orthogonale Matrix ${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ jedoch nicht reell diagonalisierbar. Es existiert allerdings eine orthogonale Matrix ${\displaystyle V\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, sodass

${\displaystyle V^{-1}\,Q\,V={\begin{pmatrix}D_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&D_{s}\end{pmatrix}}}$

eine Blockdiagonalmatrix ergibt, bei der die einzelnen Blöcke entweder Drehmatrizen der Größe ${\displaystyle 2\times 2}$ sind oder aus der Zahl ${\displaystyle +1}$ oder ${\displaystyle -1}$ bestehen. Diese Darstellung wird auch Normalform einer orthogonalen Matrix genannt.

Normen

Die Spektralnorm einer orthogonalen Matrix ${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ist

${\displaystyle \|Q\|_{2}=\max _{\|x\|_{2}=1}\|Q\,x\|_{2}=\max _{\|x\|_{2}=1}\|x\|_{2}=1}$.

Für d​ie Frobeniusnorm g​ilt mit d​em Frobenius-Skalarprodukt entsprechend

${\displaystyle \|Q\|_{F}={\sqrt {\langle Q,Q\rangle _{F}}}={\sqrt {\langle I,I\rangle _{F}}}={\sqrt {n}}}$.

Das Produkt mit einer orthogonalen Matrix erhält sowohl die Spektralnorm, als auch die Frobeniusnorm einer gegebenen Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, denn es gilt

${\displaystyle \|Q\,A\|_{2}=\max _{\|x\|_{2}=1}\|Q\,A\,x\|_{2}=\max _{\|x\|_{2}=1}\|A\,x\|_{2}=\|A\|_{2}}$

und

${\displaystyle \|Q\,A\|_{F}={\sqrt {\langle Q\,A,Q\,A\rangle _{F}}}={\sqrt {\langle A,A\rangle _{F}}}=\|A\|_{F}}$.

Damit bleibt a​uch die Kondition e​iner Matrix bezüglich dieser Normen n​ach Multiplikation m​it einer orthogonalen Matrix erhalten.

Orthogonale Matrizen als Gruppe

→ Hauptartikel: Orthogonale Gruppe

Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$. Als neutrales Element dient dabei die Einheitsmatrix ${\displaystyle I}$. Die orthogonalen Matrizen bilden eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe, die orthogonale Gruppe ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$. Das Produkt zweier orthogonaler Matrizen ${\displaystyle P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ist nämlich wieder orthogonal, denn es gilt

${\displaystyle (P\,Q)^{T}\,(P\,Q)=Q^{T}\,(P^{T}\,P)\,Q=Q^{T}\,Q=I}$.

Weiter ist die Inverse einer orthogonalen Matrix ${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ebenfalls orthogonal, denn es gilt

${\displaystyle Q^{-T}\,Q^{-1}=Q^{-T}\,Q^{T}=(Q\,Q^{-1})^{T}=I^{T}=I}$.

Die orthogonalen Matrizen mit Determinante eins, also die Drehmatrizen, bilden wiederum eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe, die Drehgruppe (oder spezielle orthogonale Gruppe) ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$. Dabei handelt es sich um eine Lie-Gruppe, d. h. die Gruppenoperationen sind verträglich mit dem Differenzieren in der Gruppe, und Elemente von ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ lassen sich als Exponentiale von Matrizen aus der zugehörigen Lie-Algebra darstellen. Die orthogonalen Matrizen mit Determinante minus eins, also die Drehspiegelungen, bilden keine Untergruppe der orthogonalen Gruppe, sondern lediglich eine Nebenklasse, denn ihnen fehlt das neutrale Element.

Verwendung

Lineare Gleichungssysteme

Die Lösung linearer Gleichungssysteme d​er Form

${\displaystyle Q\,x=b}$

mit einer orthogonalen Matrix ${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ und einer rechten Seite ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$ lässt sich numerisch effizient durch

${\displaystyle x=Q^{T}\,b}$

berechnen. Die Ermittlung der Lösung ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ erfordert also lediglich eine Matrix-Vektor-Multiplikation, die mit einem Aufwand der Ordnung ${\displaystyle O(n^{2})}$ durchgeführt werden kann. Im Vergleich dazu benötigt die Lösung allgemeiner linearer Gleichungssysteme beispielsweise mit Hilfe der Gauß-Elimination einen Aufwand ${\displaystyle O(n^{3})}$. Dieser Vorteil wird beispielsweise bei der (reellen) diskreten Fourier-Transformation und der diskreten Kosinus-Transformation genutzt.

Matrixzerlegungen

Eine weitere Anwendung orthogonaler Matrizen ist die QR-Zerlegung einer gegebenen Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ als Produkt

${\displaystyle A=Q\,R}$

einer orthogonalen Matrix ${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{m\times m}}$ und einer oberen Dreiecksmatrix ${\displaystyle R\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$. Die Konstruktion der Matrix ${\displaystyle Q}$ kann dabei mit Givens-Rotationen, die Drehungen entsprechen, oder Householdertransformationen, die Spiegelungen entsprechen, durchgeführt werden. QR-Zerlegungen werden in der Numerik bei der Lösung schlecht konditionierter, überbestimmter oder unterbestimmter linearer Gleichungssysteme eingesetzt. Ein weiteres Anwendungsfeld besteht in der Berechnung von Eigenwertproblemen mit dem QR-Algorithmus.

Mit Hilfe der Singulärwertzerlegung lässt sich jede reelle Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ auch als Produkt

${\displaystyle A=U\,\Sigma \,V^{T}}$

einer orthogonalen Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {R} ^{m\times m}}$, einer Diagonalmatrix ${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ und der Transponierten einer weiteren orthogonalen Matrix ${\displaystyle V\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ darstellen. Die Diagonaleinträge der Matrix ${\displaystyle \Sigma }$ sind dann die Singulärwerte von ${\displaystyle A}$. Die Singulärwertzerlegung wird beispielsweise in der Geometrie bei der Hauptachsentransformation von Quadriken und in der Statistik bei der Hauptkomponentenanalyse multivariater Datensätze eingesetzt.

Eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ kann mittels der Polarzerlegung auch als Produkt

${\displaystyle A=Q\,P}$

einer orthogonalen Matrix ${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ und einer positiv semidefiniten symmetrischen Matrix ${\displaystyle P\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ faktorisiert werden.

Orthogonale Abbildungen

Ist ${\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler reeller Skalarproduktraum, dann lässt sich jede lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to V}$ nach Wahl einer Orthonormalbasis ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ für ${\displaystyle V}$ durch die Abbildungsmatrix

${\displaystyle A_{f}=(a_{ij})\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$

darstellen, wobei ${\displaystyle f(e_{j})=a_{1j}e_{1}+\dotsb +a_{nj}e_{n}}$ für ${\displaystyle j=1,\dotsc ,n}$ ist. Die Abbildungsmatrix ${\displaystyle A_{f}}$ ist nun genau dann orthogonal, wenn ${\displaystyle f}$ eine orthogonale Abbildung ist. Dies folgt aus

${\displaystyle \langle f(v),f(w)\rangle =(A_{f}x)^{T}(A_{f}y)=x^{T}A_{f}^{T}A_{f}y=x^{T}y=\langle v,w\rangle }$,

wobei ${\displaystyle v=x_{1}e_{1}+\dotsb +x_{n}e_{n}}$ und ${\displaystyle w=y_{1}e_{1}+\dotsb +y_{n}e_{n}}$ sind.

Siehe auch

• Euklidische Transformation
• Orthogonalisierungsverfahren
• Orthogonaler Tensor

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger). 14., durchgesehene Auflage. Vieweg, 2003, ISBN 3-528-03217-0.
• Jörg Liesen, Volker Mehrmann: Lineare Algebra. Springer, 2011, ISBN 978-3-8348-8290-5.
• Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-0683-3.
• Eberhard Zeidler, Wolfgang Hackbusch (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. Band 1. Springer, 2012, ISBN 978-3-8351-0123-4.
• D. A. Suprunenko: Orthogonal matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Weblinks

• Todd Rowland: Orthogonal Matrix. In: MathWorld (englisch).
• akrowne: Orthogonal matrices. In: PlanetMath. (englisch)