Drehspiegelung

Eine Drehspiegelung i​st eine Kongruenzabbildung d​es dreidimensionalen euklidischen Raumes i​n sich. Sie i​st zusammengesetzt a​us einer Drehung u​nd einer Spiegelung a​n einer Ebene, d​ie von d​er Drehachse rechtwinklig geschnitten wird.

Wird der Punkt P zunächst um die schwarze Drehachse gedreht und dann an der blauen Ebene gespiegelt (oder umgekehrt), so erfolgt die Projektion auf den Punkt Q.
Wird er nach der Drehung hingegen am Inversionszentrum (roter Punkt in der blauen Ebene) gespiegelt (oder umgekehrt), so erfolgt die Projektion auf den Punkt Q'.

Eine verwandte Abbildung i​st die Drehinversion, d​ie aus e​iner Drehung u​nd einer Spiegelung a​n einem Punkt d​er Drehachse besteht.

In beiden Fällen spielt d​ie Reihenfolge d​er Teiloperationen Drehung u​nd Spiegelung b​ei der Ausführung k​eine Rolle. Beide Abbildungen s​ind Bewegungen d​es euklidischen Raums, d​ie wegen d​er Spiegelungen d​ie Orientierung umkehren.

Eine Drehspiegelung i​st eine Isometrie a​uf dem dreidimensionalen Raum, d​a sie e​ine Verknüpfung zweier Isometrien ist.

Zusammenhang mit der Drehinversion

Drehspiegelung u​nd Drehinversion liefern dasselbe Ergebnis, wenn

1. das Inversionszentrum der Schnittpunkt der Spiegelebene mit der Drehachse ist und
2. sich die beiden Drehwinkel um ${\displaystyle \pi =180^{\circ }}$ unterscheiden.

Die Drehwinkel 0° und 180° liefern besonders einfache Ergebnisse:

• Eine Drehspiegelung um 0° (= Drehinversion um 180°) ist eine einfache Ebenenspiegelung: Der Punkt P der nebenstehenden Abbildung wird entlang der blauen Linie senkrecht nach unten projiziert.
• Eine Drehspiegelung um 180° (= Drehinversion um 0°) ist eine Punktspiegelung am Schnittpunkt der Spiegelebene mit der Drehachse (in der Abbildung der rote Punkt in der blauen Ebene): Der Punkt P wird also entlang der roten Linie schräg nach hinten und unten projiziert.

Da es sich tatsächlich um eine Punktspiegelung handelt, hängt das Ergebnis in diesem Fall nicht von der Lage der Achse ab, solange diese durch das Inversionszentrum geht.

Darstellung als Matrix

Wird der Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems in das Inversionszentrum gelegt, so wird eine Drehspiegelung durch eine orthogonale Matrix ${\displaystyle A}$ mit Determinante –1 dargestellt. Wenn außerdem die ${\displaystyle z}$-Achse als Drehachse gewählt wird, nimmt ${\displaystyle A}$ folgende Form an:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$

Bei einer Drehinversion hat die Matrix dieselbe Form, es muss lediglich ${\displaystyle \varphi }$ durch ${\displaystyle \varphi +\pi }$ ersetzt werden.

Bedeutung in der Kristallographie

Die wiederholte Anwendung einer Drehspiegelung mit dem Winkel ${\displaystyle \varphi }$ liefert abwechselnd Drehspiegelungen und gewöhnliche Drehungen; die zugehörigen Winkel sind ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle 2\varphi }$, ${\displaystyle 3\varphi }$... . Ist ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {2\pi }{n}}}$, so ist auch eine Drehung um ein Vielfaches von ${\displaystyle 2\pi }$ dabei, so dass insgesamt nur endlich viele verschiedene Abbildungen auftreten. Diese bilden eine Gruppe, die zur Beschreibung von Kristallstrukturen und Molekülsymmetrien verwendete Drehspiegelgruppe.

Zur Beschreibung v​on Drehspiegelungen u​nd -inversionen d​ient die Hermann-Mauguin-Symbolik.

Literatur

• Martin Nitschke: Geometrie. Anwendungsbezogene Grundlagen und Beispiele. Carl-Hanser-Verlag, 2005, ISBN 3-446-22676-1, S. 98 ff.