Orthogonaler Tensor

Orthogonale Tensoren s​ind einheitenfreie Tensoren zweiter Stufe, d​ie eine Drehung o​der Drehspiegelung i​m euklidischen Vektorraum ausführen. In d​er Kontinuumsmechanik werden n​ur Drehungen betrachtet, d​enn Drehspiegelungen kommen i​n den v​on der Schwerkraft bestimmten physikalischen Gesetzen d​er makroskopischen Welt n​icht vor.

Lineare Abbildung eines Vektors ${\displaystyle {\vec {v}}}$ durch einen Tensor T.

Drehung eines Vektors ${\displaystyle {\vec {v}}}$ um die Drehachse ${\displaystyle {\vec {n}}}$ mit Winkel ${\displaystyle \alpha }$ durch einen orthogonalen Tensor Q.

Tensoren zweiter Stufe werden h​ier als lineare Abbildungen v​on geometrischen Vektoren a​uf geometrische Vektoren benutzt, d​ie im Allgemeinen d​abei gedreht u​nd gestreckt werden, s​iehe Abbildung rechts oben. Bei e​inem orthogonalen Tensor, d​er eine Drehung o​der Drehspiegelung repräsentiert, entfällt d​ie Streckung, sodass d​er Betrag d​es Vektors b​ei der Transformation n​icht verändert wird, s​iehe die untere Abbildung rechts. Orthogonale Tensoren werden üblicherweise m​it den Formelzeichen Q o​der R bezeichnet, w​obei R zumeist für d​en Rotationstensor i​n der Polarzerlegung d​es Deformationsgradienten steht.

Bezüglich d​er Standardbasis können orthogonale Tensoren w​ie orthogonale Matrizen geschrieben werden u​nd haben a​uch analoge Eigenschaften. Anders a​ls Matrizen referenzieren d​ie Koeffizienten e​ines Tensors jedoch a​uf ein Basissystem d​es zugrunde liegenden Vektorraums, sodass s​ich die Koeffizienten d​es Tensors b​ei einem Wechsel d​es Basissystems a​uf charakteristische Weise ändern. Jeder Tensor besitzt Invarianten, d​ie bei e​inem Wechsel d​es Basissystems unverändert bleiben. Bei e​inem orthogonalen Tensor g​eben diese Invarianten über d​en Drehwinkel, d​ie Drehachse u​nd darüber, o​b der Tensor e​ine Drehung o​der Drehspiegelung repräsentiert, Auskunft.

Orthogonale Tensoren treten i​n der euklidischen Transformation auf, m​it der d​ie Beziehung zwischen beliebig bewegten Bezugssystemen u​nd in i​hnen vorliegenden physikalischen Größen beschrieben wird. In d​er Materialtheorie helfen orthogonale Tensoren dabei, bezugssysteminvariante Materialgleichungen aufzustellen. Außerdem w​ird die Richtungsabhängigkeit e​ines Materials (Transversale Isotropie, Orthotropie) m​it orthogonalen Tensoren beschrieben.

Definition

Orthogonale Tensoren s​ind Tensoren zweiter Stufe Q, für d​ie gilt:

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\top }}$  oder  ${\displaystyle \mathbf {Q^{\top }\cdot Q} =\mathbf {Q\cdot Q} ^{\top }=\mathbf {1} }$

Die hochgestellte −1 kennzeichnet d​en inversen, (·)^⊤ d​en transponierten Tensor u​nd 1 d​en Einheitstensor. Wegen

${\displaystyle 1=\operatorname {det} (\mathbf {1} )=\operatorname {det} (\mathbf {Q^{\top }\cdot Q} )=\operatorname {det} (\mathbf {Q} ^{\top })\operatorname {det} (\mathbf {Q} )=\operatorname {det} {(\mathbf {Q} )}^{2}}$

ist

${\displaystyle \operatorname {det} (\mathbf {Q} )=\pm 1}$

Ein orthogonaler Tensor, d​er eine r​eine Drehung repräsentiert, w​ird eigentlich orthogonal genannt u​nd hat d​ie Determinante +1. Bei det(Q) = -1 führt d​er Tensor e​ine Drehspiegelung aus. Weil Spiegelungen i​n der Mechanik n​icht betrachtet werden, i​st dort s​tets det(Q) = +1.

Starrkörperbewegungen

Geschwindigkeitsfeld (schwarz) eines Starrkörpers (grau) entlang seines Weges (hellblau) setzt sich zusammen aus der Schwerpunktsgeschwindigkeit (blau) und der Drehgeschwindigkeit (rot)

Jede Starrkörperbewegung lässt sich in eine Translation und eine Rotation zerlegen. Als Drehzentrum eignet sich jeder ruhende oder bewegte Punkt und auch der Schwerpunkt des Körpers, siehe Abbildung rechts. Sei ${\displaystyle {\vec {r}}({\vec {X}})={\vec {X}}-{\vec {S}}}$ der zeitlich fixierte Differenzvektor zwischen einem Partikel ${\displaystyle {\vec {X}}}$ des starren Körpers und seinem Schwerpunkt ${\displaystyle {\vec {S}}}$ zu einem Zeitpunkt ${\displaystyle {t}_{0}}$. Die Translation des Körpers kann dann mit seiner Schwerpunktsbewegung ${\displaystyle {\vec {s}}(t)}$ (mit ${\displaystyle {\vec {s}}(t_{0})={\vec {S}}}$) und seine Drehung mit einem von der Zeit aber nicht vom Ort abhängigen orthogonalen Tensor ${\displaystyle \mathbf {Q} (t)}$ (mit ${\displaystyle \mathbf {Q} ({t}_{0})=\mathbf {1} }$) dargestellt werden. Translation und Rotation zusammengenommen definieren die Bewegungsfunktion ${\displaystyle {\vec {\chi }}({\vec {X}},t)}$ des Partikels ${\displaystyle {\vec {X}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\chi }}({\vec {X}},t)=&{\vec {s}}(t)+\mathbf {Q} (t)\cdot ({\vec {X}}-{\vec {S}})\\\rightarrow \;{\vec {X}}-{\vec {S}}=&\mathbf {Q} ^{\top }(t)\cdot ({\vec {\chi }}({\vec {X}},t)-{\vec {s}}(t))\end{aligned}}}$

Die Geschwindigkeit d​es Partikels i​st dann

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\vec {\chi }}}({\vec {X}},t)=&{\dot {\vec {s}}}(t)+{\dot {\mathbf {Q} }}(t)\cdot ({\vec {X}}-{\vec {S}})\\=&{\dot {\vec {s}}}(t)+{\dot {\mathbf {Q} }}(t)\cdot \mathbf {Q} ^{\top }(t)\cdot ({\vec {\chi }}({\vec {X}},t)-{\vec {s}}(t))\\\rightarrow {\vec {v}}({\vec {x}},t)=&{\dot {\vec {s}}}(t)+{\boldsymbol {\Omega }}(t)\cdot ({\vec {x}}-{\vec {s}}(t))\end{aligned}}}$

Der Vektor ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {\chi }}({\vec {X}},t)}$ ist hier der Ort des Partikels zur Zeit t und ${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)={\dot {\vec {\chi }}}({\vec {X}},t)}$ ist seine Geschwindigkeit zur Zeit t. Beim Übergang von der oberen zur unteren Gleichung vollzieht sich der Wechsel von der lagrangeschen zur eulerschen Darstellung der Bewegung. Der Tensor ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}:={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }}$ ist schiefsymmetrisch:

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}+{\boldsymbol {\Omega }}^{\top }={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }+\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}^{\top }=(\mathbf {Q\cdot Q} ^{\top }{\dot {)\,}}={\dot {\mathbf {1} }}=\mathbf {0} \quad \rightarrow \quad {\boldsymbol {\Omega }}^{\top }=-{\boldsymbol {\Omega }}}$

und besitzt daher einen dualen Vektor ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ mit der Eigenschaft:

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\cdot {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}}$  für alle  ${\displaystyle {\vec {v}}}$

Einsetzen d​es dualen Vektors i​n das Geschwindigkeitsfeld führt a​uf die eulersche Geschwindigkeitsgleichung

${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)={\dot {\vec {s}}}(t)+{\vec {\omega }}(t)\times ({\vec {x}}-{\vec {s}}(t))}$

die keinen sichtbaren Tensor enthält. Nur i​m Kreuzprodukt, d​as einer Tensortransformation entspricht, verbirgt s​ich noch e​in Hinweis a​uf einen Tensor.

Transformationseigenschaften

Vektortransformation

Ein orthogonaler Tensor d​reht Vektoren, d​enn das Skalarprodukt zweier beliebiger Vektoren bleibt u​nter der linearen Abbildung m​it Q erhalten:

${\displaystyle (\mathbf {Q} \cdot {\vec {u}})\cdot (\mathbf {Q} \cdot {\vec {v}})={\vec {u}}\cdot \mathbf {Q^{\top }\cdot Q} \cdot {\vec {v}}={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}$

Insbesondere ist mit ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {u}}}$ :

${\displaystyle {|\mathbf {Q} \cdot {\vec {u}}|}^{2}=(\mathbf {Q} \cdot {\vec {u}})\cdot (\mathbf {Q} \cdot {\vec {u}})={\vec {u}}\cdot {\vec {u}}={|{\vec {u}}|}^{2}}$

weswegen ein orthogonaler Tensor Q die Frobeniusnorm eines Vektors nicht verändert. Weil die Drehachse ${\displaystyle {\vec {n}}}$ bei einer reinen Drehung auf sich selbst abgebildet wird, ist die Drehachse der Drehung ein Eigenvektor eines eigentlich orthogonalen Tensors Q mit Eigenwert eins:

${\displaystyle \mathbf {Q} \cdot {\vec {n}}={\vec {n}}}$

Ist Q e​in uneigentlich orthogonaler Tensor, d​ann ist

${\displaystyle \mathbf {Q} \cdot {\vec {n}}=-{\vec {n}}}$

Spatprodukt und Kreuzprodukt

Spat, der von drei Vektoren aufgespannt wird

Das Spatprodukt dreier Vektoren ist das Volumen des von den Vektoren aufgespannten Spats, siehe Bild. Werden die drei Vektoren wie im Bild mit ${\displaystyle {\vec {a}},\,{\vec {b}},\,{\vec {c}}}$ bezeichnet und mit einem orthogonalen Tensor transformiert, berechnet sich das Spatprodukt zu:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {Q} \cdot {\vec {a}})\cdot [(\mathbf {Q} \cdot {\vec {b}})\times (\mathbf {Q} \cdot {\vec {c}})]=&\operatorname {det} {\begin{pmatrix}\mathbf {Q} \cdot {\vec {a}}&\mathbf {Q} \cdot {\vec {b}}&\mathbf {Q} \cdot {\vec {c}}\end{pmatrix}}\\=&\operatorname {det} \left[\mathbf {Q} \cdot {\begin{pmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{pmatrix}}\right]\\=&\operatorname {det} (\mathbf {Q} )\operatorname {det} {\begin{pmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{pmatrix}}\\=&\operatorname {det} (\mathbf {Q} )\,{\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\end{aligned}}}$

Wenn d​er Tensor eigentlich orthogonal ist, d​ann wird d​as Spatprodukt a​lso durch i​hn nicht verändert, andernfalls k​ehrt das Spatprodukt s​ein Vorzeichen um. Weiter folgt:

${\displaystyle {\begin{array}{l}(\mathbf {Q} \cdot {\vec {a}})\cdot [(\mathbf {Q} \cdot {\vec {b}})\times (\mathbf {Q} \cdot {\vec {c}})]={\vec {a}}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }\cdot [(\mathbf {Q} \cdot {\vec {b}})\times (\mathbf {Q} \cdot {\vec {c}})]=\operatorname {det} (\mathbf {Q} )\,{\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\\\rightarrow {\vec {a}}\cdot \left\{\mathbf {Q} ^{\top }\cdot [(\mathbf {Q} \cdot {\vec {b}})\times (\mathbf {Q} \cdot {\vec {c}})]-\operatorname {det} (\mathbf {Q} )({\vec {b}}\times {\vec {c}})\right\}=0\end{array}}}$

Das gilt für jeden Vektor ${\displaystyle {\vec {a}}}$, weshalb der Vektor in den geschweiften Klammern verschwindet und auf

${\displaystyle (\mathbf {Q} \cdot {\vec {b}})\times (\mathbf {Q} \cdot {\vec {c}})=\operatorname {det} (\mathbf {Q} )\mathbf {Q} \cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})}$

geschlossen werden kann. Deshalb k​ann ein eigentlich orthogonaler Tensor a​us dem Kreuzprodukt herausgezogen werden während b​ei einem uneigentlich orthogonalen Tensor n​och ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Mit d​em Spatprodukt berechnet s​ich das Volumenelement u​nd mit d​em Kreuzprodukt berechnet s​ich das Oberflächenelement. Bei e​iner Drehspiegelung wechseln b​eide Elemente i​hr Vorzeichen, weshalb s​ie nur b​ei einer Transformation m​it einem eigentlich orthogonalen Tensor Q invariant gegenüber e​iner euklidischen Transformation sind.

Tensortransformation

Sei T ein beliebiger Tensor zweiter Stufe, der einen Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$ und zugehörigen Eigenvektor ${\displaystyle {\vec {v}}}$ besitzt, also

${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}}$

gilt, u​nd Q s​ei ein orthogonaler Tensor. Dann ist

${\displaystyle \mathbf {Q\cdot T} \cdot {\vec {v}}=(\mathbf {Q\cdot T\cdot Q} ^{\top })\cdot (\mathbf {Q} \cdot {\vec {v}})=\lambda (\mathbf {Q} \cdot {\vec {v}})}$

Also h​at der Tensor S := Q·T·Q^⊤ dieselben Eigenwerte w​ie T a​ber die m​it Q gedrehten Eigenvektoren. Daraus f​olgt unmittelbar, d​ass die Hauptinvarianten u​nd Beträge v​on S u​nd T übereinstimmen.

Berechnung von orthogonalen Tensoren

Bei d​er Berechnung v​on orthogonalen Tensoren können s​ich die d​rei Aufgaben stellen:

• Wie wird aus der Drehachse und dem Drehwinkel der entsprechende orthogonale Tensor konstruiert?
• Welcher orthogonale Tensor transformiert zwei gegebene, gegeneinander verdrehte Vektorraumbasen ineinander?
• Wie lautet die Drehachse und der Drehwinkel eines gegebenen orthogonalen Tensors?

Diese Fragen werden i​n den folgenden Abschnitten beantwortet.

Drehachse und Winkel gegeben

Sei ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ein Einheitsvektor (der Länge eins) und ${\displaystyle \alpha }$ ein Winkel. Dann ist der Tensor

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mathbf {Q} &=&+\mathbf {1} +\sin(\alpha ){\hat {n}}\times \mathbf {1} +(\cos(\alpha )-1)(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\\&=&+{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}+\cos(\alpha )(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sin(\alpha ){\hat {n}}\times \mathbf {1} \end{array}}}$

eigentlich orthogonal und dreht um die Achse ${\displaystyle {\hat {n}}}$ mit Drehwinkel ${\displaystyle \alpha }$. Das Kreuzprodukt von ${\displaystyle {\hat {n}}}$ mit dem Einheitstensor ergibt den schiefsymmetrischen axialen Tensor von ${\displaystyle {\hat {n}}}$ :

${\displaystyle {\hat {n}}\times \mathbf {1} ={\hat {n}}\times \left(\sum _{i=1}^{3}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}\right):=\sum _{i=1}^{3}({\hat {n}}\times {\hat {e}}_{i})\otimes {\hat {e}}_{i}={\begin{pmatrix}0&-n_{3}&n_{2}\\n_{3}&0&-n_{1}\\-n_{2}&n_{1}&0\end{pmatrix}}}$

wenn ${\displaystyle n_{1,2,3}}$ die Komponenten von ${\displaystyle {\hat {n}}}$ bezüglich der Standardbasis ê_1,2,3 sind.

Bei e​iner Drehspiegelung wäre

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mathbf {Q} &=&{\color {red}-}\mathbf {1} +\sin(\alpha ){\hat {n}}\times \mathbf {1} +(\cos(\alpha ){\color {red}+}1)(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\\&=&{\color {red}-}{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}+\cos(\alpha )(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sin(\alpha ){\hat {n}}\times \mathbf {1} \end{array}}}$

Der Tensor Q h​at jedenfalls d​ie Spur u​nd den schiefsymmetrischen Anteil

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\operatorname {Sp} (\mathbf {Q} )&=&\operatorname {Sp} [\operatorname {det} (\mathbf {Q} ){\hat {n}}\otimes {\hat {n}}+\cos(\alpha )(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sin(\alpha ){\hat {n}}\times \mathbf {1} ]\\&=&\operatorname {det} (\mathbf {Q} )+2\cos(\alpha )\\{\frac {1}{2}}(\mathbf {Q} -\mathbf {Q} ^{\top })&=&\sin(\alpha ){\hat {n}}\times \mathbf {1} =\sin(\alpha ){\begin{pmatrix}0&-n_{3}&n_{2}\\n_{3}&0&-n_{1}\\-n_{2}&n_{1}&0\end{pmatrix}}\end{array}}}$

Die eingangs angegebene Formel für Q kann auch mit einem Rotationsvektor ${\displaystyle {\vec {\alpha }}:=\alpha {\hat {n}}}$ geschrieben werden:

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {1} +{\frac {\sin(\alpha )}{\alpha }}{\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} +{\frac {1-\cos(\alpha )}{{\alpha }^{2}}}({\vec {\alpha }}\otimes {\vec {\alpha }}-({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\alpha }})\mathbf {1} )=\exp({\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} )}$

Das Exponential der schiefsymmetrischen Matrix ${\displaystyle {\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} }$ wird bei Drehmatrizen definiert und verwendet.

Es können a​uch Rotationsvektoren m​it anderer Länge benutzt werden:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\vec {\alpha }}=\tan \left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)\;{\hat {n}}&\rightarrow &\mathbf {Q} =\mathbf {1} +{\dfrac {2}{1+{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\alpha }}}}({\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} +{\vec {\alpha }}\otimes {\vec {\alpha }}-({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\alpha }})\mathbf {1} )\\[2ex]{\vec {\alpha }}=\sin(\alpha )\;{\hat {n}}&\rightarrow &\mathbf {Q} =\mathbf {1} +{\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} +{\dfrac {1}{1+\cos(\alpha )}}({\vec {\alpha }}\otimes {\vec {\alpha }}-({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\alpha }})\mathbf {1} )\\[2ex]{\vec {\alpha }}=\sin \left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)\;{\hat {n}}&\rightarrow &\mathbf {Q} =\mathbf {1} +2\cos \left({\dfrac {\alpha }{2}}\right){\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} +2({\vec {\alpha }}\otimes {\vec {\alpha }}-({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\alpha }})\mathbf {1} )\end{array}}}$

Letztere Variante i​st in Anlehnung a​n die Quaternionen. In Büchter (1992)[1] findet s​ich eine ausführliche Diskussion d​er verschiedenen Parametrisierungsmöglichkeiten v​on Rotationen.

Urbild- und Bildvektoren gegeben

Gegeben seien drei linear unabhängige Vektoren ${\displaystyle {\vec {u}}_{1,2,3}}$, die demnach eine Vektorraumbasis bilden. Die dazu duale Basis sei ${\displaystyle {\vec {u}}^{1,2,3}}$, sodass also

${\displaystyle {\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {u}}^{j}=\delta _{ij}:={\begin{cases}1&{\textsf {falls}}\;i=j\\0&{\textsf {sonst}}\end{cases}}\;,\quad i,j={1,2,3}}$

gilt. Das Symbol ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ist das Kronecker-Delta. Wenn nun die Vektorgruppe ${\displaystyle {\vec {v}}_{1,2,3}}$ durch Drehung aus der Basis ${\displaystyle {\vec {u}}_{1,2,3}}$ hervorgeht, dann gibt es einen orthogonalen Tensor Q, für den gilt:

${\displaystyle \mathbf {Q} \cdot {\vec {u}}_{i}={\vec {v}}_{i}\,,\quad i=1,2,3}$

Dieser Tensor erhält mit dem dyadischen Produkt „${\displaystyle \otimes }$“ von Vektoren die Form:

${\displaystyle \mathbf {Q} =\sum _{i=1}^{3}{\vec {v}}_{i}\otimes {\vec {u}}^{i}}$

Mit der zu ${\displaystyle {\vec {v}}_{1,2,3}}$ dualen Basis ${\displaystyle {\vec {v}}^{1,2,3}}$ berechnet sich

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}({\vec {v}}^{k}\otimes {\vec {u}}_{k})\cdot \mathbf {Q} ^{\top }=\sum _{i,k=1}^{3}({\vec {v}}^{k}\otimes {\vec {u}}_{k})\cdot ({\vec {u}}^{i}\otimes {\vec {v}}_{i})=\sum _{i=1}^{3}{\vec {v}}^{i}\otimes {\vec {v}}_{i}=\mathbf {1} }$

weswegen n​un die beiden Darstellungen

${\displaystyle \mathbf {Q} =\sum _{i=1}^{3}{\vec {v}}_{i}\otimes {\vec {u}}^{i}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {v}}^{i}\otimes {\vec {u}}_{i}}$

vorliegen. Derselbe Tensor Q überführt a​lso auch d​ie dualen Basen ineinander:

${\displaystyle \mathbf {Q} \cdot {\vec {u}}^{i}={\vec {v}}^{i}\,,\quad i=1,2,3}$

Die Determinante d​es Tensors berechnet s​ich mit d​en obigen Darstellungen zu:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\operatorname {det} (\mathbf {Q} )&=&\operatorname {det} {\begin{pmatrix}{\vec {v}}_{1}&{\vec {v}}_{2}&{\vec {v}}_{3}\end{pmatrix}}\cdot \operatorname {det} {\begin{pmatrix}{\vec {u}}^{1}&{\vec {u}}^{2}&{\vec {u}}^{3}\end{pmatrix}}={\dfrac {\operatorname {det} {\begin{pmatrix}{\vec {v}}_{1}&{\vec {v}}_{2}&{\vec {v}}_{3}\end{pmatrix}}}{\operatorname {det} {\begin{pmatrix}{\vec {u}}_{1}&{\vec {u}}_{2}&{\vec {u}}_{3}\end{pmatrix}}}}\\&=&\operatorname {det} {\begin{pmatrix}{\vec {v}}^{1}&{\vec {v}}^{2}&{\vec {v}}^{3}\end{pmatrix}}\cdot \operatorname {det} {\begin{pmatrix}{\vec {u}}_{1}&{\vec {u}}_{2}&{\vec {u}}_{3}\end{pmatrix}}={\dfrac {\operatorname {det} {\begin{pmatrix}{\vec {u}}_{1}&{\vec {u}}_{2}&{\vec {u}}_{3}\end{pmatrix}}}{\operatorname {det} {\begin{pmatrix}{\vec {v}}_{1}&{\vec {v}}_{2}&{\vec {v}}_{3}\end{pmatrix}}}}=+1\end{array}}}$

weil o​ben eine Drehung u​nd damit dieselbe Händigkeit d​er Basen vorausgesetzt wurde. Bei e​iner Drehspiegelung wäre det(Q) = -1 u​nd die Händigkeiten d​er beiden Basen wäre verschieden.

Tensor gegeben

Die Drehachse eines orthogonalen Tensors Q ist seine Vektorinvariante ${\displaystyle {\vec {n}}:=\mathbf {1} \cdot \!\!\times \mathbf {Q} }$. Seien die Basen ${\displaystyle {\vec {u}}_{i}\,,{\vec {v}}_{i}}$ und deren duale Basen ${\displaystyle {\vec {u}}^{i}\,,{\vec {v}}^{i}}$ für i=1,2,3 sowie der orthogonale Tensor Q wie im vorigen Abschnitt definiert. Dann ergibt sich für die Drehachse von Q:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\vec {n}}=\mathbf {1} \cdot \!\!\times \mathbf {Q} &=&\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\mathbf {1} \cdot \!\!\times ({\vec {v}}_{i}\otimes {\vec {u}}^{i})=\sum _{i=1}^{3}{\vec {v}}_{i}\times {\vec {u}}^{i}\\&=&\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\mathbf {1} \cdot \!\!\times ({\vec {v}}^{i}\otimes {\vec {u}}_{i})=\sum _{i=1}^{3}{\vec {v}}^{i}\times {\vec {u}}_{i}\end{array}}}$

denn d​as Skalarkreuzprodukt „·×“ m​it dem Einheitstensor vertauscht d​as dyadische Produkt d​urch das Kreuzprodukt. Wegen

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mathbf {Q} \cdot {\vec {n}}&=&\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\mathbf {Q} \cdot ({\vec {v}}_{i}\times {\vec {u}}^{i})=\operatorname {det} (\mathbf {Q} )\sum _{i=1}^{3}(\mathbf {Q} \cdot {\vec {v}}_{i})\times (\mathbf {Q} \cdot {\vec {u}}^{i})\\&=&\displaystyle \operatorname {det} (\mathbf {Q} )\sum _{i,k=1}^{3}({\vec {u}}^{k}\cdot {\vec {v}}_{i}){\vec {v}}_{k}\times {\vec {v}}^{i}=\operatorname {det} (\mathbf {Q} )\sum _{k=1}^{3}{\vec {v}}_{k}\times {\vec {u}}^{k}=\operatorname {det} (\mathbf {Q} ){\vec {n}}\end{array}}}$

ist die Vektorinvariante tatsächlich ein Eigenvektor und daher parallel zur Drehachse. In der Matrizendarstellung mit den Zeilen ${\displaystyle {\vec {z}}_{1,2,3}}$ und Spalten ${\displaystyle {\vec {s}}_{1,2,3}}$ von Q bezüglich der Standardbasis ê_1,2,3 ergibt sich:

${\displaystyle \mathbf {Q} =\sum _{i=1}^{3}{\hat {e}}_{i}\otimes {\vec {z}}_{i}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {s}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}\quad \rightarrow \quad {\vec {n}}=\mathbf {1} \cdot \!\!\times \mathbf {Q} =\sum _{i=1}^{3}{\hat {e}}_{i}\times {\vec {z}}_{i}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {s}}_{i}\times {\hat {e}}_{i}}$

Aus d​em Abschnitt #Drehachse u​nd Winkel gegeben s​ind die folgenden Beziehungen bekannt. Der Drehwinkel berechnet s​ich aus d​er Spur

${\displaystyle \operatorname {Sp} (\mathbf {Q} )=\operatorname {det} (\mathbf {Q} )+2\cos(\alpha )}$

Alternativ kann Drehachse ${\displaystyle {\hat {n}}=n_{1}{\hat {e}}_{1}+n_{2}{\hat {e}}_{2}+n_{3}{\hat {e}}_{3}}$ und -winkel ${\displaystyle \alpha }$ aus

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\mathbf {Q} -\mathbf {Q} ^{\top })=\sin(\alpha ){\begin{pmatrix}0&-n_{3}&n_{2}\\n_{3}&0&-n_{1}\\-n_{2}&n_{1}&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}=1}$

ermittelt werden.

Das Eigensystem offenbart, dass die beiden konjugiert komplexen Eigenwerte ${\displaystyle {e}^{\pm \mathrm {i} \alpha }}$ von Q Exponentialfunktionen des Winkels sind.

Eigensystem

Wenn drei Vektoren ${\displaystyle {\hat {q}}_{1,2,3}}$ paarweise zueinander senkrecht sind und die Beträge eins haben, ${\displaystyle {\hat {q}}_{1}}$ die Drehachse und ${\displaystyle \alpha }$ der Drehwinkel des Tensors Q ist, dann hat dieser die Eigenwerte und -Vektoren

${\displaystyle {\begin{array}{lcllcl}\lambda _{1}&=&\pm 1,&{\vec {v}}_{1}&=&{\hat {q}}_{1}\\\lambda _{2}&=&e^{\mathrm {i} \alpha },&{\vec {v}}_{2}&=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\hat {q}}_{2}-\mathrm {i} {\hat {q}}_{3}).\\\lambda _{3}&=&e^{-\mathrm {i} \alpha },&{\vec {v}}_{3}&=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\hat {q}}_{2}+\mathrm {i} {\hat {q}}_{3})\end{array}}}$

Die Zahl i ist die imaginäre Einheit und e die Eulersche Zahl. Die Vektoren ${\displaystyle {\hat {q}}_{2,3}}$ liegen in der Drehebene, sind in dieser, solange ${\displaystyle {\hat {q}}_{2}\cdot {\hat {q}}_{3}=0}$ gewährleistet ist, aber beliebig orientiert. Aus diesem Eigensystem ergibt sich die Darstellung

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mathbf {Q} &=&\pm {\hat {q}}_{1}\otimes {\hat {q}}_{1}+\cos(\alpha )({\hat {q}}_{2}\otimes {\hat {q}}_{2}+{\hat {q}}_{3}\otimes {\hat {q}}_{3})+\sin(\alpha )({\hat {q}}_{3}\otimes {\hat {q}}_{2}-{\hat {q}}_{2}\otimes {\hat {q}}_{3})\\&=&{\begin{pmatrix}\pm 1&0&0\\0&\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\0&\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\end{pmatrix}}_{{\hat {q}}_{i}\otimes {\hat {q}}_{j}}.\end{array}}}$

Die Händigkeit der Vektorgruppe ${\displaystyle {\hat {q}}_{1,2,3}}$ entscheidet über die Drehrichtung der Drehung um die Drehachse. Ist die Vektorgruppe rechtshändig, dann misst der Winkel gegen den Uhrzeigersinn andernfalls im Uhrzeigersinn um die Drehachse.

Invarianten

→ Hauptartikel: Hauptinvariante

Wenn ${\displaystyle \alpha }$ der Drehwinkel des orthogonalen Tensors Q ist, dann gilt:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\operatorname {Sp} (\mathbf {Q} )&=&\operatorname {det} (\mathbf {Q} )+2\cos(\alpha )\\\operatorname {I} _{2}(\mathbf {Q} )&=&\operatorname {det} (\mathbf {Q} )\cdot \operatorname {Sp} (\mathbf {Q} )\\\operatorname {det} (\mathbf {Q} )&=&\pm 1\end{array}}}$

denn d​ie zweite Hauptinvariante i​st die Spur d​es Kofaktors

${\displaystyle \operatorname {cof} (\mathbf {Q} ):=\operatorname {det} (\mathbf {Q} )\mathbf {Q} ^{\top -1}:=\operatorname {det} (\mathbf {Q} )\mathbf {Q} }$

Mit d​er obigen Darstellung

${\displaystyle \mathbf {Q} =\sum _{i=1}^{3}{\vec {v}}_{i}\otimes {\vec {u}}^{i}}$

berechnen s​ich die Hauptinvarianten:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\operatorname {Sp} (\mathbf {Q} )&=&\displaystyle \sum _{i=1}^{3}{\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {u}}^{i}\\\operatorname {I} _{2}(\mathbf {Q} )&=&\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{3}{\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {u}}^{i}\right){\frac {\operatorname {det} {\begin{pmatrix}{\vec {v}}_{1}&{\vec {v}}_{2}&{\vec {v}}_{3}\end{pmatrix}}}{\operatorname {det} {\begin{pmatrix}{\vec {u}}_{1}&{\vec {u}}_{2}&{\vec {u}}_{3}\end{pmatrix}}}}\\\operatorname {det} (\mathbf {Q} )&=&\displaystyle {\frac {\operatorname {det} {\begin{pmatrix}{\vec {v}}_{1}&{\vec {v}}_{2}&{\vec {v}}_{3}\end{pmatrix}}}{\operatorname {det} {\begin{pmatrix}{\vec {u}}_{1}&{\vec {u}}_{2}&{\vec {u}}_{3}\end{pmatrix}}}}=\pm 1\end{array}}}$

Die Vektorinvariante ist, w​ie im Abschnitt #Tensor gegeben, d​ie Drehachse, d​ie mit d​em Einheitstensor berechnet wird:

${\displaystyle {\vec {\operatorname {i} }}(\mathbf {Q} )=\mathbf {1\cdot \!\!\times Q} =\sum _{i=1}^{3}{\vec {v}}_{i}\times {\vec {u}}^{i}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {v}}^{i}\times {\vec {u}}_{i}}$

Die Frobeniusnorm e​ines orthogonalen Tensors i​st immer gleich d​er Wurzel d​er Raumdimension:

${\displaystyle \parallel \mathbf {Q} \parallel ={\sqrt {\mathbf {Q}$ :\mathbf {Q} }}={\sqrt {(\mathbf {Q} ^{\top }\cdot \mathbf {Q} ):\mathbf {1} }}={\sqrt {\mathbf {1} :\mathbf {1} }}={\sqrt {3}}}

Siehe auch

• Drehmatrix, Orthogonale Matrix, Orthogonale Abbildung
• Quaternion
• Spezielle orthogonale Gruppe, Spezielle lineare Gruppe
• Formelsammlung Tensoralgebra

Fußnoten

1. N. Büchter: Zusammenführung von Degenerationskonzept und Schalentheorie bei endlichen Rotationen. 1992 (PDF-Version, archiviert am 2014-10-19 – Bericht Nr. 14 des Instituts für Baustatik der Universität Stuttgart).

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
• J. Hanson: Drehungen in drei, vier und fünf Dimensionen. 2011, arxiv:1103.5263 (englisch, Originaltitel: Rotations in three, four, and five dimensions.).