Lie-Gruppe

Eine Lie-Gruppe (auch Liesche Gruppe), benannt n​ach Sophus Lie,[1] i​st eine mathematische Struktur, d​ie zur Beschreibung v​on kontinuierlichen Symmetrien verwendet wird. Lie-Gruppen s​ind in f​ast allen Teilen d​er heutigen Mathematik s​owie in d​er theoretischen Physik, v​or allem d​er Teilchenphysik, wichtige Werkzeuge.

Formal handelt e​s sich b​ei einer Lie-Gruppe u​m eine Gruppe, d​ie als differenzierbare Mannigfaltigkeit aufgefasst werden kann, sodass d​ie Gruppenverknüpfung u​nd Inversenbildung kompatibel m​it dieser glatten Struktur sind.[2]

Lie-Gruppen u​nd Lie-Algebren wurden u​m 1870 v​on Sophus Lie i​n der Lie-Theorie z​ur Untersuchung v​on Symmetrien i​n Differentialgleichungen eingeführt. Unabhängig v​on Lie entwickelte Wilhelm Killing ähnliche Ideen z​um Studium nichteuklidischer Geometrien. Die älteren Bezeichnungen stetige Gruppe o​der kontinuierliche Gruppe für e​ine Lie-Gruppe beschreiben besser das, w​as man h​eute unter e​iner topologischen Gruppe versteht. Jede Lie-Gruppe i​st auch e​ine topologische Gruppe.

Dieser Artikel behandelt (der üblichen Terminologie folgend) endlich-dimensionale Lie-Gruppen. Es g​ibt auch e​ine Theorie unendlich-dimensionaler Lie-Gruppen, beispielsweise Banach-Lie-Gruppen.

Erste Beispiele

Der Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius 1 in der komplexen Zahlenebene ist eine Lie-Gruppe mit komplexer Multiplikation.

Die Menge ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$ der komplexen Zahlen ungleich 0 bildet mit der gewöhnlichen Multiplikation eine Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}$. Die Multiplikation ist eine differenzierbare Abbildung ${\displaystyle m\colon \mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}$ definiert durch ${\displaystyle m(x,y)=xy}$; auch die durch ${\displaystyle i(z)=z^{-1}={\tfrac {1}{z}}}$ definierte Inversion ${\displaystyle i\colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}$ ist differenzierbar. Die Gruppenstruktur der komplexen Ebene (bzgl. Multiplikation) ist also „mit der Differentialrechnung verträglich“. (Dasselbe würde auch für die Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$ mit der Addition als Verknüpfung gelten: Dort ist ${\displaystyle m(x,y)=x+y}$ und ${\displaystyle i(x)=-x}$.)

Der Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene, d. h. die Menge ${\displaystyle S^{1}=\left\{z\in \mathbb {C}$ :|z|=1\right\}} der komplexen Zahlen vom Betrag 1, ist eine Untergruppe von ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}$, die sogenannte Kreisgruppe: Das Produkt zweier Zahlen vom Betrag 1 hat wieder Betrag 1, ebenso das Inverse. Auch hier hat man eine „mit der Differentialrechnung verträgliche Gruppenstruktur“, d. h. eine Lie-Gruppe.

Andererseits bildet d​ie Menge

${\displaystyle \operatorname {SO} (2)=\left\{{\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}:\phi \in \mathbb {R} \right\}}$

der Drehmatrizen (Drehungen im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) eine Gruppe; die Multiplikation ist definiert durch

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \psi &\sin \psi \\-\sin \psi &\cos \psi \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\phi +\psi )&\sin(\phi +\psi )\\-\sin(\phi +\psi )&\cos(\phi +\psi )\\\end{bmatrix}}}$

und d​ie Inversion durch

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\cos(-\phi )&\sin(-\phi )\\-\sin(-\phi )&\cos(-\phi )\\\end{bmatrix}}}$.

Wenn man die Menge der ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen auf naheliegende Weise mit dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ identifiziert, dann ist ${\displaystyle \operatorname {SO} (2)}$ eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit und man kann überprüfen, dass Multiplikation und Inversion differenzierbar sind, ${\displaystyle \operatorname {SO} (2)}$ ist also eine Lie-Gruppe.

Es stellt sich heraus, dass es sich bei ${\displaystyle \operatorname {SO} (2)}$ und ${\displaystyle S^{1}}$ um „dieselbe“ Lie-Gruppe handelt, d. h., dass die beiden Lie-Gruppen isomorph sind. Man kann nämlich eine Abbildung ${\displaystyle F\colon \operatorname {SO} (2)\rightarrow S^{1}}$ definieren, indem man ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{smallmatrix}}\right]}$ auf die komplexe Zahl ${\displaystyle \cos \phi +i\sin \phi }$ abbildet, welche auf dem Einheitskreis liegt. Dies ist ein Gruppen-Homomorphismus, denn

${\displaystyle F\left({\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \psi &\sin \psi \\-\sin \psi &\cos \psi \\\end{bmatrix}}\right)=F\left({\begin{bmatrix}\cos(\phi +\psi )&\sin(\phi +\psi )\\-\sin(\phi +\psi )&\cos(\phi +\psi )\\\end{bmatrix}}\right)=}$

${\displaystyle =\cos(\phi +\psi )+i\sin(\phi +\psi )=\cos \phi \cos \psi -\sin \phi \sin \psi +i(\sin \phi \cos \psi +\sin \psi \cos \phi )=}$

${\displaystyle =(\cos \phi +i\sin \phi )(\cos \psi +i\sin \psi )=F\left({\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}\right)F\left({\begin{bmatrix}\cos \psi &\sin \psi \\-\sin \psi &\cos \psi \\\end{bmatrix}}\right)\,.}$

Man kann nachprüfen, dass dieser Gruppen-Homomorphismus und seine Umkehrabbildung differenzierbar sind. ${\displaystyle F}$ ist also ein Lie-Gruppen-Isomorphismus. Aus Sicht der Lie-Gruppen-Theorie sind die Gruppe der Drehmatrizen und der Einheitskreis dieselbe Gruppe.

Eine wichtige Motivation d​er Lie-Gruppen-Theorie besteht darin, d​ass man für Lie-Gruppen e​ine Lie-Algebra definieren k​ann und s​ich viele gruppentheoretische o​der auch differentialgeometrische Probleme a​uf das entsprechende Problem i​n der Lie-Algebra zurückführen u​nd dort lösen lassen. („Lineare Algebra i​st einfacher a​ls Gruppentheorie“.) Zur Definition d​er Lie-Algebra benötigt m​an die Differenzierbarkeit u​nd die Verträglichkeit d​er Gruppenoperationen m​it dieser.

Für die ${\displaystyle S^{1}}$ ist die Lie-Algebra die imaginäre Achse ${\displaystyle i\mathbb {R} }$ mit der trivialen Lie-Klammer. Die Trivialität der Lie-Klammer rührt in diesem Fall daher, dass ${\displaystyle S^{1}}$ eine abelsche Lie-Gruppe ist. Die Lie-Algebra der ${\displaystyle \operatorname {SO} (2)}$ ist

${\displaystyle \mathrm {so} (2)=\left\{{\begin{bmatrix}0&\phi \\-\phi &0\\\end{bmatrix}}:\phi \in \mathbb {R} \right\}}$

mit d​er trivialen Lie-Klammer u​nd man s​ieht leicht, d​ass diese beiden Lie-Algebren isomorph sind. (Allgemein entsprechen isomorphe Lie-Gruppen s​tets isomorphen Lie-Algebren.)

Definitionen

Lie-Gruppe

Eine Lie-Gruppe i​st eine glatte reelle Mannigfaltigkeit, d​ie zusätzlich d​ie Struktur e​iner Gruppe besitzt, s​o dass d​ie Gruppenverknüpfung u​nd die Inversion beliebig o​ft differenzierbar sind. Die Dimension d​er Lie-Gruppe i​st die Dimension d​er unterliegenden Mannigfaltigkeit. Man k​ann zeigen, d​ass die unterliegende Mannigfaltigkeit e​iner Lie-Gruppe s​ogar eine reell-analytische Struktur trägt u​nd die Gruppenmultiplikation u​nd Inversion s​ind automatisch (reell-)analytische Funktionen.

Eine komplexe Lie-Gruppe i​st eine komplexe Mannigfaltigkeit m​it einer Gruppenstruktur, s​o dass d​ie Gruppenverknüpfung u​nd die Inversion komplex differenzierbar sind.

Lie-Algebra der Lie-Gruppe

Die Vektorfelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ bilden mit der Lie-Klammer eine unendlich-dimensionale Lie-Algebra. Die zu einer Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ gehörende Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ besteht aus dem Unterraum der links-invarianten Vektorfelder auf ${\displaystyle G}$. Dieser Vektorraum ist isomorph zum Tangentialraum ${\displaystyle T_{e}G}$ am neutralen Element ${\displaystyle e}$ von ${\displaystyle G}$. Insbesondere gilt also ${\displaystyle \dim G=\dim {\mathfrak {g}}}$. Bezüglich der Lie-Klammer ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ist der Vektorraum ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ abgeschlossen. Somit ist der Tangentialraum einer Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ am neutralen Element eine Lie-Algebra. Diese Lie-Algebra nennt man die Lie-Algebra der Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$.

Zu jeder Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ gibt es eine Exponentialabbildung ${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow G}$. Diese Exponentialabbildung kann man definieren durch ${\displaystyle \exp(A)=\Phi _{1}(e)}$, wobei ${\displaystyle \Phi _{t}}$ der Fluss des links-invarianten Vektorfelds ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle e\in G}$ das neutrale Element ist. Falls ${\displaystyle G}$ eine abgeschlossene Untergruppe der ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ oder ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ist, so ist die so definierte Exponentialabbildung identisch mit der Matrixexponentialfunktion.

Jedes Skalarprodukt auf ${\displaystyle T_{e}G={\mathfrak {g}}}$ definiert eine ${\displaystyle G}$-links-invariante Riemannsche Metrik auf ${\displaystyle G}$. Im Spezialfall, dass diese Metrik zusätzlich auch rechtsinvariant ist, stimmt die Exponentialabbildung der Riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle G}$ am Punkt ${\displaystyle e}$ mit der Lie-Gruppen-Exponentialabbildung überein.

Den Zusammenhang zwischen d​er Multiplikation i​n der Lie-Gruppe u​nd der Lie-Klammer i​n ihrer Lie-Algebra stellt d​ie Baker-Campbell-Hausdorff-Formel her:

${\displaystyle \exp(u)\exp(v)=\exp \left(u+v+{\frac {1}{2}}[u,v]+{\frac {1}{12}}[[u,v],v]-{\frac {1}{12}}[[u,v],u]-\dotsb \right)}$

Lie-Gruppen-Homomorphismus

Ein Homomorphismus von Lie-Gruppen ${\displaystyle G,H}$ ist ein Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle f\colon G\to H}$, der zugleich eine glatte Abbildung ist. Man kann zeigen, dass dies bereits dann der Fall ist, wenn ${\displaystyle f}$ stetig ist, und dass ${\displaystyle f}$ dann sogar analytisch sein muss.

Zu jedem Lie-Gruppen-Homomorphismus ${\displaystyle f\colon G\to H}$ bekommt man durch Differentiation im neutralen Element ${\displaystyle e\in G}$ einen Lie-Algebren-Homomorphismus ${\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$. Es gilt

${\displaystyle f(\exp(X))=\exp(\pi (X))}$

für alle ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$. Falls ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ einfach zusammenhängend sind, entspricht jeder Lie-Algebren-Homomorphismus eindeutig einem Lie-Gruppen-Homomorphismus.

Ein Isomorphismus v​on Lie-Gruppen i​st ein bijektiver Lie-Gruppen-Homomorphismus.

Lie-Untergruppe

Sei ${\displaystyle G}$ eine Lie-Gruppe. Eine Lie-Untergruppe ${\displaystyle H}$ ist eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$ zusammen mit einer Topologie und einer glatten Struktur, die diese Untergruppe wieder zu einer Lie-Gruppe macht.

Lie-Untergruppen sind also im Allgemeinen keine eingebetteten Untermannigfaltigkeiten, sondern nur injektiv immersierte Untermannigfaltigkeiten. Ist jedoch ${\displaystyle H\subset G}$ eine eingebettete topologische Untergruppe mit der Struktur einer eingebetteten Untermannigfaltigkeit, dann ist ${\displaystyle H}$ auch eine Lie-Gruppe.

Beispiele

1. Typische Beispiele sind die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} _{n}(\mathbb {R} ):\det(A)\not =0\right\}}$, also die Gruppe der invertierbaren Matrizen mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung, sowie deren abgeschlossene Untergruppen, zum Beispiel die Kreisgruppe oder die Gruppe SO(3) aller Drehungen im dreidimensionalen Raum. Weitere Beispiele für Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe sind die
   • Orthogonale Gruppe ${\displaystyle \mathrm {O} (n)=\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} ):AA^{T}=I_{n}\}}$ und die spezielle orthogonale Gruppe ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)=\left\{A\in \mathrm {O} (n):\det(A)=1\right\}}$, siehe dazu die Behandlung als Lie-Gruppe
   • Allgemeine komplex-lineare Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$, die zur abgeschlossenen Untergruppe ${\displaystyle \left\{A\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} ):AJ=JA\right\}}$ mit ${\displaystyle J=\left[{\begin{smallmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$ isomorph ist
   • Unitäre Gruppe ${\displaystyle \mathrm {U} (n)=\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ):A{\overline {A}}^{T}=I_{n}\}}$
   • Spezielle unitäre Gruppe ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)=\{A\in \mathrm {U} (n):\det(A)=1\}}$
   • Spezielle lineare Gruppe ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} ):\det(A)=1\right\}}$ bzw. ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ):\det(A)=1\right\}}$
2. Die Affine Gruppe ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{n}(\mathbb {R} )}$ und als Untergruppe die Euklidische Gruppe
3. Poincaré-Gruppe
4. Galilei-Gruppe
5. Der Euklidische Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit der Vektoraddition als Gruppenoperation ist eine einigermaßen triviale reelle Lie-Gruppe (${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ als ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$).

Für abgeschlossene Untergruppen ${\displaystyle G\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ kann man die Lie-Algebra definieren als ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\{A\in \mathrm {Mat} _{n}(\mathbb {R} ):\forall t\in \mathbb {R} \,e^{tA}\in G\}}$ und dies ist äquivalent zu obiger Definition. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle e^{tA}}$ das Matrixexponential. In diesem Fall stimmt die Exponentialabbildung ${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow G}$ mit dem Matrixexponential überein.

Nicht j​ede Lie-Gruppe i​st isomorph z​u einer Untergruppe e​iner allgemeinen linearen Gruppe. Ein Beispiel hierfür i​st die universelle Überlagerung v​on SL(2,R).

Frühgeschichte

Gemäß den maßgebenden Quellen über die Frühgeschichte der Lie-Gruppen[3] betrachtete Sophus Lie selbst den Winter 1873–1874 als Geburtsdatum seiner Theorie der stetigen Gruppen. Hawkins schlägt jedoch vor, dass es „Lies erstaunliche Forschungsaktivität während der vierjährigen Periode von Herbst 1869 bis Herbst 1873“ war, die zur Schaffung jener Theorie führte.[3] Viele von Lies frühen Ideen wurden in enger Zusammenarbeit mit Felix Klein entwickelt. Lie sah Klein von Oktober 1869 bis 1872 täglich: in Berlin von Ende Oktober 1869 bis Ende Februar 1870 und in Paris, Göttingen und Erlangen in den folgenden zwei Jahren.[4] Lie gibt an, dass alle Hauptresultate im Jahr 1884 erzielt worden seien. Jedoch wurden während der 1870er alle seine Abhandlungen (bis auf die allererste Mitteilung) in norwegischen Fachzeitschriften veröffentlicht, was eine Wahrnehmung im Rest Europas verhinderte.[5] Im Jahr 1884 arbeitete der junge deutsche Mathematiker Friedrich Engel zusammen mit Lie an einer systematischen Abhandlung über dessen Theorie der stetigen Gruppen. Aus diesen Bemühungen ging das dreibändige Werk Theorie der Transformationsgruppen hervor, dessen Bände in den Jahren 1888, 1890, und 1893 veröffentlicht wurden.

Hilberts fünftes Problem fragte, o​b jede l​okal euklidische topologische Gruppe e​ine Lie-Gruppe ist. („lokal euklidisch“ meint, d​ass die Gruppe e​ine Mannigfaltigkeit s​ein soll. Es g​ibt topologische Gruppen, d​ie keine Mannigfaltigkeiten sind, z​um Beispiel d​ie Cantor-Gruppe o​der Solenoide.) Das Problem w​urde erst 1952 v​on Gleason, Montgomery u​nd Zippin gelöst, m​it einer positiven Antwort. Der Beweis hängt e​ng mit d​er Strukturtheorie d​er lokalkompakten Gruppen zusammen, welche e​ine weite Verallgemeinerung d​er Lie-Gruppen bilden.

Lies Ideen waren nicht isoliert vom Rest der Mathematik. In der Tat war sein Interesse an der Geometrie von Differentialgleichungen zunächst motiviert durch die Arbeit von Carl Gustav Jacobi über die Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung und die Gleichungen der klassischen Mechanik. Ein Großteil der Arbeiten Jacobis wurde in den 1860ern postum veröffentlicht, was in Frankreich und Deutschland ein enormes Interesse erzeugte.[6] Lies idée fixe war es eine Theorie der Symmetrie von Differentialgleichungen zu entwickeln, die für diese bewerkstelligen sollte, was Évariste Galois für algebraische Gleichungen erreicht hatte: nämlich sie mit Hilfe der Gruppentheorie zu klassifizieren. Zusätzlicher Antrieb zur Betrachtung stetiger Gruppen entstand durch Ideen Bernhard Riemanns zu den Grundlagen der Geometrie und deren Entwicklung durch Klein (s. auch Erlanger Programm).

Somit wurden d​rei Hauptthemen d​er Mathematik d​es 19. Jahrhunderts d​urch Lie i​n der Schaffung seiner n​euen Theorie vereint:

• die Idee der Symmetrie, wie sie durch Galois’ Idee einer Gruppe erklärt wird,
• die geometrische Theorie und explizite Lösung der Differentialgleichungen der Mechanik, wie sie von Poisson und Jacobi ausgearbeitet wurde und
• das neue Verständnis der Geometrie, das durch die Arbeiten Plückers, Möbius’, Graßmanns und anderer entstanden war und das seinen Höhepunkt in Riemanns revolutionärer Vision dieses Gegenstandes erreichte.

Auch w​enn Sophus Lie h​eute rechtmäßig a​ls der Schöpfer d​er Theorie d​er stetigen Gruppen betrachtet wird, w​urde ein großer Fortschritt i​n der Entwicklung d​er zugehörigen Strukturtheorie, d​ie einen tiefgehenden Einfluss a​uf die nachfolgende Entwicklung d​er Mathematik hatte, d​urch Wilhelm Killing erbracht, d​er 1888 d​en ersten Artikel e​iner Serie m​it dem Titel Die Zusammensetzung d​er stetigen endlichen Transformationsgruppen veröffentlichte.[7]

Die Arbeit Killings, d​ie später d​urch Élie Cartan verfeinert wurde, führte z​ur Klassifikation d​er halbeinfachen Lie-Algebren, Cartans Theorie d​er symmetrischen Räume u​nd Hermann Weyls Beschreibung d​er Darstellungen d​er kompakten u​nd halbeinfachen Lie-Gruppen d​urch Gewichte.

Weyl brachte d​ie frühe Periode i​n der Entwicklung d​er Theorie d​er Lie-Gruppen z​ur Reife, i​ndem er n​icht nur d​ie irreduziblen Darstellungen halbeinfacher Lie-Gruppen klassifizierte u​nd die Theorie d​er Gruppen m​it der n​eu entstandenen Quantenmechanik i​n Verbindung brachte, sondern i​ndem er a​uch Lies Theorie e​in solideres Fundament dadurch verlieh, d​ass er k​lar zwischen Lies infinitesimalen Gruppen (den heutigen Lie-Algebren) u​nd den eigentlichen Lie-Gruppen unterschied u​nd die Untersuchung d​er Topologie d​er Lie-Gruppen begann.[8] Die Theorie d​er Lie-Gruppen w​urde systematisch i​n zeitgemäßer mathematischer Sprache i​n einer Monographie v​on Claude Chevalley ausgearbeitet.

Differentialgeometrie von Lie-Gruppen

Sei ${\displaystyle G}$ eine kompakte Lie-Gruppe mit Killingform ${\displaystyle B}$ und adjungierter Darstellung ${\displaystyle Ad}$. Dann definiert ${\displaystyle -B}$ ein ${\displaystyle Ad}$-invariantes Skalarprodukt auf der Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ und damit eine bi-invariante Riemannsche Metrik auf ${\displaystyle G}$. Für diese Metrik gelten folgende Formeln, die differentialgeometrische Größen mittels linearer Algebra (Berechnung von Kommutatoren in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$) zu bestimmen erlauben:

• Levi-Civita-Zusammenhang: ${\displaystyle \nabla _{X}Y={\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]}$
• Schnittkrümmung: ${\displaystyle K(X,Y)={\frac {1}{4}}\|\left[X,Y\right]\|^{2}}$ für orthonormale ${\displaystyle X,Y}$
• Ricci-Krümmung: ${\displaystyle Ric(X)={\frac {1}{4}}\sum _{i=2}^{n}\|\left[X,e_{i}\right]\|^{2}}$ für eine Orthonormalbasis mit ${\displaystyle X=e_{1}}$
• Skalarkrümmung: ${\displaystyle Scal={\frac {1}{4}}\sum _{i,j=1}^{n}\|\left[e_{i},e_{j}\right]\|^{2}}$ für eine Orthonormalbasis.

Insbesondere i​st die Schnittkrümmung bi-invarianter Metriken a​uf kompakten Lie-Gruppen s​tets nichtnegativ.

Klassifikationsmöglichkeiten

Jede Lie-Gruppe i​st eine topologische Gruppe. Somit besitzt e​ine Lie-Gruppe a​uch eine topologische Struktur u​nd kann n​ach topologischen Attributen klassifiziert werden: Lie-Gruppen können beispielsweise zusammenhängend, einfach-zusammenhängend o​der kompakt sein.

Man k​ann Lie-Gruppen a​uch nach i​hren algebraischen, gruppentheoretischen Eigenschaften klassifizieren. Lie-Gruppen können einfach, halbeinfach, auflösbar, nilpotent o​der abelsch sein. Dabei i​st zu beachten, d​ass gewisse Eigenschaften i​n der Theorie d​er Lie-Gruppen anders definiert werden a​ls sonst i​n der Gruppentheorie üblich: So n​ennt man e​ine zusammenhängende Lie-Gruppe einfach o​der halbeinfach, w​enn ihre Lie-Algebra einfach o​der halbeinfach ist. Eine einfache Lie-Gruppe G i​st dann i​m gruppentheoretischen Sinne n​icht notwendigerweise einfach. Es g​ilt aber:

Ist G e​ine einfache Lie-Gruppe m​it Zentrum Z, d​ann ist d​ie Faktorgruppe G/Z a​uch einfach i​m gruppentheoretischen Sinne.

Auch d​ie Eigenschaften nilpotent u​nd auflösbar definiert m​an meist über d​ie entsprechende Lie-Algebra.

Halbeinfache komplexe Lie-Algebren werden über i​hre Dynkin-Diagramme klassifiziert. Weil j​ede Lie-Algebra d​ie Lie-Algebra e​iner eindeutigen einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe ist, bekommt m​an daraus e​ine Klassifikation d​er einfach zusammenhängenden halbeinfachen komplexen Lie-Gruppen (und d​amit also e​ine Klassifikation d​er universellen Überlagerungen v​on Komplexifierungen beliebiger halbeinfacher reeller Lie-Gruppen).

Verallgemeinerungen (und verwandte Theorien)

Man k​ann die h​ier vorgestellte Theorie d​er (endlich-dimensionalen, reellen o​der komplexen) Lie-Gruppen a​uf vielfältige Weise verallgemeinern:

• Wenn man statt endlich-dimensionalen Mannigfaltigkeiten unendlich-dimensionale Mannigfaltigkeiten zulässt, die über einem Hilbertraum, einem Banachraum, einem Fréchetraum bzw. einem lokalkonvexen Raum modelliert sind, so erhält man je nachdem Hilbert-Lie-Gruppen, Banach-Lie-Gruppen, Frechet-Lie-Gruppen, bzw. lokalkonvexe Lie-Gruppen. Die Theorie von Hilbert-Lie-Gruppen und Banach-Lie-Gruppen sind noch vergleichsweise ähnlich zur endlich-dimensionalen Theorie, aber für allgemeinere Räume wird die Sache deutlich komplizierter, da die Differentialrechnung in solchen Räumen komplizierter wird. Insbesondere gibt es mehrere nicht-äquivalente Theorien für solche Differentialrechnungen. Jede unendlich-dimensionale Lie-Gruppe besitzt eine (ebenfalls unendlich-dimensionale) Lie-Algebra.
• Wenn man statt reeller und komplexer Zahlen andere topologische Körper erlaubt, so erhält man z. B. ${\displaystyle p}$-adische Lie-Gruppen. Auch hier ist es möglich, jeder solchen Lie-Gruppe eine Lie-Algebra zuzuordnen, diese ist dann natürlich auch über einem anderen Grundkörper definiert.
• Wenn man die Klasse der (endlich-dimensionalen, reellen) Lie-Gruppen bezüglich projektiver Limites abschließt, erhält man die Klasse der Pro-Lie-Gruppen, die insbesondere alle zusammenhängenden lokalkompakten Gruppen enthält. Auch jede solche Gruppe besitzt eine Lie-Algebra, die als projektiver Limes von endlich-dimensionalen Lie-Algebren entsteht.
• Keine Verallgemeinerung, aber ein ähnliches Konzept erhält man, wenn man keine glatten Mannigfaltigkeiten, sondern algebraische Varietäten mit einer verträglichen Gruppenstruktur betrachtet. Das führt zur Theorie der Algebraischen Gruppen, die viele Gemeinsamkeiten mit der Theorie der Lie-Gruppen besitzt. Insbesondere besitzt auch jede algebraische Gruppe eine dazugehörige Lie-Algebra. Auch die endlichen Gruppen vom Lie-Typ gehören in diese Kategorie.

Anmerkungen

1. Zuerst von dessen Doktoranden Arthur Tresse in seiner Dissertation 1893, Acta Mathematica
2. Grob gesprochen ist eine Lie-Gruppe eine Gruppe, die ein Kontinuum bzw. ein stetig zusammenhängendes Ganzes bildet. Ein einfaches Beispiel für eine Lie-Gruppe ist die Gesamtheit aller Drehungen einer Ebene um einen fest ausgezeichneten Punkt, der in dieser Ebene liegt: Alle diese Drehungen bilden zusammen eine Gruppe, aber auch ein Kontinuum in dem Sinne, dass sich jede dieser Drehungen eindeutig durch einen Winkel zwischen 0° und 360° Grad bzw. ein Bogenmaß zwischen 0 und 2π beschreiben lässt und in dem Sinne, dass Drehungen, die sich nur um kleine Winkel voneinander unterscheiden, kontinuierlich ineinander überführbar sind. Ein Kreis, der in der betrachteten Ebene liegt und den fest ausgezeichneten Punkt als seinen Mittelpunkt besitzt, ist dann aus Sicht dieser Lie-Gruppe als symmetrisch zu bezeichnen, da er unter jeder Drehung unverändert bleibt. Hingegen ist ein Rechteck, dessen Mittelpunkt mit dem festgelegten Punkt übereinstimmt, aus Sicht der vorliegenden Lie-Gruppe nicht symmetrisch. Mit der angegebenen Lie-Gruppe lassen sich also Figuren der Ebene beschreiben, die eine „Drehsymmetrie“ aufweisen.
3. Hawkins, 2000, S. 1
4. Hawkins, 2000, S. 2
5. Hawkins, 2000, S. 76
6. Hawkins, 2000, S. 43
7. Hawkins, 2000, S. 100
8. Borel, 2001

Literatur

• John F. Adams: Lectures on exceptional Lie Groups (= Chicago Lectures in Mathematics.). University of Chicago Press, Chicago IL u. a. 1996, ISBN 0-226-00527-5.
• Armand Borel: Essays in the history of Lie groups and algebraic groups (= History of Mathematics. Bd. 21). American Mathematical Society u. a., Providence RI 2001, ISBN 0-8218-0288-7.
• Daniel Bump: Lie groups (= Graduate Texts in Mathematics. Band 225). 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 2013, ISBN 978-1-4614-8023-5.
• Nicolas Bourbaki: Elements of mathematics. Lie groups and Lie algebras. 3 Bände. (Bd. 1: Chapter 1–3. Bd. 2: Chapters 4–6. Bd. 3: Chapters 7–9.). Addison-Wesley, Reading 1975–2005, ISBN 3-540-64242-0 (Bd. 1), ISBN 3-540-42650-7 (Bd. 2), ISBN 3-540-43405-4 (Bd. 3).
• Claude Chevalley: Theory of Lie groups (= Princeton Mathematical Series. Bd. 8). Band 1. 15th printing. Princeton University Press, Princeton NJ 1999, ISBN 0-691-04990-4.
• William Fulton, Joe Harris, Representation Theory. A First Course (= Graduate Texts in Mathematics. Band 129). Springer, New York NY u. a. 1991, ISBN 0-387-97495-4.
• Thomas Hawkins: Emergence of the theory of Lie groups. An essay in the history of mathematics 1869–1926. Springer, New York NY u. a. 2000. ISBN 0-387-98963-3.
• Brian C. Hall: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 222). Springer, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-40122-9.
• Anthony W. Knapp: Lie Groups Beyond an Introduction. 2. Auflage. Birkhäuser, Boston MA u. a. 2002, ISBN 3-7643-4259-5.
• Wulf Rossmann: Lie Groups. An Introduction Through Linear Groups (= Oxford Graduate Texts in Mathematics. Band 5). Reprint 2003 (with Corrections). Oxford University Press, Oxford u. a. 2004, ISBN 0-19-859683-9 (Die Neuauflage von 2003 korrigiert einige unglückliche Druckfehler).
• Jean-Pierre Serre: Lie Algebras and Lie Groups. 1964 Lectures given at Harvard University (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 1500). Springer, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-540-55008-9.
• John Stillwell: Naive Lie Theory (= Undergraduate Texts in Mathematics.). Springer, New York NY u. a. 2008, ISBN 978-0-387-78214-0 (aus dem Vorwort: "developing .. Lie theory .. from single-variable calculus and linear algebra").

Weblinks

• Wolfgang Ziller: Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces. (PDF; 1,42 MB) Vorlesung 2010
• Durchbruch in der Forschung. Spiegel Online
• Is this the fabric of the universe? Telegraph.co.uk (englisch)
• Forscher entschlüsseln die Lie-Gruppe E8. faz.net; anschauliche Erklärung zu Lie-Gruppen