Nullmatrix

Eine Nullmatrix i​st in d​er linearen Algebra e​ine reelle o​der komplexe Matrix, d​eren Einträge a​lle gleich d​er Zahl Null sind. Allgemeiner heißt e​ine Matrix über e​inem Körper o​der Ring Nullmatrix, w​enn alle Matrixelemente d​em neutralen Element d​er Addition i​n dem Körper o​der Ring entsprechen. Die Nullmatrix repräsentiert d​ie Nullabbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen u​nd ist selbst d​as neutrale Element i​m Vektorraum o​der Ring d​er Matrizen. Die wichtigsten Kenngrößen e​iner Nullmatrix, w​ie Determinante, Spur u​nd Rang, s​ind jeweils Null. Die transponierte, adjungierte o​der komplementäre Matrix e​iner Nullmatrix i​st wieder e​ine Nullmatrix.

Definition

Ist ${\displaystyle R}$ ein Ring mit Nullelement ${\displaystyle 0}$, dann ist die Nullmatrix ${\displaystyle 0_{mn}\in R^{m\times n}}$ definiert als

${\displaystyle 0_{mn}={\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}}$.

Die Einträge einer Nullmatrix sind demnach alle gleich dem Nullelement des Rings. Die Nullmatrix wird, sofern ihre Dimension keine Rolle spielt und keine Verwechslungsmöglichkeiten bestehen, einfach ebenfalls durch ${\displaystyle 0}$ oder ${\displaystyle \mathbf {0} }$ notiert. Eine Matrix ohne Inhalt, bei der also die Zahl der Zeilen oder der Spalten gleich null ist, wird „leere Matrix“ genannt.[1] Eine solche Matrix ist stets eine Nullmatrix und, falls quadratisch, zugleich Einheitsmatrix.

Beispiele

Ist ${\displaystyle R}$ der Körper der reellen Zahlen und bezeichnet ${\displaystyle 0}$ die Zahl Null, so sind Beispiele für Nullmatrizen:

${\displaystyle 0_{0,0}={\begin{pmatrix}\end{pmatrix}},0_{1,1}={\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}},0_{2,2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},0_{3,4}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}}$

Eigenschaften

Neutralität

Zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen über dem gleichen Körper repräsentiert die Nullmatrix die Nullabbildung, also die lineare Abbildung, die alle Vektoren auf den Nullvektor abbildet. Ist ${\displaystyle 0_{m}\in K^{m}}$ der Nullvektor des Zielraums, dann gilt für alle Vektoren ${\displaystyle x\in K^{n}}$

${\displaystyle 0_{mn}\cdot x=0_{m}}$.

Im Vektorraum der Matrizen stellt die Nullmatrix selbst den Nullvektor bezüglich der Matrizenaddition dar, das heißt, es gilt für alle Matrizen ${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$

${\displaystyle 0_{mn}+A=A+0_{mn}=A}$.

Absorbierendes Element

Im Matrizenring entspricht die Nullmatrix dem Nullelement und die Einheitsmatrix dem Einselement. Bezüglich der Matrizenmultiplikation wirkt die Nullmatrix als absorbierendes Element, denn für alle Matrizen ${\displaystyle A\in K^{n\times n}}$ gilt

${\displaystyle 0_{nn}\cdot A=A\cdot 0_{nn}=0_{nn}}$.

Eine ${\displaystyle n\times n}$-Nullmatrix besitzt demnach für ${\displaystyle n>0}$ keine (multiplikative) Inverse, denn das Produkt aus der Nullmatrix mit einer beliebigen Matrix kann nicht die Einheitsmatrix ergeben. Der Ring der quadratischen Matrizen ist auch nicht nullteilerfrei, denn aus ${\displaystyle A\cdot B=0_{nn}}$ folgt nicht notwendigerweise ${\displaystyle A=0_{nn}}$ oder ${\displaystyle B=0_{nn}}$.

Kenngrößen

Für d​ie Determinante e​iner quadratischen Nullmatrix g​ilt

${\displaystyle \operatorname {det} (0_{nn})={\begin{cases}1&n=0\\0&n>0.\end{cases}}}$

Für d​ie Spur e​iner quadratischen Nullmatrix gilt

${\displaystyle \operatorname {spur} (0_{nn})=0}$.

Für d​en Rang e​iner Nullmatrix über e​inem Körper g​ilt ebenfalls

${\displaystyle \operatorname {rang} (0_{mn})=0}$,

wobei Nullmatrizen d​ie einzigen Matrizen m​it Rang Null sind. Das charakteristische Polynom e​iner quadratischen Nullmatrix über e​inem Körper h​at die Form

${\displaystyle \chi (\lambda )=\lambda ^{n}}$.

Damit ist der einzige Eigenwert ${\displaystyle 0}$ und der zugehörige Eigenraum der ganze Raum. Eine quadratische Nullmatrix über den reellen oder komplexen Zahlen ist sowohl positiv semidefinit, als auch negativ semidefinit.

Abbildungen

Jede Nullmatrix k​ann als d​as dyadische Produkt zweier Nullvektoren entsprechender Länge dargestellt werden, also

${\displaystyle 0_{mn}=0_{m}\otimes 0_{n}}$.

Die transponierte Matrix, adjungierte Matrix o​der komplementäre Matrix e​iner Nullmatrix i​st wieder e​ine Nullmatrix, b​ei der lediglich d​ie Dimensionen vertauscht sind:

${\displaystyle (0_{mn})^{T}=(0_{mn})^{H}=0_{nm}}$   und   ${\displaystyle \operatorname {adj} (0_{nn})=0_{nn}}$.

Das Matrixexponential einer reellen oder komplexen quadratischen Nullmatrix ist die Einheitsmatrix ${\displaystyle I}$ gleicher Größe, kurz

${\displaystyle e^{0}=I}$.

Siehe auch

• Einsmatrix
• Nullring
• Nullvektorraum

Literatur

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-29884-3.
• Gilbert Strang: Lineare Algebra. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43949-8.

Einzelnachweise

1. Bosch: Lineare Algebra. 2006, S. 91.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Zero Matrix. In: MathWorld (englisch).
• Will Jennings, matte: Zero matrix. In: PlanetMath. (englisch)