Minimalpolynom

Unter e​inem Minimalpolynom versteht m​an allgemein e​in Polynom minimalen Grades, d​as gerade n​och eine Eigenschaft erfüllt, d​ie von Faktoren kleineren Grades n​icht mehr erfüllt wird. Insbesondere g​ibt in verschiedenen Teilgebieten d​er Mathematik d​as Minimalpolynom d​ie minimale lineare Abhängigkeit zwischen d​en Potenzen e​iner Matrix bzw. e​iner linearen Abbildung o​der allgemeiner e​ines Elementes e​iner Algebra an.

Definition

Es seien ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle A}$ eine unitäre ${\displaystyle K}$-Algebra. Dann ist das Minimalpolynom eines Elementes ${\displaystyle x\in A}$ das normierte Polynom kleinsten Grades, das ${\displaystyle x}$ als Nullstelle hat.

Das Minimalpolynom k​ann auch a​ls normierter Erzeuger d​es Kerns d​es Homomorphismus

${\displaystyle K[T]\to A,\quad a_{0}+a_{1}T+\cdots +a_{d}T^{d}\mapsto a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{d}x^{d}}$,

des Einsetzungshomomorphismus von ${\displaystyle x}$, beschrieben werden, wobei ${\displaystyle K[T]}$ der Ring der Polynome mit Koeffizienten aus ${\displaystyle K}$ ist.

In e​iner endlichdimensionalen Algebra besitzt j​edes Element e​in eindeutiges Minimalpolynom, i​n einer unendlichdimensionalen m​uss das n​icht zutreffen. Dort n​ennt man d​ie Elemente, d​ie ein Minimalpolynom haben, algebraische Elemente über d​em Grundkörper; Elemente, a​uf die d​as nicht zutrifft, heißen transzendente Elemente.

Lineare Algebra

Das Minimalpolynom ${\displaystyle p}$ einer quadratischen ${\displaystyle n\times n}$-Matrix ${\displaystyle A}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ ist das normierte Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in ${\displaystyle K}$, so dass ${\displaystyle p\left(A\right)=0}$ (die Nullmatrix) ist.

Folgende Aussagen für ${\displaystyle \lambda }$ aus ${\displaystyle K}$ sind äquivalent:

• ${\displaystyle \lambda }$ ist Nullstelle von ${\displaystyle p}$, d. h. ${\displaystyle p\left(\lambda \right)=0}$,
• ${\displaystyle \lambda }$ ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms von ${\displaystyle A}$,
• ${\displaystyle \lambda }$ ist ein Eigenwert von ${\displaystyle A}$.

Die Vielfachheit einer Nullstelle ${\displaystyle \lambda }$ von ${\displaystyle p}$ bestimmt die Länge der längsten Hauptvektor-Kette zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$, d. h., beträgt die Vielfachheit z. B. 4, dann existiert eine Kette von vier zueinander linear unabhängigen Hauptvektoren (der Stufen 1 bis 4) zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$. Falls noch weitere Hauptvektorketten zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$ existieren, die von dieser Kette der Länge 4 linear unabhängig sind, dann sind sie auf keinen Fall länger. Somit ist die Größe des größten zu ${\displaystyle \lambda }$ gehörenden Jordanblocks der jordanschen Normalform von ${\displaystyle A}$ identisch mit der Vielfachheit von ${\displaystyle \lambda }$ im Minimalpolynom ${\displaystyle p}$.

Unter der geometrischen Vielfachheit des Eigenwerts ${\displaystyle \lambda }$ von ${\displaystyle A}$ versteht man dagegen die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert. Anders ausgedrückt: Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ${\displaystyle \lambda }$ der quadratischen Matrix ${\displaystyle A}$ ist die Dimension des Lösungsraums von ${\displaystyle \left(A-\lambda \cdot E\right)x=0}$ mit der ${\displaystyle n\times n}$-Einheitsmatrix ${\displaystyle E}$ .

Etwas allgemeiner kann man (auch ohne Festlegung auf eine bestimmte Basis) zu einem Endomorphismus ${\displaystyle F}$ eines Vektorraums ${\displaystyle V}$ den Kern des Einsetzungshomomorphismus von ${\displaystyle F}$ aus der Definition untersuchen, dies führt dann auch bei unendlichdimensionalen Vektorräumen zu einem Minimalpolynom, wenn dieser Kern nicht der Nullvektorraum ist. Ein einfaches Beispiel sind die Projektionsabbildungen ${\displaystyle P}$, die definitionsgemäß idempotent sind, also die Relation ${\displaystyle P^{2}-P=0}$ erfüllen. Jede Projektion hat also eines der Polynome ${\displaystyle p\left(x\right)=x^{2}-x}$, ${\displaystyle p\left(x\right)=x}$ oder ${\displaystyle p\left(x\right)=x-1}$ als Minimalpolynom.

Körpertheorie

In d​er Körpertheorie i​st das Minimalpolynom e​in Begriff, d​er bei e​iner Körpererweiterung auftritt.

Sei ${\displaystyle L/K}$ eine Körpererweiterung, ${\displaystyle K[X]}$ der Polynomring zu ${\displaystyle K}$ mit der Unbestimmten ${\displaystyle X}$ und sei ${\displaystyle a\in L}$ algebraisch, das heißt, es existiert ${\displaystyle 0\neq p(X)\in K[X]}$ mit ${\displaystyle p(a)=0}$. Dann existiert ein Polynom ${\displaystyle m(X)\in K[X]}$ (genannt das Minimalpolynom) mit den Eigenschaften

1. ${\displaystyle m(X)}$ ist normiert
2. ${\displaystyle m(a)=0}$
3. ${\displaystyle m(X)}$ hat minimalen Grad, d. h. ${\displaystyle \forall g(X)\in K[X]\setminus \{0\}}$ gilt ${\displaystyle \deg(g)<\deg(m)\;\implies \;g(a)\neq 0}$
4. ${\displaystyle m(X)}$ ist eindeutig (durch ${\displaystyle a}$ bestimmt), d. h. für jedes weitere ${\displaystyle m^{\ast }(X)\in K[X]}$, welches die Eigenschaften 1–3 erfüllt, gilt schon ${\displaystyle m^{\ast }(X)=m(X)}$

Betrachtet man den Erweiterungskörper ${\displaystyle L}$ als Vektorraum über ${\displaystyle K}$ und ein bestimmtes Element ${\displaystyle \alpha \in L}$ als Endomorphismus auf ${\displaystyle L}$ (durch die Abbildung ${\displaystyle F_{\alpha }\colon L\to L,x\mapsto \alpha \cdot x}$), so kommt man bei einem algebraischen Element ${\displaystyle \alpha }$ zum selben Minimalpolynom (im Sinn der linearen Algebra) wie in der Körpertheorie.

Eigenschaften

• Minimalpolynome sind irreduzibel über dem Grundkörper.
• Jedes Polynom mit Koeffizienten im Grundkörper, das ein algebraisches Element ${\displaystyle x}$ als Nullstelle hat, ist ein (Polynom-)Vielfaches des Minimalpolynoms von ${\displaystyle x}$.
• Der Grad des Minimalpolynoms von ${\displaystyle x}$ ist gleich dem Grad der einfachen Erweiterung ${\displaystyle K(x)/K}$.

Siehe auch: Zerfällungskörper, Satz v​on Cayley-Hamilton

Beispiele

• Betrachte die Körpererweiterung ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mathrm {i} )/\mathbb {Q} }$ mit der imaginären Einheit ${\displaystyle \textstyle \mathrm {i} }$:
  Das Minimalpolynom von ${\displaystyle \textstyle \mathrm {i} }$ ist ${\displaystyle \textstyle x^{2}+1}$, denn es hat ${\displaystyle \textstyle \mathrm {i} }$ als Nullstelle, ist normiert, und jedes Polynom kleineren Grades wäre linear und hätte nur eine Nullstelle in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• Das Polynom ${\displaystyle \textstyle x^{3}+x}$ ist kein Minimalpolynom irgendeines Elementes irgendeiner Erweiterung, da es sich als ${\displaystyle (x^{2}+1)\cdot x}$ darstellen lässt und für keine seiner Nullstellen ein Polynom kleinsten Grades ist.

Beispiele für Minimalpolynome eines algebraischen Elements

• Minimalpolynome über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ von ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$, wobei ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ irgendeine komplexe Quadratwurzel ist :
  ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ist schon mal eine Nullstelle von ${\displaystyle \textstyle X^{2}-a}$. Dieses Polynom ist aber irreduzibel über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, wenn ${\displaystyle {\sqrt {a}}\notin \mathbb {Q} }$.
  Wenn ${\displaystyle {\sqrt {a}}\in \mathbb {Q} }$, dann ist das minimale Polynom ${\displaystyle X-{\sqrt {a}}}$

• Minimalpolynome über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ von ${\displaystyle \xi _{3}=\exp((2\pi \mathrm {i} )/3)}$: Es gilt ${\displaystyle \xi _{3}^{3}=1}$. Also ist ${\displaystyle \xi _{3}}$ Nullstelle von ${\displaystyle X^{3}-1}$. Dieses Polynom ist aber nicht irreduzibel, denn es hat die Faktorisierung ${\displaystyle (X-1)(X^{2}+X+1)}$.
  Offensichtlich ist ${\displaystyle \xi _{3}}$ keine Nullstelle von ${\displaystyle X-1}$. Also muss ${\displaystyle \xi _{3}}$ Nullstelle von ${\displaystyle X^{2}+X+1}$ sein. Und dieses Polynom ist irreduzibel (z. B. durch Reduktion modulo 2)

• Minimalpolynom über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ von ${\displaystyle \alpha ={\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt {2}}}$: Hier ist es hilfreich, eine normale Körpererweiterung ${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$ zu betrachten, mit ${\displaystyle \alpha \in L}$. Dies ist z. B. für ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{4}]{2}},\mathrm {i} )}$ gegeben, dem Zerfällungskörper des Polynoms ${\displaystyle X^{4}-2}$. In ${\displaystyle L}$ zerfällt das Minimalpolynom von ${\displaystyle \alpha }$ in Linearfaktoren. Die Nullstellen sind Konjugierte von ${\displaystyle \alpha }$, also von der Form ${\displaystyle \sigma (\alpha )}$ für ein ${\displaystyle \sigma }$ aus der Galoisgruppe von ${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$.

Da ${\displaystyle \sigma (\alpha )=\sigma ({\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt {2}})=\sigma ({\sqrt[{4}]{2}})+\sigma ({\sqrt[{4}]{2}})^{2}}$, genügt es, die möglichen Werte ${\displaystyle \sigma ({\sqrt[{4}]{2}})}$ (also die Konjugierten von ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}}}$) zu bestimmen. Das Minimalpolynom über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ von ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}}}$ ist ${\displaystyle X^{4}-2}$, was sich über ${\displaystyle L}$ zu ${\displaystyle X^{4}-2=(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{2}})(X+\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{2}})}$ faktorisieren lässt. Damit sind die Konjugierten von ${\displaystyle \alpha }$ genau

${\displaystyle \alpha _{0}=\alpha }$,

${\displaystyle \alpha _{1}=-{\sqrt[{4}]{2}}+(-{\sqrt[{4}]{2}})^{2}=-{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt {2}}}$,

${\displaystyle \alpha _{2}=\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{2}}+(\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{2}})^{2}=\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{2}}-{\sqrt {2}}}$ und

${\displaystyle \alpha _{3}=-\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{2}}+(-\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{2}})^{2}=-\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{2}}-{\sqrt {2}}}$.

Das Minimalpolynom von ${\displaystyle \alpha }$ ist damit

${\displaystyle (X-\alpha _{0})(X-\alpha _{1})(X-\alpha _{2})(X-\alpha _{3})}$

${\displaystyle =(X-{\sqrt[{4}]{2}}-{\sqrt {2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}}-{\sqrt {2}})(X-\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt {2}})(X-\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{2}}-{\sqrt {2}})}$

${\displaystyle =X^{4}-4X^{2}-8X+2.}$

Literatur

• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Für Mathematiker, Informatiker und Physiker. Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.