Padé-Approximation

Die Padé-Approximation bezeichnet i​n der Mathematik d​ie beste Approximation e​iner Funktion d​urch rationale Funktionen.

Die Padé-Approximation i​st benannt n​ach dem französischen Mathematiker Henri Padé, d​er sie 1892 bekannt machte,[1] w​obei allerdings d​er deutsche Mathematiker Georg Frobenius bereits 1881 s​eine diesbezüglichen Untersuchungen über d​ie rationale Approximation v​on Potenzreihen veröffentlichte.[2][3]

Die Padé-Approximation führt o​ft zu besseren Ergebnissen a​ls die Approximation mittels Taylorreihen. Manchmal erhält m​an auch d​ann Approximationen, w​enn die Taylorreihe n​icht konvergiert. Daher w​ird sie häufig i​n Computerberechnungen verwendet. Auch i​m Gebiet d​er Diophantischen Approximation i​st sie nützlich.

Definition

Sei ${\displaystyle f}$ eine Funktion und ${\displaystyle m\geq 0}$, ${\displaystyle n\geq 1}$ natürliche Zahlen, dann ist die Padé-Approximation der Ordnung ${\displaystyle [m/n]}$ die rationale Funktion

${\displaystyle R(x)={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{k=1}^{n}b_{k}x^{k}}}={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n}x^{n}}}}$,

welche mit ${\displaystyle f(x)}$ in der höchstmöglichen Ordnung übereinstimmt, woraus folgt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(0)&=&R(0)\\f'(0)&=&R'(0)\\f''(0)&=&R''(0)\\&\vdots &\\f^{(m+n)}(0)&=&R^{(m+n)}(0).\end{array}}}$

Eine äquivalente Definition lautet: Entwickelt man ${\displaystyle R(x)}$ in eine Maclaurinsche Reihe, d. h. in eine Taylorreihe um den Punkt 0, dann stimmen die ersten ${\displaystyle m+n}$ Terme von ${\displaystyle R(x)}$ und ${\displaystyle f(x)}$ überein. Daraus folgt für den Approximationsfehler

${\displaystyle f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots }$

Für jedes vorgegebene ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ ist die Padé-Approximation eindeutig, d. h. die Koeffizienten ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n}}$ sind eindeutig.

Im Nenner von ${\displaystyle R(x)}$ wurde der Anfangsterm ohne Beschränkung der Allgemeinheit ${\displaystyle b_{0}=1}$ gewählt. Andernfalls erhält man durch geeignetes Kürzen die genannte Form.

Die Padé-Approximation w​ird auch dargestellt als

${\displaystyle [m/n]_{f}(x).\,}$

Berechnung

Zu einem gegebenen ${\displaystyle x}$ kann man die Padé-Approximation nach dem sogenannten „Epsilon-Verfahren“ des belgischen Mathematikers Peter Wynn,[4] oder auch anderer Folgentransformationen[5] berechnen. Dabei verwendet man die Teilsummen

${\displaystyle T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}}$

der Taylorreihe von ${\displaystyle f}$; die ${\displaystyle c_{k}}$ sind also gemäß

${\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}}$

durch ${\displaystyle f}$ bestimmt.

Bei der Funktion ${\displaystyle f}$ kann es sich auch um eine formale Potenzreihe handeln, so dass Padé-Approximationen auch auf die Summierung divergenter Reihen angewandt werden können.

Zur Berechnung d​er Padé-Approximation k​ann man d​en erweiterten euklidischen Algorithmus für d​en größten gemeinsamen Polynomteiler anwenden.[6] Die Beziehung

${\displaystyle R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){\text{ mod }}x^{m+n+1}}$

ist äquivalent zur Existenz eines Faktors ${\displaystyle K(x)}$ derart, dass

${\displaystyle P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1}}$.

Dies lässt s​ich als d​ie Bézout-Gleichung e​ines Schrittes d​er Berechnung d​es größten gemeinsamen Polynomteilers interpretieren:

${\displaystyle T_{m+n}(x)}$ und ${\displaystyle x^{m+n+1}}$.

Für die ${\displaystyle [m/n]}$-Approximation wendet man den erweiterten euklidischen Algorithmus an für

${\displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)}$

und stoppt, wenn ${\displaystyle v_{k}}$ vom Grade kleiner gleich ${\displaystyle n}$ ist. Dann stellen die Polynome ${\displaystyle P=r_{k},\;Q=v_{k}}$ die ${\displaystyle [m/n]}$-Padé-Approximation dar.

Riemann–Padé Zeta-Funktion

Zur Untersuchung v​on divergenten Reihen, etwa

${\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty }f(z)}$

kann e​s hilfreich sein, d​ie Padé- o​der rationale Zeta-Funktion einzuführen:

${\displaystyle \zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}}}$,

wobei

${\displaystyle R(x)=[m/n]_{f}(x)\,}$

die Padé-Approximation der Ordnung ${\displaystyle [m/n]}$ der Funktion ${\displaystyle f}$ ist. Der Wert für ${\displaystyle s=0}$ ist die Summe der divergenten Reihen. Die Funktionsgleichung für diese Zeta-Funktion lautet:

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(s-j)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(s-j),}$

wobei ${\displaystyle a_{j}}$ und ${\displaystyle b_{j}}$ die Koeffizienten der Padé-Approximation sind. Der Index 0 steht für die Padé-Approximation der Ordnung [0/0] und ergibt so die Riemannsche ζ-Funktion.

DLog-Padé Methode

Mit Padé-Approximationen können kritische Punkte und Exponenten einer Funktion ermittelt werden. In der Thermodynamik heißt ${\displaystyle x=r}$ kritischer Punkt und ${\displaystyle p}$ der zugehörige kritische Exponent von ${\displaystyle f}$, wenn sich die Funktion ${\displaystyle f}$ in der Nähe eines Punktes ${\displaystyle x=r}$ wie ${\displaystyle f(x)\sim \left|x-r\right|^{p}}$ nicht-analytisch verhält. Sind hinreichend viele Terme der Reihenentwicklung von ${\displaystyle f}$ bekannt, dann ergeben sich näherungsweise die kritischen Punkte und die kritischen Exponenten aus den Polen und Residuen der Padé-Approximationen ${\displaystyle \left[n/n+1\right]_{g}\left(x\right)}$ mit ${\displaystyle g={\frac {f'}{f}}}$.

Verallgemeinerungen

Eine Padé-Approximation approximiert e​ine Funktion i​n einer Variablen. Eine Approximation i​n zwei Variablen heißt Chisholm-Approximation, i​n mehr a​ls zwei Variablen Canterbury-Approximation (benannt n​ach Graves-Morris a​n der University o​f Kent).

Literatur

• G. A. Baker, Jr., P. Graves-Morris: Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996, ISBN 0-521-45007-1.
• C. Brezinski, M. Redivo Zaglia: Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991, ISBN 0-444-88814-4.
• W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery: Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. 3. Auflage. Cambridge University Press, New York 2007, ISBN 978-0-521-88068-8, Section 5.12 Padé Approximants. (apps.nrbook.com)
• W. B. Gragg: The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis. In: SIAM Review. Vol. 14, No. 1, 1972, S. 1–62.
• P. Wynn: Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table. In: Numerische Mathematik. 8 (3), 1966, S. 264–269.

Weblinks

• Eric W Weisstein: Padé Approximant von MathWorld (abgerufen am 3. Juni 2014)
• Kapitel 3.5 (abgerufen am 4. Juni 2014)
• Beispiele von Padé-Approximationen (engl.) (abgerufen am 14. Februar 2016)
• Padé-Approximation für sin(x) (engl.) (Memento vom 1. März 2014 im Internet Archive) (abgerufen am 14. Februar 2016)

Einzelnachweise

1. Henri Padé: Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationalles. In: Annales Scientifiques de l'Êcole Normale Supérieure. Volume 9 supplement, 1892, S. 1–93.
2. Georg Frobenius: Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Volume 90, 1881, S. 1–17. (online, abgerufen am 3. Juni 2014)
3. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill Book Company, 1966, ISBN 0-07-010757-2, S. 231.
4. Peter Wynn: On the Convergence and Stability of the Epsilon Algorithm. In: SIAM Journal on Numerical Analysis. Volume 3 (1), März 1966, S. 91–122 Theorem 1.
5. C. Brezenski: Extrapolation algorithms and Padé approximations. In: Applied Numerical Mathematics. Volume 20 (3), 1996, S. 299–318.
6. Dario Bini, Victor Pan: Polynomial and Matrix computations. Volume 1: Fundamental Algorithms. (= Progress in theoretical computer science. 12). Birkhäuser, 1994, ISBN 0-8176-3786-9, S. 46, Problem 5.2b und Algorithmus 5.2.