Diagonalisierbare Matrix

Als diagonalisierbare Matrix bezeichnet m​an im mathematischen Teilgebiet d​er linearen Algebra e​ine quadratische Matrix, d​ie ähnlich z​u einer Diagonalmatrix ist. Sie lässt s​ich mittels e​ines Basiswechsels (also d​er Konjugation m​it einer regulären Matrix) i​n eine Diagonalmatrix transformieren.[1] Das Konzept lässt s​ich auf Endomorphismen übertragen.

Definition

Diagonalmatrix

→ Hauptartikel: Diagonalmatrix

Eine quadratische Matrix ${\displaystyle D=(d_{ij})}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$, deren Elemente ${\displaystyle d_{ij}\in K}$ mit ${\displaystyle i\neq j}$ alle gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. Häufig schreibt man dafür

${\displaystyle D=\operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{n}):={\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &0\\0&d_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}}$.

Diagonalisierbare Matrix

Eine quadratische ${\displaystyle n}$-dimensionale Matrix ${\displaystyle A}$ heißt diagonalisierbar oder diagonalähnlich, wenn es eine Diagonalmatrix ${\displaystyle D_{A}}$ gibt, zu der sie ähnlich ist, das heißt, es existiert eine reguläre Matrix ${\displaystyle S}$, so dass gilt ${\displaystyle D_{A}=S^{-1}AS}$ bzw. ${\displaystyle SD_{A}=AS}$.

Ein Endomorphismus ${\displaystyle f\colon V\to V}$ über einem endlichdimensionalen Vektorraum ${\displaystyle V}$ heißt diagonalisierbar, falls eine Basis ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle V}$ existiert, bezüglich der die Abbildungsmatrix ${\displaystyle M_{B}(f)}$ eine Diagonalmatrix ist.

Unitär diagonalisierbare Matrix

Eine Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ist genau dann unitär diagonalisierbar, falls eine unitäre Transformationsmatrix ${\displaystyle S\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ existiert, sodass ${\displaystyle S^{H}AS=S^{-1}AS}$ eine Diagonalmatrix ist, wobei ${\displaystyle S^{H}}$ die zu ${\displaystyle S}$ adjungierte Matrix ist.

Daraus folgt für eine reellwertige Matrix ${\displaystyle A}$ die unitäre Diagonalisierbarkeit, falls eine orthogonale Transformationsmatrix ${\displaystyle S\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ existiert, sodass ${\displaystyle S^{T}AS=S^{-1}AS}$ eine Diagonalmatrix ist, wobei ${\displaystyle S^{T}}$ die zu ${\displaystyle S}$ transponierte Matrix ist.

In einem endlichdimensionalen Prähilbertraum ${\displaystyle V}$ ist ein Endomorphismus ${\displaystyle f\colon V\to V}$ genau dann unitär diagonalisierbar, wenn eine Orthonormalbasis ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle V}$ existiert, sodass die Abbildungsmatrix ${\displaystyle M_{B}(f)}$ eine Diagonalmatrix ist.

Weitere Charakterisierungen der Diagonalisierbarkeit

Sei ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Matrix mit Einträgen aus einem Körper ${\displaystyle K}$. Jede der folgenden sechs Bedingungen wird genau dann erfüllt, wenn ${\displaystyle A}$ diagonalisierbar ist.

1. Das Minimalpolynom ${\displaystyle m_{A}(\lambda )}$ zerfällt vollständig in ${\displaystyle k\leq n}$ paarweise verschiedene Linearfaktoren: ${\displaystyle m_{A}(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})\cdot \dots \cdot (\lambda -\lambda _{k})}$ mit ${\displaystyle \lambda _{i}\in K}$
2. Das charakteristische Polynom ${\displaystyle \chi _{A}(\lambda )}$ zerfällt vollständig in Linearfaktoren und die geometrische Vielfachheit entspricht der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{i}\in K}$.
3. Es gibt eine Basis für ${\displaystyle K^{n}}$, die aus Eigenvektoren für ${\displaystyle A}$ besteht.
4. Die Summe der Dimensionen der jeweiligen Eigenräume ist gleich ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle \sum _{\lambda \in \sigma (A)}\dim(E_{\lambda }(A))=n}$, wobei ${\displaystyle \sigma (A)}$ das Spektrum bezeichnet.
5. ${\displaystyle K^{n}}$ ist die direkte Summe der jeweiligen Eigenräume: ${\displaystyle K^{n}=\bigoplus _{\lambda \in \sigma (A)}E_{\lambda }(A)}$.
6. Alle Jordanblöcke der Jordanschen Normalform ${\displaystyle J_{A}}$ haben die Dimension 1.

Sind ${\displaystyle S}$ und ${\displaystyle D_{A}}$ mit den gewünschten Eigenschaften gefunden, so gilt, dass die Diagonaleinträge von ${\displaystyle D_{A}}$, nämlich ${\displaystyle \lambda _{i}}$, Eigenwerte von ${\displaystyle D_{A}}$ zu gewissen Einheitsvektoren ${\displaystyle e_{i}}$ sind. Dann ist ${\displaystyle ASe_{i}=SD_{A}e_{i}=S\lambda _{i}e_{i}=\lambda _{i}Se_{i}}$. Die ${\displaystyle Se_{i}}$ sind also Eigenvektoren von ${\displaystyle A}$, und zwar jeweils zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

Da ${\displaystyle S}$ invertierbar sein soll, ist ${\displaystyle (Se_{1},\ldots ,Se_{n})}$ zudem linear unabhängig.

Zusammenfassend ergibt sich daraus die notwendige Bedingung, dass eine ${\displaystyle n}$-dimensionale diagonalisierbare Matrix ${\displaystyle n}$ linear unabhängige Eigenvektoren haben muss. Der Raum, auf dem sie operiert, besitzt also eine Basis aus Eigenvektoren der Matrix. Diese Bedingung ist aber auch hinreichend, denn aus ${\displaystyle n}$ gefundenen linear unabhängigen Eigenvektoren von ${\displaystyle A}$ mit den dazugehörigen Eigenwerten lassen sich geeignete ${\displaystyle D_{A}}$ und ${\displaystyle S}$ ganz direkt konstruieren.

Das Problem reduziert sich damit auf das Auffinden von ${\displaystyle n}$ linear unabhängigen Eigenvektoren von ${\displaystyle A}$.

Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für Diagonalisierbarkeit ist, dass das charakteristische Polynom ${\displaystyle \chi _{A}}$ vollständig in Linearfaktoren zerfällt: So ist ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ nicht diagonalisierbar, obwohl ${\displaystyle \chi _{A}(X)=X^{2}}$. Eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung für Diagonalisierbarkeit ist, dass ${\displaystyle \chi _{A}}$ vollständig in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt: So ist ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$ diagonalisierbar, obwohl ${\displaystyle \chi _{A}(X)=(X-1)^{2}}$.

Eigenschaften einer diagonalisierbaren Matrix

Ist e​ine Matrix diagonalisierbar, s​o ist d​ie geometrische Vielfachheit i​hrer Eigenwerte gleich d​er jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, d​ie Dimension d​er einzelnen Eigenräume stimmt jeweils m​it der algebraischen Vielfachheit d​er entsprechenden Eigenwerte i​m charakteristischen Polynom d​er Matrix überein.

Die Matrixpotenz einer diagonalisierbaren Matrix ${\displaystyle A}$ lässt sich berechnen durch

${\displaystyle A^{n}=S\cdot D_{A}^{n}\cdot S^{-1}}$

Die Potenz e​iner Diagonalmatrix erhält m​an durch Potenzieren d​er Diagonalelemente.

Eine diagonalisierbare Matrix ${\displaystyle A}$ genügt dem Minimalpolynom ${\displaystyle m_{A}(A)=0}$.[2]

Diagonalisierung

Ist eine Matrix ${\displaystyle A}$ diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix ${\displaystyle D_{A}}$, für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist:

${\displaystyle D_{A}=S^{-1}AS}$

Zur Diagonalisierung dieser Matrix berechnet man die Diagonalmatrix ${\displaystyle D_{A}}$ und eine zugehörige Basis aus Eigenvektoren. Dies geschieht in drei Schritten:

1. Es werden die Eigenwerte ${\displaystyle \lambda _{i}}$ der Matrix ${\displaystyle A}$ bestimmt. (Einzelne Eigenwerte können dabei mehrfach vorkommen.)
2. Es werden die Eigenräume ${\displaystyle E\left(\lambda _{i}\right)}$ zu allen Eigenwerten ${\displaystyle \lambda _{i}}$ berechnet, also Gleichungssysteme der folgenden Form gelöst

   ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)\cdot {\begin{pmatrix}e_{1}\\\vdots \\e_{n}\end{pmatrix}}=0}$.

3. Weil die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit jedes Eigenwerts ist, können wir zu jeder maximalen Menge ${\displaystyle \lambda _{i_{1}}=\ldots =\lambda _{i_{k}}}$ übereinstimmender Eigenwerte eine Basis ${\displaystyle \left\{b_{i_{1}},\ldots ,b_{i_{k}}\right\}}$ von ${\displaystyle E\left(\lambda _{i_{1}}\right)=\ldots =E(\lambda _{i_{k}})}$ finden.
4. Nun ist die Diagonalform ${\displaystyle D_{A}}$ der Matrix ${\displaystyle A}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle B=\left\{b_{1},\ldots ,b_{n}\right\}}$:

   ${\displaystyle D_{A}=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$

   ${\displaystyle S=\left(b_{1},\ldots ,b_{n}\right)}$

Simultane Diagonalisierung

Gelegentlich will man auch zwei Matrizen ${\displaystyle A,B}$ mit derselben Transformation ${\displaystyle S}$ diagonalisieren. Falls das gelingt, gilt ${\displaystyle S^{-1}AS=D_{1}}$ und ${\displaystyle S^{-1}BS=D_{2}}$ und da ${\displaystyle D_{1}}$ und ${\displaystyle D_{2}}$ Diagonalmatrizen sind,

${\displaystyle D_{1}\cdot D_{2}=D_{2}\cdot D_{1}\Rightarrow B\cdot A=SD_{2}S^{-1}\cdot SD_{1}S^{-1}=SD_{1}D_{2}S^{-1}=A\cdot B}$.

Also müssen d​ie Endomorphismen miteinander kommutieren. In d​er Tat g​ilt auch d​ie Umkehrung: Kommutieren z​wei diagonalisierbare Endomorphismen, s​o können s​ie simultan diagonalisiert werden. In d​er Quantenmechanik g​ibt es für z​wei solche Operatoren d​ann eine Basis a​us gemeinsamen Eigenzuständen.

Beispiel

Sei ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3\times 3}}$ die zu diagonalisierende Matrix. ${\displaystyle A}$ ist (unitär) diagonalisierbar, da ${\displaystyle A}$ symmetrisch ist, d. h. es gilt ${\displaystyle A=A^{T}}$.

Die Eigenwerte ${\displaystyle \lambda _{i}}$ von ${\displaystyle A}$ lassen sich durch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms ${\displaystyle \chi _{A}}$ bestimmen:

${\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=\det(\lambda E_{3}-A)=\det {\begin{pmatrix}\lambda -1&0&-1\\0&\lambda -2&0\\-1&0&\lambda -1\end{pmatrix}}=\lambda (\lambda -2)^{2}}$

Also ${\displaystyle \lambda _{1}=0,\lambda _{2}=2}$. Der Eigenwert 2 hat algebraische Vielfachheit ${\displaystyle a_{\lambda _{2}}=2}$, da er doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Zum Bestimmen der Eigenräume setze man die Eigenwerte in ${\displaystyle E(\lambda )=\mathrm {Kern} (\lambda E_{3}-A)}$ ein.

Um alle ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{3}}$ mit ${\displaystyle (\lambda E_{3}-A)v=0}$ zu erhalten, fassen wir die erweiterte Koeffizientenmatrix ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda E_{3}-A\mid 0\end{pmatrix}}}$ als lineares Gleichungssystem mit unendlichen Lösungen auf.

Für ${\displaystyle \lambda =0}$ erhalten wir ${\displaystyle {\begin{pmatrix}-A\mid 0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{array}{ccc|c}-1&0&-1&0\\0&-2&0&0\\-1&0&-1&0\end{array}}\end{pmatrix}}}$, mit dem gaußschen Eliminationsverfahren erhalten wir ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\begin{array}{ccc|c}1&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\end{pmatrix}}}$ und somit als Lösungsmenge den Eigenraum:

${\displaystyle E(\lambda _{1})=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha \\0\\-\alpha \end{pmatrix}}:\alpha \in \mathbb {R} \right\}=\operatorname {Lin} {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}}$,

wobei ${\displaystyle \operatorname {Lin} }$ die lineare Hülle bezeichnet.

Für ${\displaystyle \lambda =2}$ erhalten wir ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\cdot E_{3}-A\mid 0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\end{array}}\end{pmatrix}}}$, daraus ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\end{pmatrix}}}$ und somit als Lösungsmenge den Eigenraum:

${\displaystyle E(\lambda _{2})=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \\\alpha \end{pmatrix}}:\alpha ,\beta \in \mathbb {R} \right\}=\operatorname {Lin} \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\right\}}$.

Die Eigenvektoren ${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},v_{3}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}$ erhalten wir aus den Basen der Eigenräume, sie bilden eine Basis von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Wenn wir ${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}$ normieren erhalten wir mit ${\displaystyle b_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},b_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},b_{3}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{b_{1},b_{2},b_{3}\right\}}$ eine Orthonormalbasis, da ${\displaystyle A}$ symmetrisch und die Eigenvektoren der halbeinfachen Eigenwerte orthogonal zueinander sind (in dem Fall ${\displaystyle v_{2}\perp v_{3}}$).

Es gilt also ${\displaystyle S=\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&{\sqrt {2}}\\-1&1&0\end{pmatrix}}}$. Daraus erhalten wir unter der Nutzung der Eigenschaften von Orthonormalbasen die Inverse ${\displaystyle S^{-1}=S^{T}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&0&-1\\1&0&1\\0&{\sqrt {2}}&0\end{pmatrix}}}$.

${\displaystyle D_{A}}$ bestimmt sich durch ${\displaystyle D_{A}=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})=\operatorname {diag} (0,2,2)={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}}}$.

Somit erhalten wir für ${\displaystyle D_{A}=S^{-1}AS}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0&-1\\1&0&1\\0&{\sqrt {2}}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&{\sqrt {2}}\\-1&1&0\end{pmatrix}}}$

und d​amit die Diagonalisierung

${\displaystyle A=SD_{A}S^{-1}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&{\sqrt {2}}\\-1&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&-1\\1&0&1\\0&{\sqrt {2}}&0\end{pmatrix}}}$.

Siehe auch

• Jordansche Normalform
• Frobenius-Normalform

Einzelnachweise

1. Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.
2. R. Zurmühl, S. Falk: Matrizen und ihre Anwendungen 1. Grundlagen, Für Ingenieure, Physiker und Angewandte Mathematiker. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-61436-2, S. 281.