Urbild (Mathematik)

In der Mathematik ist das Urbild ein Begriff, der im Zusammenhang mit Funktionen verwendet wird. Für eine Funktion ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ist das Urbild einer Menge ${\displaystyle M\subseteq B}$ jene Teilmenge der Definitionsmenge ${\displaystyle A}$, deren Elemente auf die vorher festgelegte Untermenge ${\displaystyle M}$ der Zielmenge ${\displaystyle B}$ abgebildet werden. Das Urbild ist also die Antwort auf die Frage: Welche Elemente aus der Definitionsmenge werden auf Elemente der Menge ${\displaystyle M}$ abgebildet?. Man sagt dann auch Urbild von ${\displaystyle M}$ unter ${\displaystyle f.}$

Das Urbild des Elementes ${\displaystyle 0}$ oder der einelementigen Teilmenge ${\displaystyle \{0\}\subseteq B}$ ist die dreielementige Menge ${\displaystyle \{2,3,5\}\subseteq A}$

Das Urbild eines einzelnen Elements ${\displaystyle b}$ der Zielmenge ist die aus allen ${\displaystyle a\in A}$ mit ${\displaystyle f(a)=b}$ bestehende Teilmenge der Definitionsmenge. Das Urbild der Bildmenge ${\displaystyle \operatorname {im} f:=f(A)\subseteq B}$ (und natürlich erst recht der ganzen Zielmenge ${\displaystyle B}$) ist genau die Definitionsmenge ${\displaystyle A}$, da Funktionen linkstotal sind, also jedem Element der Definitionsmenge mindestens ein Element der Zielmenge (und genau ein Element der Bildmenge) zuordnen.

Definition

Sei ${\displaystyle f\colon A\to B}$ eine Funktion und ${\displaystyle M}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle B}$. Dann bezeichnet man die Menge

${\displaystyle f^{-1}(M):=\left\{x\in A\mid f(x)\in M\right\}}$

als d​as Urbild v​on M u​nter f.

Ein Urbild ist damit ein Wert der sogenannten Urbildfunktion, die jedem Element ${\displaystyle M}$ der Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(B)}$ der Zielmenge ${\displaystyle B}$ das Urbild ${\displaystyle f^{-1}(M)}$ als Element der Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ der Definitionsmenge ${\displaystyle A}$ zuordnet.

Das Urbild einer einelementigen Menge ${\displaystyle M=\{b\}}$ schreibt man auch als

${\displaystyle f^{-1}(b):=f^{-1}(\{b\})=\{x\in A\mid f(x)=b\}}$

und n​ennt es d​as Urbild v​on b u​nter f. Diese Menge braucht a​ber nicht einelementig z​u sein (sie k​ann also a​uch leer s​ein oder m​ehr als e​in Element enthalten).

Das Urbild e​ines Elements w​ird zuweilen a​uch Faser d​er Abbildung über diesem Element genannt, insbesondere i​m Zusammenhang m​it Faserbündeln.

Beispiele

Für die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ (ganze Zahlen) mit ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ gilt:

${\displaystyle f^{-1}(4)=\{2,-2\}}$

${\displaystyle f^{-1}(0)=\{0\}}$

${\displaystyle f^{-1}(3)=\emptyset }$

${\displaystyle f^{-1}(-1)=\emptyset }$

${\displaystyle f^{-1}(\{1,4\})=\{-2,-1,1,2\}}$

Eigenschaften

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

• Unter einer bijektiven Funktion ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ist das Urbild jedes Elements (genau) einelementig. Die Abbildung, die jedem Element von ${\displaystyle B}$ das (einzige, also eindeutig bestimmte) Element seines Urbildes zuordnet, heißt Umkehrfunktion von ${\displaystyle f}$. Man bezeichnet sie (auch – wie die Urbildfunktion) mit ${\displaystyle f^{-1}}$. Das kann leicht zu Missverständnissen führen, wenn man nicht ausführlicher ${\displaystyle f^{-1}\colon B\to A}$ für die Umkehrfunktion schreibt (wodurch sie dann deutlich von der Urbildfunktion ${\displaystyle f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(B)\to {\mathcal {P}}(A)}$ unterschieden wird).
• Unter einer injektiven Funktion ist das Urbild jedes Elements höchstens einelementig (also einelementig oder leer).
• Unter einer surjektiven Funktion ist das Urbild jedes Elements mindestens einelementig (also nichtleer).

Mengenoperationen und -eigenschaften

Es sei ${\displaystyle f\colon A\to B}$ eine Funktion, und ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ seien Teilmengen von ${\displaystyle B}$. Dann gilt:

• ${\displaystyle f^{-1}(\emptyset )=\emptyset }$
• ${\displaystyle f^{-1}(B)=A}$
• ${\displaystyle f^{-1}(M\cup N)=f^{-1}(M)\cup f^{-1}(N)}$
• ${\displaystyle f^{-1}(M\cap N)=f^{-1}(M)\cap f^{-1}(N)}$
  Insbesondere haben also disjunkte Mengen disjunkte Urbilder.
  Die letzten beiden Aussagen (über Vereinigung und Durchschnitt) lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern.
• ${\displaystyle f^{-1}(M^{\rm {c}})=(f^{-1}(M))^{\rm {c}}}$
  Dabei bezeichnet ${\displaystyle X^{\rm {c}}}$ das Komplement ${\displaystyle G\setminus X:=\left\{g\in G\mid g\not \in X\right\}}$ von ${\displaystyle X}$ in der jeweiligen Grundmenge ${\displaystyle G}$.
• ${\displaystyle f^{-1}(M\setminus N)=f^{-1}(M)\setminus f^{-1}(N)}$
• ${\displaystyle M\subseteq N\Rightarrow f^{-1}(M)\subseteq f^{-1}(N)}$

Bild und Urbild

Es sei ${\displaystyle f\colon A\to B}$ eine Funktion, ${\displaystyle M}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle N}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle B}$. Dann gilt:

• ${\displaystyle f(M)\subseteq N\iff M\subseteq f^{-1}(N),}$
  d. h., es liegt eine Galoisverbindung vor.
• ${\displaystyle M\subseteq f^{-1}(f(M))}$
  Ist ${\displaystyle f}$ injektiv, dann gilt die Gleichheit.
• ${\displaystyle f(f^{-1}(N))\subseteq N}$
  Ist ${\displaystyle f}$ surjektiv, dann gilt die Gleichheit. Hinreichend ist schon ${\displaystyle N\subseteq f(A)}$, dass also ${\displaystyle N}$ eine Teilmenge des Bildes ${\displaystyle \operatorname {im} f:=f(A)=\{f(a)\mid a\in A\}}$ von ${\displaystyle f}$ ist.

Urbild und Komposition

Für beliebige Mengen ${\displaystyle A,B,C}$ und beliebige Funktionen ${\displaystyle f\colon A\to B,g\colon B\to C}$ bezeichne ${\displaystyle g\circ f\colon A\to C}$ die Komposition von ${\displaystyle g}$ mit ${\displaystyle f}$.

Dann gilt für jede Teilmenge ${\displaystyle C'\subseteq C}$:

${\displaystyle ({g\circ f})^{-1}(C')=(f^{-1}\circ g^{-1})(C')=f^{-1}(g^{-1}(C'))}$

Siehe auch

• Kern (Algebra)
• Homomorphiesatz
• Bild (Mathematik)