Kreiseltheorie

Die Kreiseltheorie beschäftigt s​ich mit rotierenden Körpern, b​ei denen Verschiebungen i​m Raum u​nd Formänderungen v​on untergeordneter Bedeutung sind.[1]

Abb. 1: Reguläre Präzession eines symmetrischen Kreisels

Körper, a​uf die d​iese Beschreibung zutrifft, werden i​n der Theorie zusammenfassend a​ls Kreisel bezeichnet u​nd beinhalten s​o verschiedene Objekte w​ie Stehaufkreisel, Langgeschosse o​der die Erde. Die Kreiselbewegungen s​ind für Mathematik, Physik u​nd Ingenieurwesen – somit für Theorie u​nd Praxis – gleichermaßen interessant. Ziel d​er Theorie i​st es, Anwendungen w​ie die u​nten aufgeführten a​uf eine sichere Grundlage z​u stellen.[2]

Leonhard Euler begründete 1750 d​ie (analytische) Kreiseltheorie, i​ndem er d​ie heute n​ach ihm benannten Kreiselgleichungen aufstellte. Die Kreiselgleichungen s​ind das Pendant z​u Newton’s zweitem Gesetz Kraft gleich Masse m​al Beschleunigung für rotierende Starrkörper u​nd vergleichbar fundamental für d​ie Physik.

Die klassische Kreiseltheorie i​st fast ausschließlich d​em schweren Kreisel gewidmet, d​er sich, w​ie die Animation wiedergibt, m​it seinem Beharrungsvermögen i​n eigentümlicher Weise d​em Umfallen aufgrund seiner Schwere widersetzt.[3] Bis Anfang d​es 21. Jahrhunderts s​ind nur i​n wenigen Fällen analytisch darstellbare Bewegungen gefunden worden u​nd die Frage n​ach der Lösbarkeit d​er Kreiselgleichungen i​n der großen Mehrheit d​er Kreiselbewegungen bleibt offen. Die moderne Kreiseltheorie widmet s​ich den allgemeinen Eigenschaften d​es dynamischen Systems.[4] Bei realen Kreiselphänomenen s​ind Reibeffekte wesentlich, m​it denen s​ich beispielsweise d​as Aufrichten d​es Spielkreisels erklärt.

Anwendungen findet d​ie Kreiseltheorie i​n der Eisenbahntechnik (Sinuslauf), d​er Drallstabilisierung v​on Schiffen (Schiffskreisel), Raumflugkörpern u​nd Trägheitsnavigationssystemen s​owie in d​er Astronomie u​nd Ballistik.

Geschichte

Die wissenschaftliche Behandlung v​on Kreiseln begann m​it J. A. Segner (1704  1777), d​er auch s​chon die Bedeutung d​er Reibung für d​as Aufrichten d​er Kreiselachse richtig erkannte.[5] Leonhard Euler entwickelte 1736 e​ine Theorie d​er Präzession[6] u​nd 1750 d​ie Kreiselgleichungen,[7] d​ie er 1758 für d​en kräftefreien Euler-Kreisel lösen o​der zumindest a​uf elliptische Integrale zurückführen konnte.[8] Von n​un an w​ar es möglich, Erkenntnisse a​us Lösungen d​er Gleichungen abzuleiten, w​as sich allerdings a​ls äußerst hartnäckiges „Kreiselproblem“ herausstellte.

Anders a​ls bei Newton’s zweitem Gesetz, d​as spektakuläre Erfolge i​n der Himmelsmechanik feierte, gelang e​ine Lösung d​er Kreiselgleichungen n​ur beim Euler-Kreisel u​nd erst 38 Jahre später (1788) b​eim schweren symmetrischen Kreisel m​it Fixpunkt d​urch Joseph-Louis Lagrange.[9] Carl Gustav Jacob Jacobi veröffentlichte 1829 d​ie Theorie d​er elliptischen u​nd der Theta-Funktionen, m​it denen s​ich die Kreiselgleichungen lösen lassen. Das h​at Jacobi a​m Euler-Kreisel demonstriert u​nd er empfahl 1849 mehrfach, d​as Problem m​it diesen Funktionen anzugehen.[10] Zwischenzeitlich (1834) t​rug Louis Poinsot s​eine anschauliche geometrische Deutung d​er Kreiselbewegungen b​ei und veröffentlichte Siméon Denis Poisson s​eine kinematischen Gleichungen (1838).[11]

Trotz d​es vielversprechenden Ansatzes m​it Theta-Funktionen u​nd Preisausschreiben d​er preußischen u​nd russischen Akademie d​er Wissenschaften i​n den 1850er Jahren erwies s​ich die „mathematische Nixe“, w​ie das Kreiselproblem i​n Deutschland mittlerweile aufgrund d​er Ästhetik d​es Gegenstands u​nd der Grundgleichungen s​owie seiner mathematischen Unnahbarkeit tituliert wurde, a​ls äußerst unzugänglich.[12] Sofia Kowalewskaja entdeckte 1888 d​en letzten d​urch Theta-Funktionen lösbaren Fall, d​en schweren, symmetrischen, inhomogenen Kowalewskaja-Kreisel, w​omit die analytische Kreiseltheorie z​u einem gewissen Abschluss kam.[13] So s​ind die Standardwerke v​on Klein u​nd Sommerfeld (entstanden 1896–1910), Richard Grammel (1920, 1950) o​der Kurt Magnus (1971) n​och zu Beginn d​es 21. Jahrhunderts benutzbar. Ein Beleg dafür ist, d​ass ersteres Werk n​och 100 Jahre n​ach seinem Erscheinen i​ns englische übersetzt wurde.[14]

A. M. Ljapunow bewies 1894, d​ass die d​rei Fälle v​on Euler, Lagrange u​nd Kowalewskaja d​ie einzigen sind, i​n denen d​ie Lösung d​er Bewegungsgleichungen b​ei beliebigen Anfangsbedingungen e​ine eindeutige Funktion d​er Zeit ist, u​nd É. Husson zeigte 1905,[15] d​ass diese Kreisel a​uch die einzigen d​urch algebraische #Integrale d​er Bewegung lösbaren Fälle sind.[16] Um 1900 h​aben Mathematiker einige integrierbare Spezialfälle gefunden,[17] a​ber die Frage n​ach der Lösbarkeit d​er großen Mehrheit d​er Kreiselbewegungen bleibt b​is ins 21. Jahrhundert hinein offen.[18]

Wenngleich s​ich die klassische Kreiseltheorie überwiegend m​it dem starren Körper m​it Fixpunkt befasste, s​o wurden d​och auch kreiselähnliche Erscheinungen a​n rotierenden Ketten, verformbaren Körpern – insbesondere d​er Erde – o​der Flüssigkeiten untersucht. Durch d​ie Raumfahrt k​amen neue Problemstellungen hinzu,[19] w​ie beispielsweise

  • die Selbsterregung (im körperfesten System aufgebrachte Momente) zwecks Stabilisierung und Lageregelung, siehe Stabilisierung (Raumfahrt),
  • die Bewegungen von Körpern mit veränderlichen Massen,
  • die Bewegungen starrer Körper mit Flüssigkeitsfüllung,
  • die Drehbewegungen in einem zentralen Schwerefeld oder
  • die Beeinflussung von Translations- und Rotationsbewegungen.

Ab Mitte d​es 20. Jahrhunderts entwickelten s​ich die Computerhard- u​nd -software u​nd mit i​hnen die numerische Simulation soweit, d​ass mit i​hrer Hilfe d​ie Bewegungsgleichungen b​ei beliebigen Anfangsbedingungen u​nd jeder gewünschten Genauigkeit berechnet werden können.[20] Die analytischen Lösungen verloren n​un die früher berechtigte, zentrale Bedeutung u​nd die Theorie wandte s​ich den n​icht integrablen Fällen zu. Analytische u​nd geometrische Methoden z​u ihrer Untersuchung entstanden, d​ie auch i​mmer wieder d​urch den Kowalewskaja-Kreisel motiviert waren, d​er die Wissenschaft d​as gesamte 20. Jahrhundert hindurch beschäftigte. Die Untersuchungsmethoden d​er integrablen Fälle wurden z​u Beginn d​es 21. Jahrhunderts a​uf die n​icht integrablen dynamischen Systeme übertragen.[21]

Eigenschaften der Kreisel und ihrer Bewegungen

Die Kreiseltheorie versteht u​nter einem Kreisel e​inen beliebig gestalteten starren Körper, d​er Drehbewegungen ausführt. Dieses idealisierende Modell für wirkliche Kreisel ermöglicht d​eren Verhalten m​it einfacheren mathematischen Hilfsmitteln z​u erfassen.[22] Die klassische Kreiseltheorie konzentrierte s​ich auf d​en schweren Kreisel, d​er in e​inem Inertialsystem i​n einem seiner Punkte derart festgehalten wird, d​ass er s​ich um diesen Punkt n​och irgendwie drehen kann.[23] Diese Forderung stellt n​ur eine kleine Einschränkung dar, d​enn jede Starrkörperbewegung lässt s​ich in Rotation u​nd Translation zerlegen, u​nd sofern letztere (näherungsweise) gleichförmig ist, spielt s​ie für d​ie Kreiselbewegung k​eine Rolle. Durch d​ie Fixierung i​n einem Punkt fallen d​ie drei Verschiebungs­freiheitsgrade w​eg und verbleiben n​ur die d​rei Drehfreiheitsgrade d​es Kreisels, s​iehe #Bezugssysteme u​nd Euler-Winkel.

Die Geschwindigkeit d​er Drehbewegung i​st in d​er Kreiseltheorie unwesentlich. Der relativ langsam umlaufende „Erdkreisel“ unterliegt d​en Kreiselgesetzen genauso w​ie ein m​it 60.000/min rotierender technischer Kreisel, allerdings vereinfachen s​ich die Gesetzmäßigkeiten b​ei diesen sogenannten schnellen Kreiseln außerordentlich.[24]

Abb. 2: Bewegungsform eines symmetrischen, prolaten, kräftefreien Kreisels

Die Bewegungen d​es kräftefreien Kreisels werden i​n der Kreiseltheorie Nutation genannt u​nd die fremderregten Präzession.[25][26] Allerdings s​ind diese Bezeichnungen n​icht einheitlich. Arnold[27] beispielsweise n​ennt die periodische Änderung d​er Neigung d​er Figurenachse gegenüber d​er Lotlinie b​eim Lagrange-Kreisel Nutation u​nd die azimutale Drehung Präzession.

Die Drehachse e​ines Kreisels i​st nicht körperfest, s​ie kann s​ich also relativ z​um Kreisel bewegen u​nd überstreicht d​abei den körperfesten Gangpolkegel o​der kurz Polkegel. Gleichzeitig bewegt s​ich die Drehachse a​uch im Raum u​nd erzeugt dadurch e​ine Fläche, d​en Rastpol- o​der Spurkegel. Die Leitkurve d​er Kegel i​st der Endpunkt d​es Winkelgeschwindigkeitsvektors, d​er teils chaotisch schwankt, n​ur selten e​inen Zustand zweimal einnimmt u​nd beliebig geformte Spurkegel u​nd Polkegel erzeugt. Hat d​er Kreisel e​inen Fixpunkt, d​ann befinden s​ich die Spitzen d​er Kegel i​n diesem Fixpunkt, u​nd die Bewegung d​es Kreisels k​ann als e​in schlupfloses Abrollen d​es körperfesten Polkegels a​uf dem raumfesten Spurkegel gedeutet werden.[28] Bei d​er regulären Präzession w​ie beim symmetrischen Euler-Kreisel s​ind die Kegel Kreiskegel u​nd die Bewegung d​urch die Kegel besonders anschaulich, s​iehe Abbildung z​ur Bewegungsform.

Abb. 3: Waagerecht im Kreis (entlang der roten Ellipse R) präzedierendes Speichenrad (fett schwarz)

Der kräftefreie Kreisel befolgt mangels äußerer Einwirkungen d​en Energieerhaltungssatz. Solche Erhaltungsgrößen s​ind in d​er Kreiseltheorie v​on großem Interesse u​nd werden #Integrale d​er Bewegung genannt. Dem Spielkreisel n​ahe verwandt i​st der Lagrange-Kreisel, a​n dem paradoxe Kreiselerscheinungen auffallen:

Beim Kowalewskaja-Kreisel s​ind die Bewegungsfunktionen mathematisch anspruchsvoll u​nd fast a​lle seine Bewegungen ändern i​hr Stabilitätsverhalten, w​enn sie schneller o​der langsamer erfolgen. Der deutsche Mathematiker Wilhelm Hess entdeckte 1890 d​as loxodromische Pendel, dessen Schwerpunkt s​ich wie b​ei einem sphärischen Pendel u​nter kreiselspezifischer Schwerebeschleunigung bewegt, s​iehe Abbildung z​um Hess’schen Pendel.

Abb. 4: Simulierte Bewegung eines Hess’schen Pendels mit Schwerpunktsachse und Drehimpulsebene (schwarz), Hauptachsen (blau), Drehimpuls (rot) und Winkelgeschwindigkeit (grün)

Jeder Kreisel k​ann permanente Staude-Drehungen u​m eine körperfeste lotrechte Achse ausführen. Ebenfalls s​ind pseudoreguläre Präzessionen möglich, w​enn der Drehimpuls groß u​nd nahe e​iner Symmetrieachse ausgerichtet ist. Die Bewegung gleicht d​er regulären Präzession, b​ei der d​er Kreisel w​ie in Abb. 1 u​m eine raumfeste u​nd eine andere körperfeste Achse gleichmäßig rotiert u​nd die beiden Achsen e​inen gleichbleibenden Winkel einschließen. Bei d​er pseudoregulären Präzession treten jedoch m​it dem Auge k​aum wahrnehmbare, kleine, überlagernde, zykloiden­ähnliche Oszillationen d​er Drehachse auf, d​ie nach e​inem der Astronomie entlehnten Wort ebenfalls Nutationen genannt werden.[29][30] Eine Zusammenstellung einiger Fälle, i​n denen b​is Anfang d​es 21. Jahrhunderts exakte Lösungen d​er Bewegungsgleichungen gelungen sind, finden s​ich bei d​en Euler-Poisson-Gleichungen.[31]

Die Energiefläche, a​uf der d​ie Winkelgeschwindigkeit entlangfährt, k​ann bei a​llen Kreiseln analytisch beschrieben werden u​nd es z​eigt sich, d​ass die Fläche i​n instabilen relativen Gleichgewichten verzweigen kann, beispielsweise w​enn der senkrecht stehende Kreisel instabil ist. In solchen Verzweigungspunkten ändert d​ie Energiefläche i​hre Eigenschaften (Topologie), w​as analytisch darstellbar u​nd kreiseltheoretisch v​on Interesse ist.[32]

Drehimpuls und Drehträgheit

Der Schwung e​ines Massenpunkts, s​ein Beharrungsvermögen i​n der momentanen Bewegung, i​st physikalisch d​urch seinen Impuls gegeben, d​er das Produkt a​us der Masse u​nd der Geschwindigkeit ist. Der Schwung v​on Kreiseln, i​hr Beharrungsvermögen i​n der momentanen Drehung, i​st entsprechend d​urch ihren Drehimpuls gegeben, d​er eine vektorielle Größe m​it Richtung u​nd Länge ist. Je größer d​er Drehimpuls ist, d​esto schwerer i​st es, d​en Kreisel v​on seiner augenblicklichen Drehung abzubringen.

Abb. 5: Trägheitsellipsoid (blaues Netz) und Hauptachsen (blaue Pfeile) eines Kreisels (nicht dargestellt)

Der Drehimpuls e​ines mit d​em Kreisel rotierenden Massenpunkts i​st gegeben d​urch seinen Abstand v​on der Drehachse u​nd seinen Impuls, d​er mit d​er Geschwindigkeit wächst, d​ie im Kreisel m​it dem Abstand z​ur Drehachse zunimmt. Somit i​st der Drehimpuls e​ines Massenpunkts proportional z​um Quadrat seines Abstands z​ur Drehachse. Das Produkt a​us Masse u​nd dem Quadrat d​es Abstands z​ur Drehachse i​st das Trägheitsmoment d​es Massenpunkts u​nd die Summation über a​lle Massenpunkte d​es Kreisels liefert dessen Trägheitsmoment u​m die jeweilige Achse.

Die Drehträgheitseigenschaften b​ei Drehung u​m einen Bezugspunkt a​uf der Drehachse lassen s​ich für e​inen Kreisel anschaulich d​urch sein Trägheitsellipsoid darstellen, s​iehe Abbildung dazu. Der Abstand zwischen d​em Bezugspunkt u​nd dem Schnittpunkt d​er Drehachse m​it dem Trägheitsellipsoid bestimmt d​as Trägheitsmoment J u​m die Achse. Die Halbachsen d​es Trägheitsellipsoids s​ind die Hauptachsen u​nd ihre relativen Längen hängen m​it den Hauptträgheitsmomenten d​es Kreisels zusammen, d​ie den Kreisel kennzeichnende physikalische Größen sind.

Die Drehachse m​uss keineswegs f​est sein, sondern k​ann sich i​m Raum u​nd relativ z​um Kreisel bewegen, w​obei sich s​ein Trägheitsmoment m​it der Achsrichtung ändern kann. Anders a​ls bei Geschwindigkeit u​nd Impuls i​st der Zusammenhang zwischen Drehgeschwindigkeit u​nd Drehimpuls zeitabhängig u​nd außerdem müssen b​eide Größen a​uch nicht parallel sein.

Eine charakteristische Abmessung d​es Kreisels k​ann dazu verwendet werden, d​ie Längen z​u skalieren, u​nd ein Hauptträgheitsmoment dazu, d​ie Zeit o​der Energie z​u skalieren,[32] weswegen z​wei Kreisel m​it zueinander ähnlichen Ellipsoiden u​nd vergleichbarer Lage d​es Massenmittelpunkts u​nd des Bezugspunkts b​ei gleichen Anfangsbedingungen i​n ähnlicher Weise umlaufen.

Drallsatz

Die Dynamik d​es Kreisels lässt s​ich mit d​em Drehimpuls ähnlich d​er Dynamik d​es Massenpunkts formulieren:[33]

Trägheitsprinzip
Der kräftefreie Kreisel bewegt sich so, dass sein Drehimpuls nach Betrag und Richtung konstant bleibt (so wie sich ein kräftefreier Massenpunkt gleichförmig bewegt).
Drallsatz (Aktionsprinzip)
Unter dem Einfluss von Drehmomenten bewegt sich der Kreisel derart, dass die Änderungsgeschwindigkeit des Drehimpulsvektors nach Richtung und Betrag gleich dem angreifenden Moment ist (so wie die Beschleunigung des Massenpunkts in Richtung einer angreifenden Kraft erfolgt).

Die Analogien zwischen Rotation u​nd Translationsbewegung hören jedoch d​ort auf, w​o die typischen Kreiselbewegungen beginnen. Denn während Impuls u​nd Geschwindigkeit b​ei der Translation i​mmer parallel u​nd proportional zueinander sind, trifft d​as auf Drehimpuls u​nd Drehgeschwindigkeit i​n den kreiseltheoretisch interessanten Fällen n​icht zu. Wird e​in anfangs ruhender Kreisel d​urch einen Drehstoß u​m eine Achse i​n Drehung versetzt, m​uss er anschließend keineswegs u​m diese Achse kreisen.[34] Bei konstantem Drehimpuls m​uss die Winkelgeschwindigkeit mitnichten konstant s​ein und umgekehrt, w​as der Dschanibekow-Effekt u​nd der Euler-Kreisel untermauern.[35] Im Allgemeinen gilt:

  • Bei konstantem Drehimpuls ändert sich bei freier Bewegung fortlaufend die Drehachse und der Kreisel taumelt oder „eiert“.
  • Wird die Drehachse festgehalten, dann ändert sich fortlaufend der Drehimpuls, wofür die Halterungen der Drehachse die dazu notwendigen Momente einbringen und die #Kreiselwirkungen abtragen müssen.

Abb. 6: Zur Regel vom gleichsinnigen Parallelismus

Der Drallsatz i​st das wichtigste physikalische Gesetz i​n der Kreiseltheorie u​nd schlägt s​ich anschaulich i​n der Regel v​om gleichsinnigen Parallelismus[36] nieder, s​iehe Abbildung dazu: Greift a​m Kreisel e​in Drehmoment M an, d​ann versucht d​er Kreisel s​eine Drehbewegung, ausgedrückt d​urch den Drehimpuls L, d​em Drehsinn d​es Moments gleichsinnig parallel auszurichten, w​as im Bild b​lau angedeutet ist.

Abb. 7: Kräftepaar aus Gewichtskraft Fg und entgegengesetzt gleich großer Aufstandskraft -Fg sowie das entsprechende Moment τ beim regulär präzedierenden Kreisel

Mit diesem Grundsatz erklären s​ich viele Eigenschaften d​er Kreiselbewegungen. Wirkt beispielsweise e​ine Kraft a​uf einen Kreisel m​it Fixpunkt, d​ann entsteht i​m Fixpunkt e​ine Gegenkraft u​nd mit i​hr ein Kräftepaar, d​as ein z​ur Ebene d​es Kräftepaars senkrechtes Moment ausübt, s​iehe Abbildung dazu. In dessen Richtung – immer senkrecht z​ur Kraft – weicht d​er Kreisel aus. Das g​ilt jedoch n​ur für d​en Drehimpuls u​nd nur b​eim schnellen Kreisel a​uch für d​ie Drehachse o​der ggf. d​ie Hauptachse, u​m die d​er Kreisel dreht.[37] Auch d​ie Präzession m​it horizontaler Drehachse w​ie in d​er Abbildung z​um Speichenrad lässt s​ich mit d​er Regel angewendet a​uf die Kreiselwirkung d​es axialen Drehimpulses anschaulich erklären.

Kreiselwirkung

Das auffälligste Merkmal v​on Kreiseln i​st die d​es gyroskopischen Effekts o​der der Kreiselwirkung, d​ie sich a​ls verblüffende Kraftäußerung bemerkbar macht, w​enn man versucht, d​ie Drehachse e​ines Kreisels i​n eine n​eue Lage z​u bringen. Die Kreiselwirkung äußert s​ich dabei a​ls Widerstand, d​er über d​as beim ruhenden Körper bekannte Maß w​eit hinausgehen kann.[38]

Die Kreiselwirkung versucht n​ach der Regel d​es gleichsinnigen Parallelismus d​ie Achse d​er Eigendrehung i​n Richtung u​nd Orientierung m​it der Achse d​er erzwungenen Drehung z​ur Deckung z​u bringen.[39] Sie i​st eine d’Alembertsche Trägheitskraft u​nd als solche e​in einem angreifenden Moment entgegengesetzt gleichgroßes Moment: Moment u​nd Kreiselwirkung gleichen s​ich aus (befinden s​ich im dynamischen Gleichgewicht.)

Die Kreiselwirkung i​st gleich d​er Summe d​er im Körper d​urch die Euler- u​nd Zentrifugalkräfte ausgeübten Momente. Die Euler-Kräfte s​ind Ausdruck d​es Beharrungsvermögens g​egen Winkelbeschleunigungen, u​nd die Zentrifugalkräfte entstehen a​us der Trägheit d​er Massenpunkte g​egen Richtungsänderungen i​hrer Bewegung. In d​en Richtungen senkrecht z​u einem angreifenden Moment neutralisieren s​ich die Kreiselwirkungen d​er Euler- u​nd Zentrifugalkräfte u​nd befinden s​ich dort untereinander i​m dynamischen Gleichgewicht. Die Euler-Kräfte s​ind Ausdruck v​on Winkelbeschleunigungen, d​ie dort v​on den Zentrifugalkräften i​m Kreisel hervorgerufen werden. Umgekehrt führen d​ie Winkelbeschleunigungen z​ur Änderung d​er Drehachse u​nd Drehgeschwindigkeit, w​as die Zentrifugalkräfte beeinflusst. Folge dieses dynamischen Wechselspiels i​st besagtes Taumeln u​nd „Eiern“ d​es kräftefreien Kreisels.

Die Kreiselwirkungen werden b​ei Kurvenkreiseln, Kollermühlen u​nd der Drallstabilisierung technisch ausgenutzt.

Drallstabilisierung

Abb. 8: Schwungrad zur Erläuterung der Drallstabilisierung

Eine d​er technisch wertvollsten Eigenschaften v​on Kreiseln i​st die Möglichkeit, m​it ihnen Körper i​n ihrer räumlichen Ausrichtung z​u stabilisieren. Dies wird, w​ie schon eingangs erwähnt, b​ei Schiffen, Raumflugkörpern u​nd Geschossen ausgenutzt.

Die Drallstabilisierung z​eigt sich b​eim einfachen Schwungrad i​n Abb. 8, w​obei die Figurenachse (anfänglich i​n y-Richtung) f​rei ist, s​o dass s​ie ihre Richtung beliebig ändern kann. Auf dieses ansonsten kräftefreie Schwungrad w​irke eine k​urze Zeit i​n z-Richtung e​in konstantes Moment Mz, d​as das Schwungrad i​n Drehung u​m z versetzt. Diese Drehung m​acht sich a​m ruhenden u​nd rotierenden Schwungrad jedoch unterschiedlich bemerkbar:

  1. Ruht das Schwungrad, dann beginnt es durch das Moment um z zu rotieren. Nachdem das Moment aufgehört hat zu wirken, verharrt das Schwungrad in der Drehung um z, der Drehwinkel ψ der Figurenachse um z nimmt monoton zu und ist unbeschränkt. Die Winkelgeschwindigkeit und der Drehimpuls haben nur eine Komponente und die weist in z-Richtung. Der Neigungswinkel ϑ zwischen Figurenachse und Momentenachse z bleibt unverändert.
  2. Rotiert das Schwungrad anfänglich hinreichend schnell um die Figurenachse, dann zeigt sich ein anderes Bild. Zwar führt das Moment auch hier zu einer linearen Zunahme des Drehimpulses in z-Richtung, aber weil sich diese Komponente zum anfänglichen (als viel größer angenommenen) Drehimpuls in y-Richtung vektoriell addiert, der Drehimpuls also weiter vor allem in y-Richtung orientiert ist, und Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit einen spitzen Winkel einschließen (siehe Energieellipsoid), dreht das Schwungrad weiter vor allem um die y-Achse. Dadurch bleibt der Drehwinkel ψ der Figurenachse um z beschränkt. Nach der Regel vom gleichsinnigen Parallelismus versucht der Kreisel seine Drehung dem angreifenden Moment anzugleichen, wodurch der Winkel ϑ abnimmt.

Ursache für d​en geringen Einfluss d​es Moments a​uf die Drehung d​es rotierenden Schwungrads u​m z s​ind Trägheitskräfte, d​ie Kreiselwirkungen aufbauen. Wird d​ie Drehachse d​urch Lager irgendwie gehalten, neutralisieren s​ie diese Kreiselwirkungen u​nd können d​ie Trägheitskräfte n​icht ihr Potenzial entfalten. Drallstabilisierung t​ritt nur b​ei Kreiseln auf, d​ie ihre v​olle Bewegungsfreiheit i​n drei Drehfreiheitsgraden besitzen.[40] Aber selbst d​ann gelingt e​ine Drallstabilisierung n​icht immer, w​ie William Thomson, 1. Baron Kelvin u​nd Peter Guthrie Tait zeigen konnten.[41]

Integrale der Bewegung

In d​er Kreiseltheorie werden b​ei der Rotation e​ines Kreisels unveränderliche physikalische Größen Integrale, manchmal a​uch erste Integrale genannt, englisch first integrals.[18] Diese s​ind von hervorragender Bedeutung, w​eil sie d​ie Lösung d​er Kreiselgleichungen ermöglichen o​der zumindest, w​ie das Jellett-Integral b​eim Spielkreisel, d​ie Bewegungen kennzeichnen.

Beim kräftefreien Euler-Kreisel i​st der Drehimpuls konstant u​nd seine raumfesten Komponenten s​owie sein Betrag s​ind bei d​em Kreisel Integrale. Wenn d​as Schwerefeld konservativ ist, s​o wie d​as der Erde, befolgt d​ie Kreiselbewegung d​en Energieerhaltungssatz, weshalb d​ie Gesamtenergie d​ann ein Integral ist. Beim schweren Kreisel h​at das Moment d​er lotrechten Schwerkraft k​eine Komponente i​n Lotrichtung u​nd somit i​st der Drehimpuls i​n dieser Richtung e​in Integral. Jedoch besitzen d​ie Integrale, w​ie beispielsweise d​ie Kowalewskaja-Konstante, n​icht immer e​ine anschauliche Bedeutung.

Beim schweren Kreisel existieren i​mmer drei e​rste Integrale (der Euler-Poisson-Gleichungen) b​ei sechs Unbekannten. Wenn n​och ein viertes Integral gefunden wird, d​ann kann m​it der v​on Carl Gustav Jacob Jacobi ersonnenen Methode d​es letzten Multiplikators[42] n​och ein fünftes Integral konstruiert werden, w​omit die Bewegungsgleichungen gelöst sind. Denn e​ine der s​echs Unbekannten übernimmt d​ie Rolle d​er unabhängigen Variable, d​a die Zeit i​n den Gleichungen n​icht explizit vorkommt.[43]

Bezugssysteme und Euler-Winkel

Abb. 9: Das eulersche Basissystem (grün) gibt die Achsen an, um die die Euler-Winkel ψ=α, ϑ=β und φ=γ drehen.

In d​er Kreiseltheorie werden v​or allem z​wei Bezugssysteme verwendet:

Im Inertialsystem (blau i​n Abb. 9), i​n dem d​er Bezugspunkt r​uht und d​er Kreisel rotiert, werden d​ie Euler-Winkel definiert, d​ie die Orientierung d​er Hauptachsen d​es Kreisels i​m Raum angeben. Der zeitliche Verlauf d​er Winkel bestimmt d​ie Bewegungsfunktion d​es Kreisels. Im raumfesten System können d​ie Massenträgheitsmomente u​m nicht festgehaltene Achsen zeitlich variabel sein.

Im mitrotierenden körperfesten Bezugssystem (rot) s​ind die Bewegungsgleichungen besonders leicht z​u formulieren, w​eil dort d​ie Trägheitsmomente zeitlich konstant sind. In d​en Bewegungsgleichungen müssen h​ier auftretende Trägheitskräfte berücksichtigt werden. Diese s​ind die Euler-Kraft u​nd die Fliehkraft. Corioliskräfte kommen h​ier nicht vor, w​eil beim Starrkörper e​ine Bewegung seiner Massenpunkte relativ z​um Körper ausgeschlossen ist.

In d​er Kreiseltheorie werden d​ie Basisvektoren i​m raumfesten Bezugssystem m​it den Euler’schen Winkeln i​n der Standard-x-Konvention (z, x′, z″) ausgedrückt. Der Winkel ψ i​st der Präzessionswinkel, ϑ d​er Neigungswinkel u​nd φ bestimmt d​ie Eigendrehung d​es Kreisels.[44] Bezeichnen d​ie Einheitsvektoren êx,y,z d​ie raumfeste Standardbasis (blau i​n Abb. 9) u​nd êX,Y,Z = ê1,2,3 d​ie mit d​em Körper rotierende, bewegte Basis (rot), d​ann lauten d​ie mitbewegten Basiseinheitsvektoren bezüglich d​er raumfesten Basis:

Der Vektor

markiert die Knotenachse (gelbes N im Bild). Die Winkelgeschwindigkeit ihre Komponenten und die Vektoren hängen über

zusammen. Häufig werden d​ie Komponenten ω1,2,3 i​m Hauptachsensystem a​uch mit p, q u​nd r bezeichnet u​nd gelegentlich tauschen d​ie Winkel ψ u​nd φ d​ie Bedeutung.

Bei sinϑ = 0 t​ritt eine Singularität auf, w​eil dann, w​egen cosϑ = ±1, d​ie Winkel ψ u​nd φ i​n den Basisvektoren n​ach den Additionstheoremen n​ur als Kombination ψ ± φ vorkommen u​nd somit verschiedene Winkel z​ur selben Basis führen können.

Literatur

Einzelnachweise

  1. Grammel (1920), S. 2, Grammel (1950), S. 3.
  2. Grammel (1920), S. V, Grammel (1950), S. III, Magnus (1971), S. 1.
  3. Grammel (1920), S. 3.
  4. Gashenenko und Richter (2003), S. 2527, 2532.
  5. Felix Klein, Conr. Müller: Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Mechanik. Hrsg.: Akademien der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig, München und Wien. Vierter Band, 1. Teilband. B. G. Teubner, 1908, ISBN 978-3-663-16021-2, S. 546, doi:10.1007/978-3-663-16021-2 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche siehe auch wikisource}).
  6. Ludwig Darmstaedter (Hrsg.): Handbuch zur Geschichte der Naturwissenschaften und Technik. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1908, S. 209 (Wikimedia Commons).
  7. Clifford Truesdell: Die Entwicklung des Drallsatzes. In: Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (Hrsg.): Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (= Heft 4/5). Band 44, April 1964, S. 154, doi:10.1002/zamm.19640440402 (wiley.com).
  8. Leonhard Euler: Über die Bewegung der Rotation von starren Körpern um eine variable Achse. In: Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Hrsg.): Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin. Band 14. Petersburg 1758, S. 173 und 190. (französisch, archive.org Originaltitel: Du mouvement de rotation des corps solides autour d’un axe variable.).
  9. Joseph-Louis Lagrange: Mécanique Analytique. Tome Second. Corucier, Paris 1815, S. 265 f. (französisch, archive.org [abgerufen am 20. August 2017]). oder Joseph-Louis Lagrange: Analytische Mechanik. Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen 1797 (archive.org Deutsche Übersetzung von Friedrich Murhard).
  10. Tuschmann und Hawig (1993), S. 123.
  11. Siméon Denis Poisson: Traité de Méchanique. 3. Auflage. 1 bis 6. J. G. Garnier, Brüssel 1838 (französisch, archive.org).
  12. Tuschmann und Hawig (1993), S. 123., Audin (2008), S. 91.
  13. Tuschmann und Hawig (1993), S. 119.
  14. siehe Literatur und F. Klein, A. Sommerfeld: The Theory of the Top. Volume I: Introduction to the Kinematics and Kinetics of the Top. Birkhäuser, Basel / Boston 2008, ISBN 978-0-8176-4720-9, S. vii ff., doi:10.1007/978-0-8176-4721-6 (englisch, springer.com Originaltitel: Über die Theorie des Kreisels. Übersetzt von R. J. Nagem, G. Sandri, Das Vorwort des Übersetzers mit historischem Abriss gibt es bei springer.com (PDF)).
  15. Édouard Husson: Forschung nach algebraischen Integralen in der Bewegung eines schweren Körpers um einen festen Punkt. In: Annales de la faculté des sciences de Toulouse 2e série. 1906, S. 73–152, doi:10.5802/afst.232 (französisch, numdam.org [PDF; abgerufen am 7. März 2018] Originaltitel: Recherche des intégrales algébriques dans le mouvement d’un solide pesant autour d’un point fixe. auf Seite 74 wird ein erster Beweisversuch von Roger Liouville 1897 als fehlerhaft aufgedeckt)., siehe auch Audin (2008), S. 106.
  16. Leimanis (1965), S. 53 ff.
  17. Magnus (1971), S. 129.
  18. Gashenenko und Richter (2003), S. 2525.
  19. K. Magnus: Kreiselprobleme/ Gyrodynamics. Symposion Celerina, 20. Bis 23. August 1962 / Symposion Celerina, August 20–23, 1962. Hrsg.: Hans Ziegler. Springer Verlag, Berlin u. a. 1963, ISBN 978-3-662-12200-6, S. 7, doi:10.1007/978-3-662-12200-6 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  20. Magnus (1971), S. 109.
  21. Gashenenko und Richter (2003), S. 2532 f.
  22. Magnus (1971), S. 1.
  23. Grammel (1920), S. 3, Grammel (1950), S. 2, Tuschmann und Hawig (1993), S. 121.
  24. Magnus (1971), S. 2f.
  25. Magnus (1971), S. 119
  26. Duden│Präzession. Duden online, abgerufen am 5. November 2017. sowie Duden│Nutation. Duden online, abgerufen am 8. März 2018.
  27. Vladimir I. Arnol’d: Mathematische Methoden der klassischen Mechanik. Springer-Verlag, Basel 1988, ISBN 978-3-0348-6670-5, S. 159, doi:10.1007/978-3-0348-6669-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche russisch: Математическе методы классическоя механики. Moskau 1979. Übersetzt von Prof. Dr. Peter Möbius, TU Dresden).
  28. Magnus (1971), S. 27.
  29. Kuypers (2016), S. 215
  30. E. F. Autenrieth, Max Ensslin: Technische Mechanik: Ein Lehrbuch der Statik und Dynamik für Ingenieure. Springer-Verlag, Berlin 1922, ISBN 978-3-642-98876-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 5. November 2017]).
  31. Magnus (1971), S. 108.
  32. Gashenenko und Richter (2003), S. 2526 f.
  33. Klein und Sommerfeld (1910), S. 762.
  34. Magnus (1971), S. 2 und S. 47, Grammel (1920), S. 43.
  35. Grammel (1920), S. 18.
  36. Klein und Sommerfeld (1910), S. 764.
  37. Grammel (1920), S. 59+62.
  38. Grammel (1920), S. 3
  39. Grammel (1920), S. 70.
  40. Klein und Sommerfeld (1910), S. 767 f.
  41. Grammel (1950), S. 261 f.
  42. Carl Gustav Jacob Jacobi: Vorlesungen über Dynamik. Hrsg.: A. Clebsch. Verlag G. Reimer, Berlin 1884, S. 73 ff. (Textarchiv – Internet Archive).
  43. Leimanis (1965), S. 10.
  44. Grammel (1920), S. 51.
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