Partialbruchzerlegung

Die Partialbruchzerlegung o​der Partialbruchentwicklung i​st eine standardisierte Darstellung rationaler Funktionen. Sie w​ird in d​er Mathematik verwendet, u​m das Rechnen m​it solchen Funktionen z​u erleichtern. Insbesondere k​ommt sie b​ei der Integration d​er rationalen Funktionen z​ur Anwendung.

Hier l​iegt die Tatsache zugrunde, d​ass jede rationale Funktion a​ls Summe e​iner Polynomfunktion u​nd Brüchen d​er Form

${\displaystyle {\frac {a_{i}}{(x-x_{i})^{j}}}}$

dargestellt werden kann. Die ${\displaystyle x_{i}}$ sind dabei die Polstellen der Funktion.

Sind die Polstellen bereits bekannt, so ist die Bestimmung der Zähler ${\displaystyle a_{i}}$ die eigentliche Aufgabe der Partialbruchzerlegung.

Bei reellwertigen Funktionen müssen die Polstellen ${\displaystyle x_{i}}$ und infolgedessen auch die Zahlen ${\displaystyle a_{i}}$ nicht unbedingt reell sein, denn die reellen Zahlen sind nicht algebraisch abgeschlossen. Man kann das Rechnen mit komplexen Zahlen aber vermeiden, weil mit jeder komplexen Nullstelle ${\displaystyle z_{i}}$ auch die konjugiert komplexe Zahl ${\displaystyle {\overline {z_{i}}}}$ Nullstelle ist.

Statt ${\displaystyle {\tfrac {a_{1}}{(x-z_{i})^{j}}}}$ und ${\displaystyle {\tfrac {a_{2}}{(x-{\overline {z_{i}}})^{j}}}}$ verwendet man dann einen Term ${\displaystyle {\tfrac {b_{i}+c_{i}x}{(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{j}}}}$, wobei ${\displaystyle {x^{2}+p_{i}x+q_{i}}=(x-z_{i})\cdot (x-{\overline {z_{i}}})}$ ein reelles quadratisches Polynom ist und auch ${\displaystyle b_{i}}$ und ${\displaystyle c_{i}}$ reell sind.

Geschichte

Die Partialbruchzerlegung wurde ab 1702 in Arbeiten zur Infinitesimalrechnung von Gottfried Wilhelm Leibniz und Johann I Bernoulli entwickelt. Beide Gelehrten nutzen diese Methode zur Integration von gebrochenrationalen Funktionen. Da zu dieser Zeit der Fundamentalsatz der Algebra noch nicht bewiesen war – er wurde damals aber schon vermutet –, behauptete Leibniz, dass es für das Nennerpolynom ${\displaystyle x^{4}+a^{4}=\left(xx-aa{\sqrt {-1}}\right)\left(xx+aa{\sqrt {-1}}\right)}$ keine Partialbruchzerlegung gebe. Johann Bernoulli schloss sich dieser Meinung nicht an. Dieses Beispiel wurde in den Folgejahren von verschiedenen Mathematikern diskutiert und um 1720 erschienen mehrere Arbeiten, die das Beispiel als fehlerhaft nachwiesen und das (unbestimmte) Integral

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{4}+a^{4}}}}$

korrekt berechneten.[1]

Verfahren

Die Partialbruchzerlegung einer reellen rationalen Funktion ${\displaystyle R}$ wird in mehreren Schritten bestimmt:

1. Man vergleicht den Grad des Zählers mit dem des Nenners von ${\displaystyle R}$:
   • Ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad, so dividiert man den Zähler durch den Nenner. Man erhält daraus das Polynom ${\displaystyle P}$ und möglicherweise eine rationale Restfunktion ${\displaystyle R^{*}={\tfrac {Z^{*}}{N^{*}}}}$, sodass gilt: ${\displaystyle R(x)=P(x)+R^{*}(x)}$.
     • Ist ${\displaystyle R^{*}\equiv 0}$, ist das Verfahren abgeschlossen.
     • Andernfalls hat der Zähler ${\displaystyle Z^{*}}$ von ${\displaystyle R^{*}}$ einen kleineren Grad als der Nenner ${\displaystyle N^{*}}$. Man arbeitet dann nur mehr mit der Restfunktion ${\displaystyle R^{*}}$ weiter.
   • Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so kann man die Funktion ${\displaystyle R}$ direkt betrachten. Um im Folgenden eine einheitliche Bezeichnungsweise zu ermöglichen, setzen wir in diesem Fall ${\displaystyle R^{*}:=R}$.
2. Anschließend betrachtet man die Nullstellen von ${\displaystyle N^{*}}$. Abhängig von der Art der Nullstellen wird ein geeigneter Ansatz verwendet.
3. Die Konstanten ${\displaystyle a_{ij}}$, ${\displaystyle b_{ij}}$ und ${\displaystyle c_{ij}}$ erhält man dann zum Beispiel durch Koeffizientenvergleich nach Multiplikation der Zerlegung mit dem Nennerpolynom.

Die beiden letzten Schritte sollen n​un im Detail erläutert werden.

Ansatz

Vorausgesetzt wird hier, dass ${\displaystyle R^{*}}$ in der Form ${\displaystyle R^{*}(x)={\tfrac {Z^{*}(x)}{N^{*}(x)}}}$ gegeben ist, wobei der Grad von ${\displaystyle Z^{*}}$ kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ${\displaystyle N^{*}}$ ist und sämtliche Nullstellen von ${\displaystyle N^{*}}$ bekannt sind. Sind, wie oben angenommen, die ${\displaystyle n}$ verschiedenen Nullstellen ${\displaystyle x_{i}}$ und ihr jeweiliger Grad ${\displaystyle r_{i}}$ bekannt, so kann das Nennerpolynom auf folgende Form gebracht werden:

${\displaystyle N^{*}(x)=(x-x_{1})^{r_{1}}\cdot (x-x_{2})^{r_{2}}\dotsm (x-x_{n})^{r_{n}}}$

Zu beachten ist, dass einige der ${\displaystyle x_{i}}$ nicht-reell sein können.

Der Ansatz i​st nun folgendermaßen aufgebaut:

• Für jede einfache reelle Nullstelle ${\displaystyle x_{i}}$ enthält der Ansatz einen Summanden ${\displaystyle {\tfrac {a_{i1}}{x-x_{i}}}}$.

• Für jede ${\displaystyle r_{i}}$-fache reelle Nullstelle ${\displaystyle x_{i}}$ enthält der Ansatz ${\displaystyle r_{i}}$ Summanden ${\displaystyle {\tfrac {a_{i1}}{x-x_{i}}}+{\tfrac {a_{i2}}{(x-x_{i})^{2}}}+\dotsb +{\tfrac {a_{ir_{i}}}{(x-x_{i})^{r_{i}}}}}$.

Da ${\displaystyle R}$ reell ist, gehört zu jeder nicht-reellen Nullstelle ${\displaystyle z_{i}}$ notwendigerweise auch die konjugiert komplexe Nullstelle ${\displaystyle {\overline {z_{i}}}}$. Sei ${\displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}}$ das quadratische Polynom mit den Nullstellen ${\displaystyle z_{i}}$ und ${\displaystyle {\overline {z_{i}}}}$, also ${\displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}:=(x-z_{i})(x-{\overline {z_{i}}})}$.

• Für jede einfache nicht-reelle Nullstelle ${\displaystyle z_{i}}$ enthält der Ansatz nun einen Summanden ${\displaystyle {\tfrac {b_{i}x+c_{i}}{x^{2}+p_{i}x+q_{i}}}}$.

• Entsprechend enthält der Ansatz für jede ${\displaystyle s_{i}}$-fache nicht-reelle Nullstelle ${\displaystyle z_{i}}$ (und die zugehörige, ebenfalls ${\displaystyle s_{i}}$-fache, konjugiert komplexe Nullstelle ${\displaystyle {\overline {z_{i}}}}$) die ${\displaystyle s_{i}}$ Terme ${\displaystyle {\tfrac {b_{i1}x+c_{i1}}{x^{2}+p_{i}x+q_{i}}}+{\tfrac {b_{i2}x+c_{i2}}{(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{2}}}+\dotsb +{\tfrac {b_{is_{i}}x+c_{is_{i}}}{(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{s_{i}}}}}$.

Jeder Ansatz enthält somit genau ${\displaystyle g}$ unbekannte Koeffizienten ${\displaystyle a_{i1},\dotsc ,a_{ir_{i}},b_{i1},\dots ,b_{is_{i}},c_{i1},\dotsc ,c_{is_{i}}}$.

Bestimmung der Konstanten

Um die Konstanten ${\displaystyle a_{ij}}$, ${\displaystyle b_{ij}}$ und ${\displaystyle c_{ij}}$ zu ermitteln, wird ${\displaystyle R^{*}}$ mit dem Ansatz gleichgesetzt und diese Gleichung mit dem Nennerpolynom ${\displaystyle N^{*}}$ multipliziert.

Auf der einen Seite der Gleichung steht dann nur noch das Zählerpolynom ${\displaystyle Z^{*}}$, auf der anderen ein Ausdruck mit allen Unbekannten, der ebenfalls ein Polynom in ${\displaystyle x}$ ist und entsprechend nach den Potenzen von ${\displaystyle x}$ geordnet werden kann. Ein Koeffizientenvergleich der linken mit der rechten Seite ergibt dann ein lineares Gleichungssystem, aus dem sich die unbekannten Konstanten berechnen lassen. Alternativ kann man bis zu ${\displaystyle g}$ beliebige verschiedene Werte für ${\displaystyle x}$ in diese Gleichung einsetzen, was wie der Koeffizientenvergleich zu einem aus ${\displaystyle g}$ Gleichungen bestehenden linearen Gleichungssystem führt. Sinnvoll ist das Einsetzen der zuvor berechneten (reellen) Nullstellen, was sofort jeweils einen Koeffizientenwert liefert.

Diese beiden Möglichkeiten können a​uch kombiniert werden.

Beispiele

Einfache Polstellen

Gegeben s​ei die rationale Funktion

${\displaystyle R(x)={\frac {x}{x^{2}-1}}}$.

Es gibt zwei einfache Polstellen ${\displaystyle x_{1}=1}$ und ${\displaystyle x_{2}=-1}$. Der Ansatz lautet also

${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}-1}}={\frac {a_{1}}{x-1}}+{\frac {a_{2}}{x+1}}}$,

wobei ${\displaystyle a_{1}}$ und ${\displaystyle a_{2}}$ unbekannte, noch zu ermittelnde Konstanten sind. Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit ${\displaystyle (x^{2}-1)=(x+1)(x-1)}$, erhält man

${\displaystyle x=a_{1}(x+1)+a_{2}(x-1)}$.

Sortiert man die rechte Seite nach Gliedern mit ${\displaystyle x}$ und Gliedern ohne ${\displaystyle x}$, so ergibt sich

${\displaystyle x=(a_{1}+a_{2})x+(a_{1}-a_{2})}$.

Koeffizientenvergleich: Der Koeffizient von ${\displaystyle x}$ ist Eins: ${\displaystyle a_{1}+a_{2}=1}$ und das absolute Glied Null: ${\displaystyle a_{1}-a_{2}=0}$. Hieraus lässt sich berechnen: ${\displaystyle a_{1}=a_{2}={\tfrac {1}{2}}.}$ Die gesuchte Partialbruchzerlegung ist also

${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x+1}}.}$

Doppelte Polstellen

Gegeben s​ei die rationale Funktion

${\displaystyle R(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}-2x+1}}}$.

Mittels Polynomdivision u​nd Faktorenzerlegung d​es Nenners folgt

${\displaystyle R(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}-2x+1}}=1+{\frac {2\;x-1}{(x-1)^{2}}}}$.

Die einzige, allerdings doppelte Nullstelle des Nenners ist ${\displaystyle x_{0}=1}$. Ansatz:

${\displaystyle {\frac {2\;x-1}{(x-1)^{2}}}={\frac {a_{1}}{x-1}}+{\frac {a_{2}}{(x-1)^{2}}}\quad |\cdot (x-1)^{2}}$

${\displaystyle 2\;x-1=a_{1}(x-1)+a_{2}}$

${\displaystyle 2\;x-1=a_{1}x-a_{1}+a_{2}}$

Koeffizientenvergleich:

${\displaystyle a_{1}=2}$

${\displaystyle -a_{1}+a_{2}=-1}$

Lösung:

${\displaystyle a_{1}=2,\quad a_{2}=1}$,

also erhalten w​ir die Partialbruchzerlegung

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{x^{2}-2x+1}}=1+{\frac {2}{x-1}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}}$.

Komplexe Polstellen

Gegeben s​ei die rationale Funktion

${\displaystyle R(x)={\frac {5x^{2}+2x+1}{x^{3}+x}}}$.

Der Nenner hat hier die reelle Nullstelle ${\displaystyle x_{1}=0}$, die komplexe Nullstelle ${\displaystyle x_{2}=z_{1}=\mathrm {i} }$ und deren konjugiert komplexe ${\displaystyle x_{3}={\overline {z_{1}}}=-\mathrm {i} }$. Das quadratische Polynom mit den Nullstellen ${\displaystyle z_{1}}$ und ${\displaystyle {\overline {z_{1}}}}$ ist ${\displaystyle (x-z_{1})(x-{\overline {z_{1}}})=(x-\mathrm {i} )(x+\mathrm {i} )=x^{2}+1}$

Ansatz:

${\displaystyle {\frac {5x^{2}+2x+1}{x^{3}+x}}={\frac {a_{1}}{x}}+{\frac {b_{1}x+c_{1}}{x^{2}+1}}}$

${\displaystyle 5x^{2}+2x+1=a_{1}x^{2}+a_{1}+b_{1}x^{2}+c_{1}x}$

${\displaystyle 5x^{2}+2x+1=(a_{1}+b_{1})x^{2}+c_{1}x+a_{1}}$

Koeffizientenvergleich:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}+b_{1}&=5\\c_{1}&=2\\a_{1}&=1\end{aligned}}}$

Lösung:

${\displaystyle a_{1}=1,\quad b_{1}=4,\quad c_{1}=2}$,

Partialbruchzerlegung:

${\displaystyle {\frac {5x^{2}+2x+1}{x^{3}+x}}={\frac {1}{x}}+{\frac {4x+2}{x^{2}+1}}}$

Kubische und quartische Nenner

Kubische Nenner:

Für Brüche m​it kubischem Nenner g​ilt unter d​er Bedingung a²e + b²c − a​bd ≠ 0 folgende Partialbruchzerlegung:

${\displaystyle {\frac {tx^{2}+ux+v}{(ax+b)(cx^{2}+dx+e)}}={\frac {a^{2}v+b^{2}t-abu}{(a^{2}e+b^{2}c-abd)(ax+b)}}+{\frac {[a(et-cv)-b(dt-cu)]x+a(eu-dv)-b(et-cv)}{(a^{2}e+b^{2}c-abd)(cx^{2}+dx+e)}}}$

Beispielsweise k​ann dieser Bruch m​it der genannten Formel zerlegt werden:

${\displaystyle {\frac {1}{x^{3}+1}}={\frac {1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}}={\frac {1}{3(x+1)}}+{\frac {-x+2}{3(x^{2}-x+1)}}={\frac {1}{3(x+1)}}-{\frac {2x-1}{6(x^{2}-x+1)}}+{\frac {1}{2(x^{2}-x+1)}}}$

Hiermit k​ann ein kubisches Analogon z​ur Leibniz-Reihe ermittelt werden:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{3k+1}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{3}+1}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{3(x+1)}}-{\frac {2x-1}{6(x^{2}-x+1)}}+{\frac {1}{2(x^{2}-x+1)}}\right)\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle ={\biggl [}{\frac {1}{3}}\ln |x+1|-{\frac {1}{6}}\ln(x^{2}-x+1)+{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\arctan {\bigl [}{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}(2x-1){\bigr ]}{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}={\frac {1}{9}}{\sqrt {3}}\pi +{\frac {1}{3}}\ln(2)\approx 0{,}835648848264721}$

Quartische Nenner:

Die Partialbruchzerlegung v​on Brüchen m​it quartischem Nenner k​ann mit e​iner Matrix ermittelt werden:

${\displaystyle {\frac {tx^{3}+ux^{2}+vx+w}{(ax^{2}+bx+c)(dx^{2}+ex+f)}}={\frac {y_{1}x+y_{2}}{ax^{2}+bx+c}}+{\frac {y_{3}x+y_{4}}{dx^{2}+ex+f}}}$

Für d​iese Form m​uss folgendes Produkt v​on reziproker Matrix u​nd Vektor ermittelt werden:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}d&0&a&0\\e&d&b&a\\f&e&c&b\\0&f&0&c\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}t\\u\\v\\w\end{bmatrix}}}$

Beispielsweise s​oll folgender Bruch zerlegt werden:

${\displaystyle {\frac {x^{3}+2x^{2}+4x+6}{(3x^{2}+5x+7)(11x^{2}+13x+17)}}}$

Hierfür m​uss nach diesem Verfahren folgende Rechnung durchgeführt werden:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}11&0&3&0\\13&11&5&3\\17&13&7&5\\0&17&0&7\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\\4\\6\end{bmatrix}}={\frac {1}{290}}{\begin{bmatrix}82\\-57\\-204\\387\end{bmatrix}}}$

Daraus folgt:

${\displaystyle {\frac {x^{3}+2x^{2}+4x+6}{(3x^{2}+5x+7)(11x^{2}+13x+17)}}={\frac {82x-57}{290(3x^{2}+5x+7)}}+{\frac {-204x+387}{290(11x^{2}+13x+17)}}}$

Der Hauptsatz der Partialbruchzerlegung

Reellwertige Funktionen

Jede rationale Funktion ${\displaystyle R\colon D\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mit den ${\displaystyle m}$ verschiedenen reellen Polstellen ${\displaystyle x_{i}}$ der Ordnung ${\displaystyle r_{i}}$ und den ${\displaystyle n}$ bis auf Konjugation verschiedenen komplexen Polstellen ${\displaystyle z_{i}}$ der Ordnung ${\displaystyle s_{i}}$ hat eine eindeutig bestimmte Darstellung

${\displaystyle R(x)=P(x)+\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {a_{ij}}{(x-x_{i})^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{s_{i}}{\frac {b_{ij}x+c_{ij}}{(x-z_{i})^{j}(x-{\overline {z_{i}}})^{j}}}}$

mit einer Polynomfunktion ${\displaystyle P}$ und reellen Konstanten ${\displaystyle a_{ij}}$, ${\displaystyle b_{ij}}$ und ${\displaystyle c_{ij}}$. Diese wird die Partialbruchzerlegung (abgekürzt PBZ) von ${\displaystyle R}$ genannt.

Die Brüche ${\displaystyle {\tfrac {a_{ij}}{(x-x_{i})^{j}}}}$ heißen Partial- oder Teilbrüche 1. Art, die Brüche ${\displaystyle {\tfrac {b_{ij}x+c_{ij}}{(x-z_{i})^{j}(x-{\overline {z}}_{i})^{j}}}}$ Partial- oder Teilbrüche 2. Art.

Komplexwertige Funktionen

Jede rationale Funktion ${\displaystyle R\colon D\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ mit den ${\displaystyle n}$ verschiedenen Polstellen ${\displaystyle z_{i}}$ der Ordnung ${\displaystyle r_{i}}$ hat eine eindeutig bestimmte Darstellung

${\displaystyle R(z)=P(z)+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {a_{ij}}{(z-z_{i})^{j}}}}$

mit einer Polynomfunktion ${\displaystyle P}$ und komplexen Konstanten ${\displaystyle a_{ij}}$.

Dieser Satz lässt s​ich für Polynome über j​edem anderen algebraisch abgeschlossenen Schiefkörper verallgemeinern.

Anwendungen

Die Partialbruchzerlegung w​ird unter anderem z​um Integrieren rationaler Funktionen benutzt. Da d​ie Integrale sämtlicher Partialbrüche bekannt sind, i​st die Integration i​mmer möglich, w​enn sich d​ie Polstellen d​er betrachteten Funktion angeben lassen.[2]

Des Weiteren w​ird die Partialbruchzerlegung b​ei der Laplace- u​nd der z-Transformation verwendet. Die Transformierten d​er einzelnen Partialbrüche können i​n Tabellen nachgeschlagen werden. Somit erspart m​an sich e​ine analytische Berechnung, w​enn der z​u transformierende Term i​n entsprechende Summanden zerlegt werden kann.

Integration der Partialbrüche

Beim Auffinden d​er Stammfunktionen v​on Partialbrüchen lassen s​ich sechs Fälle unterscheiden, j​e nachdem, o​b der Zählergrad 0 o​der 1 ist, o​b die Polstellen, a​lso die Nullstellen d​es Nenners, r​eell oder n​icht reell s​ind und o​b sie einfach o​der mehrfach sind.

Partialbrüche mit reellen Polstellen

Bei Partialbrüchen m​it reellen Polstellen g​ibt es z​wei Fälle, d​a der Zähler n​ur den Grad 0 h​aben kann.

Damit ergibt s​ich bei reellen u​nd einfachen Polstellen

${\displaystyle (1)\qquad \int {\frac {A}{x-a}}dx=A\cdot \ln |x-a|+c}$

und bei reellen und mehrfachen Polstellen (${\displaystyle n\neq 1}$)

${\displaystyle (2)\qquad \int {\frac {A}{{(x-a)}^{n}}}dx={\frac {-A\cdot (x-a)^{-(n-1)}}{n-1}}+c}$.

Partialbrüche mit komplexen Polstellen

Bei Partialbrüchen m​it komplexen Polstellen g​ibt es v​ier Fälle, d​a der Zählergrad sowohl 0 a​ls auch 1 s​ein kann.

Damit ergibt s​ich bei komplexen u​nd einfachen Polstellen u​nd Zählergrad 0

${\displaystyle (3)\qquad \int {\frac {B}{x^{2}+px+q}}dx={\frac {2B}{\sqrt {4q-p^{2}}}}\cdot \arctan \left({\frac {2x+p}{\sqrt {4q-p^{2}}}}\right)+c}$.

Der Fall m​it komplexen u​nd einfachen Polstellen u​nd Zählergrad 1 lässt s​ich auf (3) zurückführen:

${\displaystyle (4)\qquad \int {\frac {Bx+C}{x^{2}+px+q}}dx={\frac {B}{2}}\cdot \ln(x^{2}+px+q)+\left(C-{\frac {pB}{2}}\right)\cdot \int {\frac {1}{x^{2}+px+q}}dx+c}$

Für die beiden Fälle mit mehrfachen Polstellen lassen sich nicht direkt Stammfunktionen bestimmen, es lassen sich jedoch Rekursionsvorschriften finden. Damit ergibt sich für den Fall mit komplexen und mehrfachen Polstellen (${\displaystyle n\neq 0}$) und Zählergrad 0

${\displaystyle (5)\qquad \int {\frac {B}{(x^{2}+px+q)^{n+1}}}dx={\frac {B}{(4q-p^{2})\cdot n}}\cdot {\frac {2x+p}{(x^{2}+px+q)^{n}}}+{\frac {2}{4q-p^{2}}}\cdot {\frac {2n-1}{n}}\cdot \int {\frac {B}{(x^{2}+px+q)^{n}}}dx+c}$.

Der Fall mit komplexen und mehrfachen Polstellen und Zählergrad 1 lässt sich auf (5) zurückführen (${\displaystyle n\neq 1}$)

${\displaystyle (6)\qquad \int {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n}}}dx=-{\frac {B}{2(n-1)}}\cdot {\frac {1}{{(x^{2}+px+q)}^{n-1}}}+\left(C-{\frac {pB}{2}}\right)\cdot \int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n}}}dx+c}$.

Laurent-Reihen-Entwicklung

Ist für j​ede Polstelle e​ine Laurent-Reihen-Entwicklung d​er Funktion bekannt, s​o erhält m​an die Partialbruchzerlegung s​ehr einfach a​ls Summe d​er Hauptteile dieser Laurent-Reihen. Dieser Weg s​teht im Zusammenhang m​it dem Residuenkalkül.

Verallgemeinerung auf rationale Funktionenkörper

Die Partialbruchzerlegung lässt sich für einen Körper ${\displaystyle K}$ auf den rationalen Funktionenkörper ${\displaystyle K(X)}$ verallgemeinern. Bezeichnet man die normierten irreduziblen Polynome im Polynomring ${\displaystyle K[X]}$ mit ${\displaystyle P}$, so sind die rationalen Funktionen der Form ${\displaystyle {\tfrac {X^{i}}{p^{j}}}}$ mit ${\displaystyle p\in P,j\in \mathbb {N} _{+},0\leq i<\deg(p)}$ linear unabhängig und bilden mit den Monomen ${\displaystyle X^{i},i\in \mathbb {N} }$ eine ${\displaystyle K}$-Basis des ${\displaystyle K}$-Vektorraums ${\displaystyle K(X)}$.[3]

Literatur

• Schülerduden Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 316–317.
• Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. 3. Auflage. Scott & Foresman / Little & Brown Higher Education, 1990, ISBN 0-673-38638-4, S. 364–370.
• L.D. Kudryavtsev: Undetermined coefficients, method of. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Eric W. Weisstein: Partial Fraction Decomposition. In: MathWorld (englisch).
• Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-02212-5.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Partial Fraction Decomposition. In: MathWorld (englisch).
• Facharbeit: Partialbruchzerlegung und ihre Anwendung bei der Integration
• Online-Rechner und kommentierte interaktive Beispiele (Arndt Brünner)
• Video: Integration durch Partialbruchzerlegung. Jörn Loviscach 2011, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/9912.
• Video: Partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung. Jörn Loviscach 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/9987.

Einzelnachweise

1. Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 285–286.
2. Christoph Bock: Elemente der Analysis. (PDF; 2,2 MB) Abschnitt 8.35.
3. Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-02212-5, S. 148.