Maclaurinsche Reihe

Die maclaurinsche Reihe (nach Colin Maclaurin) ist in der Analysis eine Bezeichnung für den Spezialfall einer Taylor-Reihe mit Entwicklungsstelle ${\displaystyle x_{0}=0}$:

${\displaystyle f(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {f^{(j)}(0)}{j!}}x^{j}=f(0)+f'(0)\cdot x+{\frac {1}{2!}}f''(0)\cdot x^{2}+\dots }$

Das Betrachten n​ur endlich vieler Glieder d​er obigen Reihe liefert d​ie maclaurinsche Formel a​ls Spezialfall d​er Taylor-Formel:

${\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}+R_{n}}$

mit d​em Restglied

${\displaystyle R_{n}={\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(\theta x)\qquad 0<\theta <1}$

oder alternativ

${\displaystyle R_{n}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{0}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\mathrm {d} t.}$

Die Konvergenz der Maclaurinschen Reihe kann durch Untersuchung des Restgliedes ${\displaystyle R_{n}}$ oder durch Bestimmung des Konvergenzradius nachgewiesen werden. Im letzteren Falle kann es jedoch vorkommen, dass die Reihe zwar konvergiert, ihre Summe aber ungleich ${\displaystyle f(x)}$ ist. Ein Beispiel für solch einen Fall ist die Funktion ${\displaystyle f(x)=\exp(-1/x^{2})}$ mit der Bedingung ${\displaystyle f(0)=0}$: die Glieder ihrer Maclaurinschen Reihe sind alle 0, allerdings ist ${\displaystyle f(x)\not =0}$ für ${\displaystyle x\not =0.}$[1]

Für Funktionen, die bei ${\displaystyle x=0}$ nicht definiert sind – z. B. ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$, oder die bei ${\displaystyle x=0}$ zwar definiert, aber nicht beliebig oft differenzierbar sind – z. B. ${\displaystyle f(x)=x{\sqrt {x}}}$, lässt sich ebenfalls keine maclaurinsche Reihe entwickeln.

Beispiele

• Sinus

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots =x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}-\ldots }$

• Exponentialfunktion

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\dots =1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{24}}x^{4}+\dots }$

Umwandlung beliebiger Taylorreihen in Maclaurin-Reihen

Jede Taylorreihe, auch solche mit Entwicklungsstelle ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$, kann als Maclaurin-Reihe aufgefasst werden. Dazu wird statt der Taylorreihe zu ${\displaystyle f(x)}$ die Taylorreihe zu ${\displaystyle f(x_{0}+x)}$ betrachtet (Substitution):

${\displaystyle f(x_{0}+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}[(x_{0}+x)-x_{0}]^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}x^{n}.}$

Durch die Verschiebung um ${\displaystyle -x_{0}}$ „zur Seite“ ist die neue Entwicklungsstelle gerade 0, wodurch es sich bei der neuen Taylorreihe um eine Maclaurin-Reihe handelt.

Beispiel: Die Taylorreihe zur natürlichen Logarithmusfunktion ${\displaystyle \ln(x)}$ um die Entwicklungsstelle 1, nämlich

${\displaystyle \ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}(x-1)^{n},}$

entspricht der Maclaurin-Reihe zu ${\displaystyle \ln(x+1).}$

${\displaystyle \ln(x+1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots .}$

Einzelnachweise

1. I. Bronstein, K. Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, ISBN 3-8171-2006-0, S. 434.